PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2014 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES

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1 PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 0 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Septiembre, Ejercicio, Opción A Septiembre, Ejercicio, Opción B

2 Sean f : y g : las funciones definidas respectivamente por f( ) y g ( ) a) Esboza las gráficas de f y g sobre los mismos ejes y calcula los puntos de corte entre ambas gráficas. b) Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de f y g. MATEMÁTICAS II. 0. JUNIO. EJERCICIO. OPCIÓN A a) Hacemos el dibujo de las dos funciones: si 0 Abrimos la función f ( ): f( ) si 0 Calculamos los puntos de corte de las dos funciones: Luego, las funciones se cortan en los puntos: b) Calculamos el área que nos piden, y, 0 0 A d arctg arctg arctg 0 u 0

3 Sea f la función definida por f ( ) ln( ) para (ln denota el logaritmo neperiano). Determina la primitiva de f cuya gráfica pasa por el punto (,0). MATEMÁTICAS II. 0. JUNIO. EJERCICIO. OPCIÓN B. Vamos a calcular la integral I ln( ) d, que es una integral por partes. u ln ( ); du d dv d; v I ln( ) d ln( ) d ln ( ) ln( ) C ( ) Calculamos la constante: 0 ln() ln( ) C C Por lo tanto, la primitiva que nos piden es: ln( ) ln( )

4 Determina una función derivable f : sabiendo que f () y que si 0 f '( ) e si 0 MATEMÁTICAS II. 0. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN A. Como es derivable también es continua. Calculamos f C si 0 ( ) e D si 0 Como f () e D D e Como es continua en 0, tenemos: lim C C 0 C e lim e e e 0 Luego, la función es: f e si 0 ( ) e e si 0

5 Considera el recinto limitado por las siguientes curvas: y y y,, a) Haz un esbozo del recinto y calcula los puntos de corte de las curvas. b) Calcula el área del recinto. MATEMÁTICAS II. 0. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN B a) Hacemos el dibujo de las funciones: Calculamos los puntos de corte de las funciones: Luego, las funciones se cortan en los puntos:,,,,, y,. b) Como el recinto es simétrico respecto al eje de ordenadas, el área que nos piden es: A ( ) d ( ) d u

6 Calcula ln( ) d. MATEMÁTICAS II. 0. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN A Calculamos I ln( ) d, que es una integral por partes. u ln( ); du d dv d; v I ln( ) d ln d ln d Como el polinomio del numerador y del denominador tienen igual grado, lo primero que hacemos es dividir. ln d d Con lo cual: I ln( ) d ln ln Por lo tanto, la integral que nos pedían vale: ln( ) d ln ln ln ln ln 5 ln 5 ln 5ln 5

7 Sea f : la función definida por f ( ) a) Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa. b) Esboza el recinto limitado por la gráfica de f, la recta y 7 0 y el eje OX, calculando los puntos de corte. c) Halla el área del recinto descrito en el apartado anterior. MATEMÁTICAS II. 0. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN B a) La ecuación de la recta tangente en el punto, es: y f () f '() ( ) Sustituyendo los valores de f () y f '(), tenemos: y f () f '() ( ) y ( ) y 7 0 b) Hacemos el dibujo de las funciones: Calculamos los puntos de corte de las funciones: 0 ; Luego, las funciones se cortan en los puntos:,0,,0,. y b) 7 7 A ( 7) ( ) d ( 7) d ( ) d ( 7) d u

8 Sea f : la función definida por f ( ). a) Halla, si eiste, el punto de la gráfica de f en el que la recta tangente es y. b) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f y la recta del apartado anterior. MATEMÁTICAS II. 0. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN A. a) Si la recta es tangente, en ese punto la función y la tangente coinciden, luego: 0 0 ; La ecuación de la recta tangente en 0 es: y f (0) f '(0) ( 0). f (0) f f '( ) 6 '(0) Sustituyendo, tenemos: y f (0) f '(0) ( 0) y ( 0) y La ecuación de la recta tangente en es: y f () f '() ( ). f () 0 f f '( ) 6 '() Sustituyendo, tenemos: y f () f '() ( ) y 0 8 ( ) y 8 Luego, el punto es: (0,) b) Ya hemos visto que los puntos de corte de las dos funciones son: 0 y. Tenemos que ver cuál de las dos funciones va por encima y cuál va por debajo. Para ello sustituimos un valor comprendido entre 0 y, y vemos cuál tiene mayor valor. Para y () () 0 Para y Por lo tanto, la función que va por encima es y. Luego el área vendrá dada por: 7 A ( ) ( ) d ( ) d u 0 0 0

9 Sea f : (,) la función definida por 9 f( ). Determina la primitiva de f ( )( ) cuya gráfica pasa por el punto (,0). MATEMÁTICAS II. 0. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN B. Descomponemos en fracciones simples: 9 A B A( ) B( ) ( )( ) ( )( ) Como los denominadores son iguales, los numeradores también tienen que serlo. Para calcular A y B sustituimos los valores de las raíces en los dos numeradores Con lo cual: 8 A A B B 9 d d d ln ln C ( )( ) Como tiene que pasar por el punto (,0) 0 ln ln C C ln ln ln Luego, la primitiva que nos piden es: ln ln ln

10 d Calcula (Sugerencia: cambio de variable t ) ( ) MATEMÁTICAS II. 0. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN A Hacemos el cambio de variable: t t d t dt Con lo cual: t I d dt ( ) dt t ( t t) t ( t ) Descomponemos en fracciones simples: A B C At( t ) B ( t ) C t ( ) ( ) t t t t t t t Como los denominadores son iguales, los numeradores también tienen que serlo. Para calcular A, B y C sustituimos los valores de las raíces en los dos numeradores más otro valor que puede ser t t 0 B t C t A B C A Con lo cual: dt dt dt dt ln t ln( t ) C t ( t ) t t t t Deshacemos el cambio de variable: I ln t ln( t ) C ln ln C t

11 u e ; du e d u e ; du e d Sea f : la función definida por f ( ) e cos dv cos d; v sen dv cos d; v sen a) Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa 0. b) Calcula la primitiva de f cuya gráfica pasa por el punto (0,0) MATEMÁTICAS II. 0. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN B. a) La ecuación de la recta tangente en 0 es y f (0) f '(0) ( 0) f (0) f '( ) e cos e sen f '(0) Luego la recta tangente en 0 es y ( 0) y b) Es una integral por partes cíclica e cos d e sen e sen d e sen e cos e cos d e sen e cos e cos d e sen e cos e cos d e sen e cos e cos d C u e ; du e d dv cos d; v sen u e ; du e d dv sen d; v cos Como pasa por el origen de coordenadas: 0 C C Luego, la función primitiva que nos piden es: e sen e cos F( )

12 Calcula d. 0 MATEMÁTICAS II. 0. SEPTIEMBRE. EJERCICIO. OPCIÓN A Como el polinomio del numerador y del denominador tienen igual grado, lo primero que hacemos es dividir. d d d d I 0 I Calculamos las raíces del denominador: 0 ; Descomponemos en fracciones simples: A B A( ) B( ) ( )( ) Como los denominadores son iguales, los numeradores también tienen que serlo. Para calcular A y B sustituimos los valores de las raíces en los dos numeradores A A B B Con lo cual: I 5 ln ln ln ln ln d d Por lo tanto, la integral que nos pedían vale: 5 5 d I ln ln 0 6

13 Calcula d. (Sugerencia: integración por partes). 0 cos MATEMÁTICAS II. 0. SEPTIEMBRE. EJERCICIO. OPCIÓN B Calculamos cos d, que es una integral por partes. u ; du d d dv ; v tg cos sen d tg tg d tg d tg ln cos cos cos Calculamos la integral definida que nos piden: sen d tg tg d d ln cos ln cos cos