o Una función es creciente en un intervalo [a,b] si dados dos puntos cualesquiera del intervalo, x 1, x 2, x 1 < x 2 se cumple que f(x 1 ) < f(x 2 )

Transcripción

1 Aplicaciones de la derivada MATEMÁTICAS II CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN Definiciones Se dice que una función f es creciente en un punto si para cualquier punto de un entorno de, (, + ) se verifica: Si > f() > f( ) Si < f() < f( ) Se dice que una función f es decreciente en un punto si para cualquier punto de un entorno de, (, + ) se verifica: Si > f() < f( ) Si < f() > f( ) o Una función es creciente en un intervalo [a,b] si dados dos puntos cualesquiera del intervalo,,, < se cumple que f( ) < f( ) o Una función es decreciente en un intervalo [a,b] si dados dos puntos cualesquiera del intervalo,,, < se cumple que f( ) > f( ) Ejemplos a) f() = creciente b) f() = + = decreciente f( ) f( ) f( ) f( ) < f( ) < f( ) < f( ) > f( ).. Criterios de crecimiento y decrecimiento de una función Sea f una función continua en [a,b] y derivable en (a,b): Si f () > para todo en (a, b), entonces f() es creciente en (a, b) Si f () < para todo en (a, b), entonces f() es decreciente en (a, b) Si f () = para todo en (a, b), entonces f() es constante en (a, b)

2 Aplicaciones de la derivada MATEMÁTICAS II.. Cálculo de los intervalos de crecimiento y decrecimiento Para determinar los intervalos de crecimiento de una función: Hallar los puntos donde f () = o no esté definida la derivada primera. Estos puntos dividen el dominio de definición de f en intervalos, en los cuales estudiaremos el signo de la derivada primera. Ejemplos. Estudiar el crecimiento y decrecimiento de f() = + f () = f () = si = Estudiamos el signo de la derivada primera en los intervalos: Si > f () > f es creciente Si < f () < f es decreciente. Estudiar el crecimiento y decrecimiento de f() = f () = = ( ) ( + ) f () = si = -, = Estudiamos el signo de la derivada primera en los intervalos: < - + <, < f () > f es creciente - < < + >, < f () < f es decreciente > + >, > f () > f es creciente. Estudiar el crecimiento y decrecimiento de f ( ) = 4 f () = ( ) 4 f () = si = Además f no está definida para =, = -: Estudiamos el signo de la derivada primera en los intervalos: < - - >, ( 4) > f () > f es creciente - < < - >, ( 4) > f () > f es creciente < < - <, ( 4) > f () < f es decreciente > - <, ( 4) > f () < f es decreciente

3 Aplicaciones de la derivada MATEMÁTICAS II MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS DE UNA FUNCIÓN Definiciones Se dice que la función f tiene un máimo relativo en si para cualquier punto de un entorno de se verifica que f() f( ) Se dice que la función f tiene un mínimo relativo en si para cualquier punto de un entorno de se verifica que f() f( ) Si una función es continua en un intervalo cerrado [a,b] alcanza un máimo y un mínimo en dicho intervalo. Ejemplo: Sea la función f() = Para cualquier valor real se verifica que, por tanto, la función alcanza un mínimo en =.. Condición necesaria de etremo relativo Si f es derivable en y tiene un etremo relativo en entonces f ( ) =. Es decir la tangente a la curva y = f() en un etremo relativo es horizontal. Demostración = f() f( ) f ( ) Si f tiene un máimo relativo en, se verifica: Si > f() f( ) Si < f() f( ) f() f( ) f ( ) f() f( ) f ( ) Por tanto, f ( ) = Del mismo modo, se demuestra si f tiene un mínimo relativo en Observaciones: a) Si f ( ) = no tiene por qué ser un etremo relativo de f. Ejemplo: f() = es una función estrictamente creciente con lo cual no tiene etremos relativos. Sin embargo f () = se anula para = b) Puede eistir etremo relativo en puntos donde no eista la derivada primera. Ejemplo: + f() = no es derivable en = ( f ( ) = ;f ( ) = No eiste f ( ) ) Sin embargo para cualquier valor real, por tanto, f tiene un mínimo en =

4 Aplicaciones de la derivada MATEMÁTICAS II 4.. Condiciones suficientes de etremo relativo... Criterio de variación de la función f tiene un máimo relativo en si f() < f( ) para cualquier valor de un entorno de. f tiene un mínimo relativo en si f() > f( ) para cualquier valor de un entorno de. Ejemplo: f() = es una función que tiene un mínimo en = ya que para cualquier valor real. f() = es una función que tiene un máimo en = ya que: - f() = f() para cualquier valor real... Criterio de variación de la primera derivada Sea f una función continua en [a,b] y derivable en (a,b), ecepto acaso para un punto (a,b): Si f () > para < y f () < para > f tiene un máimo relativo en. Si f () < para < y f () > para > f tiene un mínimo relativo en.... Criterio de variación de la derivada segunda Si f ( ) = para (a,b), donde f está definida. Si f ( ) >, entonces f() tiene un mínimo relativo en. Si f ( ) <, entonces f() tiene un máimo relativo en. Demostración f () f ( ) f () = = f ( ), ya que f ( ) = f () si < f () > Si f ( ) < < si < f () < La función pasa de creciente a decreciente, entonces f() tiene un máimo relativo en. f () si < f () < Si f ( ) > > si < f () > La función pasa de decreciente a creciente, entonces f() tiene un mínimo relativo en.

5 Aplicaciones de la derivada MATEMÁTICAS II 5.4. Cálculo de los etremos relativos de una función Los etremos relativos de una función f() sólo pueden encontrarse entre:. Los puntos singulares o críticos, es decir, los puntos donde la primera derivada es nula.. Los puntos donde f no es derivable. Ejemplos. Determinar los etremos relativos de f() = f () = 6 = ( ) = =, = < f () > f creciente < < f () < f decreciente > f () > f creciente En = tiene un máimo y en = un mínimo. f () = 6 6 f () = -6 < f alcanza un máimo en = f () = 6 > f alcanza un mínimo en =. Determinar los etremos relativos de f() = sen Para cualquier valor, se verifica Por tanto, la función tiene: Mínimo en π = + k π, k R π Máimo en = + k π, k R. Determinar los etremos relativos de f() = si f() = si < f no es derivable en = si > f () = si < Para cualquier valor de, f() = si = = La función tiene un mínimo en = 4. Determinar los etremos relativos de f() = ( ) e f () = e + ( )e = e f () = si = f () = e + e = ( + ) e f () = e = f tiene un mínimo en =

6 Aplicaciones de la derivada MATEMÁTICAS II 6 CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD. PUNTOS DE INFLEXIÓN Definiciones Diremos que una función f derivable es convea en un punto si eiste un arco de la curva por encima de la recta tangente a la curva y = f() en. Diremos que una función f derivable es cóncava en un punto si eiste un arco de la curva por debajo de la recta tangente a la curva y = f() en. Cuando en un punto (a,f(a)) la función cambia de concavidad se tiene un punto de infleión y la recta tangente en dicho punto, si eiste, atraviesa la curva. Un función f() es cóncava (convea) en un intervalo [a,b] cuando lo es en cada uno de sus puntos, o bien, cuando el segmento que une los puntos A(a,f(a)) y B(b,f(b)) queda por encima (por debajo) del arco de curva correspondiente AB. CÓNCAVA CONVEXA PUNTO DE INFLEXIÓN NOTA: Esta elección es totalmente arbitraria: algunos autores llaman cóncava a lo que nosotros llamaremos convea, y viceversa. Para evitar confusiones, se recomienda indicar, no los adjetivos, sino los símbolos matemáticos correspondientes, los cuales están más etendidos: ;.. Criterios de concavidad y conveidad Sea f una función derivable en (a,b) tal que eiste la derivada segunda en : a) f ( ) <, entonces f es convea ( ) en b) f ( ) >, entonces f es cóncava ( ) en c) f ( ) = y f ( ), entonces f tiene un punto de infleión en. Si f es cóncava ( ) en Las pendientes de las rectas tangentes van creciendo f es creciente en f ( ) > Si f es convea ( ) en Las pendientes de las rectas tangentes van creciendo f es decreciente en f ( ) < Si f tiene un punto de infleión en f ( ) =

7 Aplicaciones de la derivada MATEMÁTICAS II 7.. Cálculo de los intervalos de concavidad y conveidad - Hallar los puntos donde f () = o no esté definida la derivada segunda. - Estos puntos definen los intervalos en los que f tiene signo constante. - Tomando un punto de cada intervalo determinamos el signo de f en cada intervalo. Ejemplo. Estudia la curvatura de la función f ( ) = 6 + f () = ( ) + f () = si = -, = f () = 6 ( ) ( ) + f es convea ( ) para - < < ( < ) f es cóncava ( ) para < - y > ( > ).4. Condición necesaria de punto de infleión Si f es derivable en y tiene un punto de infleión en entonces f ( ) =. Observaciones:.- Si f ( ) = no garantiza que f tenga un punto de infleión en. Ejemplo: Sea la función f() = 4 f () = nula en = Sin embargo, (,) no es un punto de infleión ya que no hay cambio de concavidad (f () > para cualquier valor de )..- Una función puede presentar cambios de concavidad y no tener ningún punto de infleión. Ejemplo + Sea la función f() = f () = para cualquier valor de. ( 4) Por tanto, no tiene punto de infleión. Sin embargo, se tiene que: Si - < <, f () < f convea ( ) Si > ó < -, f () > f cóncava ( ).- Para que eista punto de infleión en es necesario que eista f( ) y que la función cambie de concavidad en.

8 Aplicaciones de la derivada MATEMÁTICAS II 8.5. Condición suficiente de punto de infleión.5.. Criterio de variación de la segunda derivada Estudiando el signo de la segunda derivada f () a ambos lados de = Dom(f): Si en = pasa de cóncava a convea = es P.I. Si en = pasa de convea a cóncava = es P.I..5.. Criterio de la tercera derivada Sea Dom(f), si f ( ) = y f ( ), entonces f() tiene en un punto de infleión.. Ejemplo. Estudiar la concavidad, la conveidad y los puntos de infleión de la función f() = + + Dominio (f) = R y = 6 + y = 6 6 y = 6 y = si 6 6 = = a) Estudiando el signo de la segunda derivada: y > para > y cóncava ( ) para > y < para < y convea ( ) para < Tiene un P.I. en (, f()) = (, ) b) Estudiando el signo de la tercera derivada en el punto: y () = 6 (, ) P.I.. Estudiar el crecimiento, etremos relativos, curvatura y los puntos de infleión de f() = 4 6 f () = 4 f () = si =, = ± f creciente para < < y > f decreciente para < y < < Máimo: (,) Mínimos: (, 9) ; (, 9) f () = = ( )( + ) f () = si = ± f es cóncava para < - y > f es convea para - < < Puntos de infleión: (,-5), (-, -5)

9 Aplicaciones de la derivada MATEMÁTICAS II 9 4 PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN Los máimos y mínimos se aplican no sólo en la resolución de problemas puramente matemáticos, sino también en otras áreas en los que se trata de optimizar una función, es decir, encontrar los valores de ciertas variables para que una determinada magnitud tenga el valor óptimo (máimo o mínimo). Por ejemplo, una fábrica quiere enlatar conservas en botes de litro de capacidad, de forma que las dimensiones del bote resulte lo más barato posible. Estos problemas de optimización se resuelven del siguiente modo: ) Si M es la magnitud que se desea optimizar, se epresa M en función de las variables que la definen. ) Estas variables se definen en función de una de ellas (los datos del problema permiten hacerlo) ) Una vez que la magnitud M queda epresada en términos de una sola variable, se hallan los máimos y mínimos por los métodos epuestos en los apartados anteriores. Ejemplos. Hallar un número positivo cuya suma con su inverso sea mínima. Llamamos a dicho número, su inverso es y la suma de ambos: + El problema quiere que minimicemos dicha suma. Definimos la función + f() = + = de la que hallaremos un mínimo. ( + ) f () = = Imponemos que f () = = =, = - ( ) f () = = = 4 4 f () = > y f (-) = - < Por tanto, el mínimo se alcanza en = El número pedido es el.. De todos los rectángulos de área 6m, qué dimensiones tiene el de menor perímetro? Sea = base e y = altura del rectángulo Sea A el área de dicho rectángulo: A = y = 6 6 y = 6 + Perímetro del rectángulo: P = + y = + = + = Derivando: P = ( ) ( ) = = P = + Imponemos que P = 6 = = ± 4 (descartamos el valor negativo) = 4 P > si (-, -4) (4,+ ), P < si (-4, 4) El mínimo se alcanza en = 4 m y = 4 m El rectángulo de menor perímetro es el cuadrado de lado 4 m.

10 Aplicaciones de la derivada MATEMÁTICAS II. Dado un círculo de radio 4 dm, inscribir en él un rectángulo de área máima. Área = f() = y, siendo la base e y la altura del rectángulo. El triángulo ABC es rectángulo, por tanto, se verifica: 8 = + y y = 64 Por tanto, el área queda epresado en función de : f() = 64. Derivamos: f () = = Imponemos que f () = 64 = ( ) = = = 4 (descarto la raíz negativa) f es creciente para < < 4 y decreciente para > 4 Por tanto, f tiene un máimo en = 4 4. Calcular las coordenadas de los puntos de la parábola y = 4, tales que sus distancias al punto A(4,) sean mínimas. Cualquier punto de la curva tiene como coordenadas: P (, ) ó Q (, ) La distancia de estos puntos a A viene dada por: D(P,A) = D(Q,A) = ( ) + ( ) = + + = ( ) + ( ) = + + = Definimos la función: f() = f () = = f () = si = P (, ) ó Q (, ) 5. Un granjero dispone de 6 m de valla. Con ella y, aprovechando un muro de piedra que eiste en su propiedad, quiere construir un corral rectangular adosado al muro de la mayor superficie posible. Calcular las dimensiones del corral. Sea A el área del corral: A = y, siendo el largo e y el ancho del corral. Como se dispone de 6 m de valla: + y = 6 = 6 y Por tanto A = (6 y) y = 6 y y A = 6 4y A = si y = 5 m = 6 = m A = - 4 < y = 5 máimo. Las dimensiones de la parcela son 5 m m = 45 m

11 Aplicaciones de la derivada MATEMÁTICAS II 6. Tomando una cuerda de longitud cm. Cuál es el triángulo isósceles de mayor área? Perímetro = + y = y = 5 Área triángulo: A = h Aplicando Pitágoras: + h = y h = y = ( 5 ) = 5 Por tanto el área es: A = 5 A = = = A = si 5 5 = 5 = 5 5 = = 5 A > si < 5 y A > si < 5 = 5 es un máimo. Por tanto, Base: = y = 5 5 = 7. Se quiere construir una piscina en forma de paralelepípedo recto de base cuadrada. La superficie total que hay que recubrir es de 9 m. Calcula las dimensiones para que su volumen sea máimo. La función que debemos maimizar es V = y depende de dos variables. Se ha de encontrar una relación entre ellas, utilizando el dato del área de la piscina: A = + 4y 9 = 9 + 4y y = 4 Sustituyendo en la epresión del volumen: 9 9 V = y = = 4 4 Derivando e igualando a cero: V() = V () = 4 9 = 64 = = 8 (descartamos la solución negativa) Veamos que = 8 es un máimo empleando el criterio de la segunda derivada: 6 V () = = Para = 8, V () = - < = 8 máimo. 4 Si = 8 y = = = = La altura de la piscina debe ser de 4m y la base cuadrada debe medir 8 m.

12 Aplicaciones de la derivada MATEMÁTICAS II 8. Recortando convenientemente en cada esquina de una lámina de cartón de dimensiones 8 cm 5 cm un cuadrado de lado y doblando convenientemente (véase figura), se construye una caja. Calcular para que volumen de dicha caja sea máimo. Las dimensiones de la caja son: Largo: 8, Ancho: 5, Alto: Por tanto, su volumen es: V = (8 ) (5 ) = Derivando: V = Imponemos que V = = + = = Calculamos la segunda derivada: V = 4 5 V () = 4 5 < = es un máimo Luego = cm ± 7 6 = 9. Se desea envasar cierto producto en botes cilíndricos de un litro de capacidad, construidos con chapa metálica. Con el fin de ahorrar chapa se quiere dar al cilindro las dimensiones necesarias para que su superficie sea la menos posible. Qué dimensiones son éstas? Se pretende que el área total del cilindro sea mínima. Área del cilindro: A = π r h + π r Como el cilindro debe tener un litro de volumen: V h = πr = π r h = Luego, el área quedaría epresado en función del radio: A(r) = π r + π r = + πr A(r) = + π r πr r r + 4πr A (r) = + 4π r = r r Imponemos que A (r) = : Si + 4π r = r = + 4π r A (r) A (r) r = = 4π π r = π dm 4 = + 4π r 4 π π A = + π = π > Si r = 4 r = π mínimo π 4 h = = = = = dm π r π π π π π 4π 4

13 Aplicaciones de la derivada MATEMÁTICAS II 5 REGLA DE L HOPITAL Vamos a ver un método para el cálculo de límites con ayuda de la derivada. Regla de L Höpital Sean f() y g() dos funciones derivables en un intervalo (a,b) y tal que g () no se anula en (a,b) f () a) Si f() =, g() = y eiste = L a a a g () f(), entonces eiste a g() f () f() = = L a g () a g() y además: b) Si f() = ±, a f () g() = ± y eiste = L a a g () f () f() = = L a g () a g() f(), entonces eiste a g() y además: Ejemplos ) sen = sen cos = = ) ) 4) 5) e ln e = e = = e e = = e = ln = = = 4 = = = ( + ) = ln( + ) + Se puede aplicar la regla varias veces hasta que se resuelva la indeterminación. Ejemplos cos cos sen cos ) = = = = = = sen cos sen = = = = = ) ) sen cos sen = = = = = = = sen + cos sen sen cos + cos sen

14 Aplicaciones de la derivada MATEMÁTICAS II 4 Observación f () Si no eiste a g () f(), no se puede afirmar nada sobre a g() Ejemplo Sea f() = sen y g() = f() = g() f () = sen + cos sen cos cos = g () =, que no eiste. Sin embargo, sen f() = = sen = ya que g() sen 5.. Reducción de la indeterminación Si f() =, a g() = f() g() = a a f() f() g() = = (válido si g no se anula en un entorno de a) a a g() Ejemplos ) + ln = Pasamos a la indeterminación : + ln ln( ) ln + = = Aplicando L Höpital: ( ) ln + ln = + = = ( + ) ) ( cos ) ctg = ( cos ) sen = = tg + tg

15 Aplicaciones de la derivada MATEMÁTICAS II 5 + ) ln + l n ( ) + ln + + = = = = = ( ) Reducción de la indeterminación,, Dado un límite del tipo f() a g(), tomamos logaritmo: g( ) ln f() = g() ln f() g() a Por tanto, f() = e a ln f() g( ) a a g() lnf() = g() ln f() Ejemplos ) cos sen sen lncos = = cos = sen = sen cos cos cos sen =e = ) ln ln = = = = ( ) = = e = ) sen sen cos sen ln = = = ln sen = e = 4) = ln ln = = = = = e

16 Aplicaciones de la derivada MATEMÁTICAS II 6 EJERCICIOS.- Crecimiento y decrecimiento de una función.. Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las siguientes funciones: a) f() = b) f() = ( + 9) c) 5 f() = d) 4 f() = e) f() = + + f) f() = g) f() = e h) f() = f() = ln ( + ) i) f() = e Solución: a) f (, + ) ; b) f (, ) (, + ) ; c) f (,) (, + ) ; d) f R { } ; e) f (, ) f R { } ; g) f R ; h) f (, + ) ; i) f (, + ) ; f).. Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las siguientes funciones en el intervalo [,π ] : a) f() = cos b) f() = sen c) f() = sen Solución: a) f ( π,π ) ; b) π π f,,π ; c) f R ;.. Estudiar el crecimiento y decrecimiento de la función f() = a, según los valores de a Solución: a) f si a >.4. Estudiar el crecimiento y decrecimiento de las siguientes funciones, según los valores de a: a) f() = log a b) f() = a.5. Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f() = sen cos en el intervalo [,π ]. π 7π Solución: f,,π Estudiar el crecimiento y decrecimiento de la función lineal y = a + b, siendo a, b R..7. Las funciones f y g son funciones estrictamente creciente en su dominio común. a) Qué puede decirse de la monotonía de f + g? b) Si k es un nº real no nulo, qué puede decirse de f() + k? Y de k g()?.8. Razona cuáles de las siguientes situaciones la función f() tendrá algún etremo relativo a) Dom (f) = R y f es estrictamente creciente. b) Dom (f) = (a, b] y f es estrictamente creciente. c) Dom (f) = R y f es creciente para < a y decreciente para > a. d) Dom (f) = { a} R y f es creciente para < a y decreciente para > a.

17 Aplicaciones de la derivada MATEMÁTICAS II 7.- Etremos relativos de una función.. Determinar los etremos relativos de las siguientes funciones: a) f() = + + b) f() = 4 c) f() = d) f() = e) f() = 9 f) f() = ( + ) g) f() = e h) f() = ln i) f() ln( ) = + j) f() = + + Solución: a) = M ; = m ; b) = M ; = ± m ; c) = M ; = m ; d) = M ; e) = M ; f) = M; i) = m ; j) = - m 4.. Determinar los etremos relativos de las siguientes funciones trigonométricas en el intervalo [,π ] : a) f() = sen b) f() = cos c) f() = tg d) f() = ctg e) f() = arctg f) f() = + cos π π Solución: a) = M ; = m ; b) = M ; = π m ; e) = M ; = m.. a) Representar gráficamente las siguientes funciones y estudiar su crecimiento: ) f() = ) f() = ) f() = + 4) f() = 5) f() = 6) f() = 4 7) + si < f() = + 6 si si < 8) f() = si si < 9) f() = si 4 + si > 4 b) Indicar si alcanza algún máimo o mínimo. ) + si < f() = si si >.4. Si una función tiene un máimo relativo y un mínimo relativo, puede ser el valor del mínimo mayor que el valor del máimo? Razona tu respuesta..5. Sea f una función continua y derivable en todo R. Si f tiene dos máimos relativos, demuestra que eiste un mínimo ente dichos valores..6. Hallar el valor que debe tomar c en la función f() = c + para que presente un mínimo en = -. Solución: c = Determinar p y q para que la función f() = + p + q tenga un mínimo en = - y f(-) =. Solución: p = 6, q = 9

18 Aplicaciones de la derivada MATEMÁTICAS II 8.8. Dada la función f() = e k determinar k sabiendo que dicha función tiene un máimo en =. Solución: k = -.9. Sea la función parabólica y = f() = a + b + c a) Encontrar los puntos críticos. b) Qué condición debe cumplir a para que f tenga un máimo? Y un mínimo?.. La función f() = a + b + 6 pasa por el punto (,) y tiene un mínimo en el punto de abscisa =. Calcular a y b. Solución: a =, b = -8.. Dada la función Solución: m = ± m f() = 5m + m. Hallar m para que e punto = tenga un máimo. a +.. La función f() = tiene un etremo relativo en =. Calcular el valor de a y razonar si el a + etremo es un máimo o un mínimo. Para dicho valor de a, determinar el otro etremo. Solución: a = ; = -. Problemas de optimización.. Siendo la suma de los catetos de un triángulo rectángulo cm, calcular la longitud de los que corresponden al de área máima. Solución: catetos: 6 cm.. Dos números suman 4. Cuál es el mínimo valor que puede tomar la suma del cubo del primero más el triple del cuadrado del segundo? Cuáles son los dos números? Solución: Los números son 8 y... Entre los rectángulos de 4 cm de perímetro calcular el que tiene la diagonal más corta. Solución: cuadrado de lado cm.4. En una feria se quiere montar una barra rectangular con un perímetro de m. Hallar las dimensiones de dicho rectángulo para que el cilindro engendrado tenga volumen máimo. Solución: Las dimensiones son..5. Un jardinero desea construir un parterre con forma de sector circular, Si dispone de m de alambre para rodearlo, qué radio debe tener el sector para que el parterre tenga la máima superficie? Solución: r = 5 m.6. Un alambre de longitud d, se divide en dos partes e y. Con cada una de ellas, se construye un cuadrado. Para qué valores de e y será mínima la suma de las áreas de los cuadrados? d Solución: = y =

19 Aplicaciones de la derivada MATEMÁTICAS II 9.7. Los barriles que se utilizan para almacenar petróleo tienen formas cilíndricas y una capacidad de 8 π litros. Hallar las dimensiones del cilindro para que la chapa empleada en su construcción sea mínima. (NOTA: Volumen: π r h Superficie: Solución: El radio mide 4 cm y la altura es 8 m π r h + π r ).8. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 9 cm. Si gira alrededor de uno de sus catetos, qué medida han de tener estos para que el volumen del cono engendrado sea máimo? (NOTA: V = π r h ) Solución: Altura: 6 ; radio:.9. Hallar el radio del cilindro de máimo volumen inscrito en un cono de radio 6 cm y altura 9 cm. Solución: El radio es 4 cm y la altura cm... Una hoja de papel debe contener 8 cm de teto impreso, los márgenes superior e inferior han de tener cm cada uno, y los laterales cm. Con qué dimensiones de la hoja es mínimo el gasto del papel? Solución: 5 cm cm.. De todos los triángulos rectángulos de 8 cm de hipotenusa, cuál es el que tiene mayor área y cuánto mide? Solución: Catetos: 4 cm.. Hallar el punto de la parábola y = que está más cerca del punto A(,-) Solución: (,-).. Un granjero desea vallar un terreno rectangular de pasto adyacente a un río. El pastizal debe tener 8. m. Qué dimensiones tendrá el terreno rectangular para utilizar la mínima cantidad de valla, si el lado del río no necesita ser vallado? Solución: m 6 m.4. Con una cuerda de 9 m de longitud se desea cercar dos jardines; uno cuadrado y otro circular, Hallar qué longitud se debe dar a cada trozo para que la suma de las superficies sea mínima. (L = longitud de una circunferencia: π r ) Solución: lado del cuadrado 9 π + 4 y radio del círculo: 45 π Un rectángulo de perímetro m gira alrededor de uno de sus lados. Hallar las dimensiones para el cilindro engendrado tenga volumen máimo (Nota: V = π r h ) Solución: radio m ; altura 5 m.6. De todos los prismas rectos de base cuadrada y de 4 cm de área total, cuál es el que tiene mayor volumen? Solución: cubo de cm de arista

20 Aplicaciones de la derivada MATEMÁTICAS II.7. Se quiere vallar un campo rectangular que está junto a un camino. Si la valla del lado del camino cuesta 4 /m y la de los otros /m, hallar las dimensiones del campo de mayor área del campo que puede cercarse con 9. Solución: Una ventana está formada por un rectángulo, cuyo lado superior se ha sustituido por un triángulo isósceles cuya altura, h, vale tres octavos de su base. Sabiendo que el perímetro de la ventana es 9 cm, determinar las dimensiones para que el área sea máima. Solución: = 4 ; z = 5 ; y = 8.9. La suma de todas las aristas de un prisma recto de base cuadrada es 48 cm. Calcular las dimensiones del prisma para que el volumen sea máimo. Solución: Se quiere itar una parcela de 4 m por una valla rectangular y además dividirla en dos partes iguales por medio de otra valla paralela a uno de los lados. Qué dimensiones deben elegirse para que la cantidad de valla sea mínima? Solución: Hallar las coordenadas de los puntos de la curva y = 9 tal que su distancia al punto A(9,) sea mínima Solución:, ;,.. En un cuadrado de lado cm queremos apoyar la base de un cilindro cuya área lateral es 5 cm. Cuál debe ser el radio del cilindro para que su volumen sea el mayor posible? Solución: r = 5 cm.. Determina las dimensiones que debe tener un recipiente cilíndrico de volumen igual a 6,8 litros para que pueda construirse con la menor cantidad posible de hojalata. Solución: r = dm.4. Con una lámina cuadrada de dm de lado se quiere construir una caja sin tapa. Para ello, se recortan unos cuadrados de los vértices. Calcula el lado del cuadrado recortado para que el volumen de la caja sea máimo. Solución: El lado del cuadrado es 5 dm

21 Aplicaciones de la derivada MATEMÁTICAS II 4. Intervalos de curvatura. Puntos de infleión 4... Dada la función f() = , calcular los máimos, mínimos y puntos de infleión, comprobando que están alineados. Solución: (4,-) mínimo ; (,) máimo y (,) infleión. 4.. Hallar los máimos, mínimos y puntos de infleión de la función: f() = 4 ( ) Solución: = mínimo ; = 4 7 máimo y = infleión. 4.. Estudiar los intervalos de conveidad y concavidad, así como los puntos de infleión de las siguientes funciones: a) f() = b) f() = + 4 c) f() = 5 d) f() = + 4 e) f() = f) f() = g) f() = h) f() = Solución: a) f (, ) (, + ), b) f f) f, +, g) f (, ) (, + ), +, c) f R, d) f R, e) f ( ),+, 4.4. Hallar a, b, c y d en f() = a + b + c + d para que tenga un punto crítico en (,4) y un punto de infleión con tangente de ecuación y = + en el origen. Solución: a =-, b =, c =, d = 4.5. La función f() = + a + b + c tiene un punto de derivada nula en el punto (,) que no es un etremo relativo. Razónese el valor de a, b y c. Solución: a =-, b =, c = π 4.6. Dada la función f() = cos + determinar los intervalos de concavidad y conveidad, así como los, π puntos de infleión en el intervalo [ ] Solución: f (, π ) 4.7. Se considera la función + a f() = + b a) Tiene un etremo relativo en =. b) Es convea en (,+ ) y cóncava en (,) Solución: b = -, a = ±. Determinar a y b para que se verifique: Sea f()= + a + b + 7. Hallar a y b de manera que la curva y=f() tenga para = una infleión con tangente horizontal. Solución: a = -, b =

22 Aplicaciones de la derivada MATEMÁTICAS II 5. Regla de L Hôpital 5.. Calcular los siguientes límites, aplicando la regla de L Hopital en caso necesario: 5 5 ) = 4) ( ) e ) ln ( + ) = cos ( ) = 5) cos sen 7) = 8) sen ) = ) + e ) = 9 ) = 4 4 cos sen + + = 6) = + ( )( + ) = 4 e 4) ( ) sen 9) = cos tg 5 = ) = π sec + 4 e e 5 = ln 5 5) = sen 4 6) arcsen = 7) sen cos = 8) ln = e 9) + = e + ) ln = 5) cot g = 8) 6 = ) = ) ( ) ) = 9 e 6) e = ± 9) ( ) e = cos sen + e + ) = ) = e ( arctg ) sen + cos = e sen e 4) = 4 7) sen = cos = e ) ( ) ) ln = cos( ) + sen e cos 4) = 5) = 6) ( ln ) = 8 7) + 5tg = e 4 8) = ln sen ( ) + 9) ( ) = + 6 4) ( cot ) + g = 4) + sen = e 4) ( ) π sec + tgπ = e ln 4) = 44) ctg + = 45) ( / sen) e a a + a a = a 5.. Determinar el valor de a para que se verifique: ) ( ) + ( ) L + + a + = ) = 8 cosa ) ( ) + a + = finito Solución: ) a = 4 ) a = ±, ) a =

23 Aplicaciones de la derivada MATEMÁTICAS II 6. Ejercicios PAU JULIO ESPECÍFICA. Calcule a para que las siguientes funciones: sen a f( ) = g() = cos tengan el mismo límite en el punto.. El perímetro de una cara lateral de un prisma recto de base cuadrada es de 6 centímetros. Calcule sus dimensiones de forma que su volumen sea máimo. JULIO GENERAL. Sea la función f : R R definida por 4 si = f( ) = 4( e ) si Usando la definición de derivada, si la función f es derivable en =. Calcule: ln Nota: ln denota el logaritmo neperiano de JUNIO ESPECÍFICA Se considera la curva: y = + a) Halle el punto de la curva en el que la recta tangente a su gráfica tiene pendiente máima. b) Calcule el valor de esa pendiente. JUNIO GENERAL. Halle el rectángulo de mayor área inscrito en una circunferencia de radio.. Halle una función polinómica de tercer grado y = a + b + c + d tal que tenga un mínimo en el punto (,) y un punto de infleión en el punto (,). JULIO ESPECÍFICA. Dada la curva: f( ) = + a) Obtenga sus máimos, mínimos y puntos de infleión. b) Encuentre los intervalos de crecimiento y decrecimiento.. Calcule: a) cos ( ) ( ) Ln 4 b) ( + e ). De todos los cilindros inscritos en una esfera de radio metro, halle el volumen del que lo tenga máimo.

24 Aplicaciones de la derivada MATEMÁTICAS II 4 JULIO GENERAL msen. Sabiendo que el es finito, calcule el valor de m y halle el límite.. Sea f: R R la función definida por: b) Halle los etremos de la función si f( ) = si > JUNIO ESPECÍFICA. Una ventana rectangular tiene un perímetro de metros. Calcule las dimensiones de los lados del rectángulo para que el área de la ventana sea máima. JUNIO GENERAL. Se desea diseñar un libro de forma que cada página tenga 6 cm de área. Sabiendo que los márgenes superior e inferior son de 4cm cada uno y los laterales de cm, calcule las dimensiones de cada página para que el área impresa se máima.. Calcula: + tan( ) Tan() = función tangente de JUNIO ESPECÍFICA. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide cm. Halle las dimensiones de los catetos de forma que el área del triángulo sea máima.. Se considera la función: ln si > f( ) = a + b + c si Determine los valores de a, b y c para que la función sea continua, tenga un máimo en = - y la tangente en = - sea paralela a la recta y = JUNIO GENERAL. Se considera la curva: y = + b) Halle, si eisten, los máimos, mínimos y puntos de infleión. SEPTIEMBRE ESPECÍFICA Dada la función y = 5e a) Calcule los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función. b) Halle, si eisten, los máimos mínimos y puntos de infleión.