TEMA 3 TRAZADO GEOMETRICO. CONICAS

Transcripción

1 TEM 3 TRZDO GEOMETRICO. CONICS 1. CIRCUNFERENCIS TNGENCIS DIVISION DE CIRCUNFERENCIS EN TRES Y SEIS PRTES IGULES EN CUTRO Y OCHO PRTES IGULES EN CINCO Y DIEZ PRTES GULES DIVISION DE UN CIRCUNFERENCI EN UN NUMERO CULQUIER DE PRTES IGULES RECTIFICCION DE CURVS DE UN CUDRNTE DE CIRCUNFERENCI DE UN SEMICIRCUNFERENCI DE UN CIRCUNFERENCI DE UN RCO DE MENOS DE 90º...14 OVLO TRZDO ELIPSE PROPIEDDES CONSTRUCCIÓN DE UN ELIPSE TNGENTE

2 TEM 3 TRZDO GEOMETRICO. CONICS 1. CIRCUNFERENCIS. 1.1 TNGENCIS. T Si dos circunferencias son tan gentes, el punto de tangencia estara en la linea de centros. 0 T Si una recta es tangente a una circunferencia, el punto de tangencia T es el pie de la perpendicular trazada por el centro O a la recta tangente 2

3 1.1.1 Tangente a una circunferencia en un punto T de esa circunferencia. Se une el centro de la circunferencia con el punto T y por dicho punto trazamos la perpendicular a esa semirrecta, obteniendo así la tangente buscada. 0 T Tangente a un arco de circunferencia en un punto T de ella no conociendo el centro del arco. Conocemos el arco de circunferencia y en ella el punto T 3

4 1º- Sobre el arco tomamos dos arcos iguales T y C. 2º- Con centro en T y radio TC se traza un arco. 3º- Haciendo centro en y con radio C se traza otro arco. Estos dos arcos se cortan en un punto. 4º- Unimos con T y esa es la recta que buscamos. t C T Tangente a una circunferencia desde un punto exterior P. Conocemos la circunferencia y el punto por el que queremos trazar la tangente. 1º- Unimos el punto exterior P con el centro O de la circunferencia. 2º- Trazamos la mediatriz del segmento OP. 3º- Con centro en el punto medio del segmento trazamos la circunferencia de radio ½ OP. 4

5 4º- Esta ultima circunferencia trazada corta a la circunferencia dato en dos puntos, unimos estos dos puntos con P, dándonos dos rectas que son las soluciones buscadas. T1 P O1 O T2 t Rectas tangentes comunes exteriores a dos circunferencias dadas. partida. Tenemos dos circunferencias de radios R y r respectivamente como datos de 1º- Con centro el de la circunferencia de radio R trazamos otra circunferencia de radio r = R - r. 2º- Por el centro de la circunferencia de radio r trazamos las tangentes a la circunferencia de radio r. 3º- Por los centros de las circunferencias R y r trazamos las perpendiculares a las tangentes obtenidas en el punto 2º, con lo que obtenemos los puntos de tangencias. 4º- Unimos los puntos de tangencia obtenidos en el punto anterior con lo que quedan definidas las tangentes que buscamos, estas será paralelas a las rectas obtenidas en 2º paso. 5

6 t1 T1 T1 T01 O1 O TO2 T2 T2 t Circunferencias tangentes a una recta dada, que pasan por un punto P y tienen un radio R dado. Conocemos la recta que queremos que sea tangente a dos circunferencias de las que conocemos el radio R, además queremos que ambas circunferencias pasen por un punto P que también conocemos. 1º- Con centro P y radio R trazamos una circunferencia. 2º- Trazamos una paralela a la recta dada, a una distancia R. 3º- La circunferencia trazada en el primer paso y la recta dibujada en el segundo se cortan en dos puntos, esos puntos son los centros de las circunferencias buscadas. P O1 O2 R T1 T2 r 6

7 1.1.6 Circunferencias tangentes a dos rectas r y s, que se cruzan, dado el punto de tangencia T en una de ellas. 1º- Por T trazamos una perpendicular a la recta que lo contiene. 2º- Las rectas forman entre sí dos ángulo, obtenemos las bisectrices de esos ángulos. 3º- Los centros de las circunferencias que buscamos son los puntos de corte de T2 1 a O2 P b 2 3 T1 O1 las rectas obtenidas en los pasos anteriores Circunferencias tangentes a tres rectas cuando al menos dos se cortan fuera del dibujo. 1º- Trazamos la bisectriz del ángulo conocido. 2º- Obtenemos la bisectriz del ángulo formado por las rectas que no se cortan en el dibujo. 3º- La intersección de las dos bisectrices nos dan el centro de la circunferencia. 7

8 4º- Por el centro obtenido en el paso 3º trazamos las perpendiculares a las rectas obteniendo así los puntos de tangencias. Tr r t s O Ts Tt rco de circunferencia tangente exteriormente a dos circunferencias dadas. Los datos en este caso son las dos circunferencias, de radios R y r respectivamente, y se pide obtener un arco que es tangente a ellas, existen dos soluciones. 1º- Unimos los centros de las circunferencias. 2º- Con centro en O 1 y radio R cortamos a la recta anterior en M, con centro en O 2 y radio r, de igual forma obtengo N. 3º- con centro en O 1 y radio O 1 N trazamos un arco. 4º- Con centro en O 2 y radio O 2 M trazamos otro arco. 5º- mbos arcos se cortan en dos puntos que serán los centro de los arcos buscados O 3 y O 4 8

9 6º- El radio de estos arcos se determina uniendo los centros de las circunferencias datos con los centros obtenidos en el paso 5º y prolongándolos hasta cortar las circunferencias. Las distancias de esos puntos de corte a los puntos O 3 y O 4 son los radios buscados. 1 3 O1 r M O4 O3 N R O DIVISION DE CIRCUNFERENCIS. 2.1 EN TRES Y SEIS PRTES IGULES. Para dividir una circunferencia en seis partes iguales, construyéndose un hexágono regular, basta con tomar cuerdas de longitudes iguales al radio de la circunferencia, estas cuerdas se toman consecutivas. Se tiene así el polígono. Cuando la división es en tres partes iguales, para obtener un triángulo equilátero, las divisiones anteriores se unen de forma alterna. 9

10 r r 2.2 EN CUTRO Y OCHO PRTES IGULES. Se traza una pareja de diámetros perpendiculares, se unen sus extremos con lo que tenemos el cuadrado. Como en el caso anterior trazamos dos diámetros perpendiculares, quedando la circunferencia dividida en cuatro ángulos de 90º. Dibujamos las bisectrices de esos ángulos y las prolongamos hasta cortar la circunferencia, uniendo los puntos de corte se obtiene el octógono regular. 2.3 EN CINCO Y DIEZ PRTES GULES. 1.- Se trazan dos diámetros perpendiculares. 2.- Con centro en M (extremo del diámetro) y radio el de la circunferencia se determina L punto medio del radio. 3.- Se une L con el punto (extremo del diámetro perpendicular) obteniéndose el segmento L. 4.- Con centro en L y radio la longitud del segmento L se taza un arco que corta al radio en P. La longitud del segmento P es la longitud del lado del pentágono que se buscaba. 10

11 La distancia del punto P al centro de la circunferencia será la longitud del lado del decágono regular inscrito en la circunferencia. l5 P l10 O L M 2.4 DIVISION DE UN CIRCUNFERENCI EN UN NUMERO CULQUIER DE PRTES IGULES. 1.- Se dibuja la circunferencia y dos diámetros perpendiculares de la misma y CD. 2.- Dividimos uno de los diámetros, el CD por ejemplo, en el mismo numero de partes que las que queremos para la circunferencia. 3.- Con centro en C y en D, y radio CD trazamos dos arcos que se cortan en E. 4.- Unimos E con la segunda división del diámetro y prolongamos hasta cortar a la circunferencia en el punto F. 5.- Unimos F con C, obteniendo así el lado del polígono que buscamos. En este caso se ha optado por dividir la circunferencia en 11 partes. 11

12 F l O 6 E D 3. RECTIFICCION DE CURVS. Para rectificar una curva cualquiera se divide esta en cuerdas lo más pequeñas posibles y se van llevando una a continuación de la otra. 3.1 DE UN CUDRNTE DE CIRCUNFERENCI. 1.- Se toman dos diámetros perpendiculares de la circunferencia. 2.- Con centro en los extremos opuestos, y, de uno de los diámetros, y radio el de la circunferencia se trazan los arcos que determinan los puntos de corte con la circunferencia C y D respectivamente. 3.- Con centro en y radio D trazamos un arco que corta a la prolongación del diámetro perpendicular en E. 4.- Con centro en C y radio CE trazamos un arco hasta cortar la circunferencia en F. 5.- Unimos con F y tenemos la longitud de un cuadrante de circunferencia de radio O. 12

13 D F O E C 3.2 DE UN SEMICIRCUNFERENCI. 1.- Trazamos uno de los diámetros, D, de la circunferencia. 2.- Por uno de los extremos del diámetro,, trazamos la tangente a la circunferencia. 3.- Por el centro de la circunferencia trazamos una recta que forma 30º con el diámetro y que corta a la tangente en. 4.- por el punto y sobre la tangente llevamos tres veces el radio de la circunferencia, determinando así el punto C. 5.- Unimos C con D, siendo el segmento CD de longitud igual a la de la semicircunferencia de partida. D O R R R C 13

14 3.3 DE UN CIRCUNFERENCI. 1.- Se divide el diámetro de la circunferencia en siete partes iguales. 2.- Colocamos tres diámetros uno a continuación del otro y finalmente se añade una séptima parte del diámetro, el segmento obtenido tiene la longitud buscada. D O F 7 G d d d 1/7 d 3.4 DE UN RCO DE MENOS DE 90º. Sea el arco. 1.- Por uno de los extremos del arco,, se traza la tangente al arco. 2.- Se dibuja el diámetro que pasa por, segmento OE. 3.- El radio OE se divide en cuatro partes iguales 4.- continuación de E se llevan ¾ partes del radio determinando el punto D. 5.- Unimos D con y prolongamos hasta cortar a la tangente al arco por en C, el segmento C tiene la longitud buscada. 14

15 C F E O 4. OVLO. 4.1 TRZDO Construcción de un ovalo dado el eje mayor. 1º- Se traza el eje y se divide en tres partes iguales. 2º- Los puntos de la división anterior son los centros de dos circunferencias de radio O 1 y O 2 respectivamente. 3º- Esas circunferencias se cortan en dos puntos O 3 y O 4. 4º- Unimos cada uno de los puntos obtenidos en el paso 3 con los centros de las circunferencias y prolongamos esas rectas hasta cortar las circunferencias. 5º- Con centro en los puntos O 3 y O 4 y radio la distancia entre estos y los puntos C O 1 O 3 O 4 O 2 D 15

16 de corte del paso anterior, trazamos los arcos de punto de corte a punto de corte, completando el ovalo Construcción de un ovalo dado el eje menor CD. 1º- Trazamos una circunferencia de diámetro el eje menor del ovalo. 2º- Dibujamos el diámetro perpendicular al anterior. 4º- Unimos los extremos de los diámetros dibujando el cuadrado inscrito en la circunferencia y prolongamos los lados de dicho cuadrado. 5º- Con centro en los extremos del eje y radio la longitud del eje trazamos los arcos hasta que corten a las prolongaciones de los lados del cuadrado. 6º- hora hacemos centro en los extremos del diámetro perpendicular y con radio estos centros y los puntos de corte del paso 5, dibujamos los arcos que completan el ovalo. C O1 O2 D Construcción de un ovalo dados los ejes er método. 1º- Se dibujan los ejes perpendiculares. 2º- Sobre los semiejes se toman, a partir de los extremos, segmentos de igual longitud, CE y F. 3º- Unimos los puntos E y F, trazando la mediatriz del segmento resultante. 16

17 4º- Prolongamos el eje menor y la mediatriz hasta que se corten en H. 6º- Hallamos los puntos simétricos de F y H, G,I. 7º- Unimos H con G y F, G y F con l. 8º- Con centro en H e l y radios HC y Dl trazamos los arcos correspondientes. C I med E G F D 9º- Los puntos G y F son los centros de los arcos que completan el ovalo. H º Método. 1º- Dibujamos los ejes perpendiculares y determinamos el centro del ovalo. 2º- Con centro el del ovalo y diámetro el eje mayor trazamos una circunferencia. 3º- partir del extremo del eje del ovalo trazamos el lado del hexágono inscrito en la circunferencia, obteniendo el punto F. 4º- Unimos F con el extremo E del diámetro que contiene al eje menor y con el centro de la circunferencia O. 5º- Por C trazamos una paralela a EF hasta cortar a F en G. 6º- Por G trazamos una paralela a OF Que corta los diámetros de la circunferencia en 1 y 2. 7º- Determinamos los puntos simétricos a 1 y 2, que son 4 y 5. 8º- Los cuatro puntos obtenidos son los centros de los arcos necesarios para trazar el ovalo. 17

18 F E 4 C G 1 O 3 D 2 5. ELIPSE. La elipse es el lugar geométrico de los puntos P de un plano que cumplen que la suma de las distancias de dichos puntos a otros dos fijos llamados focos es constante e igual a 2a, siendo 2a igual a la longitud del eje mayor 5.1 PROPIEDDES. - La elipse tiene dos ejes perpendiculares que se cortan en el centro de la misma es por lo tanto una curva simétrica. - El eje mayor se llama eje real y se representa por 2a. El eje menor CD se representa por 2b. Los focos están situados sobre el eje mayor y la distancia focal FF se representa por 2c a 2 = b 2 + c 2 - Se llama excentricidad de la elipse al cociente c/a = e - Las distancias que une un punto con los focos se llama radiovectores r y r, además se cumple que r+r = 2a. - Dado un diámetro, se llama Diámetro Conjugado al diámetro que no es perpendicular al dado. 18

19 5.2 CONSTRUCCIÓN DE UN ELIPSE Por puntos a partir de los ejes. 1º- Se sitúan los ejes perpendiculares y CD, con centro en C o en D, con radio a se corta el eje mayor en los focos F y F. 2- Se coge un punto cualquiera N sobre el eje mayor, con radio N y centro en F se traza un arco, luego con centro en F y radio N se traza otro arco, estos dos arcos se cortan en un punto M que pertenece a la elipse. De esta forma se localizan los sucesivos puntos de la elipse. C M a b r F N c r' a F' D Por haces proyectivos a partir de los ejes. 1º- Se trazan los ejes perpendiculares. 2º- Por los extremos de los ejes se construye el rectángulo de lados paralelo a los ejes. 3º-El semieje mayor se divide en un numero de partes iguales y los semilados paralelos al eje menor también se dividen en las mismas partes que el semieje mayor. 4º Se unen las divisiones según se ve en la figura. 19

20 5.2.3 Por haces proyectivos a partir de ejes conjugados. Exactamente igual que en el caso anterior. 5.3 TNGENTE Tangente a una elipse por un punto P de la misma. 1º Unimos el punto con los focos de la elipse por medio de los radiovectores MF y MF. 2º- Prolongamos los radiovectores y trazamos la bisectriz del ángulo exterior que forman, esta bisectriz es la tangente buscada Normal a una elipse por un punto P de la misma. Hallamos la tangente como en el caso anterior y luego trazamos la perpendicular a la tangente en el punto P, siendo esta perpendicular la normal buscada. 20