Tema 1. Números Reales. Intervalos y Radicales

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1 Tem. Números Reles. Intervlos Rdicles. El conjunto de números reles.... Conjuntos de l rect rel. Intervlos entornos..... Operciones con conjuntos, unión e intersección..... Notción científic Potencis Rdicles Eponente entero negtivo Potencis de eponente frccionrio. Rdicles Rdicles equivlente.... Operciones con rdicles Introducción etrcción de fctores en un rdicl Sum de rdicles..... Rcionlizción...

2 Tem. Números Reles. Intervlos Rdicles. El conjunto de números reles Según vimos el ño psdo los números que ho conocemos como reles hn surgido durnte l histori del hombre medinte sucesivs mpliciones del concepto de número. Ls distints grupciones son no surgen sí cronológicmente:. Los Nturles : son los números que utilizmos pr contr: {,, }. Son los primeros números utilizdos, de hecho eisten desde que el hombre empiez relcionr contr bisontes muescs en l pred. Se utiliz el código deciml, medinte dígitos,,,9 se puede escribir culquier número nturl. Se cree que su origen es el conteo con los dedos de ls mnos. Not: lgunos utores no incluen el cero como número nturl.. Los Enteros : son el conjunto formdo por los nturles enteros positivos el cero los enteros negtivos que son los opuestos los positivos. {,-,-,,,,..} Surgen siglo XVII por l imposibilidd de relizr operciones del tipo -5 con los nturles.. Los Rcionles : son todos quellos que se pueden poner epresr como cociente de dos enteros denomindor distinto de cero de l form n m. Si se epresn de form deciml pueden ser o ectos un número finito de cifrs decimles como, periódicos puros infinits cifrs periódics desde l com como, los periódicos mitos como, Surgen ntes que los enteros utilizdos por Griegos Bbilónicos 6 Not: drse cuent que todo entero es rcionl, como por ejemplo -6. Los Irrcionles : son los números cu epresión deciml formd por infinits cifrs no periódics, de tl form que no pueden epresrse como un frcción. Ejemplo: π 59 Págin de

3 Tem. Números Reles. Intervlos Rdicles. Conjuntos de l rect rel. Intervlos entornos. Dentro de l rect rel, donde están representdos todos los números reles podemos definir un serie de subconjuntos, los intervlos los entornos. L utilizción de estos es mu importntes en ls inecuciones sí como en el estudio de funciones. Vemos los distintos tipos de intervlos de entornos en l siguiente tbl: CONJUNTOS MÁS IMPORTANTES DE LA RECTA REAL SUBCONJUNTO SIMBOLO DEFINICIÓN REPRESENTACIÓN Intervlo Abierto,b,b{ R:<<b} Números entre bno incluidos b Intervlo Cerrdo [,b] [,b]{ R: b} Números entre bincluidos b Intervlos Semibierto,b] [,b,b] { R:< b} [,b { R: <b} Números entre buno incluido b Semirrects bierts, -,b, { R: >} -,b{ R:<b} b Semirrects cerrds [, -,b] [, { R : } -,b]{ R : b} b Entorno de centro de rdio r E,r E,r-r,r{ R: - <r} Números cu distnci l centro,, es menor que el rdio, r. -r r r r Entorno reducido centro rdio r E *,r E *,re,r-{}-r,,r Entorno pero sin contr el centro -r r r r Entorno lterl izquierdo E -,r E -,r-r, -r r Entorno lterl derec E,r E,r,r r r Págin de

4 Tem. Números Reles. Intervlos Rdicles Ejemplos: -,5] - 5 -,- E-, E * -, E, 5. Operciones con conjuntos, unión e intersección. Unión de dos conjuntos: es el conjunto formdo por los números que están en uno o en el otro conjunto. A B{ A ó B} Intersección de dos conjuntos: es el conjunto formdo por los números que están en uno en el otro conjunto. A B{ A B} Ejemplos: -,5] E-,-,5] Págin de

5 Tem. Números Reles. Intervlos Rdicles -,- E-, Ejercicios clculr el rdio el centro del entorno E,r-,5 De un etremo otro h un distnci de 7, luego r7 r.5 -, E.5,.5-,5 Clculr el rdio r del entorno E,r, si sbemos que E,r [, [,5 -r r 5 Clrmente se observ que r5 r. Notción científic Fíjte en los siguientes números: ecrg e - -,6 C d pluton Sol 59m gsto empres 6 Cundo tenemos cntiddes mu pequeñs o mu grndes se utiliz l notción científic, consiste en poner un número multiplicdo por un potenci de. Así los números en notción científic constn de: - Prte enter formd por un sol cifr ª cifr del número - Prte decimlformd por el resto de cifrs del número - Potenci en bse que nos inform del orden de mgnitud. Págin 5 de

6 Tem. Números Reles. Intervlos Rdicles X,bcd n En los ejemplos nteriores: e-,6-9 C d5,9 m gsto,6 L notción científic tiene ls siguientes ventjs: Escribimos los números grdes pequeños de form más brevid b Con un simple mird l número podemos entender como es de grnde o pequeño ese vlor. Otr ventj de l notción científic es que es mu útil pr operr con est clse de números, en especil cundo ls operciones son el producto o el cociente. Vemos lgunos ejemplos: 5, 6 6, 8 5, 6,,, 5 6 5, b 5, : 6,,87 8,7 8 6, c 5,8 9 6,9-7,5 5, , ,868 Not: correr l com hci l izquierd es como dividir, luego pr no modificr el resultdo tendremos que umentr el eponente de en tnts uniddes como veces que corrmos l com. Al revés si corremos l com hci l derech que es como multiplicr por tnto tendremos que disminuir el eponente de tnts veces como corrmos l com: com restr l eponente nº posiciones desplzd com sumr l eponente nº posiciones desplzd Utilizción de l clculdor en l notción científic Ejercicio : Clculr epresr el resultdo en notción científic. 8 7,8-5,8 b,5 8, 7 Solución 7,8-5,8 8,9,9 b,5 8, 7,5 7, 7,9 7,9 8 Págin 6 de

7 Tem. Números Reles. Intervlos Rdicles Ejercicio Clculr epresr el resultdo en notción científic: c5 : - d 5 9 f, Solución , c5 : - 9 d ,5 9 f,, Ejercicio Clculr epresr el resultdo en notción científic: b 7,5 5, c, -7, 5 Solución 7, -9 b,67 7 c5,. Potencis Rdicles. Eponente entero negtivo 7 En este prtdo vmos estudir ls potencis cundo el eponente es un número entero negtivo. Vemos el significdo de -n : n n Ejemplos: Págin 7 de

8 Tem. Números Reles. Intervlos Rdicles. Potencis de eponente frccionrio. Rdicles Nos flt hor entender el significdo cundo l potenci es un frcción. Vemos el significdo de n p n p p n Ejemplos: / / / 9 L ventj de poner un ríz como potenci frccionri es que cundo este está representdo medinte un potenci podremos plicr ls propieddes de ls potencis. Ejemplos: b c d ± 6 6 Ejercicio, epresr como potenci únic rdicl b c Págin 8 de

9 Tem. Números Reles. Intervlos Rdicles Págin 9 de d e f Ejercicio, epresr en form de eponencil b c d e f Ejercicio, epresr en form de ríz b c g 5 5 d h,

10 Tem. Números Reles. Intervlos Rdicles. Rdicles equivlente Observ ls siguientes igulddes:... equivlentes Veámoslo en form de potenci: n n, se dice que todos estos rdicles son... n n Definición: dos rdicles son equivlentes si epresdos en form eponencil los eponentes son frcciones equivlentes: n m p q m n p q m n p q Construcción de rdicles equivlentes: veces nos interes tener un rdicl equivlente pr operr, vemos como generr rdicles equivlentes: n m n k m k ejemplo: 6 8 Est propiedd es mu útil pr: 8 Simplificr rdicles: Productos de rdicles: potenci frccionri, se puede hcer en form de Ejercicio: simplificr los siguientes rdicles: b Ejercicio: reduce l mismo índice los siguientes grupos de rdicles 6,, mcm,, 6 6,, 5 b 6 8,, 6 mcm6,5, 8, 5 6, 6 Págin de

11 Tem. Números Reles. Intervlos Rdicles. Operciones con rdicles Veremos primero como operr con rdicles con mismo índice. Ests propieddes se pueden entender si epresmos ls ríces como potencis frccionris. Multiplicción: n b n n b / n / n b b / n Ejemplo: 7 n / n / n División: n n / n b b b b Ejemplo: 7 m n n m / n m / n Potenci: m 5 5 Ejemplo: 8 m n m n Riz: Ejemplo: 5 / m / n / m n 5 Sum no se pueden sumr ríces que no sen igules!!! Ejemplo: 5 Cundo multiplicmos o dividimos rdicles, pr operr con ellos es necesrio que tengn mismo índice, por esto tendremos que buscr rdicles equivlentes con mismo índice. Otr form es utilizr potencis frccionris ls propieddes de ls potencis. Ejemplos: /5 / / 5 / /5 5 / Introducción etrcción de fctores en un rdicl. Etrcción: cundo podemos epresr el rdicl como producto de fctores elevdos eponentes, de form que lgún eponente es mor que el índice del rdicl, este fctor se puede etrer de l ríz de l siguiente form: Págin de

12 Tem. Números Reles. Intervlos Rdicles Ejercicio: etrer todos los fctores posibles: b 6 6 c d Introducción: pr introducir fctores dentro de un ríz tendremos que elevr este fctor l índice de l ríz. Vemos lgunos ejemplos: Ejercicio: introducir dentro de los rdicles: 8 8 b c d Sum de rdicles Pr sumr o restr rdicles es necesrio que estos tengn mismo índice mismo rdicndo, es decir sen igules. Vemos como se sumn o restn: n n n c ± b c ± b c Ejemplos: b Págin de

13 Tem. Números Reles. Intervlos Rdicles Ejercicio, operr: 7 8 b c Rcionlizción Definición: rcionlizr un frcción consiste en hllr un frcción equivlente sin rdicles en el denomindor. Tipos de rcionlizciones: Ríz cudrd en el denomindor: denomindor numerdor por l ríz del denomindor Ejemplo: c b 5. Procedimiento: multiplicr c b b b b cb b Ríz índice n en el denomindor: c n. Procedimiento: multiplicr b denomindor numerdor por l ríz del denomindor con el rdicl elevdo n- n n b n n c b n c b b n b c b n n Ejemplo: c Sum o diferenci de dos ríces cudrds en el denomindor.. b ± c Procedimiento multiplicr numerdor denomindor por el conjugdo si están sumndo por l diferenci si están restndo por l sum b c b c b c b c b c b c b c b c Ejemplo: Págin de

14 Tem. Números Reles. Intervlos Rdicles Ejercicio, rcionliz: b c o d 9 7 e f Págin de

15 Tem. Polinomios frcciones lgebrics. Polinomios.... Definiciones.... Operciones con polinomios.... Fctorizción de un polinomio.... Teorem del resto. Criterio de divisibilidd por Propieddes de l divisibilidd Polinomios irreducibles Número de ríces divisores de primer grdo de un polinomio Descomposición fctoril de un polinomio Máimo común divisor mínimo común múltiplo.... Máimo común divisor.... Mínimo común múltiplo Frcciones lgebrics Definición Simplificción Reducción común denomindor Operciones Descomposición de frcciones lgebrics en frcciones simples...

16 Tem. Polinomios frcciones lgebrics. Polinomios. Definiciones Definición: se llm polinomio de vrible l epresión lgebric que result de sumr o más monomios de vrible, siendo del tipo: P n n Donde: -,,, n R son los coeficientes término independiente - n es el grdo del polinomio el grdo mor de los monomios - n n,,, son los términos del polinomio Ejemplo: P es un polinomio de vrible, de grdo 5 con coeficientes 5-6,, -,. Siendo el término independiente. Observ ls siguientes epresiones que no son polinomios: ; ; - Otrs definiciones: - polinomio de grdo cero: son los números reles - polinomio nulo: es el cero - polinomio completo: es quel donde todos los coeficientes desde el de mor grdo l término independiente son distintos de cero. Ejemplo: P- -5 Vlor numérico de un polinomio: result de sustituir un vrible por un número, obteniendo el correspondiente vlor numérico. Ejemplo: P - -5 P ; P Ríz de un polinomio P: es todo número rel, R, tl que su vlor numérico es cero es decir P Ejemplo: P7 5 - el - es un ríz de P P--7-. En siguientes prtdos veremos cunts como clculr ls ríces polinomios. de los. Operciones con polinomios Sum diferenci: se sumn restn los monomios semejntes Ejemplo: P -5 - Q PQ P-Q Definición: polinomios opuestos son los que sumdos el resultdo es el polinomio nulo. El opuesto de P se denot como P. Ejemplo: P -5 -P- -5 Págin de 7

17 Tem. Polinomios frcciones lgebrics Multiplicción: l multiplicción de dos polinomios result de multiplicr cd monomio del primer polinomio por todos los monomios del segundo. Ejemplo: Potenci de polinomios: l potenci n-esim de un polinomio P se denot como P n result de multiplicr P n veces por si mismo: P n P P P n-veces Ejemplo: P5 P Identiddes notbles: Cudrdo de l sum de monomios: b bb. Demostrción: b b b bbb bb Ejemplo: Cudrdo de l diferenci de monomios: -b -bb. Demostrción: -b -b -b -b-bb -bb Ejemplo: Sum por diferenci: b -b -b Demostrción: b -b -bb-b -b Ejemplo: Ejercicio, clculr 9 6 b / / c d b -b 6 -b e Scr fctor común: cundo todos los términos del polinomio P son múltiplos de un monomio m podemos scrlo fctor común. Ejemplo: Ejercicio, scr fctor común: b / -/ 5// -/55 Págin de 7

18 Tem. Polinomios frcciones lgebrics División de polinomios: vemos cómo se divide prtir de un ejemplo 6 6 P X resto 5 85 R Q C cociente PQ CR Si l división es ect se cumple R PQ C, luego P múltiplo de Q C, o estos divisores de P. Ejercicio: decir si A - -- es múltiplo de B C Dividiendo tenemos que l división entre l división no es ect no múltiplo L división entre l división es ect es múltiplo. Fctorizción de un polinomio. Teorem del resto. Criterio de divisibilidd por - Un polinomio P será múltiplo del polinomio de primer grdo de l form -, con R si se cumple que l división P:- es ect, es decir el resto es cero. Eisten diversos teorems que nos fcilitn sber si - es divisor de P sin necesidd de relizr l división. Veámoslos Teorem : Se P n n con coeficientes enteros n,,, Z pr que - con Z se divisor de P es necesrio que el término independiente,, se múltiplo de. Est condición es necesri pero no suficiente, es decir puede ser divisor de en cmbio - no ser divisor. Ejemplo: Se el polinomio P - - los posibles divisores de l form - con nº entero son los siguientes compruéblo dividiendo: - -, si dividimos l división es ect - divisor de P - -, si dividimos l división es ect - divisor de P - -, si dividimos l división no es ect, resto6 - -, si dividimos l división no es ect, resto6 - -, si dividimos l división es ect divisor de P - -, si dividimos l división no es ect, resto-6 Págin de 7

19 Tem. Polinomios frcciones lgebrics Teorem del resto: el resto de dividir P entre - es igul l vlor numérico de P restop. Ejemplo: comprobémoslo en el polinomio nterior P - - los fctores nteriores: - -, restop - -, restop - -, restop6 - -, restop-6 - -, restop- - -, restop--6 A prtir del teorem del resto podemos sber si un polinomio es múltiplo de P de - sin necesidd de dividir, simplemente clculndo P: Si P entonces - divisor de P pues el resto es b Si P entonces - no es divisor de P pues el resto no es cero. Relción entre ríces de un polinomio soluciones ecución divisibilidd por -: Recordemos todos los teorems definiciones vists nteriormente pr relcionrls entre si, se P n n es ríz si P solución l ecución n n - divisor de P pues el resto de l división rp. Luego tods ls siguientes firmciones son equivlentes: - es ríz del polinomio P - solución de l ecución n n - - divisor de P Teorem fundmentl del álgebr: se un polinomio de P de grdo n, el número máimo de ríces es n, por tnto el número máimo de polinomios de l form - divisores de soluciones l ecución n n Ejercicio: Sen el polinomio P -- Q clculr Los posibles polinomios - con Z divisores de P b El número máimo de ellos que puede ser divisores de P c Cules son los divisores d Clculr ls soluciones de l ecución de -- Solución: P -- Pueden ser -; -; - ; - b Como mucho sólo pueden ser divisores de P Págin 5 de 7

20 Tem. Polinomios frcciones lgebrics c No hce flt dividir simplemente clculr el resto es decir P: - - rp-- divisor - - rp88-- no divisor - rp--- divisor - rp--88- divisor d El número máimo de soluciones de l ecución es de, son, -, - Q Pueden ser -; -; 5-5; 9-9; 5-5: 5-5; - ; - ; -5 5; -9 9; -5 5; -5 5 b Como mucho sólo pueden ser divisores de P c No hce flt dividir simplemente clculr el resto es decir P: - - rp no divisor - - rp divisor - -5 rp5 divisor - -9 rp988 no divisor - -5 rp56 no divisor - -5rP586 no divisor - rp-8 no divisor - rp- divisor - 5 rp-5-6 no divisor - 9 rp-9-8 no divisor - 5 rp-5 no divisor - 5rP-5-8 no divisor d El número máimo de soluciones de l ecución es de, son, -, 5 Soluciones cundo no es un número entero: hst hor sólo hemos considerdo ls ríces enters, hbiendo visto que ests deben de ser divisores del término independiente. Pero estás no son ls únics que pueden ser ríces, vemos lgún ejemplo: Ejemplos: P6 - Ls únics ríces enters pueden ser -, pero ests no son ríces P6 P-, entonces - no son divisores de P. entonces no tiene ríces ni divisores?. Vemos como si. Ls ríces de P serán tmbién soluciones de 6 -, que como bien sbemos podemos clculr prtir de ls soluciones de ecuciones de segundo grdo. Págin 6 de 7

21 Tem. Polinomios frcciones lgebrics ± ± 5 Luego / -/ son divisores de P pues P-/ P/. b P -- Ls únics ríces enters pueden ser -, - pero ests no son ríces P, P-, P P-, entonces -, -, - no son divisores de P. entonces no tiene ríces ni divisores?. Vemos como si. Ls ríces de P serán tmbién soluciones de --, que como bien sbemos podemos clculr prtir de ls soluciones de ecuciones de segundo grdo. ± 9 ± Luego - - P. son divisores de P pues P Regl de Ruffini: cundo dividimos un polinomio P entre un binomio de l form - podemos plicr l regl de Ruffini, que es más sencillo que l división Ejemplos: - -: 8 6 C -8 r :-/ C r Propieddes de l divisibilidd. Polinomios irreducibles Definición: un polinomio se dice irreducible cundo no tiene ningún otro polinomio divisor de grdo inferior siempre es posible encontrr uno del mismo grdo Teorem: los únicos polinomios irreducibles son los de er grdo los de segundo grdo con soluciones no reles. Ejemplos: P-, Q5, H, I -, J Págin 7 de 7

22 Tem. Polinomios frcciones lgebrics Not: drse cuent que es divisible por, pero este polinomio es del mismo grdo. Ejercicio, decir cules de los siguientes polinomios son irreducibles: -,, 6, 7-/ - ± 9 ± 5 -, divisores No l ser de tercer grdo divisores, ríz - ± 6 no sol, Irreducible, no ríces ni divisores - 7-/, es irreducible l ser de primer grdo 5 Proposición: desde el punto de vist de l divisibilidd todos dos polinomios son equivlentes si son proporcionles P equivlente Q si PK Q Ejemplos: 9 6 Not: de todos los polinomios equivlentes se tom el que tiene el coeficiente de mor grdo igul l unidd. Ejemplos: 5 5 /5 ; - -. Número de ríces divisores de primer grdo de un polinomio. Teorem: un polinomio P tiene lo sumo n ríces por tnto n divisores de primer grdo siendo n el grdo del polinomio. Demostrción: supongmos que P n tiene n ríces,,, n, entonces P se puede poner como P- - n serí entonces de grdo n no degrdo n. Definición: un ríz de un polinomio P tiene multiplicidd si P es divisible por -, multiplicidd si es divisible por -, etc. Ejemplos: P, luego - es ríz doble Q - --, luego es ríz triple. Not: l hor de contr el número de ríces ls ríces dobles cuentn como, ríces triples como, etc. De est form un polinomio de grdo no podrá tener ríces dobles pues serí como ríces. Descomposición fctoril de un polinomio Definición: l descomposición fctoril de un polinomio consiste en epresrlo como producto de polinomios irreducibles de er grdo de º sin soluciones. Diferentes métodos de scr fctorizr Scr fctor común: cundo el término independiente es nulo, pudiendo scr fctor común m siendo m el grdo del monomio de menor grdo. De est form es ríz de multiplicidd m. Ejemplo: P es ríz doble. Págin 8 de 7

23 Tem. Polinomios frcciones lgebrics b Buscr divisores de l form - por Ruffini: por Ruffini sólo buscremos divisores donde l ríz,, es enter. Recordr que entonces debe de ser divisor del término independiente. Ejemplo: Q P Q--5 Luego el polinomio P del ejemplo nterior es P --5 c A prtir soluciones de ecución de º grdo: cundo ls ríces no son enters no es fácil encontrrls prtir de Ruffini. Si tenemos un ecución de º grdo podemos obtener ls ríces prtir de sus soluciones. Ejemplo: P P ± 6 ± -- - P- - - Ejercicio fctorizr: P P ríz - b Q -8-Q -ríz, ± c H H / ríz - -/ d I -- I - ríz -, - e J J ríz f K - K- ríz g L L ríz - doble h M - - M - - ríz,-,, A prtir de los teorems visto hst hor decir si están bien o ml fctorizds los siguientes polinomios. Decir por que. P Flso, 5 no son divisores de b Q - - Flso, ríces dos de multiplicidd doble grdo c H Verddero ríceshh-h5 d I Flso. I--5-6 e S. Flso, flt multiplicr por. Págin 9 de 7

24 Tem. Polinomios frcciones lgebrics Decir el polinomio que cumple ls siguientes propieddes El polinomio P cumple: i Solo tiene dos rices: El - es un riz simple multiplicidd El es un riz doble multiplicidd ii Es de grdo iii El coeficiente de mor grdo es b El polinomio Q cumple. i Solo tiene dos rices: El es un riz simple multiplicidd El - es un riz simple multiplicidd ii Es divisible por iiiel coeficiente de mor grdo es iv De todos los posibles es el de menor grdo P - Q- Decir el vlor de pr que se divisible por P---. Máimo común divisor mínimo común múltiplo. Máimo común divisor Definición: el máimo común divisor de o más polinomios es otro polinomio que cumple: es divisor de todos ellos b de todos ellos es el de mor grdo con coeficiente de mor grdo l unidd. Vemos como clculr el máimo común divisor: descomponer fctorilmente cd polinomio en polinomios irreducible el máimo común divisor es el polinomio cu descomposición fctoril est formd por los polinomios irreducibles comunes todos los polinomios con menor eponente. Ejemplo: mcd -,, --. Mínimo común múltiplo Definición: mínimo común múltiplo de dos o más polinomios es otro polinomio que cumple: es un polinomio múltiplo de todos los polinomios b de todos los polinomios múltiplos es quel que tiene menor grdo con coeficiente de mor grdo unidd. Págin de 7

25 Tem. Polinomios frcciones lgebrics Vemos como clculr el mínimo común múltiplo: descomponer fctorilmente cd polinomio en polinomios irreducible el mínimo común múltiplo es el polinomio cu descomposición fctoril est formd por los polinomios irreducibles comunes no comunes todos los polinomios con mor eponente. Ejemplo: mcd -,, Ejercicio: clculr el máimo común divisor el mínimo común múltiplo de los siguientes polinomios: p -, q - p - q- mcmp,q mcdp,q- - b p 5 - -, q - - p - q - - mcmp,q mcdp,q Frcciones lgebrics 5. Definición Definición : se llm frcción lgebric l cociente de dos polinomios, es decir de P l form. Q Ejemplos:,, 5 Ls frcciones lgebrics se comportn de form semejnte ls frcciones numérics como veremos en siguientes prtdos. Págin de 7

26 Tem. Polinomios frcciones lgebrics Págin de 7 5. Simplificción Si el numerdor el denomindor de un frcción lgebric se pueden dividir por el mismo polinomio es decir son múltiplos de este polinomio l dividirlos se simplific l frcción. Ejemplo: : Si dividimos numerdor denomindor por el máimo común divisor de los dos polinomios se obtiene l frcción irreducible. Ejemplo: 5. Reducción común denomindor Al multiplicr numerdor denomindor de un frcción por el mismo polinomio se obtiene un frcción equivlente. Si tenemos vris frcciones queremos obtener frcciones equivlentes con el mismo denomindor tenemos dos opciones poner como denomindor el producto de los dos denomindores o el mínimo común múltiplo de mbos. Ejemplos:,, 7 8,, 7,, , 6 7 5, 5, 5 5. Operciones Sum rest:se reduce común denomindor se sumn o restn los numerdores Ejemplo: Producto: el resultdo es un frcción lgebric cuo numerdor es el producto de los numerdores su denomindor el producto de los denomindores. Ejemplo: División: es un frcción lgebric donde el numerdor es igul l producto del numerdor de l primer por el denomindor de l segund el denomindor es igul l producto del denomindor de l primer por el numerdor de l segund. Ejemplo: 6 5 :

27 Tem. Polinomios frcciones lgebrics Not: cundo multiplicmos o dividimos, muchs veces l igul que con ls frcciones numérics ests pueden ser simplificbles. Pr que se más sencill l simplificción es mejor fctorizr primero los polinomios, luego simplificr, ntes de multiplicr. Vemos un ejemplo: / 5 / Descomposición de frcciones lgebrics en frcciones simples P Considerremos dos csos pr l descomposición de : Q Grdo [ P] < grdo[q], descomponemos Q fctorilmente tenemos csos posibles:. Ríces del denomindor simple Q- - - n : Entonces l frcción lgebric puede ponerse como: P A A An... Q Ejemplo: n 7 A A A A A A 7 7 -A -A --A - Si 5-6A A -5/6 Si - 55A A 5/57/ Si 55A A 55// 7 / 6 7 / / b. Algun o lguns ríces son doble. Q- - - n : Entonces l frcción lgebric puede ponerse como: P A A ' A An... Q Ejemplo: A A ' n A A A ' A A A ' A Si -A A -/ Si 7A A 7/ Culquier vlor, A -A A A /7/ A -/ Págin de 7

28 Tem. Polinomios frcciones lgebrics Págin de 7 7 / / / c. Al descomponer Q tiene polinomios irreducibles de segundo grdo sin soluciones, Q bc - - n Entonces l frcción lgebric puede ponerse como:... n n A A A c b N M Q P Ejemplo: N M A A N M A A N M A A Si -79A A - Si A A Si -A -A -N --6--N N Si - -7A -A --MN-7----M M b Grdo [ P] grdo[q], dividimos obteniendo: Q R C Q P, donde hor Grdo[R]<grdo[Q] estmos en el cso Ejemplo:

29 Tem. Polinomios frcciones lgebrics Págin 5 de 7 Ejercicios finles Fctorizr los siguientes polinomios: b 55 7 d - - f Comprobr si ls siguientes frcciones son equivlentes Dos métodos, hremos cd prtdo por uno. 6 si son equivlentes se cumple Si son equivlentes b fctorizmos simplificmos No son equivlentes A prtir de los productos notbles simplific e h Decir ls ríces de los siguientes polinomios P5 -, -5doble / b Q- c R 5 d S -7 doble 7 Oper simplific 9 : 9 : c : : :

30 Tem. Polinomios frcciones lgebrics e El ldo de un cudrdo ument en cm. Formándose otro cudrdo. Sum ls áres de los rectángulos cudrdos de l figur comprueb que obtienes el áre del cudrdo de ldo II IV I III Áre cudrdo I Áre cudrdo IV Áre rectángulo II Áre rectángulo III Áre totl Clcul el áre del cudrilátero A B C D medinte un polinomio en, sbiendo que ABcm, BC5cm AA BB CC DD D D C C A A B B áre A B C D reabcd- rebb C - recc D Págin 6 de 7

31 Tem. Polinomios frcciones lgebrics Págin 7 de 7 Clcul: b Clcul m pr que el polinomio P -m 5- se divisible por Si es divisible por entonces- es ríz de P es decir P---m-5- m-8 Clculr el vlor de K si el resto de l división de k -76:- es -8 RestoP8k-6-8 8k- k- Escribir los polinomios de segundo grdo con siguientes ríces 5-5 P b P - - c P d -6 P6-5-6 Escribir polinomio de segundo grdo cu únic ríz se P- Escribir polinomio de segundo grdo sin ríces P 7 Invent dos polinomios P Q tl que mcmp,q - P -, Q - Invent dos polinomios P Q tl que mcdp,q - P - ; Q -

32 Tem. Ecuciones e inecuciones. Sistems de ecuciones de inecuciones. Ecuciones de segundo grdo. Resolución..... Resolución por el método generl..... Resolución de l ecuciones de segundo grdo incomplets.... Ecuciones de grdo superior polinómics.... Ecuciones irrcionles o con rdicles.... Ecuciones lineles con dos incógnits Sistems de ecuciones Sistems lineles Sistems no lineles Sistems de ecuciones lineles generles Sistems equivlentes Resolución por el método Guss Inecuciones lineles Inecuciones lineles con un incógnit Inecuciones lineles con dos incógnits Inecuciones de segundo grdo con un incógnit Inecuciones polinómics lgebrics Polinomios Frcciones lgebrics Sistems lineles de inecuciones Un incógnit Dos incógnits Ecuciones sistems logrítmicos eponenciles Definción propieddes del logrítmo Ecuciones logrítmics eponenciles Sistems logrítmicos eponenciles... 5

33 Tem. Ecuciones e inecuciones. Sistems de ecuciones e inecuciones. Ecuciones de segundo grdo. Resolución Ls ecuciones de segundo grdo con un incógnit l es l que se puede trnsformr en un ecución del tipo. bc siendo.. Resolución por el método generl L ecución de segundo grdo bc tiene como solución o ríces ls que resultn de l siguiente epresión, sustituendo,, b c: b ± b c, l epresión b c es el discrimínte el que mrc el número de soluciones: Demostrción:. Si el discrimínte es negtivo < no tiene soluciones reles ríz negtiv b. Si el discrimínte es cero un únic solución ríz doble c. Si el discrimínte es positivo > dos soluciones distints ríces simples bc c- -c -.. Resolución de l ecuciones de segundo grdo incomplets Un ecución es incomplet si lguno de los coeficientes b, c, o los dos son nulos. Ests ecuciones unque se pueden resolver por el método generl se resuelven de form más sencill. Tres csos:. El término b c, despejndo l incógnit: b. El término c b, fctor común: b b / c. Los dos son cero, l solución es ríz doble Ejercicio, resolver: 6 ± b 7 ± 9-7 / Págin de 6

34 Tem. Ecuciones e inecuciones. Sistems de ecuciones e inecuciones c d ± 8 no solución ± 6 9 ± 9 5 e f - - g /9 ± ± 9 h - -, ± 8. Ecuciones de grdo superior polinómics Podemos resolver ecuciones de grdo superior P, con P polinomio trnsformándols en producto de ecuciones de primer o segundo grdo igulds cero, es decir fctorizndo. Así ls ríces serán ls soluciones de l ecución. Ejemplo: , -,, -, Ejercicio: π -/ -7 soluciones -π, /, 7/ b - 5 soluciones,, -/5 c soluciones doble, -7, /, -/ Eisten ecuciones polinómics de grdo que se pueden trnsformr en ecuciones de segundo grdo, son ls ecuciones bicudrds: b c Se resuelven en tres psos:. hciendo el cmbio t, t con lo que se trnsform en l ecución de segundo grdo con incógnit en t t btc.. Resolvemos l ecución de segundo grdo.. Deshcemos el cmbio de vrible solución si t Págin de 6

35 Tem. Ecuciones e inecuciones. Sistems de ecuciones e inecuciones Ejemplo: -5 Pso: t t -5t 5 ± 5 6 Pso: t 5 ± Pso :,,, Ejercicio : resolver ls siguientes ecuciones - -6 solución : ± b - solución ±, ± c - -5 No soluciones reles Otrs ecuciones trnsformbles en ecuciones de segundo grdo: n b n c, con n N, hciendo el cmbio n t obtenemos un ecución de segundo grdo. Ejemplo: Pso : t, 6 t t -5t-6 Pso : t, t Pso :,. Ecuciones irrcionles o con rdicles Un ecución es irrcionl si tiene l incógnit dentro de un o vris ríces, en este ño sólo veremos irrcionles con ríces cudrds. Resolución ecuciones irrcionles:. Se ísl un rdicl en un miembro de l ecución.. Se elev l cudrdo los miembros de l ecución, eliminándose l ríz isld.. Si todví h ríz se repite los procesos hst que no h.. Se resuelve l ecución resultnte polinómic 5. Se compruebn ls soluciones Not: l rzón de comprobr es que l elevr l cudrdo pued hber soluciones no válids debido que l elevr l cudrdo el signo se pierde, sí - pero - Págin de 6

36 Tem. Ecuciones e inecuciones. Sistems de ecuciones e inecuciones Ejemplos elev cudrdo 6 6 Comprobción: 6 8 no solución solución 5 elv cudrdo Comprobción: solución elev cudr elev cudr , Comprobción: No solución Solución Ejercicio, resolver: Comprobción: Solución No solución 88 6 Págin 5 de 6

37 Tem. Ecuciones e inecuciones. Sistems de ecuciones e inecuciones b elev t, t t -t t ± ± Comprobción: No solución - No solución 6 No solución 6 No solución d 5 5, Comprobción: l cudr 5 l cudr solución 9 solución. Ecuciones lineles con dos incógnits Ls ecuciones lineles con dos incógnits son de l form bc, se crcterizn por tener infinits soluciones pr ls dos vribles, situds sobre un rect. 7 Ejemplo: 7, despejmos un vrible culquier de ls dos, dmos vlores l vrible no despejd obtendremos vlores de l despejd. Como es un rect si lo hcemos correctmente con dos vlores serí suficiente, que por dos puntos ps un únic rect Págin 6 de 6

38 Tem. Ecuciones e inecuciones. Sistems de ecuciones e inecuciones Representmos ls soluciones: Ejercicio: represent ls soluciones de ls siguientes ecuciones b 5 c Págin 7 de 6

39 Tem. Ecuciones e inecuciones. Sistems de ecuciones e inecuciones b 5 5 -,5 5 c Págin 8 de 6

40 Tem. Ecuciones e inecuciones. Sistems de ecuciones e inecuciones 5. Sistems de ecuciones. 5. Sistems lineles Los sistems con dos ecuciones lineles son de l form: b c ' b' c' Ls soluciones l sistem serán ls soluciones comunes l ecución linel con dos incógnits de l ecución primer S ls soluciones de l segund ecución S. De est form si llmmos S ls soluciones del sistem, ests serán igul SS S Según el número de soluciones se puede distinguir entre los siguientes tipos de sistems:. Sistem comptible indetermindo, infinits soluciones Ocurre cundo l ecución es equivlente l, se cumple entonces: b c ' b' c' 7 7 Ejemplo: 6 6 Si representmos ls dos ecuciones se trt de dos rects igules, por tnto ls soluciones son todos los puntos situdos en l rect que viene determind por l ecución o. Ejemplo: en el ejemplo nterior ls soluciones son: Págin 9 de 6

41 Tem. Ecuciones e inecuciones. Sistems de ecuciones e inecuciones. Sistem incomptible, no tiene soluciones Ocurre cundo ls dos ecuciones son incomptibles, es decir tienen ningun solución en común. Ocurre cundo l relción entre sus coeficientes son los siguientes: b c ' b' c' No tiene soluciones, l trtrse de dos rects prlels. Vemos un ejemplo: Interpretción gráfic:.. Comptible determindo, un únic solución. Ocurre cundo tienen un únic solución. Gráficmente ocurre cundo ls dos rects se cortn en un único punto que será l solución ls dos ecuciones. Ocurre si l relción entre los coeficientes: b ' b' Ejemplo: comp det Págin de 6

42 Tem. Ecuciones e inecuciones. Sistems de ecuciones e inecuciones Resolución de sistems de dos ecuciones lineles Resolver un sistem es hllr sus soluciones, según el tipo de sistem tendremos:. Comptibles indetermindos: l solución es l de un de ls dos ecuciones, que resolvemos como hemos visto en el prtdo nterior representndo un rect.. Incomptibles: no tienen solución, por lo que no tendremos que resolverls. Comptibles determindos: tiene un únic solución que resolvemos por uno de los tres métodos vistos en el curso nterior. Vemos un ejemplo resolvámoslo por los tres métodos: Sustitución: igulmos un incógnit en un ecución l introducimos en l otr ecución, obteniendo un ecución de primer grdo con un incógnit: - -- ; ; /; -// solución; /, / b Igulción: consiste en despejr l mism incógnit en ls dos ecuciones pr luego igulrls entre si obtener un ecución con un incógnit: -; -; solución /; / c Reducción: consiste en sumndo o restndo ls ecuciones multiplicds por fctores se nul lgun incógnit, l o l. Así obtenemos un ecución de primer grdo con un incógnit:, /, -// solución /; / Ejercicio: resuelve, clsific interpret gráficmente ls soluciones de los siguientes sistems: b c d 5 6 e 5 Págin de 6

43 Tem. Ecuciones e inecuciones. Sistems de ecuciones e inecuciones Soluciones: Comptible indetermindo 6 b 8 5. Incomptible, no solución c. Comptible determindo, un solución., d Comptible indetermindo. Infinits soluciones. Págin de 6

44 Tem. Ecuciones e inecuciones. Sistems de ecuciones e inecuciones 9 e comptible determindo, un solución Solución 9/, -5/ 5. Sistems no lineles Estos sistems son quellos donde un o vris ecuciones no son lineles, es decir precen términos cudráticos, cúbico, etc. En este tem trtremos sólo cundo tenemos eponentes cudráticos. Generlmente se resuelve por sustitución. Vemos tres ejemplos: Ejemplo :, sustituendo en 5; ± ± 8. 6 Dos soluciones -, -6; 6, Págin de 6

45 Tem. Ecuciones e inecuciones. Sistems de ecuciones e inecuciones Pr interpretr gráficmente l solución tendremos que sber que l ecución de un circunferenci con centro en el origen rdio R es de l form R. De est form l ecución 5, es un ecución de un circunferenci de rdio R 5 Ejemplo : - - ; -- 5 ± -- 6 ± 6 Soluciones, ; 5, Interpretción gráfic circunferenci de rdio rect Págin de 6

46 Tem. Ecuciones e inecuciones. Sistems de ecuciones e inecuciones Ejemplo : ± ± Soluciones,, Interpretción gráfic es un prábol, un rect 6. Sistems de ecuciones lineles generles Hst este curso sólo considerábmos sistems con ecuciones incógnits, en este curso veremos el cso generl con un número n de incógnits m de ecuciones. Pr resolver utilizremos el método de Guss. Un sistem de m ecuciones lineles con n incógnits es de l form:... n n b... n n b... m... b m m mn n m - Donde ls incógnits son,,, n - Los coeficientes son ij - Los términos independientes son b,b,,b m Págin 5 de 6

47 Tem. Ecuciones e inecuciones. Sistems de ecuciones e inecuciones Ejemplo: ecuciones con incógnits: z z 5 z z 9 Incógnits:,,z,t Mtriz de coeficientes: 5 Column de términos independientes: 9 Mtriz mplid 5 9 Ls soluciones del sistem serán los vlores de ls incógnits que cumpln ls m ecuciones. En función el número de soluciones puede ocurrir que se: Comptibles determindos: tiene solución únic b Comptibles indeterminds: tiene infinits soluciones c Incomptibles: no tiene solución 6. Sistems equivlentes. Dos sistems equivlentes son los que tienen misms soluciones unque no tengn mismo número de ecuciones. Pr trnsformr un sistem en otro equivlente podemos relizr los siguientes criterios: Criterio : Multiplicmos o dividimos los miembros de culquier ecución por un número distinto de cero. Criterio : Sustituimos un ecución por l sum de ell con un combinción linel de otrs del sistem. Citerio: Eliminmos ls ecuciones que son combinción linel de lgun de ls otrs ecuciones. Págin 6 de 6

48 Tem. Ecuciones e inecuciones. Sistems de ecuciones e inecuciones Ejemplos: z ' EQUI z ' z ' z ' EQUI z ' z ' z z z 5 6. Resolución por el método Guss z 6 6 6z z z 6 z EQUI PUES z z El método de Guss generliz el método de l reducción, que es útil pr ecuciones, pero pr más utilizremos el citdo método. Por sencillez utilizremos l mtriz mplid, que recordemos que son los coeficientes de ls ecuciones los términos independientes. En este curso trbjremos con sistems con el mismo número de ecuciones que de incógnits n. El objetivo es buscr un mtriz tringulr superior de l form: n n n... nn b b b... bn Ls trnsformciones que relizremos pr obtener est mtriz son ls siguientes: Cmbir el orden de ls fils, que no consiste más que ordenr ls ecuciones del sistem Cmbimos el orden de ls columns, que consiste en reordenr ls incógnits, debemos recordr este cmbio cundo resolvmos el sistem Cmbimos un fil por un combinción linel de ell con otr ecución. Cundo utilicemos el método de Guss puede ocurrir tres coss:. Que l últim fil de l mtriz se b n con b n lo que entonces el sistem será incomptible b n es imposible. Que l últim fil se o eliminmos un fil l ser dosigules entonces sobr l ecución, será sistem comptible indetermindo. Que l últim fil se nn b n con nn con lo que el sistem es entonces comptible determindo Págin 7 de 6

49 Tem. Ecuciones e inecuciones. Sistems de ecuciones e inecuciones Págin 8 de 6 Ejemplos: t z t z z t z f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f Es comptible determindo. Recordemos que hemos cmbido el orden de ls columns, es decir el orden de l incógnits es,z,,t. t t t z t z t,, z, b 5 5 t z t z t z t z C C

50 Tem. Ecuciones e inecuciones. Sistems de ecuciones e inecuciones Págin 9 de f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f Es comptible indetermindo infinits soluciones, dejremos como prámetro libre l incógnit t: -zt -z-t-6 -z6t -z6t 6 t t z - t -t-6 / t t t 7 Pr cd vlor de t tendremos un solución. c z z z 7 7 f f f f f f f f f f f f Sistem incomptible z-7 es imposible Ejercicios, resolver: 7 z z z C.D. solución,, z

51 Tem. Ecuciones e inecuciones. Sistems de ecuciones e inecuciones b c d z t z t z t z t t C.I solución -t-, z t z t Incomptible z t z t z z C.D.,, z z 8 t 5, z 7. Inecuciones lineles Ls inecuciones son epresiones semejntes ls ecuciones pero en vez de precer el signo precen los signos, <,, >. Vemos diferentes tipos de inecuciones 7. Inecuciones lineles con un incógnit. Son epresiones de l form después de simplificr de l form: b<c, b>c, b c ó b c siendo,b,c R Pr resolver l inecución h que tener en cuent ls siguientes regls: Si un número está un ldo de l desiguldd desemos psrl l otro ldo psrá restndo l revés igul que en ls ecuciones Ejemplo: 5-<6 5<6 5<8 b Si multiplicmos o dividimos l desiguldd por un número negtivo entonces el signo < o cmbi > o, l revés. De est form si queremos despejr de un número que le multiplic ps dividiendo cmbindo el sentido de l desiguldd si es un número negtivo. Lo mismo ps si está dividiendo Ejemplos: -< >-/ -/5 - Despejndo l de l inecución nterior tendremos ls siguientes posibles epresiones: <-b/ -b/ >-b/ -b/ Solución-,-b/ Solución-,-b/] Solución-b/, Solución[-b/, - - Págin de 6

52 Tem. Ecuciones e inecuciones. Sistems de ecuciones e inecuciones Ejemplo: -5< 8-5<8- -5<5 >- -, Ejercicio, resolver ls siguientes inecuciones: -<56 b / - c -/ > -/ Solución -<56 < <,que es cierto independientemente del vlor de, luego l solución es R mult por b 7-5 -/-, -7 -/ , -, ] 5 5 c > por > > > No es cierto independientemente del vlor de, luego no h soluciones S 7. Inecuciones lineles con dos incógnits Un inecución linel con dos incógnits es un epresión de l form: b<c; b>c; b c ; b c Por lo generl eisten infinitos vlores de prejs, que cumplen ls soluciones l inecución linel. Veremos ls soluciones representds en los ejes de coordends. Psos seguir pr obtener ls soluciones:. Representmos l rect determind por bc. quedndo dividido el plno en dos semiplnos uno de ellos será l solución. Tommos un punto rbitrrio con un vlor de e. Si pr estos vlores de de l inecución es ciert, el semiplno que contiene el punto es l solución, sino es sí es el otro semiplno. Si tenemos ó l rect será solución que es l solución l iguldd bc si tenemos < ó > entonces l rect no será solución Ejemplo: -. representmos l rect. Tommos el punto, - que no cumple l inecución, luego l solución es el semiplno que no contiene el origen. L rect es solución que el símbolo es Págin de 6

53 Tem. Ecuciones e inecuciones. Sistems de ecuciones e inecuciones Ejercicios: <5 b - c -/ - Solución b Págin de 6

54 Tem. Ecuciones e inecuciones. Sistems de ecuciones e inecuciones c 7.. Inecuciones de segundo grdo con un incógnit Son epresiones que después de operr son de l form: bc<, bc>; bc ; bc Los psos pr l resolución de ls inecuciones son los siguientes:. Cálculo de ls soluciones l iguldd ríces de bc que son. Si son soluciones reles, fctorizmos el polinomio - - < i. Dividimos l rect rel en intervlos si es ríz doble -, ;, ;,. Estudimos el signo en cd intervlo ii. Ls soluciones son los intervlos que cumplen l desiguldd. b. Si no son reles entonces bc no cmbi de signo, por lo que o es siempre positivo si c> o negtivo si c<. Así ls soluciones serán o todo R o el vcío. Ejemplos: -6 ± ,- - -,, Signo - Signo Signo -6 - Solución [-,] Págin de 6

55 Tem. Ecuciones e inecuciones. Sistems de ecuciones e inecuciones b < - no solución rel. siempre es positivo, por ejemplo en : > No soluciones S c > R Ejercicios: -69> b - -5 c - d -/5> / Soluciones: - > -,, Signo- - Signo- - Signo -69 Solución R-{} b / -,- - -,/ / /, Signo - Signo-/ Signo Solución -,-] [/, Págin de 6

56 Tem. Ecuciones e inecuciones. Sistems de ecuciones e inecuciones c ,,5 5 5, Signo- - Signo Signo Solución -,] [5, 7. Inecuciones polinómics lgebrics 7.. Polinomios En este prtdo estudiremos ls inecuciones del tipo: P<, P>, P, P. Resolución:. Fctorizmos, obteniendo ls ríces,,, n. Estudimos el signo en los intervlos -,,,,, n,. De los intervlos tommos quellos que solucionen l inecución. Ejemplo : -- ; Fctoriz - 7.Ríces -, -,- -,, Signo - Signo Signo 7 Signo -- - Solución [-,] Ejercicios: resuelve - > Págin 5 de 6

57 Tem. Ecuciones e inecuciones. Sistems de ecuciones e inecuciones Soluciones: - - ->. Ríces -, -, -,- - -,- - -,, Signo - Signo Signo Signo Solución -,- -, Ríces -7,-, -, ,- - -,, Signo7 - Signo Signo Signo Solución [-7,-] [, ,,, Signo - Signo Signo Signo Solución -,] {} Págin 6 de 6

58 Tem. Ecuciones e inecuciones. Sistems de ecuciones e inecuciones 7.. Frcciones lgebrics Ls inecuciones de frcciones lgebrics son epresiones de l form: P P P P < ; > ; ;, siendo P Q polinomios. Q Q Q Q L form de resolver ests inecuciones es semejnte l de los polinomios. Los psos son los siguientes:. Fctorizción de P de Q. Y simplificción de l frcción si coincide lgún fctor.. Estudimos el signo en los intervlos comprendidos entre ls ríces de P QX que no hn sido simplificds. A prtir de estudir el signo de cd fctor podemos determinr cundo l frcción lgebric es mor, menor o igul que cero P Not: cuiddo con ls ríces del polinomioq, que en estos vlores no se Q nul, sino que no eiste dividir por cero Ejemplo: 5 6 ríces son -, -, - -,- - -,- - -,- - -,, Sig - Sig Sig Sig Sig 5 6 No eiste - No eiste - Solución: -,- [-,] Págin 7 de 6

59 Tem. Ecuciones e inecuciones. Sistems de ecuciones e inecuciones Ejercicios, resolver ls siguientes inecuciones 6 8 ríces - -,- - -,, Signo - Signo Signo Signo - No eiste - Solución -,] 6 6 b ríces. -,,, Signo - Signo Signo6 Signo 6 No eiste - No eiste Solución, 8. Sistems lineles de inecuciones 8. Un incógnit Los sistems de inecuciones lineles con un incógnit son sistems de l form: b o con culquier signo otro símbolo de desiguldd ' b' > L form de resolver el sistem es el siguiente:. Obtenemos ls soluciones de de, S S respectivmente. Ls soluciones del sistem tienen que ser de luego es l intersección de sus soluciones SS S Págin 8 de 6

60 Tem. Ecuciones e inecuciones. Sistems de ecuciones e inecuciones Ejemplo: > 6 S >- S -, S 6; S [, Solución SS S [, Ejercicios: < 5 S -8 7 ; -8/7 S -, -8/7] S -< ; >-/ SS S -/,-8/7] 5 > < S ; S -,/] S > ; S, S <; S -, SS S S, 8. Dos incógnits S -/, Son sistems formdos por dos o más inecuciones con dos incógnits: b c o con culquier signo otro símbolo de desiguldd ' b' > c' Resolución de los sistems:. Se representn en el plno crtesino ls soluciones de. Ls soluciones del sistem son l intersección de ls soluciones ls dos inecuciones Ejemplo: > Págin 9 de 6

61 Tem. Ecuciones e inecuciones. Sistems de ecuciones e inecuciones Solución, Punto de corte, es l solución l sistem,. Resolviéndolo obtenemos Ejercicios: 5 < 6 Solu-, Puntos de corte es l solución del sistem. Resolviéndolo obtenemos 6 8, 9 9 Págin de 6

62 Tem. Ecuciones e inecuciones. Sistems de ecuciones e inecuciones > 6 Son rects prlels l solución es el espcio comprendido entre mbs rects. Vemos el dibujo A Solución B C Clculemos A, B C. Cálculo de A: punto de corte de Cálculo de B: punto de corte de Cálculo de C: punto de corte de -9, 5, /, / Págin de 6

63 Tem. Ecuciones e inecuciones. Sistems de ecuciones e inecuciones 9. Ecuciones sistems logrítmicos eponenciles 9. Definción propieddes del logrítmo Definición: el logritmo es l operción invers l eponente, sí : log Elementos del logritmo: - Bse del logritmo,. - Argumento del logritmo Ejemplos: log log 8 8 log /9- - /9 log,- - /. Notción: log log. Los logritmos decimles son los que precen en l clculdor. Propieddes mu importntes:. log ; log. log log log. Ejemplo log 8log log 5. log -log log /. Ejemplo log 8-log log -. log no eiste si. Pues >. Ejemplo log- log no eisten 5. n log log n Ejemplo: - loglog log log 9 logb 6. log log b Est últim propiedd mu útil pr clculr logritmos con l clculdor. Ejemplo log 6,778 log 6,58. Comprobción:.58 6 log, Ejercicios Clculr los siguientes logritmos ectos sin usr l clculdor: log 6 96 b log,5 c log d log 5 65 e log /5 5 Págin de 6

64 Tem. Ecuciones e inecuciones. Sistems de ecuciones e inecuciones Solución: 966 log 6 96 b,5 log,5- c 7 / log / d 655 log 5 65 e 55 5 log /5 5- Utiliz l tecl de l potenci pr clculr con proimción de centésims el siguiente logritmo: log 7 Solución: log 7.78 Clculr l incógnit log b log b c log Solución: / / / / log b log b - b b / b / b c log -/ Sbiendo que log b,5, log b,, log b z,, se cumple, clculr z log b luego el vlor de. Not plicr ls propieddes de logritmos: Solución: log b log b -log b z log b -log b log b z,5-,, z log b b Págin de 6

65 Tem. Ecuciones e inecuciones. Sistems de ecuciones e inecuciones 9. Ecuciones logrítmics eponenciles Ecuciones con logritmos: pr resolver ls ecuciones logrítmics tendremos que grupr los logritmos en uno sólo o en uno por cd ldo de l iguldd. Un vez que tengmos un único logritmo o uno por cd ldo de l iguldd, pr quitrnos el logritmo tommos el eponente. Ejemplo: log -8--log 8 8 log Tenemos que comprobr que l solución es válid, pues puede ocurrir que el logritmo se negtivo: - 8 log log Problem, resolver:. log-loglog-log. logloglog. log log -/ log Solución: log -loglog-log log log 6-6,, -. Comprobción: loglog pero no eiste el logritmo de cero, luego no es solución - log-log- no eiste el logritmo de cero, luego no es solución loglog si es solución log loglog log log, -/. Los dos soluciones son válids: loglog -/ log/log/ log -- log , 9/. Al elevr l cudrdo debemos comprobr si ls dos soluciones son válids: -6. No solución 9/ Solución Págin de 6

66 Tem. Ecuciones e inecuciones. Sistems de ecuciones e inecuciones Ecuciones con eponente: si tenemos un sol potenci iguld un número, tommos logritmo en l mism bse en los dos ldos de l ecuciónel logritmos se v con el eponente obteniendo l solución. b Si tenemos vrios eponente tenemos que poner todos los eponentes con mism bse luego hcer un cmbio de vrible. Con dicho cmbio se resuelve l ecución, luego se deshce el cmbio de vrible. Ejemplo : - log - log - log log - log log -9, -/: - 9 -/ log -/ no solución Problems: Solución: / / 9 - -log log / ±, ±. 5 log 5 5 log log 5 - no eiste 5 - log 5 - no eiste 5 /5 log 5 / , 9 log 9 log 9. Sistems logrítmicos eponenciles Se resuelven o bien hciendo cmbio de vribles u obteniendo ecuciones sin logritmos eponentes. log log log log 5 Págin 5 de 6

67 Tem. Ecuciones e inecuciones. Sistems de ecuciones e inecuciones Págin 6 de 6 Solución logx, log Y 5 Y X Y X Y X b 7 Solución u 7 X, Y Y X Y X 7 Y X c 7 log log Solución: 5, 5, 7 7 log d 8 Solución: 8 8 e / log5 log log Solución: log5 log

68 Tem. Números Complejos. Números complejos Definición de números complejo..... Conjugdo opuesto de números complejos..... Representción gráfic de los complejos.... Operciones con complejos Sum rest de complejos Producto de complejos División de complejos Potenci de números complejos Potencis de i Complejos en form polr Pso de form polr form binómic. Epresión trigonométric Operciones en form polr Ríces de números complejos Representción de ríces de un número complejo Ecuciones con números complejos Representción de ecuciones en el cmpo de los complejos....

69 Tem. Complejos. Números complejos... Definición de números complejo Cundo resolvímos ls ecuciones de segundo grdo el discrimínte er negtivo ríz negtiv decímos que dich ecución no tení soluciones reles. pero es qué cso puede hber otro tipo de soluciones?. En este tem veremos los números complejos, en este conjunto de números ls ríces pres de índice negtivo tienen solución. Ejemplos: -5 Antes de definir el conjunto de los números complejos vmos definir l unidd imginri, i: i tl que i - De est form ls soluciones ls ecuciones son: Números complejos son quellos que se pueden escribir de l form zb i, donde b son números reles e i es l unidd imginri. Est form de representr los se denomin form binómic. Prtes de los complejos zb i: - Prte rel Rez - Prte imginri Imzb Not: los números reles están incluidos en los complejos, son en los que l prte imginri es cero b. Los complejos que no tiene prte rel se denominn imginrios puros. Por ejemplo z5i, zπi Págin de

70 Tem. Complejos Págin de Ejercicio: escribe los siguientes números complejos en función de l unidd imginri: b Ejercicio: resuelve ls siguientes ecuciones fctoriz los polinomios con números complejos: - ± ± i i i --i Comprobción: -i --i --i-ii-i - -i --9i -9 - b - ± ± i i i i Comprobción: i i i i i..conjugdo opuesto de números complejos Vemos tres definiciones mu importntes: Dos números complejos z b i z b i son igules si son igules tnto l prte imginri como l rel: z z b b Ejemplo: hllr e sbiendo que zz, siendo zi z -5i. Como zz entonces -5 e

71 Tem. Complejos Ddo un número complejo zbi: - llmmos opuesto de z l número complejo z--bi. Tl que se cumple que z-z - llmmos conjugdo de z l complejo z bi. Cumpliéndose: RezRe z Imz-Im z Ejemplos: z5i z -5i z-πi z --πi Not: z z Rez.. Representción gráfic de los complejos Los números complejos no se pueden representr en l rect rel, pr su representción es necesrio dos dimensiones un pr l prte rel otr pr l imginri. De est form los complejos se representn en un sistem crtesino denomindo plno complejo. En este plno complejo el complejo zbi se represent tl que l prte rel,, estrá en el eje de bciss eje denomindo eje rel l prte imginri, b, en el eje de ordends eje denomindo eje imginrio. De est form el complejo zbi es equivlente l punto P,b que se llm fijo del complejo z. Ejemplos: Representr los complejos z -i, z -i, z, z i z z z z Págin de

72 Tem. Complejos. Operciones con complejos Ls operciones con complejos se bsn en ls operciones con números reles en que i ii -. Vemos prtir de ests dos premiss ls operciones con complejos:..sum rest de complejos L sum l rest de números complejos se reliz sumndo o restndo ls prtes reles e imginris entre sí: - Sum: b i b i b b i - Rest: b i- b i - b - b i Ejemplo: z6 i, z - i zz 6 i- i5 i z-z 6 i-- i8-i Not: podemos clculr gráficmente l sum de z z como sum de los vectores con fijos de z de z.. Producto de complejos El producto de dos complejos se reliz como si fuern reles prtir de sber que i -: z z b i b i b i b ib b i - b b b b i Ejemplo: z6 i, z - i z z 6 i - i--68- i-8 i Not: el producto de dos complejos conjugdos es un número rel igul l cudrdo de l distnci del fijo l centro: z z bi-bi b b-b i b.. División de complejos Pr clculr l división de dos complejos multiplicmos numerdor denomindor por el conjugdo del denomindor, sí este será un número rel: bi c di bi c di c di c di c bd bc d i c d c bd c d bc d i c d Ejemplo: i i i i i i i 6i i i Potenci de números complejos L potenci de un complejo zbi de eponente nturl z n se reliz multiplicndo z consigo mismo n veces. Ejemplo: i iii-5i i-69i Págin 5 de

73 Tem. Complejos.5. Potencis de i Como sbemos que i podemos clculr el vlor de i n de l siguiente form: i i i i - - i 8 i i i i 5 i i 9 i i i i - i 6 - i - i - i i i-i i 7 -i i -i i 5 -i Luego podemos epresrlo en función del resto de dividir n entre : i n i i n k resto n : n k resto n : n k resto n : n k resto n : Ejercicio: reliz ls siguientes operciones i i i i i i i i i 5i 5i i 5 9 b i 5i 5i 5i 6 5 c i i 7 i i i i i 8 d i i resto8: e i i... i i i 5 7 i i i i 9 i 9 i i i Ejercicio: clculr tl que se cumple: Hll pr que i se imginrio puro i ii -9ii -96i imginrio puro si -9 ± b Hll pr que i se rel i -96i rel si 6 c Hll pr que se número imginrio i i i i i i i d Hll pr que se número rel i imginrio - ± i i i rel Págin 6 de

74 Tem. Complejos. Complejos en form polr Como hemos visto en el primer punto el complejo zbi se puede relcionr con el vector v,b. L form polr cosiste en definir el complejo prtir del módulo el ángulo que form dicho vector con el sentido positivo del eje OX. Un complejo en form polr formdo por el módulo el rgumento: Módulo de z r: es el módulo del vector OP.Y por tnto z r b Argumento de z α: es el ángulo que form el vector OP el sentido positivo del eje OX: b rgzα r cot g El complejo z con módulo r ángulo α en form polr se escribe como zr α b Not: drse cuent que r cot g tiene dos soluciones en [,6º, h que dibujr el complejo pr sber cuál de ls dos soluciones es l rel. Ejemplo: escribir en form polr z-i r z 5 5 6,87º αrgz r cot g z5 6,87º 6,87º no solucion Los números reles son: - Positivos: el rgumento es nulo α ejemplo: 77 º - Negtivos: el rgumento es α8º ejemplo: -77 8º Los complejos imginrios son: - Positivos: el rgumento es α9º ejemplo: 7i7 9º - Negtivos: el rgumento es α7º ejemplo: -7i7 7º Ejercicio, epresr en form polr: 6,56º zi r 5, α r cot g z 5 6,56º 6,56º no solución b z-- i r, α cot g c z-i r 6º no solución r z º º 9º no solución, α r cot g z 7º 7º Págin 7 de

75 Tem. Complejos.. Pso de form polr form binómic. Epresión trigonométric. A prtir de ls funciones trigonométrics es sencillo psr de form polr form binómic: Rezr cosα bimzr senα El número complejo se puede poner de l siguiente form form trigonométric zrcosαi senα Ejemplo: psr form binómic z 6º z cos6isen i Ejercicio: poner los siguientes complejos en form binómic trigonométric los siguientes complejos: º cosisen-.5 i b π/ cosπ/isenπ/ i c π/ cosπ/isenπ/-i.. Operciones en form polr Ls misms operciones que hicimos con los complejos en form binómic tmbién podemos hcer en form polr Sum rest: cundo tenemos un sum de complejos en form polr lo recomendble es psr los dos form polr binómic sumr luego volver psr form polr. Producto: de dos complejos en form polr es otro complejo tl que: - El módulo es igul l producto de los dos módulos - El rgumento es igul l sum de los rgumentos r α s β r s αβ Cociente: de dos complejos en form polr es otro complejo tl que: - El módulo es igul l cociente de los dos módulos - El rgumento es igul l rest de los dos rgumentos r s α β r s α β Potenci: de un complejo en form polr es otro complejo tl que: - El módulo es l potenci n-ésim del módulo de z - El rgumento es n veces el rgumento del rgumento de z r r n n α nα Págin 8 de

76 Tem. Complejos Not: cundo tenemos un potenci de un número complejo en form binómic l form más sencill de clculr est potenci es psr el complejo form polr luego elevr. Not: si zr α entonces z r 6 α Ejercicio: Operr epresr el resultdo en l mism form 5º 5 º 5 5º 5 65º b º : 5º.5-5º.5 5º c º - º cosisen-cosisen i - i i º r 9 α r cot g z º º no solución d -i 5º no solución r α r cot g -i 5 6º 8º 5º cos8ºise8º- e - i 8º 9 7º. Ríces de números complejos El cálculo de ríces de un número complejo en form binómic es mu tedioso, por lo que en l práctic se hce por lo generl se psn form polr. L ríz n-ésim de un número complejo tiene n soluciones n r α. Los psos son los siguientes: - El módulo es l ríz n-esim del modulo del número ddo - El rgumento es β α 6k con k,,..n- n n r n rα α 6k n Demostrción: vemos que estos complejos son l solución de l ríz n-ésim, pr esto elevmos l solución n vemos que es igul z: n α α n n k r r n 6 6 k n r α 6 rα n Ejemplos: i : r z 8 i n ; αrgz º 8 k 6 6 k rctg 5º 5º no solución z 8 5 º º 5º 55º Págin 9 de

77 Tem. Complejos b c º 6k º 8º 7 7 k 8º 8 6 6º 8º º Not: vemos que hciendo ls ríces de números reles en ls soluciones en el cmpo de los complejos ls soluciones reles están incluids en ests. Ejercicio: clculr ls siguientes ríces 5º 75 55º b c i º.5º.5º.5º 9.5º º º º d 5 i 5 5º Representción de ríces de un número complejo Cundo representmos ls ríces n-ésims de un número complejo se cumple que tods ls soluciones: Tienen el mismo módulo mism distnci del origen Dos ríces consecutivs se diferencin en que el rgumento es 6/n más que el nterior Con ests dos propieddes se cumplen que los fijos formn un polígono regulr de n ldos inscrito en un circunferenci de rdio rmodulo ríz. Págin de

78 Tem. Complejos Ejemplos: 8 8 º º 9º 8º 7º i i b 5 i 5 5, ,6º,6º 7,6º,6º 6,6º c 8 º º º 5º Ejercicio: clculr z n sbiendo que ls ríces n-ésims de z sus soluciones son: Sbemos que n6, pues es h 6 soluciones heágono. Clculemos zr α : 6 r r 6 6 α º z6.96º Págin de

79 Tem. Complejos Ejercicio: de un complejo z sbemos que su ríz curt tiene un de sus soluciones en el fijo A,, clculr el resto de soluciones z i.69º z.69º 9º.69º z.69º 8º.69º z.69º 7º.69º 69 z.69º.76º 5. Ecuciones con números complejos. Cundo trbjábmos con polinomios dijimos que el número de ríces reles del polinomio soluciones P ern lo sumo igul l grdo del polinomio. Pero si considermos ls soluciones complejs cuánts soluciones tiene?. Esto es lo que demostró Guss en lo que ho se llm teorem fundmentl del álgebr: Teorem fundmentl del álgebr: todo polinomio de grdo n con coeficientes reles o complejos tiene n ríces contndo el grdo demultiplicidd. z n z n n soluciones No siempre es sencillo clculr ls n ríces. Los métodos usdos pr l resolución son los mismos que pr soluciones reles. Vemos lgún ejemplo: z -z8 ± 6 z ± i z z 9z6 Como es de grdo primero tendremos que buscr soluciones por Ruffini z z 9z6zz 9zziz-i soluciones z-, z±i z 8i z 8i 8 7º 9º i º º Págin de

80 Tem. Complejos Ejercicio : resolver ls siguientes ecuciones polinómics: z z ± z b z 56 z 56 ± i 56 c z -6z z-8 8 5º 5º 5º 5º i i z -6z z-8z- z -zz-z-iz--i z -z z±i d z 6i z -6i z 6i 6 7º 9º º º e z 6-8z 7 z 6-8z 7 z t, z 6 t t -8t7 8 ± 676 t z z ± 6 7 º º º º Págin de

81 Tem. Complejos 5.. Representción de ecuciones en el cmpo de los complejos. Dentro de ls ecuciones en el cmpo de los complejos centrémonos en quells que sus coeficientes son reles. Tendremos de est form que l ecución resolver es de l form: Pz con Pz un polinomio. Not: L vrible del polinomio se define z, en vez de, pr tener en cuent que z puede tomr vlores complejos en cmbio R. Por el teorem fundmentl del álgebr el nº de soluciones es igul l grdo del polinomio. Pr ver l representción de ls soluciones de l ecución {z,z,,z n }, es decir ls ríces del polinomio Pz i recordemos cómo se fctoriz el polinomio tem. Los fctores irreducibles en los que se descomponen un polinomio son de dos tipos: Polinomios de er grdo del tipo z- i i solución rel. Polinomios de º grdo sin soluciones reles bc, cuo discriminnte b -c<. Vemos ls soluciones complejs de estos polinomios: b z i b ± b ± i z que son complejos conjugdos, b z i es decir z Conclusión: ls soluciones en el cmpo de los complejos son: Números reles Ls soluciones complejs vienen en prejs de complejos conjugdos. Ejemplo: representr ls soluciones en el cmpo de los complejos de ls siguientes ecuciones con coeficientes reles: z 5z 8z -z-. Fctorizndo z- z z z6 Soluciones: z, z - reles, complejos conjugdos Págin de

82 Tem. Complejos b z 6-8z 7: Cmbio de vrible z t, z 6 t t -8t7 t 8 ± 676 z z 8 ± 6 7 º º 7 7 º º Ls ecuciones en ls que lguno de sus coeficientes no son reles no tienen que cumplir lo visto pr quells con coeficientes reles, es decir puede tener soluciones que no son o reles o complejs conjugds Ejemplo: z iz no son conjugdos Págin 5 de

83 Tem. Complejos Ejercicios finles.- Epres los siguientes números complejos en form binómic 6 b c 8 Solución: i b -i c i. Represent obtén en form polr los siguientes complejos z-- i b z c z Solución: z-- i r b -z i, r c z - i, r 6º α z º º, rct 6º α z 6º º, rct º α z º º, rct z -z z.- Clculr ls siguientes potencis del número i: i b i - c i - d i - e i - Solución resto: i -i b i - i i i i i i c i - i d i - i i i i i i e i - i Págin 6 de

84 Tem. Complejos.- Oper simplific l máimo: i i i b i i i i i 8 i i 6 i i i i i 6 i 6 i i 6 i 88i i 6i i i i i i 6 9i i 8 9 7i 6i i i i i,9,i,9 5, i i i i c i i i i i i 8 6i 6i i 6i 8i 6 i i Sen z z con lo siguientes fijos: 5 i z z z z b z -z c z z d z :z b Págin 7 de

85 Tem. Complejos c 9 65º d -75º 6.- Clcul pr que se cumpl: b 7 i i 7 i i es rel es imginrio puro Soluciones: 7 i i 7 i i 7 i i rel si -/ b Imginrio si /7 Otr form prtir de notción polr : 7i αrctg/7 -i αrctg-/ rctg-/rctg/7 -//7 -/ b rctg-/ /-7/ -/7 Págin 8 de

86 Tem. Complejos 7.- Escribe en form polr -i b c -i d - Solución r z5 6.9º b r z º c -i 7º d - 8º 8.- Escribe en form polr binómic los conjugdos opuestos de z5 º b z π/ c π/6 Solución z5 º8º 5 º z 5 9º 5º b z π/π π/ z π / c z π/6π 7π/6 z π / 6 π / 5π / 6 9 Efectú ls siguientes operciones epresndo el resultdo en form polr º 8º 86º π / b 5º c º º d cos 5 i sen5 cos5 i sen5 i 8,º 5º 5º i i e i 85 7 i i i.- Utilizndo el binomio de Newton l potenci en form polr clculr comprobr que el resultdo es el mismo: - i - i - i6 - i - i - i 6-96 i- i-96 i - i 95,º 95,º 8,96º Comprobción -96 i8,96º Págin 9 de

87 Tem. Complejos.- Clcul ls siguientes ríces: º 6º 6º b 8º 55º 5º 9º c 5º 5º º º 9º 5º º 7º º i i d 5 5 6º 5 º i 5 5 º e 5 76º 5 8º i 7º 67.5º 57,5º 7,5º 7,5º f i i 5º 5º 9,5º,5º,5º 9,5º.- En el gráfico se muestr ls soluciones de ls ríces de un número. Determínls descubre que número es. Es un ríz quint l hber 5 soluciones un solución es, luego el resto son 7º, º, 6º, 88 Clculemos z: z 5 Págin de

88 Tem. Complejos.-Resuelve ls siguientes ecuciones en el cmpo de los complejos: z -8izi-9 b z c z z z -8izi-9 8i z 6 6i 76 i i i i i i i 5i b z 9º 8º 7º i i c t z, t z t t t-, t-.-resuelve ls siguientes cuestiones: i z, i z i i Determinr los números complejos cuo cudrdo se igul su conjugdo b Encuentr los números complejos cuo conjugdo coincide con su opuesto c Determinr los números complejos cuo conjugdo es igul su inverso Solución z z α α r r 6 r α r 6 α r k º 6 α 6k α α k k º k º z, z, z Comprobción: º º 8 º b z z llmmos z bi, luego z bi ; z bi z z -, -b-b, b R zbi, es decir los imginrios puros Págin de

89 Tem. Complejos c z z z rα r r r r r 6 α α 6α 6α r α α r r. Luego todos los complejos con módulo cumplen est propiedd. 6 α α Vemos un ejemplo z º z 5º 5 z 5.- L sum de un complejo su conjugdos es 6 l sum de sus módulos es. Determinrlos: zbi z 6 8 º b 6 b b Encuentr los complejos tles que su cubo es igul su ríz cudrd zr α z r α z r r α / α / 8 6 Vemos el módulo: r r r r r, r Vemos el ángulo: k α º α 5 α 6k α 6k α k k α º k α 88º α 5 k α 7º b α 8 6k α 8 6k α 7 k k α 6º Comprobción: z ; z 7 z º º 7º 5 z 88º 88º º 88 6 z5 7º 7º 6º 7 6 z6 6º 6º 88º Págin de

90 Tem. Complejos 7.- Encuentr el polinomio de º grdo con coeficientes reles en los que sbemos que el coeficiente de mor grdo es dos de sus ríces son: z i, z --i. Como en el enuncido nos dicen que el polinomio tiene coeficientes reles, se cumple que si lgun ríz es complej, su complejo conjugdo tmbién es ríz. De est form z, z Pz z-i z--i z--i z---i z -z z 6z Págin de

91 Trigonometrí I. Rzones trigonométrics en triángulos rectángulos. Ángulos gudos.... Relciones trigonométrics fundmentles.... Rzones trigonométrics de º, 5º 6º.... Resolución de triángulos rectángulos Conociendo dos ldos Conociendo un ldo un ángulo Cálculo ltur con doble medid Rzones trigonométrics de ángulo culquier Signo de ls rzones trigonométrics en los distintos cudrntes Reducción de un ángulo l primer cudrnte Ángulos complementrios Ángulos suplementrios Ángulos que difieren 8º Ángulos opuestos o que sumn 6º Teorem del seno del coseno Teorem del seno Teorem del coseno Resolución de triángulos no rectángulos Conocido dos ldos uno de los dos ángulos que no form estos ldos Conocido los tres ldos Conocido dos ldos el ángulo que formn Conocidos dos ángulos un ldo Áre de un triángulo... 7

92 Tem 5.Trigonometrí I. Rzones trigonométrics en triángulos rectángulos. Ángulos gudos Por criterios de semejnz se cumple que los triángulos rectángulos con un ángulo igul son semejntes, por tnto sus ldos proporcionles. De est mner conociendo el vlor de uno de los ángulos de un triángulo rectángulo, α, ls rzones de sus ldos están fijds. Ests rzones es lo que llmmos rzones trigonométrics del ángulo α. Veámoslo gráficmente c c α b b c b c b c b c b c b c b c b sen α cos α tg α cteto opuesto hipotenus cteto contiguo hipotenus cteto opuesto cteto contiguo Es importnte drse cuent que el vlor de ls rzones trigonométrics depende del ángulo no del triángulo. Como sbemos prtir del teorem de Pitágors el vlor de l hipotenus de un triángulo es mor que el de los dos ctetos b c, por tnto se cumple que: <senα<, <cosα< cundo α,9º. A prtir de ests rzones trigonométrics fundmentles podemos definir ls siguientes: sec α cos α cosec α sen α hipotenus cteto contiguo hipotenus cteto opuesto cteto contiguo cot g α tg α cteto opuesto Págin de 5

93 Tem 5.Trigonometrí I. Relciones trigonométrics fundmentles Los vlores de senα, cosα tgα no son independientes, están relciondos entre sí, como veremos en este prtdo. De hecho sbiendo que α º,9º conociendo el vlor de un de ls tres rzones podemos obtener ls otrs dos. Relciones fundmentles sen α Relción tg α cos α Relción sen α cos α Notción: sen Relción Relción Demostrción: α sen α cos α cos α tg α cos α cot g α sen α ct opue sen α hip ct opue tg α cos α ct cont ct cont hip Pitgors 6 78 ct op ct cont ct op ct cont hip sen α cos α hip hip hip hip sen α cos α sen α α cos α cos α cos α tg cos α sen α cos s α cot g α sen α sen α sen α Ejercicio: clculr ls restntes rzones trigonométrics sen5 cos 5sen 5 cos 5/ cos 5/ cos5 ± º ± como 5< 9 solo soluciones positivs 5 tg 5 sen cos5 Págin de 5

94 Tem 5.Trigonometrí I tg sen cos / / ± cosα cundo α,9º rzones trigonométrics son positivs senα cosα/ Otr form: cos cos cos tg sen tg sen tg cos cos. Rzones trigonométrics de º, 5º 6º Ls rzones trigonométrics de º, 5º 6º son mu importntes, que se usn mucho. Además se crcterizn porque se pueden clculr prtir del teorem de Pitágors. Vmos clculrls Ángulo α5º, si dibujmos un triángulo rectángulo con α5º se crcteriz que es isósceles: b b b 5º b 5º cb sen5 cos5 tg5 b Ángulo αº α6º, este ángulo es el que se form l dividir un triángulo equilátero en dos: 6º b/ º c c -/ c / c sen6ºcos cos6ºsen tg6º / tg Págin de 5

95 Tem 5.Trigonometrí I. Resolución de triángulos rectángulos. Resolver un triángulo rectángulo es obtener prtir de los dtos conocidos todos los ángulos ldos de dicho triángulo. Pr resolver un triángulo utilizremos los siguientes teorems:. Teorem de Pitágors. Sum de ángulos es 8º. Rzones trigonométrics Todo triángulo rectángulo se puede clculr si conocemos dos dtos, siempre que uno de ellos se un ldo. Vmos ver dos csos.. Conociendo dos ldos Nos fltrí conocer un ldo dos ángulos que el otro ángulo es 9º. Psos El tercer ldo se clcul por Pitágors b Clculmos los otros dos ángulo prtir de ls rzones trigonométrics Ejemplo: resolver el siguiente triángulo 5cm B c c 5 cm cosĉ /5 Ĉ rcos/55º7 8 B ˆ 9º Cˆ 6º 5'" C cm A.. Conociendo un ldo un ángulo Nos flt conocer otro ángulo dos ldos Obtenemos el otro ángulo restndo 9º el que nos hn ddo b Obtendremos los otros dos ldos prtir de ls rzones trigonométrics Ejemplo: resolver el siguiente triángulo C 5cm C ˆ 9º Bˆ 58º sen5/ 5/sen 9,cm tg5/c c5/tg 8m B º c A Págin 5 de 5

96 Tem 5.Trigonometrí I.. Cálculo ltur con doble medid Cundo queremos clculr l ltur de un montñ, cs, etc. pero no somos cpces de cercrnos l bse, por tnto no podemos clculr l distnci de un punto l objeto que desemos medir tendremos que utilizr otro método. Vemos como con dos medids indirects podemos obtener l ltur. Donde conocemos l, α, α h tgα h/l tgα h/ α l α es un sistem con dos ecuciones dos incógnits. 5. Rzones trigonométrics de ángulo culquier. Hst hor hbímos definido ls rzones trigonométrics en triángulos rectángulos, de tl form que los ángulos, no recto, ern siempre menores 9º. En este prtdo vmos etender ls definiciones pr culquier ángulo º 6 Definición: l circunferenci goniométric es un circunferenci de rdio unidd en donde los ángulos se sitún de l siguiente form vértice en el centro el rdio horizontl es el eje OX el verticl OY un ldo del ángulo situdo en ldo positivo del eje OX el otro ldo formndo ángulo α en el sentido contrrio ls gujs del reloj. Ejemplo: situmos αº en l circunferenci goniométric: αº P Definición de rzones trigonométrics en l circunferenci º 6 : senαcoordend verticl del punto PP cosαcoordend horizontl del punto PP tgα α α Págin 6 de 5

97 Tem 5.Trigonometrí I Vemos gráficmente los vlores de senα, cosα tgα P α P P Eplicción de l tngente: tenemos que tgαp /P. Se cumple que el triángulo rectángulo de ctetos P P es semejnte l que tiene de ldo horizontl rdio circunferenci verticl l líne verde pongmos que su tmño es. Al ser semejntes tgαp /P /líne verde. 5.. Signo de ls rzones trigonométrics en los distintos cudrntes En este prtdo vmos ver el signo de ls rzones trigonométrics según el vlor del ángulo, α. Pr entender est tbl simplemente h que recordr l definición del seno el coseno ver l posición de P pr estos vlores de α. El signo de l tngente se deduce de tgαsenα/cosα senα cosα tgα º<α<9º cudrnte I 9º<α<8º cudrnte II - - 8º<α<7º cudrnte III - - 7º<α<6º cudrnte IV Reducción de un ángulo l primer cudrnte. 6.. Ángulos complementrios Definición: dos ángulos α α se dicen complementrios si sumn 9º αα 9º. De est form llmremos α 9-α. Vemos ls relciones entre ls rzones trigonométrics de los ángulos complementrios, pr esto poémonos en l circunferenci goniométric: senαcos9-α cosαsen9-α tgα/tg9-α 9-α α Págin 7 de 5

98 Tem 5.Trigonometrí I 6.. Ángulos suplementrios Definición: dos ángulos α α se dicen suplementrios si sumn 8º αα 8º. De est form llmremos α 8-α. Vemos ls relciones entre ls rzones trigonométrics de los ángulos suplementrios, pr esto poémonos en l circunferenci goniométric. 8-α α senα sen8-α cosα -cos8-α tgα -tg8-α 6.. Ángulos que difieren 8º En este prtdo vmos ver ls relciones entre ls rzones trigonométrics de los ángulos que difieren 8º α, α8º, pr esto poémonos en l circunferenci goniométric. 8α α senα -sen8α cosα -cos8α tgα tg8α 6.. Ángulos opuestos o que sumn 6º En este prtdo vmos ver ls relciones entre ls rzones trigonométrics de los ángulos que sumn 6º α, 6º-α, pr esto poémonos en l circunferenci goniométric. Not: en l clculdor los ángulos del IV cudrnte precen con signo negtivo, es decir el giro en sentido horrio de los ángulos se pueden considerr negtivos. Ejemplos: º-º, º-6º Págin 8 de 5

99 Tem 5.Trigonometrí I senα -sen6-α α cosα cos6-α 6-α tgα -tg6-α Ejercicio: clculr el vlor de ls siguientes rzones trigonométrics sin utilizr l clculdor: αº α8-6. Son ángulos º 6º son suplementrios, pliquemos ls relciones vists en el prtdo 6. senº sen6º cosº -cos6º - tgº -tg6º - αº α8º6º. Los ángulos º 6º se diferencin en 8º, pliquemos ls relciones vists el prtdo 6.. senº -sen6º- cosº -cos6º - tgº tg6 αº-6º α6º-6º. Los ángulos º 6º sumn 6º, pliquemos ls relciones vists en el prtdo 6.5. senº -sen6º - cosº cos6º tgº -tg6º - α6º, sbiendo que senº,7, cosº.98, tgº.8, podemos relcionr este ángulo con 7º de l siguiente form α6º7º-º. Vemos con l circunferenci goniométric como relcionrlos: Págin 9 de 5

100 Tem 5.Trigonometrí I α sen7-α-cosα cos7-α-senα 7-α tgα/tg7º-α A prtir de esto podemos ver el vlor de ls rzones trigonométrics de 6º sen6º-cosº -.98 cos6º-senº -.7 tg6º/tgº 5.6 Ejercicio: clculr los ángulos que cumplen: senα.5 b cosα-. c senα-. d cosα.7 senα< Solución: senα.5 αrcsen.5.5º clculdor. Si dibujmos el ángulo obtenemos el otro ángulo que cumple que el seno vle.5 8-α L otr solución es α 8º-α 65.5º α Págin de 5

101 Tem 5.Trigonometrí I b cosα-. α 7.5º clculdor. Si dibujmos el ángulo obtenemos el otro ángulo que cumple que el coseno vle -. L otr solución es α 7º-7.5º5.5º α 9º7.5º 7º-7.5º c senα-. α -5.7ºclculdor α 5.º. Si dibujmos el ángulo obtenemos el otro ángulo que cumple que el seno vle -. α 5. L otr solución es α 8º5.7º85.7º α 8º5.7º d cosα.7 senα< α 5.6º, pero el senα > cudrnte I, luego no es ángulo que buscmos. Vemos prtir de l circunferenci goniométric otro ángulo,α, que cumpl que su coseno es tmbién.7 pero el seno se negtivo. Not: Aunque 5.6º es mu próimo 5º, l hor de dibujrlo lo hremos más cerc de 9º fin de que podmos distinguir el tmño del seno coseno que en 5º son igules. α5.6º El ángulo α 6º-5.6º.º cumple que cosα.7 pero hor si senα <. Lugo l solución es α.º 6º-5.6º Págin de 5

102 Tem 5.Trigonometrí I 7. Teorem del seno del coseno Estos teorems se utilizn pr resolver triángulos no rectángulos, en los que no podemos plicr ni el teorem de Pitágors, ni ls rzones trigonométrics. Es posible resolver los triángulos sin necesidd de conocer los teorems del seno del coseno, trzndo un de sus lturs descomponemos el triángulo en dos triángulos rectángulos podremos plicr el teorem de Pitágors ls rzones trigonométrics. Si bien result más sencillo metódico plicr los teorems del seno del coseno 7.. Teorem del seno Ddo un triángulo ABC, l cul trzmos un de sus lturs, por ejemplo l del vértice C, cortndo en el ldo c en el punto H dividiendo el triángulo en dos rectángulos AHC BHC: C b h c A n H c m B Clculemos l ltur h c prtir de los triángulos rectángulos de l rzón seno: h sen Aˆ c b senbˆ b senaˆ h c sen Bˆ b senaˆ senbˆ Si trzmos l ltur del vértice A obtendrímos de form nálog l siguiente relción: c b sencˆ senbˆ Teniendo en cuent ls epresiones nteriores, obtendremos ls relciones que se conocen como el teorem del seno. Teorem del seno: en todo triángulo los ldos son proporcionles los senos de sus ángulos opuestos: b c senaˆ senbˆ sencˆ Not: el cociente de ests relciones es igul R, siendo R el rdio de l b c circunferenci circunscrit: R senaˆ senbˆ sencˆ Págin de 5

103 Tem 5.Trigonometrí I 7.. Teorem del coseno Apliquemos Pitágors en el triángulo CBH: CBH : hc m hc c n b n c cn n b c cn CHA: b hc n hc b n Aplicndo el coseno del triángulo ACH : n cos Aˆ n b cos Aˆ b Sustituendo en l ecución nterior, obtendremos un de ls ecuciones del teorem del coseno: b c b c cos Aˆ Podemos llegr epresiones nálogs trzndo ls otrs dos lturs, correspondientes los vértices A B. Teorem del coseno: ls relciones entre los tres ldos los ángulos de culquier triángulo son: b c b c c b b c cos Aˆ c cos Bˆ b coscˆ 8. Resolución de triángulos no rectángulos Resolver un triángulo culquier es determinr todos sus elementos, es decir, sus tres ldos ángulos. Pr resolverlo plicremos los siguientes teorems: Teorem del seno Teorem del coseno L sum de los ángulo del triángulo es 8º A ˆ Bˆ Cˆ 8º Un triángulo qued determindo siempre que conozcmos de sus 6 elementos, siempre que no sen sus ángulos. Pr evitr que los errores se propguen es recomendble utilizr los dtos que nos dn inicilmente, no los que hemos ido clculndo. No siempre un triángulo se puede resolver, es decir con los dtos ddos nos dn soluciones imposibles. Tmbién veces con los dtos ddos tendremos dos soluciones. El cso más problemático es cundo se conocen dos ldo uno de los ángulos que no formen los dos ldos. Por lo generl el teorem del coseno se utiliz cundo se conocen más ldos que ángulos. Págin de 5

104 Tem 5.Trigonometrí I 8.. Conocido dos ldos uno de los dos ángulos que no form estos ldos. Este es el problem más complejo, pues puede ocurrir tres coss: No teng solución b Dos soluciones c Un solución es triángulo rectángulo Ejemplo 5cm, bcm,  º dos soluciones Opción Teorem del coseno b c -bc cos  5c - c cos c c 7,6cm -,6 c75 c c,5cm c Si cc 7.6, pliquemos teorem del seno senaˆ sencˆ sen sencˆ 7.6 sen Ĉ rcsen 9º B ˆ º 5 c b Si cc.5, pliquemos teorem del seno senaˆ sencˆ 5.5. sen sencˆ,5 sen Ĉ rcsen 8º 5 Opción b Teorem del seno sena ˆ senb ˆ 5 ˆ ˆ sen B 59º B rcsen sen senbˆ 5 ˆ B º Ls dos son soluciones son posibles pues A ˆ Bˆ < 8º Si B ˆ 59º : C ˆ 8º, pr clculr c plicmos teorem del coseno: c b b cos Cˆ c 7, 6cm b Si B ˆ º : C ˆ 9º, pr clculr c plicmos teorem del coseno: c b b cos Cˆ c. 5cm Págin de 5

105 Tem 5.Trigonometrí I Gráficmente B B 5cm 5cm A º cm C cm, bcm,  75º soluciones Opción Teorem del coseno b c -bc cos  c - c cos75º c -,5 c cno solución rel Opción b Teorem del seno sena ˆ senb ˆ sen B ˆ 75 rcsen nosol sen75 senbˆ Gráficmente cm A 75º cm C Págin 5 de 5

106 Tem 5.Trigonometrí I cm, bcm,  º solución Opción Teorem del coseno b c -bc cos  c - c cosº c - c c doble b Si c, pliquemos teorem del seno senaˆ senbˆ sen senbˆ sen Bˆ rcsen 9º C ˆ 6º Opción b Teorem del seno sena ˆ senb ˆ ˆ sen B rcsen 9º sen senbˆ C ˆ 6º. Teorem del coseno pr clculr c: c b -b cos Ĉ c Gráficmente cm A º cm C Págin 6 de 5

107 Tem 5.Trigonometrí I 8. Conocido los tres ldos Puede ocurrir:. Un únic solución. Ningun solución: esto ocurre cundo un ldo es mor o igul que l sum de los otros dos, o menor o igul que l rest de los otros dos. Ejemplo : cm,bcm, c5cm. Apliquemos el teorem del coseno pr obtener lguno de los ángulos: b b c b c cos Aˆ 65- cos cos,º c c cos Bˆ 65- cos cos 9,6º 8 8, Ejemplo : cm,bcm, c7cm. Apliquemos el teorem del coseno pr obtener lguno de los ángulos: b c b c cos Aˆ cos cos ó 8.. Conocido dos ldos el ángulo que formn. Siempre un solución Ejemplo: 6º, cm, bcm Teorem del coseno c b -b cos c - cos6 c cm c Teorem del seno Aˆ 9 sena ˆ senc ˆ sena ˆ sen6 8.. Conocidos dos ángulos un ldo Siempre un únic solución. Ejemplo: 6º, 8º m º Teorem del seno: Teorem del seno: c sena ˆ senc ˆ sen 8 b sena ˆ senb ˆ sen 8 c c 8,8 m sen6 b b 6,5 m sen6 B ˆ º 9. Áre de un triángulo En este prtdo vmos poner el áre de culquier triángulo en función de los ldos los ángulos. Sbemos de cursos nteriores que el áre es: A triángulo L ide es poner l ltur en función de los ldos los ángulos, vemos como: Págin 7 de 5

108 Tem 5.Trigonometrí I b h c C A triángulo A c B De igul form repitiendo el proceso pr el resto de lturs tenemos que el áre del triángulo es en función de los ldos los ángulos son: A triángulo Ejercicios finles: Relción entre ls rzones trigonométrics Clculr sin hcer uso de l clculdor ls demás rzones trigonométrics. senα. cudrnte II b. cosα-. cudrnte III c. tgα cudrnte I Solución. sen αcos α. cos α cos α.96cosα.96 l solución es cosα-.96 l ser del cudrnte II tgαsenα/cosα tgα-./.96 b. sen αcos αsen α-. sen α.9senα.9 l solución es senα-.9 l ser del cudrnte III tgαsenα/cosα tgα.9/. sen α cos α sen α cos α sen α cos α c. sen α sen α tg α cos α sen α cos α cos α Tenemos un sistem con dos ecuciones dos incógnits fácilmente resoluble sustituendo en l primer ecución senαcosα: cosα cos α 5cos αcos α/5 cosα / 5 l solución es cosα/ 5 que es del cudrnte I senα/ 5 Págin 8 de 5

109 Tem 5.Trigonometrí I Comprueb que son cierts ls siguientes igulddes: tg α. tg α cot g α tg α tg α tg α Solución: tg α cot g α tg α tg α tg α cos α b. sen α sen α cos α sen α sen α sen α Solución: sen α sen α sen α sen α c. sec cosec sec cosec Solución:sec cosec sen cos cos sen cos sen sec cosec cos sen cos sen Simplific ls siguientes epresiones. sencos sen-cos Solución: sencos sen-cos sen cos sen cossen cos - sen cos sen cos b. sen sen cos sen sen sen cos sen sen cos sen Solución: sen sen sen Problems de geometrí Clculr el perímetro de un pentágono regulr inscrito en un circunferenci de cm de rdio. Clculr su áre Ángulo del pentágono α6º/57º h 6º Págin 9 de 5

110 Tem 5.Trigonometrí I Ldo pentágono sen6º/ sen6º7.6cm Perímetro 76cm Apotemh cos6º/ cos6º.cm áre p p cm 5 En un trmo de crreter l inclinción es del 5% sube 5m en m. Clculr el ángulo que form con l horizontl l crreter. Sbemos que hemos subido m, Cuánto hemos nddo por l crreter? 5 α senα.5 αrcsen.5.87º.87º senα.5/ m 6 Desde un cierto punto del suelo se ve un árbol bjo un ángulo de º bjo qué ángulo se ve colocándose l doble de distnci? h º α tgº.9h/ tgαh/.5 αrctg.5,º Págin de 5

111 Tem 5.Trigonometrí I 7 Desde un fro F se ve un brco A con ángulo de º con l cost, el brco B con º. El brco B está km de l cost el A 5km. Clculr distnci entre los brcos. º º 5km km Podemos clculr l distnci si conocemos los ctetos del triángulo rojo. Uno de los dos ctetos mide 5km-kmkm. El otro es -. Clculémoslo: tg/ /tg7.8km tgº5/ 5/tgº5.km Así l distnci entre los dos brcos definid por l hipotenus de un triángulo con ctetos de km de -.km d.. 8 Clculr l ltur del edificio: 5 m º l º senº/5 5 senº5m cosºl/5 l 5 cosº6.5m tgº/l 6.5m tgº8.m h cs -56.m Págin de 5

112 Tem 5.Trigonometrí I 9 Clculr l ltur de l torre grnde prtir del siguiente dibujo 5º º 5m 5 senº7.5m l5 cosºm tg5º/l l tg5º5.5m lturm Ecuciones. Resolver ls siguientes ecuciones. sen -sen b. cossen c. tg sec d. sen.5 Solución. sen -, -,. º 6k Si sen rcsen 8º 6k Si sen rcsen9º 6k b. Tenemos epresr l ecución sólo en función del seno o del coseno, pr esto utilizmos sen cos sen -cos cossen cos-cos cos-cos Llmndo cos l ecución será: - -,. Págin de 5

113 Tem 5.Trigonometrí I 9º 6k Si cos rccos 7º 6k Si cos rccosº 6k c. tg sec sen sen cos cos rcsen rcsen sen ± 5,6º 6k 8º 5,6º.7º 6k 6º 5,6º,7º 6k 8º 5,6º 5.6º 6k º 6k d. sen.5 rcsen.5 5º 6k k 5º 6k Si º6k k 95º 6k k 75º 6k Si 5º6k k 55º 6k ± Teorem del seno del coseno. Resolución triángulos no rectángulos Resolver los siguientes triángulos 5º, b5m, m b º, 5cm, bcm c 5º, 6º, bm d 5º, bm, c6m e 5cm, bcm, ccm 5º, b5m, m Este es el cso en el que puede hber dos soluciones. Veámoslo: Teorem del seno: b senaˆ senbˆ sen 5º 5 ˆ ˆ B sen Bˆ,88 B sen Bˆ ˆ B Los dos ángulos son soluciones, pues l sum con B <8º 6,º 7,89º Págin de 5

114 Tem 5.Trigonometrí I Solución : Bˆ 6,º C ˆ 7,89º c Clculemos c por el teorem del seno senaˆ sencˆ c c5m sen5 sen7.89º Solución : Bˆ 7,89º C ˆ 7,º c Clculemos c por el teorem del seno senaˆ sencˆ c c6,6m sen5 sen7,º b º, 5cm, bcm Este problem sólo puede tener un solución: Apliquemos el teorem del coseno pr clculr c: c b -b cos 59- cos8,cm c,8cm Teorem del seno pr clculr : c senaˆ sencˆ 5 senaˆ sen Ls dos soluciones precen válids, luego lo comprobremos: Solución : º, 6º, 88º 5cm, bcm, c,8cm. Solución : º, 8º, º 5cm, bcm, c,8cm.,8 ˆ ˆ A 6º A ˆ A 8º En este cso l solución no es válid,pues cunto mor se el ldo mor el ángulo. Y en l solución vemos como es el mor ldo no es el mor ángulo. c 5º, 6º, bm Podemos fácilmente clculr el otro ángulo º Utilicemos el teorem del seno pr clculr los ldos que fltn: b c senaˆ senbˆ sencˆ,6m sen5 sen75 c c 7.9m sen75 sen6 d 5º, bm, c6m Utilicemos el teorem del seno pr clculr el ángulo b c 6 senbˆ,7 No solución senbˆ sencˆ senbˆ sen5º e 5cm, bcm, ccm Por el teorem del coseno obtendremos el ángulo desedo: Págin de 5

115 Tem 5.Trigonometrí I b c b c cos Aˆ cos Aˆ Aˆ 77,6º b c c cos Bˆ cos Bˆ Bˆ 5,º Cˆ 8 Aˆ Bˆ 5,º Págin 5 de 5

116 Tem 6. Trigonometrí II. Teorem de dición..... Rzones trigonométrics de l sum de dos ángulos Rzones trigonométrics de l diferenci de dos ángulos..... Rzones trigonométrics del ángulo doble mitd Rzones trigonométric del ángulo doble Rzones trigonométric del ángulo mitd Trnsformciones de sums de dos rzones trigonométrics en productos Ecuciones trigonométrics Sistems de ecuciones trigonométrics Sistems resolubles por los cmbio de vrible o por reducción Sistems donde un ecución del sistem es resoluble....

117 Tem 6. TrigonometríII. Teorem de dición.. Rzones trigonométrics de l sum de dos ángulos. Muchs veces es de utilidd poder clculr ls rzones trigonométrics de un sum de ángulos prtir de conocer ls rzones trigonométrics de los ángulos independientes. El objetivo del prtdo es epresr ls rzones senb, cosb tgb en función de sen, senb, cos, cosb, tg, tgb. Pr clculrlo utilizremos l siguiente figur: P sen b AP AR RP CB RP cos b OA OC AC OC RB R B b b O A C Nots: Se cumple que el ángulo COB RPB l ser sus ldos rects perpendiculres. CB sen CB OB sen OB RB sen RB PB sen PB RP cos RP PB cos PB OC cos OC OB cos OB PB sen b PB sen b OB cos b OB cos b Con ests igulddes fácilmente relcionremos el seno coseno de l sum de dos ángulos con ls rzones simples: sen b sen cos b cos sen b cos b cos cos b sen sen b Págin de 6

118 Tem 6. TrigonometríII Pr clculr l tngente dividmos seno coseno: sen b sen cos b cos sen b tg b cos b cos cos b sen sen b tg tg b tg tg b { dividiendo num den por cos cos b sen cos b cos sen b cos cos b cos cos b sen sen b cos cos b Regrupndo los resultdos: sen b sen cos b cos sen b cos b cos cos b sen sen b tg tg b tg b tg tg b.. Rzones trigonométrics de l diferenci de dos ángulos. A prtir de ls rzones trigonométrics de l sum es sencillo clculr ls rzones de l diferenci. Sólo h que relcionr sen-b cos-b con senb cosb. Pero b6-b, en el tem nterior vimos hcer dibujo circunferenci goniométric: sen-bsen6-b-senb cos-bcos6-bcosb tg-btg6-b-tgb De est form: sen-bsen-bsen cos-bcos sen-bsen cosb-cos senb cos-bcos-bcos cos-bsen sen-bcoscosbsen senb tg tg b tg tg b tg b tg b tg tg b tg tg b Resumiendo: sen b sen cos b cos sen b cos b cos cos b sen sen b tg tg b tg b tg tg b Págin de 6

119 Tem 6. TrigonometríII Ejercicio: clculr ls rzones trigonométrics de 75 º 5º prtir de ls rzones de º, 6º 5º. Comprueb los resultdos clculndo ls rzones trigonométrics de 9º prtir de ls rzones de 5º 75º. sen75º sen5º º sen5 cos cos5 sen cos75º cos5º º cos5 cos sen5 sen tg5 tg tg75º tg5º º tg5 tg 6 6 sen5º sen5º º sen5 cos cos5 sen cos5º cos5º º cos5 cos sen5 sen tg5 tg tg5º tg5º º tg5 tg sen9º sen75º 5º sen75 cos5 cos75 sen5 6 6 cos9º cos75º 5º cos75 cos5 sen75 sen tg75 tg5 tg9º tg75º 5º tg75 tg5 6 6 Págin de 6

120 Tem 6. TrigonometríII. Rzones trigonométrics del ángulo doble mitd... Rzones trigonométric del ángulo doble En este prtdo buscmos epresr ls rzones trigonométrics del ángulo doble,, en función de el ángulo. Pr clculrlo utilizmos ls rzones trigonométrics de l sum: sen sen sen cos cos sen sen cos cos cos cos sen sen cos sen tg tg tg tg tg tg tg Resumiendo: sen sen cos cos cos sen tg tg tg.. Rzones trigonométric del ángulo mitd En este prtdo buscmos epresr ls rzones trigonométrics del ángulo mitd, /, en función de el ángulo. Pr clculrlo utilizremos l rzón trigonométric del coseno del ángulo doble: cos cos sen sen sen sen cos cos sen cos Llmndo / sen ± cos ± tg ± cos cos cos cos cos cos sen ± cos ± cos cos Págin 5 de 6

121 Tem 6. TrigonometríII Ejercicio : clculr ls rzones trigonométrics de º prtir de ls rzones trigonométrics de 6º. sen sen 6 sen6 cos6 cos cos 6 cos 6 sen tg6 tg tg 6 tg 6 6 Ejercicio : clculr ls rzones trigonométrics de.5º prtir de ls rzones trigonométrics de 5º. sen.5 sen5 / cos.5 tg.5 cos5 / cos 5 cos 5 Not: hemos cogido ls soluciones positivs l pertenece.5º l primer cudrnte, por tnto ser sus rzones trigonométrics positvs. Ejercicio : poner sen en función de sen sen cos cos sen sen sen cos sen sen sen sen sen sen cos cos sen sen sen cos cos sen sen cos sen sen b poner cos en función de cos cos sen cos sen cos cos cos cos cos sen cos sen cos cos cos cos sen sen cos cos Págin 6 de 6

122 Tem 6. TrigonometríII c poner sen en función de sen sen sen sen cos sen cos cos sen sen cos sen sen sen sen. Trnsformciones de sums de dos rzones trigonométrics en productos. En este prtdo vmos ver como trsformr l sum o diferenci de dos rzones trigonométrics en un producto de rzones trigonométrics. Pr este objetivo prtimos de ls conocids rzones trigonométrics del seno coseno de l sum diferenci: sen b sen cos b cos sen b sen b sen cos b cos sen b sen b sen b sen cos b - sen b sen b cos sen b Como el objetivo es que sen los rgumentos de ls rzones trigonométrics sumds conocidos se reliz el siguiente cmbio de vrible: b A b B b De est form: A B A B A B A B sen A sen B sen cos A B A B sen A sen B cos sen Vmos ver l sum diferenci de cosenos: cos b cos cos b sen sen b cos b cos s cos b sen sen b cos b cos b cos cos b - cos b cos b sen sen b Hciendo el cmbio de vrible: Págin 7 de 6 A B A B cos A cos B cos cos A B A B cos A cos B sen sen

123 Tem 6. TrigonometríII Ejercicio5: Clculr sin clculdor sen75ºsen5º, sen75º-sen5º, cos75cos5, cos75-cos sen 75 sen5 sen cos sen5 cos sen 75 sen5 cos sen sen cos cos 75 cos5 cos cos cos5 cos 6 cos cos5 sen sen sen5 sen Ejercicio 6: Clculr sen5sen5-, coscos6, cos7--cos9-: sen 5 sen5 sen 5 cos cos cos cos cos 6 cos cos 7 cos9 sen 9 cos cos 9 cos 9 sen 8 sen9 sen8 sen Ejercicio 7: Simplific ls siguientes epresiones: sen5 sen cos sen tg cos5 cos cos cos b sen9 sen cos9 cos sen5 cos sen5 sen cot g c cos cos sen sen sen sen sen cos tg Págin 8 de 6

124 Tem 6. TrigonometríII. Ecuciones trigonométrics En el tem nterior hemos resulto ecuciones trigonométrics en los que los rgumentos que precín en tods l rzones ern el mismo. En este tem resolveremos ls ecuciones cundo prece en ls rzones diferentes rgumentos. Los objetivos pr resolver ls ecuciones son los siguientes:. Tendremos que buscr fctorizr ls rzones trigonométrics igulds cero. Pr esto se utiliz el teorem de l sum o diferenci, especilmente el teorem de l dicción. A prtir de los teorems del ángulo doble o mitd ls ecución sen cos poner tods ls rzones en función de un únic rzón trigonométric con mismo rgumento. Ejemplos: sencos. No podemos plicr el teorem de dicción, pues no h pr l sum de seno coseno. Pongmos sen con rzones trigonométrics de rgumento : sen coscos Como está l ecución iguldd cero podemos fctorizr: cos sen cos cos / 6 6 b sen-sen. Ahor si podemos plicr el teorem de dicción, demás como está iguldo cero será fácil resolver l ecución. sen-sen cos.sen cos º 6º k 5º 6º k 9 6 cos º 6º k 9º 6º k º 6º k º 6º k Págin 9 de 6

125 Tem 6. TrigonometríII c cos-sensen Tenemos que buscr tener el mismo rgumento, de form que pondremos cos como rzones trigonométrics de rgumento : cos-sensen cos -sen -sensen cos -sen -sen Pr que l ecución esté en función de un mism rzón trigonométric podremos cos en función del seno: cos -sen -sen -sen -sen - sen -sen sen,,77 sen, 5,7 6 5, 6 sen-.77 5, 9.9 6, 6 d sencos Pongmos sen en función de cos o l revés cos cmbio vrible cos elevndo l cudrdo - - -, 9 6 cos 7 6 cos 6k Tenemos que comprobr que solución es válid l elevr l cudrdo: - 9 sen9cos9 válid - 7 sen7cos7-, no válid - sencos, válid Págin de 6

126 Tem 6. TrigonometríII 5. Sistems de ecuciones trigonométrics Un sistem de ecuciones trigonométrics cundo l menos en un de ls ecuciones que l formn es un ecución trigonométric. Pr resolver los sistems trigonométricos no siempre sencillo, vemos los tipos de sistems más frecuentes: Not: en ls funciones trigonométrics donde prezcn ls incógnits en ecuciones no trigonométrics se suponen que están epresds en rdines. 5.. Sistems resolubles por los cmbio de vrible o por reducción. Son sistems donde precen dos rzones trigonométrics, tl que podemos hcer el cmbio de vrible obtener un sistem de ecuciones no trigonométrics. Ejemplos: sen cos X Y Xsen,Ycos X/, Y/. sen cos X Y X/ sen/ 5º6ºk, 75º6ºk, 95º6ºk, 55º6ºk Y/ cosy/ º6ºk, º6ºk, º6ºk, º6ºk, º6ºk, 6º6ºk cos sen - cos - sen -sen -sen º 6k sen 8º 6k -cos rdº 5.. Sistems donde un ecución del sistem es resoluble. sen cos π/- π / π 6º 6º k πk senπ/-cos coscos cos/ 5π º 6º k πk π π π πk πk 6 π 5π 7π πk πk 6 π Soluciones, si πk 6 π πk 7π ; si π k 6 5 π πk Págin de 6

127 Tem 6. TrigonometríII Págin de 6 k k k k sen sen 6º º 6º 6º 6º 5º 6º 5º. Tenemos posibles sistems: k k k k k k k 6º 87,5º 6º,5º 6º 7,5º 6º 5,5º 6º 5º 6º 6º 6º 5º b k k k k k k k 6º 7,5º 6º 6,5º 6º 7,5º 6º 8,5º 6º 65º 6º º 6º 5º c k k k k k k k 6º,5º 6º 77,5º 6º,5º 6º 97,5º 6º 95º 6º 6º 6º 5º d k k k k k k k 6º 7,5º 6º 7,5º 6º 5,5º 6º 7,5º 6º 55º 6º º 6º 5º PROBLEMAS SISTEMAS. Resolver los siguientes sistems cos sen - cos sen cos cos cos cos cos π π π π π π k k b cos cos sen sen cos sen cos sen sen º 9 9º

128 Tem 6. TrigonometríII Págin de 6 cos cos cos cos cos9 cos 9 ± sen sen sen sen sen k k k k k 6º º 6º º 6º º 6º 6º 6º º cos k k k k k k 6º º 6º º 6º º 6º º 6º 6º 6º 5º cos c k k k k k k 6º 6º 6º º 6º º 6º º 6º 6º 6º 6º cos cos cos cos cos cos cos d 6 sen sen π π 6 sen sen π k k k k k rcsen k k k k k rcsen X X X X X X X X sen sen sen X sen 6º 5º 6º 5º 6 5º 6º 5º 6 75º 6 6º 85º 6º 75º 6 65º 6º 75º 6 5º cos Hciendo ls comprobciones l elevr l cudrdo h que comprobr sólo son cierts: 75º6ºk, 5º 6ºk 5º6ºk, 75º6ºk

129 Tem 6. TrigonometríII Págin de 6 ECUACIONES. Resolver ls siguientes ecuciones k k k k sen π π π π π π π π π π π π π π 5 k k k k π π π π π π π π b º sen sen k k sen sen sen 6º 5º 6º º º k k k k k k k k 6º 9º 6º 7º 6º 5º 6º 5º 6º º 6º º º 5º º º c cos cos cos cos sen sen sen k k 6º 7º 6º 9º cos k sen º 6 9º

130 Tem 6. TrigonometríII Págin 5 de 6 d k k k k k k k k sen k k sen sen sen sen 6º 55º 6º 75º 6º 95º 6º 5º 8º 75º 8º 5º 6º 5º 6º º 6º 7º 6º 9º cos cos cos cos cos e ± k k k k k k k k k k sen 7 º 7 º 7 8º 7º º 7º 6º 7 º 6º º 6º º 6º 6 º 6º 6º cos cos 8 cos cos 6 cos cos 6 cos f k k sen sen sen sen sen sen sen sen sen sen 6º 5º 6 º cos cos cos Como hemos elevdo l cudrdo tenemos que comprobr ls soluciones: º cos sen Solución 5º cos5 5 sen No solución Otr form ide feliz: k k sen sen sen sen sen 6º º 6º 9º 6º 6º 6º cos cos6º cos cos

131 Tem 6. TrigonometríII Págin 6 de 6 SIMPLIFICACIONES. Simplific ls siguientes epresiones: cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos sen sen sen sen sen sen sen sen sen b cos cos cos cos cos cos cos cos cos sen sen sen sen sen sen tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg c cot cot cot cos cos cos g sen sen g sen sen g sen sen sen sen sen

132 Tem 7. Geometrí en plno. Vectores rects. Vectores puntos en el plno. Coordends.... Operciones con vectores Sum rest de vectores Producto de un número rel por un vector Punto medio de dos puntos Producto esclr de dos vectores Combinción linel de vectores Distnci entre dos puntos Ecución de l rect Vectoril prmétric Ecuciones de l rect continu generl Ecución punto pendiente eplícit de l rect Rects prlels perpendiculres Vector norml l rect Posición reltivs de dos rects Ángulo entre dos rects Distnci entre puntos rects Bisectrices de dos rects. Incentro de un tringulo..... Bisectriz..... Incentro.... Meditriz de un segmento. Circuncentro de un triángulo Meditriz de un segmento Circuncentro Medins lturs de un triángulo. Bricentro ortocentro Medins lturs Bricentro ortocentro... 8

133 Tem 7.Geometri nlític -D. Vectores puntos en el plno. Coordends El sistem de coordends crtesins es l mner más hbitul de ordenr l posición de los elementos en el plno en el espcio. En este tem nos centrremos en los sistems en el plno dimensiones Definición: sistem de coordends crtesins en el plno está formdo por dos rects perpendiculres eje verticl OY, eje horizontl OX que se cortn en un punto denomindo origen. Cd uno de los dos ejes está escldo de form que l distnci entre dos nturles consecutivos es l mism. L prte derech respecto l origen del eje OX es el semieje positivo siendo l izquierd el negtivo. En el eje OY l prte positiv es l de rrib del origen siendo l negtiv l inferior Definición: un punto P en el plno nos describe un posición, viene definido por dos coordends P,, siendo ls proecciones del punto en los ejes OX OY. Los puntos se escriben con músculs ls coordends se escriben continución de l letr sin escribir el símbolo igul entre mbs. Ejemplos: A-,-, B,-, C, C,;, B,; -, A -,; -, Definición: vector fijo entre dos puntos A origen B etremo es un segmento orientdo crcterizdo por: Dirección o rect que le contiene o culquier prlel Sentido u orientción del vector de A B Módulo o longitud del segmento Origen el punto A Coordends del vector fijo: el vector crcterizdo por dos coordends,, donde indic ls uniddes que vnz en el eje horizontl e ls uniddes de vnz en el eje verticl. Ls coordends se obtienen restndo ls coordends del etremo menos l del origen, si A, B b, b b -, b -. Págin de

134 Tem 7.Geometri nlític -D Ejemplo: vemos gráficmente el vector :, B,; -, A -,; -, Vemos en este ejemplo,, vemos que vnz uniddes l derech hci rrib. El módulo del vector se denot como. Pr clculr el módulo de un vector, b -, b - plicmos el teorem de Pitágors: Not:, es decir mismo módulo dirección, pero sentido opuesto. Definición: vectores equipolentes son los que tienen mism dirección, sentido módulo, lo único que cmbi es el origen del vector. Ls coordends son ls misms en todos los vectores equipolentes. Ejemplo: A-,-, B,-, C,, D5,,,, 5,;,,;, B,; -, A -,; -, Págin de

135 Tem 7.Geometri nlític -D Definición: vector libre es el conjunto de todos los vectores equipolentes, se suelen denotr con un letr minúscul con vector rrib. A l hor de representrlos se suele tomr el vector cuo origen está en el origen de coordends. Ejemplo, v, Ejercicios Ejercicio. Representr los vectores siendo A,, B-,7, C6,, D,6 observ que son equipolentes. Clcul ls coordends el módulo. -,; 7,,; 6, -, ,;, 6,;, Ejercicio. Ddos los puntos A,-, B,6 C, hllr el punto D pr que los vectores sen equipolentes. D,,,6,7,. Como son equipolentes se cumple, 7 D,7 Págin de

136 Tem 7.Geometri nlític -D. Operciones con vectores.. Sum rest de vectores L sum de dos vectores,, es otro vector libre que se denot como,. Gráficmente el vector sum es que se obtiene de l siguiente form: Se sitún los dos vectores con mismo origen A prtir de los dos vectores se gener un prlelogrmo El vector sum es l digonl del prlelogrmo Propieddes: Conmuttiv: Asocitiv: w L diferenci de dos vectores,, es otro vector libre que se denot como -, -. Gráficmente el vector diferenci es que se obtiene de l siguiente form: Se sitún los dos vectores con mismo origen El vector diferenci es el vector que une el etremo de con el de Págin 5 de

137 Tem 7.Geometri nlític -D.. Producto de un número rel por un vector. El producto de un vector libre, por un número rel λ es otro vector libre λ λ, λ tl que se cumple: Mism dirección El módulo: λ λ El sentido es tl que si λ> mismo sentido si λ< sentido contrrio Ejemplo gráfico:.5 Ejemplo nlítico:,, 6,8 módulo 9 6 5, Ejercicio. Representr los vectores siendo A,, B,5 C6,-. Hll sus coordends b Representr obtén ls coordends c Representr, -, hllr sus coordends d Represent hll ls coordends de -,,, 7 b 5,-5 c 9,6, 6,,, d - 9,6-8,-8, Págin 6 de

138 Tem 7.Geometri nlític -D.. Punto medio de dos puntos En este prtdo seremos cpces de clculr el punto medio un segmento prtir de l sum de vectores. Considermos el segmento con etremos A, B b, b vmos determinr el punto medio M m, m. Observ l figur: B O Epresndo los vectores en coordends: b -, b - m -, - m De donde despejndo obtenemos ls coordends de M: Ejercicio : Hllr el punto medio del segmento de vértices A,, B,-. Dividir el segmento nterior en tres prtes M, M.5, b Llmemos M, M, los puntos que dividen el segmento AB en tres prtes, se cumple:,--,- 9, -,- Págin 7 de

139 Tem 7.Geometri nlític -D. Producto esclr de dos vectores El producto esclr de dos vectores libres u,u v,v es un número cumple: cos, Se puede clculr de form nlític de l siguiente form: u v u v Siendo, el ángulo que formn los dos vectores. Si dos vectores son perpendiculres se cumple que cos, por tnto su producto esclr es nulo: Ls dos definiciones del producto esclr nos permiten clculr el ángulo que form los dos vectores, simplemente despejndo cos, de ls dos ecuciones: cos, Ejercicio 5: clculr el producto esclr de,5, sí como el ángulo que formn los dos vectores. u v u v cos,, rcos,º Ejercicio 6: Clculr el vlor de pr que el vector, forme un ángulo de º con el vector,: cos, cos ± Comprobndo sólo válid l primer solución Págin 8 de

140 Tem 7.Geometri nlític -D. Combinción linel de vectores Un vector es combinción linel de dos vectores si eisten dos números reles que llmremos λ µ tl que λ µ Ejemplo:,-,-, 7,,, Ejercicio 7: Clculr λ µ: 6, λ, µ,- b,-6 λ, µ,- c,- λ,µ, b c 6 λ µ λ/5, µ/5 λ µ λ µ λ-, µ 6 µ λ µ Incomptible. λ µ Si los dos vectores no son proporcionles todo vector se puede poner como combinción linel de éstos linelmente independientes. Si son proporcionles esto no ocurre, ver ejemplo c. Se llmn linelmente dependientes Ejercicio 8: rellenr los cudrdos con números: D E H I J C O O F G K B A N M L 5 Págin 9 de

141 Tem 7.Geometri nlític -D Solución Distnci entre dos puntos L distnci de dos puntos A B, da,b, coincide con el módulo del vector, que recordemos que el módulo medi el tmño del vector, es decir l distnci entre el origen A el etremo B del vector: da,b Ejercicio 9: Se el triángulo de vértices A,, B,, C,-. Determinr si el triángulo es isósceles, equilátero o escleno. clculr los ángulos ver si es cutángulo, rectángulo o obtusángulo Viendo l distnci entre los vértices obtendremos el tmño de los ldos, sí podremos discernir si es equilátero, isósceles o escleno. cda,b, bda,c,- 8 db,c -,- 5 Los tres ldos son distintos, luego es escleno. Vemos los ángulos: AB AC 6 8 cos Aˆ Aˆ 5º AB AC 8 8 BA BC 5 cos Bˆ Bˆ 6,º BA BC 5 5 CB CA cos Cˆ Cˆ 7,6º CB CA 5 8 Acutángulo Págin de

142 Tem 7.Geometri nlític -D 6. Ecución de l rect Un rect en el plno, que llmremos r, está crcterizd por un punto P r, por donde ps l rect un vector director v,v que nos mrc l dirección de l rect. Veámoslo gráficmente: Tmbién qued definid con dos puntos, P r P r, que estos dos puntos definen el vector director de l rect. Ejercicio : Representr l rect que cumple: ps por P,-, Págin de

143 Tem 7.Geometri nlític -D 6.. Vectoril prmétric Todo punto P, de l rect tiene misms coordends que el vector,. El vector se puede epresr como sum del vector r, con P r punto de l rect, de un número de veces el vector director. Vemos un ejemplo: De est form todo punto P, de l rect se podrá epresr como r t. Con t un número rel. Epresándolo en coordends tenemos l ecución vectoril de l rect: r:,, t v, t v Ecución vectoril L ecución en prmétrics se obtiene seprndo ls dos coordends: r: t v t v Ecución en prmétrics Ejemplo: epresr l rect que ps por los puntos A, B,5 en form vectoril prmétric. Obtener dos puntos más de l rect: Tomemos uno de los puntos como punto de l rect, por ejemplo A: P r, El vector director es el vector que formn los puntos A B, Vectoril r:,,t, t Prmétrics r: t Puntos de l rect dndo vlores t: t,, que es A t,,5 que es B t.5,,.5 t-,-,- Págin de

144 Tem 7.Geometri nlític -D Ejercicio : clculr l ecución vectoril prmétric de un rect que ps por los puntos A, B,-. Obtener dos puntos más de l rect: Tomemos uno de los puntos como punto de l rect, por ejemplo A: P r, El vector director es el vector que formn los puntos A B,- Vectoril r:,,t,- t Prmétrics r: t Puntos de l rect dndo vlores t: t,, que es A t,,- que es B t.5,.5, t-,-, 6.. Ecuciones de l rect continu generl Ecución continu: En ls dos ecuciones prmétrics de r lo que vmos hcer es eliminr l t del sistem relcionr con como si fuer un función. Despejndo t de l ecución en prmétrics tenemos: t t v v v v L ecución de l rect r que ps por el punto P, con vector director v,v, siempre que v v viene dd por l epresión: r: Not: v v Ecución continu de l rect Si v entonces es un rect prlel l eje OY r: Si v entones es un rect prlel l eje OX r: Págin de

145 Tem 7.Geometri nlític -D Ejemplos: l rect que ps por P r,-,- tiene l ecución continu: r: Pr hllr otros puntos de l rect hcemos l tbl de vlores - P,- - 6 v r,- L rect que ps por P r,-, tiene l ecución continu: r: v r, P,- Ecución generl: consiste en multiplicr en cruz en l ecución continu, ordenr todos los términos en el mismo ldo de l iguldd, obteniendo l siguiente epresión: v - v - operndo: ABC Ecución generl Not: como veremos en el prtdo 6.5 el vector, es norml l rect. Págin de

146 Tem 7.Geometri nlític -D Ejemplo : l rect que ps por P r,-,- tiene l ecución continu: r: r: Ecución punto pendiente eplícit de l rect Ecución punto pendiente: se llm sí porque se obtiene fácilmente prtir de conocer un punto de l rect P, l pendiente m. L pendiente m nos indic el crecimiento o decrecimiento de l rect: m> crece m< decrece m no crece ni decrece prlel l eje OX m crece infinito prlel eje OY Se puede obtener l ecución prtir de l continu: v v - m - - v /v - : Ecución punto pendiente Si en vez de conocer conocemos dos puntos P, P, l pendiente será recordemos que : v m v Ecución eplícit de l rect: se obtiene despejndo l de l ecución generl, de l ecución punto pendiente o de l continu: m n Ecución eplícit El vlor de n se llm ordend en el origen pues el vlor de cundo. Así l rect r psrá por el punto,n. Págin 5 de

147 Tem 7.Geometri nlític -D Ejercicio : clculr l ecución de l rect en form punto pendiente, eplícit, generl, vectoril prmétric sbiendo que ps por el punto P, P,-. Clculemos el vector director: -,-5 5 m 5 Ecución punto pendiente: r: 5 - Ecución eplícit: r: 5- Ecución generl r:-5 Ecución vectoril r:,,-t-,-5 t Ecución prmétric r: 5t 6. Rects prlels perpendiculres Prlels: dos rects prlels serán ls que tengn los vectores directores proporcionles, de tl form que estos tengn mism dirección. Vemos como por tnto tienen mism pendiente: r, r,,, Perpendiculres: dos rects son perpendiculres si sus vectores directores son perpendiculres, por tnto su producto esclr es cero. Un form de conseguir un vector perpendiculr uno ddo,,, es cmbir ls coordends por, un signo de un de ls dos coordends,. Veámoslo relcionemos sus pendientes:,,. Ejemplo es perpendiculr -. Conclusión: r r mm r r m-/m Págin 6 de

148 Tem 7.Geometri nlític -D Ejercicio : dd l rect r: -, clculr: L rect prlel est que ps por P,- en generl continu b L rect perpendiculr que ps por P, en continu Primero clculemos l pendiente de r despejndo, m r : r : - r:. Pr psrl continu clculemos un vector director, dos métodos i Clculmos otro punto P 5, -8,-6 ii A prtir de l pendiente m,- b m -/m/ r: -/- r : / r : 6.5. Vector norml l rect Llmmos vector norml l rect, todo vector que se perpendiculr l rect, por tnto perpendiculr l vector director de l mism,. Recordemos que dos vectores son perpendiculres si su producto esclr es cero, luego un form sencill de clculr un vector norml es cmbir ls coordends de orden un de ells cmbirl de signo:,. Comprobémoslo: Por otro ldo cundo clculábmos l ecución generl de l rect r, los vlores de A B de l ecución r:abc ern Av B-v por tnto un vector norml de l rect es, con A B coeficientes de e en l ecución generl de l rect. Ejemplo: un vector norml l rect r: - es, Ejercicio : clculr l rect que tiene como vector norml 5, ps por P,-. Vris forms: A prtir de l ecución generl A5, B, r: 5C. Como P r cumple 5 -C C. Por tnto l ecución de l rect es r: 5 A prtir de l ecución punto pendiente m perp /5 m-5/. r: -5/- Ecución vectoril o continu,5 r:,,-t-,5 ó r : 5 Págin 7 de

149 Tem 7.Geometri nlític -D 7. Posición reltivs de dos rects En este prtdo veremos ls posiciones reltivs entre dos rects, que pueden ser: Secntes: se cortn en un punto Prlels: si no tienen ningún punto en común mism pendiente, o vector director Coincidente: son l mism rect dos puntos en común. L posición reltiv l hemos estudido indirectmente cundo veímos ls soluciones de un sistem, que: si dos rects son prlels no se cortn no tienen solución. Sistem incomptible si son secntes se cortn en un punto por tnto un solución. Sistem comptible determindo si son coincidentes son l mism rect e infinits soluciones. Sistem comptible indetermindo. Si epresmos ls dos rects en form generl, tenemos r : A B C r': A' B' C' A B Secntes si distint pendiente A' B' A B C b Prlels si mism pendiente, pero no mismos puntos A' B' C' A A' C c Coincidentes si mism pendiente punto en común B B' C' 8. Ángulo entre dos rects En este prtdo vmos ver l form de obtener el ángulo que formn dos rects entre sí. De los dos ángulos que formn tomremos el menor de ellos. En el cso de que sen prlels o coincidentes el ángulo será de º. Es fácil clculr el ángulo entre dos rects si nos dmos cuent que es el mismo que formn sus dos vectores directores. Clculmos sí el ángulo de ls rects prtir del ángulo que formn sus vectores directores. Sen sí dos rects r r con vectores directores, el ángulo que formn es l siguiente: vr vr ' r, r, rccos v v r r ' Págin 8 de

150 Tem 7.Geometri nlític -D Ejercicio 5: clculr el ángulo que formn ests dos rects: r : r': 5 Primero clculemos sus vectores directores, hremos cd uno de ellos por métodos diferentes. clculmos dos puntos P,/, P -/, -/,-/. Podemos usr uno proporcionl más sencillo -6 -/,-/, clculmos l pendiente de r despejndo l 5/-, luego m5/ entonces,5. Otr opción es prtir de 5,,5,,5 6 r, r, rccos vr vr' rccos rccos,5º v 9 77 r vr' 9. Distnci entre puntos rects En este prtdo queremos clculr l distnci entre un rect con vector director, punto de l rect P p, p un punto rbitrrio Q q, q. Gráficmente l form de relizrlo se reliz de l siguiente form:. Rect perpendiculr, s, l rect r, por el punto Q: s:, q, q t -v,v. Clculr el punto de intersección de r s, que llmremos R.. L distnci entre r Q es l distnci entre R Q. Anlíticmente podemos hcerlo tmbién sí R será l solución l sistem formdo por ls ecuciones de r s, unque veremos un fórmul que nos simplific el cálculo: Se l rect r con ecución generl r:abc con lo que el vector norml r es, el punto Q con coordends QQ,Q : r n PQ d r, Q r n A q B A q B C Págin 9 de

151 Tem 7.Geometri nlític -D Demostrción: Dibujemos l rect r, con sus prámetros, el punto Q: Q α α P r Los ángulos el formdo por el vector norml,, el segmento PQ son igules l estr formdo por ldos perpendiculres. Le denotremos como ángulo α. R d Q, r d Q, R QR cos α r r r PQ n PQ n PQ n cos α cos α r PQ n d Q, R QR A q B QR QR PQ cos α PQ q A A B r PQ n PQ r PQ n p B p 678 r PQ n r n vlor bs d > q el puntoq cumple A B C p A q, A q p B A, B B q C A B A q B A q B C Ejercicio 6. Clculr l distnci entre el punto P,- l rect r: 5-9. r n PQ d r, Q r n A q B A q B C u Ejercicio 7.Sen ls rects r: 5-9, s: ---, t: 56-7 u: Clculr l distnci entre: r s b r t c r u Págin de

152 Tem 7.Geometri nlític -D Solución: Antes de clculr ls distncis tenemos que ver ls posiciones reltivs entre ls dos rects: r s S. I. Prlels. Pr clculr l distnci vemos l 5 9 distnci de un punto rbitrrio de s l rect r. s: --- Si, -. Q,- dr,sdq,r b r t S.C.I. coincidente. Como son l mism rect su 5 9 distnci es cero dr,t c r u S.C.D. se cortn. Como se cortn l distnci entre ells es cero 5 dr,u. Bisectrices de dos rects. Incentro de un tringulo Antes de clculr ls bisectrices vemos un definición: Definición: Vector unitrio otro ddo es un vector con mism dirección, sentido pero módulo unidd. Pr obtenerlo bstrá con dividir por su módulo. Ejemplo:, clculr su vector unitrio, 9,. Comprobemos que el módulo es... Bisectriz Definición: l bisectrices de dos rects r r son otrs dos rects tl que los ángulos que formn con r r son l mitd que el ángulo que formn r r. Se cumple tmbién que l distnci de culquier punto de ls bisectrices ls dos rects es l mism. Págin de

153 Tem 7.Geometri nlític -D b r β β d α α d b r Métodos pr el cálculo de bisectrices: Método : Clculndo en punto de corte de ls dos rects punto de l bisectiz el vector director de l mism. El punto: será el de corte de ls dos rects r r resolver el sistem El vector director, cd un de ls dos bisectrices tendrá un vector director diferente que obtenemos sumndo o restndo los vectores directores de r r unitrios. Método : prtir de l definición de bisectriz de lugr geométrico de los puntos igul distnci de r r. Si los puntos de l bisectriz son Q, buscmos quellos que cumple dr,q dr,q. H dos soluciones, que son ls dos bisectices. Ejemplo: clculr ls bisectrices de ls rects r : -, r : -. Método : clculemos el punto de corte de ls dos rects, que obtenemos resolviendo el sistem P, vectores directores m v,, m - v,-, Págin de

154 Tem 7.Geometri nlític -D r b b r Bisectriz b : P,,,,.76,.5 b : b :,5,76, Bisectriz b : P, -,,, b : b : Método : r : --, r : - Q, dq,r dq,r dq,r dq,r A B C A B A B C A B ,.8 b 5 b : -,85.5, b 5 b :, Comprobción que son igules ls bisectrices clculds:.8 b.5 5., b Págin de

155 Tem 7.Geometri nlític -D Ejercicio8: Clculr l bisectrices de ls siguientes dos rects: r : - r : Lo hremos.. Incentro Definición: el incentro de un triángulo es el lugr donde cort ls bisectrices interns del mismo. Se cumple que es el centro de l circunferenci inscrit en el triángulo. i Psos pr clculr el incentro:. Clculr ls bisectrices interns de dos vértices.. Clculr el punto de corte de ests dos bisectrices resolver el sistem Ejemplo: Clculr el incentro ls rects de l rists del triángulo cuos vértices son A,, B,, C,. Clcul el rdio de l circunferenci inscrit Clculo de ls rects de ls rists Rect que ps por A, B,: m r : Rect que ps por A, C,: m r : Rect que ps por B, C,: m r :-- Págin de

156 Tem 7.Geometri nlític -D. Clculemos l bisectriz de A de B: L bisectriz de A, b A : dos vectores,,,. Clculemos los unitrios:,,,,.55,.8 El vector director de b A,.55,.8.55,.8 m..5.. Luego b A sbemos m.5 ps por A, b A :.5 L bisectriz de B, b B : dos vectores,,,. Clculemos los unitrios:,,,,.,.95 El vector director de b B,.,.95.,.95 m..7. Luego b B tiene m-,7 ps por B, b B : Incentro: ba :.5.5,7,6.7,.9 bb :,7,6 I.7,.9. Clculo del rdio de l circunferenci inscrit: se clcul viendo l distnci entre el incentro un de los ldos rect que contiene dicho ldo Vemos l distnci con l rect r : que contiene los vértices A B e I.7,.9.9 d r, I. 9u Ejercicio 9: Clculr el incentro ls rects de l rists del triángulo cuos vértices son A,, B,, C,. Solución I.7,.9. Meditriz de un segmento. Circuncentro de un triángulo.. Meditriz de un segmento Definición: L meditriz de un segmento AB es un rect que cumple: Es l perpendiculr l rect AB que ps por el punto medio El lugr geométrico de los puntos que equidistn de A B. Pr clculr l meditriz no tenemos más que plicr l definición, sí tenemos dos métodos. Método: A prtir de l primer definición Clculmos el punto medio de AB, que llmremos M Págin 5 de

157 Tem 7.Geometri nlític -D Clculmos l pendiente de l rect que ps por A B, luego com l rect es perpendiculr m -/m Ejemplo: clculr l meditriz del segmento AB, con A,5 B,- 5 El punto Medio M,,,-6 m-6/- Luego l meditriz tiene como pendiente m/ Meditriz: ps por M, m/ r: -/-/ r: /5/ Método : prtir de l segund definición. Clculmos l distnci de un punto rbitrrio P, de l meditriz l punto A l punto B Igulmos ls distncis obtendremos l rect Ejemplo: clculr l meditriz del segmento AB, con A,5 B,- dp,a dp,b 5 dp,adp,b r: /5/ Ejercicio : clculr l meditriz de los puntos A, B-- Solución: r: - Págin 6 de

158 Tem 7.Geometri nlític -D.. Circuncentro Definición: el circuncentro de un triángulo es el punto que se obtiene de l intersección de ls meditrices. Se cumple que es el centro de l circunferenci que circunscribe el triángulo, que el punto donde se cortn ls meditrices equidist de los tres vértices. c Cálculo del circuncentro, dos psos:. Clculr ls meditrices de dos de los tres ldos.. Clculr l intersección de ests dos meditrices. Ejemplo: clculr ls meditrices del triángulo que form l rect - con los semiejes coordendos positivos. Clculr el circuncentro, el rdio de l circunferenci el áre del triángulo Clculemos primero los puntos de corte de l rect con los ejes coordendos. Son clrmente A,, que n es l ordend en el origen B,. Meditrices:. Del ldo AC M,.5, es un rect prlel l eje OX.5 b. Del ldo CB M.5,, es un rect prlel l eje OY.5 c. Del ldo AB M.5,.5,, m -, luego m Págin 7 de

159 Tem 7.Geometri nlític -D Circuncentro, sólo necesitmos dos de ls tres meditrices:.5 C.5,.5.5 Rdio circunferenci circunscrit es dc,adc,bdc,c.5.5.u Ejercicio : Clculr el circuncentro del triángulo con vértices A,, B,, C, Solución: C,. Medins lturs de un triángulo. Bricentro ortocentro.. Medins lturs Definición: L medin de un triángulo es cd un de ls rects que ps por l mitd de un ldo del triángulo por su vértice opuesto. Metodologí pr el cálculo de l medin de un triángulo:. Clculmos el punto medio del ldo. Clculmos l rect que ps por este punto medio el vértice opuesto. Ejemplo: ddo el tringulo ABC con A,, B,- C,, clculr l medin del vértice A.. Clculmos el punto medio del ldo BC M,. L rect buscd ps por el punto M, A, m, no se puede dividir por cero, luego es un rect prlel l eje OY. Definición: l ltur de un triángulo es cd un de ls rects que ps por el vértice del triángulo que es perpendiculr l ldo opuesto del vértice. Metodologí pr el cálculo de l ltur.. Clculmos l pendiente de l ltur sbiendo que es perpendiculr l ldo opuesto. Conocemos l pendiente un punto de l rect vértice, luego por l ecución punto pendiente clculmos l rect pedid. Ejemplo: ddo el tringulo ABC con A,, B,- C,, clculr l ltur del vértice A..,. Luego l pendiente de l ltur de A es l invers con signo cmbido. h A : -.. Bricentro ortocentro Págin 8 de

160 Tem 7.Geometri nlític -D Definición: el bricentro de un triángulo es el punto donde se cortn ls tres medins. Pr clculrlo bst con clculr dos medins clculr el punto de corte entre mbs. Ejemplo: ddo el tringulo ABC con A,, B,- C,, clculr el bricentro. L medin del vértice A l hbímos clculdo L medin vértice B M AC /, /. /, -5/ m medin es 5-5- Luego el bricentro es, / Luego l Definición: el ortocentro de un triángulo es el punto donde se cortn ls tres lturs. Pr clculrlo bst con clculr dos lturs ver el punto de corte entre mbs. Ejemplo: ddo el tringulo ABC con A,, B,- C,, clculr el ortocentro. L ltur del vértice A clculd h A : -, h A:.5- L ltur del vértice B -, m. Luego como l ltur es perpendiculr su pendiente es m h B : m ps por B,- hb : - hb : -6 Luego el ortocentro es 6.5 -, -6 Ejercicios Finles Págin 9 de

161 Tem 7.Geometri nlític -D Ejercicio. Hllr el vector tl que, siendo -, 7,-. Podemos hcerlo prtir de un sistem igulndo un un cd coordend, o de form más sencill despejndo el vector : c 6 c -6,8-,--, Ejercicio. Ddos los vectores,, -,,-5 poner el vector como combinción liner de los otros dos:,-5m,-n -,. m n 5 m n Resolviendo el sistem m n,-5,- -,. Ejercicio. Dd ls rects r s de ecuciones r:- s:-, hllr l ecución de l rect que ps por el punto de intersección de ests dos rect por el punto P5, Clculemos l intersección: r : s :, Q, Vector director 5,, m/ r : - -5 Ejercicio 5. Hll l ecución de l rect que ps por el punto P-,8 que determin con el sentido positivo de los ejes coordendos un triángulo cu áre es de 6 uniddes cudrds. De l rect buscd sbemos que ps por el punto P, nos flt por sber su pendiente m. Que determinremos prtir de sber el áre que form con los ejes coordendos. -8m Vemos los puntos de corte con los ejes en función de m: Eje OX Eje OY m8 8 m 8 Are m 8 6 m 8 -m-6-9m -mm m 6-9m -6m-6 m. Vemos cul de ls dos pendientes es l que hce que los puntos de corte con los ejes sen positivs: Págin de

162 Tem 7.Geometri nlític -D 6 m -/<, -8 No válido b m, Válido Luego l rect buscd es r: -8 Ejercicio 6. Clculr los prámetros m n pr que ls rects r:- s:mn sen Prlels b Perpendiculres c Mism rect Pondremos l rect r en form eplícit r:, donde l pendiente es m l ordend del origen es n Ponemos hor l rect s en form eplícit s:, cu pendiente es su ordend en el origen es Prlels, misms pendientes m. Se cumple tmbién que tienen distint ordend en el origen n - / b Perpendiculres, cundo son perpendiculres se cumple que ls pendientes cumplen m -/m: m-/ / c Coincidentes cundo tienen mism pendiente ordend en el origen es decir según vimos en m n. Ejercicio 7. Ddos los puntos A,-, B6, C,6 hllr el ángulo formdo por ls semirrects AB AC: Pr ver el ángulo de ls dos rects sólo tenemos que ver el ángulo que formn sus dos vectores directores: AB, AC,7 r AB,s AC, rccos 5º7 8 AB AC rccos rccos AB AC Ejercicio 8. Clculr m pr que ls rects r: - s: m- sen rects perpendiculres: Si son perpendiculres se cumple que pendientes inverss con distinto signo. Clculemos ls pendientes despejndo de mbs ecuciones: r: - m- Págin de

163 Tem 7.Geometri nlític -D s:- m - Luego m- Ejercicio 9. Se el triángulo de vértices A,, B,6 C7,. Ls rects prlels por cd vértice l ldo opuesto determinn un triángulo A B C. Clculr ls coordends de estos vértices. Clculr que son semejntes clculdo los ángulos de mbos triángulos. Clculemos los ldos que psn por cd vértice sbiendo que son prlels los ldos opuestos del triángulo ABC: Por el vértice A,:, r: - - Por el vértice B,6: 6, ; m/6 s: -6/6- Por el vértice C7,:,5 ; m t: - 7 Los vértices son los puntos de corte de ests rects: A : 6 6, 7 A',7 5 7 B, B ', 5 7 C 6 6, 5 C ',5 Ejercicio. L rect que ps por M, es prlel l rect r: determin con los ejes coordendos un triángulo. Hll su áre Clculemos l rect sbiendo que ps por M, su pendiente es l mism que de r que son prlels m s:--. Puntos de corte con los ejes: Págin de

164 Tem 7.Geometri nlític -D Eje OX: --, Eje OY: --, - Áre,5u Ejercicio. Comprueb si los siguientes puntos A-,, B-5/,/, C-,- están linedos. Pr ver si están linedos clculmos l rect que ps por dos de los tres puntos comprobmos que el tercero pertenezc l rect, es decir que cumpl l ecución de l rect. 5 5 Clculmos l rect que ps por A C m r: - Comprobmos si B r, es decir si cumple l ecución de r sustituendo -5/ /: Se cumple l iguldd luego están linedos Ejercicio. Clculr el vlor de m pr que los puntos R5,-, S-, T,m estén linedos. Clculemos l rect que ps por R S m r:-. Si están 5 linedos entonces T r, es decir sustituendo, m en l ecución clculmos m m- m Págin de

165 Tem 8. Cónics. Conceptos previos. Trslción gráfics en los ejes de coordends.... L circunferenci..... Definición ecución de l circunferenci..... Ecución de l rects tngentes normles l circunferenci Posiciones reltivs de dos circunferencis Potenci de un circunferenci. Eje centro rdicl Elipse..... Definición elementos..... Ecución de l elipse..... Ecentricidd de l elipse Ecución de l elipse desrrolld: Hipérbol Definición elementos de l hipérbol Ecución de l hipérbol..... Asíntots de l hipérbol..... Hipérbol equiláter. Hipérbol centrd en ls síntots Prábol Definición elementos Ecución de l prábol... 6

166 Tem 8. Conics. Conceptos previos. Trslción gráfics en los ejes de coordends En este prtdo veremos un proposición, que nos permite obtener l ecución de un función o de un figur cundo desplzmos sus gráfics en los ejes coordendos. Desplzmiento gráfic en el eje OX: Si desplzmos un gráfic en el eje OX entonces l ecución de nuestr nuev gráfic se obtiene sustituendo de l ecución originl por -. Desplzmiento gráfic en el eje OY: Si desplzmos un gráfic en el eje OY entonces l ecución de nuestr nuev gráfic se obtiene sustituendo de l ecución originl por - Ejemplos: Si l ecución de l circunferenci en el origen es r, con r el rdio de l mism, encontrr l ecución de l circunferenci con centro en O,- de rdio. Hemos desplzdo l circunferenci 6 en los ejes, tl que, e -. De est form l ecución de l circunferenci será: c: Se l gráfic f, l de un prábol con vértice en el origen. Clculr l ecución de l prábol con vértice en V-, Hemos desplzdo l prábol -, e. Luego l nuev prábol será: - 5 Págin de

167 Tem 8. Conics. L circunferenci.. Definición ecución de l circunferenci Definición: l circunferenci es el lugr geométrico de los puntos que distn l mism distnci de otro punto denomindo centro de l circunferenci. L distnci de l que distn l centro se llm rdio de l circunferenci, r. Ecución circunferenci con centro en el origen O, rdio r: prtir de l definición l ecución de l circunferenci con centro en el origen es el conjunto de puntos que dist r uniddes de O. Es decir, si llmmos P, los puntos que formn l circunferenci, estos hn de cumplir: dc,or r elevndo l cudrdo obtenemos l relción entre e de los puntos de l circunferenci: c: r Ecución circunferenci con centro en el O, rdio r:a prtir de ls proposición vists en el prtdo nterior, l ecución con centro en O, rdio r es: c: - - r Dte cuent que est es l ecución de todo punto P, cu distnci O, es igul r. Págin de

168 Tem 8. Conics Ejemplo: encontrr l ecución de l circunferenci con centro en O,- de rdio. Dibujr l circunferenci encontrr 6 puntos de l mism. c: Los puntos A,B,C,D situdos en los etremos de l circunferenci se clculn de form sencill sin más que sumr o restr el rdio l coordend o l del centro: A,- A5,- B-,- B-,- C,- C, D,--D,-7 Pr clculr culquier otro punto de l circunferenci, bst con dr un vlor l o l vlores comprendidos entre los máimos mínimos de e respectivmente despejr l otr coordend. Clculemos P Q con -6: ± 7 P 7,-6, Q- 7,-6 Ecución generl de l circunferenci: est se obtiene desrrollndo los cudrdos de l ecución vist ntes. Hciendo esto l ecución viene dd por l siguiente epresión: c: ABC Identifiquemos los vlores de est ecución con el centro O, el rdio de l circunferenci: c: - - -r A- -A/ B- -B/ C -r r C Not: luego l ecución de l circunferenci se distingue porque los coeficientes de e son los mismos con mismo signo sino son dividimos l ecución por ese vlor pr que sí sen. Tmbién se tiene que cumplir que C Págin de

169 Tem 8. Conics Ejemplo: dibujr l circunferenci con l ecución Los coeficientes de e son los mismo pero no son, sino -. Dividimos l ecución por - tenemos: c: 6- -/-; -6/-; r 6 Ejercicio : dibujr ls siguientes circunferencis obtener 6 puntos de ls misms. - b - c -6 Solución - b - c No es un circunferenci, C. Ecución imposible: - - Págin 5 de

170 Tem 8. Conics Ejercicio : clculr l ecución de l circunferenci concéntric c: 6-- que pse por el punto P,-6. Si es concéntric es que tiene mismo centro: -6/-, /. Pr clculr el rdio vemos l distnci del centro O-, l punto P,-6: rdo,p 6 c: - c: Ejercicio : clculr l ecución de l circunferenci que ps por los puntos A-,, B,8, C7,-. Dos métodos: Clculndo el circuncentro del triángulo ABC. Hecho en el tem nterior A prtir de obtener A,B,C de l ecución de l circunferenci: ABC, le obligmos psr por los tres puntos obtendremos un sistem con ecuciones incógnits: A, 9 A B C B,8 6 6 A 8B C A 8, B 6, C C7, 9 7A B C c: -8-6 c: Ecución de l rects tngentes normles l circunferenci. Definición: l rect tngente un circunferenci un punto PP,P es tod rect que sólo toc l circunferenci en este punto. Proposición: l rect tngente l circunferenci es perpendiculr l rect que une el centro de l mism con dicho punto. Est rect se llm rect norml. Clculo de l rect norml: simplemente h que clculr l rect que ps por el punto ddo por el centro de l circunferenci. Cálculo de l rect tngente: clculmos l pendiente prtir de l pendiente de l rect norml. Conocid l pendiente el punto de tngenci clculmos l rect. Ejemplo: clculr l rect tngente norml en el punto de l circunferenci con l circunferenci dd por l siguiente ecución c: - Primero clculemos el centro el rdio: ; -; r. O,-. Si -. Luego el punto de tngenci es P,- Norml: m r: - Tngente: m como ps por P,- Págin 6 de

171 Tem 8. Conics Ejercicio : Obtener l ecución de l circunferenci con centro en el origen sbiendo que un de sus rects tngentes es r: -. Podemos clculr el punto de tngenci si clculmos l intersección de r con l rect norml. Sbemos de l rect norml que ps por el centro O, su pendiente es m perpendiculr r. Luego es. L intersección de mbs es P,. El rdio será l distnci entre P O rdp,o c: Ejercicio 5: clculr ls rects tngentes l circunferenci con rdio centrd en O,-, sbiendo que l coordend de los puntos de tngenci es. Clculemos primero los puntos de tngenci, pr ello necesitmos l ecución de l circunferenci: c: - 9. Si - ± 8 P,- 8, P,-- 8 Rect tngente en P,- 8 : Clculemos l pendiente de l rect norml que une P con el centro 8 m 8 Luego como l tngente es perpendiculr m 8 r: Rect tngente en P,-- 8 : Clculemos l pendiente de l rect norml que une P con el origen 8 m 8 Luego como l tngente es perpendiculr m- 8 r: Posiciones reltivs de dos circunferencis L posición reltiv de dos circunferencis pueden ser ls siguientesd es l distnci entre los dos centros. Eteriores Tngentes eter Secntes Tngente int Interiores D>r r Dr r r -r <D<r r D r -r D< r -r Ningun solución Un solución Dos soluciones Un solución Ningun solución Págin 7 de

172 Tem 8. Conics Ejemplo: Clculr l posición reltiv entre ls siguientes circunferencis: c : - c : - c O,-, r c O,, r DdO, O 6 7, r r < 7 eterior c :- 9, c : - c O,, r c O -,, r DdO, O 9, r r 5; r -r 5> > secntes c : - 5; c : - c O -,, r 5 c O,, r DdO, O, r r 7; r -r > Interior c :-, c :- c O,, r c O,-, r DdO, O, r r D Tngente. Págin 8 de

173 Tem 8. Conics Ejercicio 6: clculr los puntos de intersección de ls siguientes circunferencis c :, c : c O,, r c O -,, r DdO, O, r r ; r -r >> se cortn c : c : / -9/ 7 7/ ± P-/, 7 7 ; P -/,-.. Potenci de un circunferenci. Eje centro rdicl Definición: se un punto P del plno un circunferenci c. L potenci de este punto respecto de l circunferenci se denot Pot c P es el producto esclr de los vectores,, siendo A B los puntos de corte de culquier rect que pse por P corte l circunferenci. Pot c P PA PB Demostrción de l independenci de l potenci con l rect elegid: B B Los ángulos son igules, pues están inscritos brcn el mismo rco. Luego los triángulos son semejntes l tener dos ángulos igules es común mbos. Al ser semejntes sus ldos proporcionles: PB PB PA PA PB PA PB PA Clculo de l potenci: eiste un método más sencillo de clculr l potenci, consistente en sustituir l l del punto PP,P en l ecución de l circunferenci Csos: A A Pot c P P - P - -r A P B P C Pot c P> punto eterior l circunferenci b Pot c P punto de l circunferenci c Pot c P< punto interior l circunferenci P Págin 9 de

174 Tem 8. Conics Ejercicio 7: se l circunferenci c: --, clculr l potenci del punto P, prtir de los dos métodos comprobr que el resultdo es el mismo. Not us l rect que ps por P r:. Cuál es l posición reltiv de P respecto c? A prtir de l definición de potenci, clculemos los puntos de corte de r con l circunferenci: A,, B, PA -,-, PB --,---,- Pot c P PA PB - A prtir de sustituir en l ecución de l circunferenci: Pot c P - -- b Como Pot c P< el punto dentro de l circunferenci Definición: eje rdicl de dos circunferencis es el lugr geométrico de los puntos que tienen igul potenci respecto de mbs circunferencis. Es un rect. Cálculo de l potenci de dos circunferencis c c : simplemente plicndo l definición, si los puntos del eje rdicl tienen de coordends r,, entonces cumplen: c: ABC c : A B C r: Pot c,pot c, ABC A B C eje rdicl r:a-a B-B C-C Not: El eje rdicl es un rect perpendiculr l segmento que une los centros de ls dos circunferencis. Si ls circunferencis son concéntrics no tienen eje rdicl. Págin de

175 Tem 8. Conics Ejercicio 8: clculr el eje rdicl de ls circunferencis con ecuciones c:- c : - 9. Clculr l meditriz de sus centros comprobr que es prlel l eje rdicl c: -- c : -- Eje rdicl r: 6-- O,, O -,. Meditriz M-.5,.5, n O O, : -C C C- m:-- Son prlels con pendiente m. Elipse.. Definición elementos L elipse es l figur geométric que se obtiene de interceptr un cono con un plno cuo ángulo con eje es mor que el que form dicho eje con l genertriz Definición: l elipse es el lugr geométrico de los puntos P, que cumplen que l sum de ls distncis dos puntos denomindos focos de l elipse F, F es constnte. dp,fdp,f K, donde es l distnci del eje mor, es decir da,a Págin de

176 Tem 8. Conics Elementos de l elipse: B A A B da,a Focos, los puntos F F. Centro, es el punto O. Vértices: A, A, B, B. Eje mor: es el segmento AA, cu distnci se llm Eje menor: es el segmento BB, cu distnci se llm b Distnci focl, es l distnci entre los focos, es igul c Teorem de Pitágors de l elipse: los vlores de, b c están relciondos entre si medinte l siguiente epresión: b c Demostrción: plicmos l definición de l elipse en culquier de los puntos B o B : df,bdf,b df,b Se form un triángulo rectángulo donde los ctetos vlen b c l hipotenus. Págin de

177 Tem 8. Conics Págin de Método del jrdinero pr construir l elipse: consiste en fijr un cuerd de tmño en dos puntos, focos de l elipse distncidos c. Con un bolígrfo con l cuerd tens trzmos l elipse como se ve en el siguiente dibujo:.. Ecución de l elipse Aplicndo l definición de l elipse el teorem de Pitágors pr l elipse podemos obtener l ecución reducid. Por sencillez situemos en centro en el origen O, el eje mor en el eje OX; est elipse tiene por focos Fc, F -c,. Llmemos P, los puntos de l elipse que cumplen: c c P F d P F d ',, Ordenndo l iguldd elevndo l cudrdo: c c c c c Ordenndo l iguldd volviendo elevr l cudrdo: b b c c c c c c c c c c c c c c b Dividiendo entre b : b Ecución de l elipse con eje mor el horizontl centro O, Cmbindo por tenemos l ecución de l elipse centrd en O, con eje mor el verticl: b Ecución de l elipse con eje mor el verticl centro O,

178 Tem 8. Conics Si desplzmos l elipse uniddes en el eje OX e en el eje OY, tenemos que el centro de l elipse está en O,. L ecución de l elipse consiste en sustituir por - e por - : b b Elipse con eje mor el horizontl centro O, Elipse con eje mor el verticl centro O, Ejemplo: escribir l ecución reducid de l elipse con centro en O,- con eje mor, prlelo l eje OY, menor. Obtener 6 puntos Q A B,- B,- B -,- B -,- A,- A, A,-- A,-6 B B P A Si P, - Q, - - Ejercicio 9: clculr l ecución de l elipse si sbemos que F,5, F,, el eje mor es. Sbemos que el eje mor es verticl, pues F F están en l rect. El centro será el punto medio de F F O,8 Podemos clculr c: cdf,f 6. c Por otro ldo 5. Aplicndo Pitágors en l elipse b -c b 8 5 Págin de

179 Tem 8. Conics En l circunferenci vimos l ecución de l mism si operábmos los cudrdos de l ecución reducid. En l elipse sólo lo hremos si está centrd en el origen: e: A B -C, siendo A>,B>, C> A Bsino es un circunferenci Pr obtener b, sólo tenemos que igulr l prte de e socir en l ecución reducid: A B e: C C Luego e: b ó b Si Si. Ejemplo: Encontrr b decir l orientción de l elipse de ecución: 8. Dividiendo por 8:.. Ecentricidd de l elipse. 5, b6. El eje mor es el horizontl. L ecentricidd de l elipse mide como de chtd está l elipse. Se define como el cociente de l distnci focl el eje mor. Se cumple como c que >e. En el cso que e, entonces c, es decir los dos focos en el centro b. Tenemos un circunferenci, donde br. Ls elipses con mism ecentricidd son semejntes. Ejemplo: Decir los vlores de c si se sbe que e,5 b. c,5 c c c c Ejercicio : clculr l ecución de l elipse con e,6 eje menor situdo con vértices B,5, B,-. bdb,b 6 b. Eje menor prlelo eje OY OMedioB,B, c,6 c 9,6,75,75 Págin 5 de

180 Tem 8. Conics Ecentrincidd de l elipse.. Ecución de l elipse desrrolld: L ecución de l elipse desrrollndo los cudrdos es de l form A B CDE, cumpliéndose: A B mismo signo b A B si AB es un circunferenci. Psos pr determinr el centro O, los ejes b: Agrupr con con el fctor de ; lo mismo con con coeficiente de Buscr cudrdos perfectos restr el término independiente, de los cudrdos. Dividir el término independiente pr que esté l prte de e igulds. Identificr términos: Págin 6 de

181 Tem 8. Conics Ejemplo: dibujr l siguiente cónic 8 Es un elipse pues mismo signo - -, b, O-,-. Eje mor prlelo l eje OY. Ejercicio : dibujr e identificr l cónic de ecución 6-69 Es un elipse pues 6 mismo signo / - / / , b 5, O/,-. Eje mor prlelo l eje OX Págin 7 de

182 Tem 8. Conics. Hipérbol.. Definición elementos de l hipérbol Definición: l hipérbol es l figur geométric que se obtiene de l intersección de un plno con un cono doble. Cumpliéndose que el plno form un ángulo con el eje menor que l directriz con el eje. Definición: l hipérbol es el lugr geométrico de los puntos que cumple que l diferenci de ls distnci de los mismo otros dos puntos, llmdo focos de l hipérbol es constnte. Si P, son los puntos de l hipérbol se cumple que: dp,f-dp,f k P P F F Elementos de l hipérbol: los elementos de l hipérbol son: A, A : vértices reles de l hipérbol da,a eje rel F, F : focos de l hipérbol cdf,f Págin 8 de

183 Tem 8. Conics O,, centro de hipérbol. B, B eje imginrio de l hipérbol bdb,b eje imginrio Pr situr B B se cumple el teorem de Pitágors de l hipérbol: c b B b c F A O A F B B c Ecentricidd de l hipérbol: es el cociente entre l distnci focl el eje rel: L ecentricidd de l hipérbol c> cumple e> Págin 9 de

184 Tem 8. Conics Págin de Hipérbol ecentricidd.. Ecución de l hipérbol Podemos obtener l ecución de l hipérbol de form semejnte l obtenid con l elipse: Focos eje rel en el eje OX, centrd en origen O,: b Focos eje rel en el eje Y,centrd en origen O,, se obtiene cmbindo por : b Focos eje rel prlelo l eje OX centro en O, b Focos eje rel prlelo l eje OY centro en O, b

185 Tem 8. Conics Ejemplos:, b eje rel prlelo l eje OY centro O-,: b, c eje rel prlelo l eje OX centro O-,-: b 5 5 Ejercicio : clculr l ecución de l hipérbol sbiendo que e A, A,9 Dibujndo los vértices del eje rel A A tenemos que el eje rel prlelo l eje OY tmbién podemos clculr el centro el vlor de : Centro: O, O,5 da,a 8 Pr clculr b, usemos el teorem de Pitágors de l hipérbol l ecentricidd: c c b 5 c6, b 5 Ecución de l hipérbol desrrollndo l epresión: A B CDE cumpliéndose A B distinto signo. Los psos son los mismos que hemos hecho con l elipse. Ejemplo: -7 - Si es un hipérbol pues A negtivo B positivo. Psos Págin de

186 Tem 8. Conics.. Asíntots de l hipérbol Ls síntots son rects ls que se proim l gráfic cundo se hce mu grnde /o mu pequeñ. Tod hipérbol tiene dos síntots que psn por el centro de l hipérbol por los vértices del rectángulo imginrio siguiente: B A A B Asíntots cundo l hipérbol centrd en el origen el eje rel es el eje OX: b - Pendiente de l rect: m ± que cundo crece crece o decrece b - Punto de l rect O, b - Luego l ecución de ls síntots es ± Asíntots cundo l hipérbol centrd en el origen el eje rel es el eje OY: - Pendiente de l rect: m ± que cundo crece b crece o decrece b - Punto de l rect O, - Luego l ecución de ls síntots es ± b Si l hipérbol centrd en el punto O, entonces ls ecuciones son: b - Si eje rel prlelo l eje OX ± - - Si eje rel prlelo l eje OY ± - b Ejercicio: clculr l ecución de ls síntots de l hipérbol L hipérbol tiene el eje rel prlelo l eje OY el centro es O-,. A l hor de clculr los vlores de b, h que tener cuiddo pues l hipérbol iguldd. H que dividir los dos ldos de l iguldd entre : Luego O-,,, b eje rel prlelo eje OY 6, b. Págin de

187 Tem 8. Conics Ejercicio : Hllr los focos, los semiejes, l ecentricidd síntots de ls hipérbols siguientes: b - 9 c - Es l epresión de l hipérbol con eje rel prlelo l eje OX con centro en O-,, 6, b8. Luego c 6 6, e. Ls síntots son b / 9 Es l epresión de l hipérbol con eje rel prlelo l eje OX con centro en O,, 5 /, b. Luego c 9/ 9, e 5. Ls síntots son c - Es l epresión de l hipérbol con eje rel prlelo l eje OY con centro en O,,, b. Luego c 5, e 5. Ls síntots son Ejercicio 5: Hllr ls ecuciones de ls hipérbols con centro en el origen focos en el eje OX que cumple: Tiene un vértice en 6, un síntot es - b Ps por los puntos, 5,- c Ps por el punto, 5 su distnci focl es 6 uniddes d Ps por el punto P-, su ecentricidd es de 5/ L ecución de tods ells es, por tnto tenemos que clculr b b El vértice que nos dn es A6,. Luego do,a6. L ecución de l síntot de est hipérbol es. Despejndo de l síntot que nos dn:. Luego por tnto b b Podemos clculr b sustituendo los vlores de e de los puntos en l ecución : b, er fácil de clculr pues, er el vértice A b 5 5,- b 9/ b 9 / Págin de

188 Tem 8. Conics c c6 c, luego F, F -,. Podemos clculr plicndo l definición de l hipérbol dp,f-dp,f dp,f PF 5 dp,f PF ' 5 dp,f-dp,f Pr clculr b pliquemos el teorem de Pitágors: b c - b5. 5 d Como no tenemos c no podemos clculr F F, no podremos hcer lo mismo que en el prtdo nterior. Podemos clculrlo por un sistem: ecución P-, hipérbol b c c b 5 b ecución e, e 6 b 6, b hemos descrtdo ls soluciones con /o b negtivs 5 b.. Hipérbol equiláter. Hipérbol centrd en ls síntots Ls hipérbols equiláters son ls que cumplen que los ejes rel e imginrios son igules, es decir b. L ecución de l hipérbol equiláter con centro en O, vendrá dd por: Eje rel prlelo l eje OX b Eje rel prlelo l eje OY Clculemos l ecentricidd de l hipérbol equiláter: c b c c e. Ls ecuciones de ls síntots se cumple que ls pendientes son m, por tnto son perpendiculres. En l ecución desrrolld es fácil de ver si se trt de un hipérbol equiláter, que el fctor que multiplic e son igules pero de distinto signo. Págin de

189 Tem 8. Conics Ejemplo: Clculr l ecución desrrolld de l hipérbol equiláter con c O, eje rel prlelo l eje OY: bc/e Ecución de l hipérbol equiláter referid los ejes: Vmos ver l ecución de l hipérbol equiláter cundo ls síntots son prlels los ejes OX OY. Si el centro de l hipérbol es O, por tnto ls síntots son los ejes: L hipérbol en los cudrntes I III b L hipérbol en los cudrntes II IV Ejemplo b - Si el centro de l hipérbol es O, por tnto ls síntots son e : - - b - - Ejemplo O,- - b -- L hipérbol en los cudrntes I III L hipérbol en los cudrntes II IV Págin 5 de

190 Tem 8. Conics 5. Prábol 5. Definición elementos El ño psdo vimos l ecución de l prábol como un función de l form bc. Pero hor vmos definir l ecución de l prábol como lugr geométrico Definición: l prábol es el lugr geométrico de los puntos P, del plno que están igul distnci de un punto denomindo foco, F, un rect denomind directriz, d. Prábol dp,fdp,d P, F,p/ V, d:-p/ Vértice de l prábol V, cu distnci l foco l directriz es P/. 5.. Ecución de l prábol L ecución de l elipse es según se l directriz prlel l eje OX o prlel l eje OY de l siguiente form Vértice de l prábol en, directriz prlel l eje OX.. directriz debjo del eje -p/ foco encim F,p/: p.. directriz encim del eje p/ foco debjo F,-p/: -p Vértice de l prábol en, directriz prlel l eje OY.. directriz debjo del eje -p/ foco encim Fp/,: p.. directriz encim del eje p/ foco debjo F-p/,: -p Págin 6 de

191 Tem 8. Conics Si el vértice se sitú en V, h que trsldr l gráfic uniddes en el eje OX e en el eje OY: Vértice de l prábol en, directriz prlel l eje OX.. directriz debjo del eje -p/ foco encim F,p/: - p-.. directriz encim del eje p/ foco debjo F,-p/: - -p- Vértice de l prábol en, directriz prlel l eje OY.. directriz debjo del eje -p/ foco encim Fp/,: - p-.. directriz encim del eje p/ foco debjo F-p/,: - -p- Ejemplo p - - Págin 7 de

192 Tem 8. Conics Ecución desrrolldo los cudrdos: L ecución de l prábol se distingue de ls demás cónics porque sólo prece o bien o. Los psos son semejntes los relizdos pr l hipérbol l elipse. Agrupr con si h o con si h como cudrdo perfecto. Despejr el fctor que hemos grupdo Scr fctor común si hemos despejdo o si hemos despejdo. Ejemplo: Vértice V-,, p-. Directriz: /5/, F-,-/-,-/ Ejercicio 6: Hllr l ecución de l cónic siguiente los elementos de l mism: -6 Es un prábol pues no tiene el término / V-,-9/ p directriz: -9/-/-5 Foco F-,-9//-,- Ejercicio 7: Hllr el lugr geométrico de los puntos que equidistn del punto 5, l rect Se trt de un prábol, cu directriz es - prlel l eje OY el foco F5,. L distnci entre l directriz el foco es p6. El vértice estrá distnci de l directriz del vértice. V, Ecución: - - El signo es debido que el vértice l derech de l directriz. Ejercicio 8: Hllr el lugr geométrico de los puntos que equidistn del punto, l rect -. Se trt de un prábol, pero hor l directriz no es prlel ninguno de los dos ejes. Tendremos que plicr l definición, sbiendo que l directriz es - F, dp,,r:- Págin 8 de

193 Tem 8. Conics dp,,f, [- - ] Ejercicio 9: Hll l ecución de l prábol que cumple F, directriz -7 b V, directriz c Vértice, F5, df,dp. Vértice V-5,-,. Como F l derech de l directriz: - b dv,dp/ p. Como V l izquierd de l directriz c dv,fp/ p. Como vértice debjo del foco - 8- Págin 9 de

194 Tem 8. Conics Ejercicios finles Ejercicio. Hllr l ecución de l circunferenci que ps por A-, B, cuo centro se encuentr en l rect -- Se cumple que l distnci de los puntos A B l centro situdo en l circunferenci es el mismo. Apliquemos es condición. Los puntos de l rect cumplen, despejndo de l mism P,-, por tnto: da,pdb,p C,- Pr ver el rdio sólo tenemos que ver l distnci, es decir sustituir en un de ls dos ríces: da,p 5 Luego l ecución de l circunferenci: c: - 5 Ejercicio.Identific ls siguientes cónics, indicndo sus prámetros representtivos b c - d e - Págin de

195 Tem 8. Conics Es un prábol, pues no h término. Vemos l ecución de dich prábol: pso pso 6 pso 6/ V-,-/ p Tenemos l prábol Foco F-,-//-,7/6 Directriz d: -/-/-/6 b , es un circunferenci pues los coeficientes de e los mismos de mismo signo. Reescribiendo l ecución - -A/-/- -B/ Centro O, r C c: - c - es un hipérbol equiláter pues e distinto signo demás de mismo módulo. Pso - - Pso - Pso b. c 6. e Págin de

196 Tem 8. Conics d elipse pues los coeficientes de e son de mismo signo pero distintos. Pso - -/ - Pso -/ Pso / /, b / c / e / Ejercicio. Clculr l ecución del lugr geométrico de los puntos cu sum de ls distncis los puntos F, F, es constnte igul. Según l definición se trt de un elipse donde F F son los focos es el eje mor 5 cdf,f 8 Llmemos P, l conjunto de puntos de l elipse, que cumplen dp,fdp,f d d F, P F', P Págin de

197 Tem 8. Conics Ejercicio. Clculr l ecución del lugr geométrico de los puntos cu diferenci de ls distncis los puntos F, F, es constnte igul. Se trt de un hipérbol en donde, c d F, F' 8 Clculemos l ecución de l hipérbol plicndo que l diferenci entre ls distncis de los puntos P, de l hipérbol cumple: d P, F d P, F' d d F, P F', P d F, P d F', P Págin de

198 Tem 9. Propieddes globles de ls funciones. Definición forms de definir un función.. Definición de función.. Forms de definir l función:... A prtir de un representción gráfic... A prtir de epresión nlític... Medinte tbl de vlores: 5... Clculo del dominio de un función 6. Continuidd discontinuidd de un función 8. Monotoní: crecimiento decrecimiento, puntos reltivos 8. Monotoní: crecimiento decrecimiento 8. Puntos reltivos 9. Curvtur de un función, concvidd, conveidd punto de infleión. 5. Simetrí Periodicidd 5. Simetrí 5. Periodicidd 6. Tendencis, síntots 5 7. Composición de funciones 6 8. Función invers 7 8. Definición de invers Gráfics funciones inverss 8

199 Tem 9. Propieddes globles de ls Funciones.. Definición forms de definir un función.. Definición de función Hemos oído hblr mucho de funciones, pero sbemos bien que son ls funciones?. pr que se utilizn?. De esto trtremos este tem el siguiente Definición: un función f, es un correspondenci o plicción entre un subconjunto de números reles D R los números reles R, de form que cd elemento, D le corresponde un único vlor. Vemos esquemáticmente l definición: f: D R f Elementos de un función: Vrible independiente: es l vrible Vrible dependiente: es l vrible, se llm sí porque su vlor depende de. Dominio de un función, se denomin Domf está formdo por quellos vlores de números reles pr los que eiste l función. Imgen o recorrido de l función: se design Imf, todos los vlores de l vrible dependiente. Ejemplo: f- Domf[,, que l ríz sólo eiste cundo el rdicl es positivo Imf-,], que son los vlores que tom l : Págin de

200 Tem 9. Propieddes globles de ls Funciones. Ejercicio : identificr funciones de ls que no son No es un función porque pr un mismo vlor de tom dos vlores de. b No es un función porque pr lgún vlor de tom dos tres vlores de. c Si es función, pues cd vlor de le corresponde un único vlor de. Págin de

201 Tem 9. Propieddes globles de ls Funciones. d No es un función, porque pr cd vlor de le corresponde dos de, por ejemplo si, -. Si despejmos l tenemos dos funciones: - ;.. Forms de definir l función:... A prtir de un representción gráfic L representción gráfic nos muestr l relción entre ls vribles e en los ejes de coordends crtesinos, sí l gráfic es el conjunto de todos los puntos,f. Es un form mu intuitiv de conocer el comportmiento de l función, vemos un ejemplo, donde ño, precio/m... A prtir de epresión nlític Es otr form de conocer un función: es l relción mtemátic entre ls dos vribles en l que l vrible dependiente está despejd. No siempre es posible de obtener l epresión nlític de un función, por ejemplo l vist en el prtdo nterior. L epresión nlític suelen utilizrse en físic, químic, economí, etc. Págin de

202 Tem 9. Propieddes globles de ls Funciones. A prtir de l epresión nlític es posible de obtener l gráfic, no siempre es ciert l firmción en el otro sentido. Vemos lgún ejemplo: L posición en un movimiento uniformemente celerdo ss v t t. Por ejemplo si s m, v 5m/s, -m/s s5t-5t. Tendremos que l vrible independiente es el tiempo t l dependiente el espcio s: s t b Fctur del ti: por bjr l bnder, /min p, t. Donde l vrible independiente es el tiempo l dependiente el precio precio t... Medinte tbl de vlores: Aunque no es l form desed de conocer un función, veces est viene dd por tbl de vlores, que son un conjunto de pres de vlores, de l función. Ejemplo: L siguiente tbl de vlores muestr l evolución del crecimiento de un bebé durnte los primeros meses de vid. Meses Alturcm Decimos que no es l mejor form de conocer l función pues Qué ltur tendrá cundo h psdo 8 meses medio?. Págin 5 de

203 Tem 9. Propieddes globles de ls Funciones. Se puede obtener un gráfic proimd uniendo los puntos, unque h infinits for- ms de unir estos puntos, se suelen unir por rects:... Clculo del dominio de un función Gráficmente se ve clrmente el dominio, que son los vlores de que tom l fun- ción. Vemos el domino prtir de l epresión nlític. Recordemos que el dominio son los vlores de donde eiste l función. En ls funciones pr estudir el dominio tenemos que ver los siguientes csos: Funciones con denomindores: los vlores de que nuln el denomindor no pertenecen l dominio no se puede dividir entre cero Ejemplo: f vemos los vlores de que nuln el denomin- dor: - ±. Luego el dominio serán todos los reles menos ± DomfR-{-,}-,-,, b Ríces de índice pr: el rdicndo debe de ser siempre positivo o cero, pues no eisten ls ríces con índice pr con rdicndo negtivo por ejemplo. Pr estudir el dominio tenemos que resolver un inecución: Ejemplo: g : Domg[-,] ] [, c Logritmos: el rgumento debe de ser positivo, que no h ningun poten- Al igul que ci tl que un número positivo elevdo este se negtivo o cero. con ls ríces h que resolver un inecución. Ejemplo: h log > >- Domh-, Págin 6 de

204 Tem 9. Propieddes globles de ls Funciones. Ejercicio : estudir el dominio de ls siguientes funciones: Solución f b glog c h d i 5 Se tiene que cumplir: - - domf Domf-,] [, b Se tiene que cumplir: - - domf - - Domg-,, c Es un ríz impr luego lo único que se tiene que cumplir es: - - domhr-{} d L función no definid en [,5] luego el dominio es: Domi-, 5, Págin 7 de

205 Tem 9. Propieddes globles de ls Funciones. Ejercicio : Estudir dominio de l función definid por l siguiente gráfic: - Domf-,- [,. Continuidd discontinuidd de un función Definición de continuidd: un función se dice continu en un punto cundo un pequeñ vrición de l vrible independiente supone un pequeñ vrición de l vrible dependiente. Gráficmente ocurre cundo l trzr l gráfic de l función no levntmos el bolígrfo del ppel. En el tem veremos un definición más precis de l continuidd. Definición de discontinuidd: cundo un función no es continu en un punto entonces es discontinu en ese punto.. Monotoní: crecimiento decrecimiento, puntos reltivos. Monotoní: crecimiento decrecimiento Estudir l monotoní de un función consiste en ver en los puntos del dominio donde est función crece o decrece. Vemos mtemáticmente cundo un función crece o decrece en un punto en un intervlo: Definición: un función f es creciente en un punto si se cumple: - El vlor de l función infinitmente próimo menor de cumple: f >f - - El vlor de l función infinitmente próimo mor de cumple: f <f Págin 8 de

206 Tem 9. Propieddes globles de ls Funciones. f f f - - Definición: un función es creciente en un intervlo,b si se cumple que es creciente en todos los puntos del intervlo, tl que pr todo,,b tl que < f <f Definición: un función f es decreciente en un punto si se cumple: - El vlor de l función infinitmente próimo menor de cumple: f <f - - El vlor de l función infinitmente próimo mor de cumple: f >f f - f f - Definición: un función es decreciente en un intervlo,b si se cumple que es decreciente en todos los puntos del intervlo, tl que pr todo,,b tl que < f >f. Puntos reltivos Definición: un punto reltivo f es un punto perteneciente l función en donde dich función ni crece ni decrece, puede ser de dos tipos: Máimo reltivo: en un entorno próimo l punto por l izquierd l función crece en un entorno por l derech l función decrece: f >f - f >f Págin 9 de

207 Tem 9. Propieddes globles de ls Funciones. b Mínimo reltivo: en un entorno próimo l punto por l izquierd l función decrece en un entorno por l derech l función crece f <f - f <f máimo mínimo Ejemplo: estudir udándote de l clculdor si en los puntos -,-,-, l función f - es creciente, decreciente, máimo mínimo reltivo - f-7; f- - f,7, f- f-.995,57 f- <f-<f- - en - l función decrece b - f-- f- - f-,-.99 f- f f- >f- f - >f- en - mínimo reltivo m-,- c - f-- f- - f-,-. f- f f- >f->f- - en - l función crece d f f - f-,-. -5 f f f <f f - <f en Máimo reltivo M, Págin de

208 Tem 9. Propieddes globles de ls Funciones. Ejercicio : estudir l monotoní los puntos reltivos de l función f - cu gráfic es: Creciente: -,, Decreciente: -,-, Puntos reltivos: - Máimos: M, - Mínimos: m -,f--,-, m,f,-5. Curvtur de un función, concvidd, conveidd punto de infleión. L curvtur se centr en el estudio de l form de l función, sí en un punto puede ocurrir que l función se: - Concv: si dibujmos l rect tngente en el punto se cumple que l rect por debjo de l función. Tiene form de - Conve: si dibujmos l rect tngente en el punto se cumple que l rect por encim de l función. Tiene form de - Punto de Infleión: cundo ps de cóncv conve o l revés. Ejemplo: estudir l curvtur de l siguiente función f - Págin de

209 Tem 9. Propieddes globles de ls Funciones. Concvidd: -,, Conveidd:, Puntos de infleión: P,, P,- 5. Simetrí Periodicidd 5. Simetrí L simetrí de un función se refiere l comportmiento de l función con respecto l origen l eje OY. Atendiendo esto tenemos que l función puede ser: Simétric pr o respecto el eje OY: l función se comport igul l izquierd derech del eje OY, es como si este fuer un espejo. Se cumple ff- b Simetrí impr o respecto del origen: l prte izquierd del eje OY de l gráfic es equivlente l de l derech pero cmbindo de signo. Se cumple -ff- c No simétric cundo no es pr ni impr: Ejemplo: estudir l simetrí de ls siguientes funciones f - b g - c h -6 f-- - -f simetrí pr o respecto eje OY b g gsimetrí impr o respecto el origen c h h h- h Págin de

210 Tem 9. Propieddes globles de ls Funciones. b c Ejercicio : Decir si ls siguientes funciones son simétrics o no, en cso firmtivo indic el tipo de simetrí: f b f c f d f f- b f- f Simetrí Pr c f- f Simetrí Pr d f- f No simetrí f f Simetrí Impr Págin de

211 Tem 9. Propieddes globles de ls Funciones. Conclusión funciones rcionles: Si numerdor denomindor los dos simétricos con mism simetrí, l función tiene simetrí pr b Si numerdor denomindor los dos simétricos con distint simetrí, l función tiene simetrí impr. c Si o bien numerdor o bien denomindor no simétricos l función no tiene simetrí. 5. Periodicidd Definición: un función f es periódic cundo su comportmiento se repite cd vez que l ument o disminue un cierto intervlo. El mínimo intervlo en el que se repite l función se llm periodo T. Mtemáticmente: fn Tf con n N Ejemplo: fsen en rdines ffn π T π T T T T T T Ejercicio 5: clculr el periodo el vlor de l función cundo 7,.5, El periodo es Ts b resto7:7 8 f7f resto.5:,5.5 f.5f.5 l resto69.5: f69.5f.5-5 Págin de

212 Tem 9. Propieddes globles de ls Funciones. 6. Tendencis, síntots Ls tendencis de un función consiste en el estudio del comportmiento de l función, cundo l vrible independiente tiende -. Definición: un síntot es un rect l que l función se cerc infinitmente sin llegr ell. Podemos distinguir entre ls siguientes síntots: Verticl: L rect es de l form, con lo que es un rect prlel l eje OY. Ocurre cundo se nul el denomindor de un función Horizontl: l rect es de l form b, con lo que l rect es prlel l eje OX. Ocurre cundo l tender -, l función tiende l vlor b. Oblicu: l rect es de l form mn. Ejemplo: Estudir síntots dibujr l gráfic de f Asíntot verticl, -: f f,, tiende, f - f , luego tiende - f- - f-,, tiende, f- f-.9999, luego tiende - b Asíntot horizontl f9999, f-9999 lim ± Ejercicio 6: Estudir síntots dibujr l gráfic de f Tiene síntot verticl en -. f- - f-, tiende ; f- f tiende - Vemos cundo ± si f si - f L función tiende si - si -. Pero viendo los resultdos podemos ver que crece de form linel, de tl mner que l le hce corresponder en el límite un vlor de un unidd menor que. Est función tiene síntot oblicu - Págin 5 de

213 Tem 9. Propieddes globles de ls Funciones. Not: en el tem veremos un form más mtemátic de clculr ls síntots prtir de los límites. 7. Composición de funciones Definición: sen f g dos funciones reles con vrible rel, se llm función compuest de f con g, se denot como fo g, l función definid de l siguiente form: fo gf[g] Vemos gráficmente el resultdo de l composición g f R R R g f[g] fo g L composición por lo generl no cumple l propiedd conmuttiv, es decir: fo g go f Ejemplo: sen ls siguientes funciones f -, gsen, he. Clculr fo g fo gf[g]sen - sen b go f go fg[f]sen - c fo h fo hf[h]e -e Ejercicio 7. Clculr ls siguientes composiciones tomr f, g h del ejemplo ho f ho fh[f] b go h go hg[h]sene c ho g ho gh[g]e sen Págin 6 de

214 Tem 9. Propieddes globles de ls Funciones. 8. Función invers 8. Definición de invers Definición: Se un función f inectiv pr cd vlor de sólo un vlor de, l función invers, que se denot como f -, es un función que cumple: fo f - f - o fi Vemos gráficmente el significdo de l invers: Domf Imf f f - Procedimiento pr el cálculo de l invers de f. Psos Cmbir por f Despejr en función de f - Ejemplo: f - f - Comprobción: fo f - - f/ f - / - f/ f - / Ejercicio 8. Clculr l invers de ls siguientes funciones: f-, bge Solución : f - b g - ln Págin 7 de

215 Tem 9. Propieddes globles de ls Funciones. 8.. Gráfics funciones inverss Ls gráfics de tod función f de su invers f - son simétrics respecto l rect. Vemos lgunos ejemplos: f f- ge g - ln Págin 8 de

216 Tem 9. Propieddes globles de ls Funciones. Ejercicios finles Ejercicio 9. Determin el dominio de ls siguientes funciones:. f b. g c. h d. i ln Solución Al ser un ríz de índice pr - : - Domf-,] [, b Al tener denomindor se debe de cumplir que este no se nule. - ±. DomgR-{,-} c Tenemos que l función es un ríz cudrd, luego el rdicl h de ser positivo o cero, por otro ldo el denomindor no puede ser nulo:, -. Domh-,- -, d L función es un logritmo, luego el rgumento h de ser positivo, demás el denomindor no puede ser cero: Domi-,-, Págin 9 de

217 Tem 9. Propieddes globles de ls Funciones. Ejercicio. Estudi l simetrí de ls siguientes funciones: f -7 b h6--5 c i- d g Solución f-- 7-f simetrí impr b h-6--5h simetrí pr c i---- i,-i no simétric d g- g simetrí impr Ejercicio : Estudi ls síntots de ls siguientes funciones f b g Solución Asíntots verticles: donde se nul el denomindor -± Asíntot -, vemos si cundo se cerc - tiende más o menos infinito: f- - f-, luego - f- f luego Asíntot, vemos si cundo se cerc tiende más o menos infinito: f f,.85 5 luego - f - f luego - Asíntots horizontles oblicus: Vemos hci qué vlor tiende l función cundo ± Si : f tiende pero de tl form que Si - : f tiende - pero de l form Luego l síntot es oblicu Págin de

218 Tem 9. Propieddes globles de ls Funciones. b Asíntots verticles: donde se nul el denomindor Asíntot, vemos si cundo se cerc tiende más o menos infinito: - f - f-, luego f- f. - luego - Asíntots horizontles oblicus: Vemos hci qué vlor tiende l función cundo ± Si : f9999. tiende. Si - : f tiende. Luego l síntot es horizontl Ejercicio : Dibuj l gráfic de l función que cumple Asíntot verticl en - b Creciente en -,- -,, decreciente en -,-, c Mínimo en -,,-. Máimo en, d form en intervlo -,-, form de en -, e Punto de infleión en,- Págin de

219 Tem 9. Propieddes globles de ls Funciones. Ejercicio : Ídem problem : Simetrí pr b Asíntots verticles en -. Asíntot horizontl c Decreciente en -,- -, creciente en,, d Mínimo en, e Cómo es l curvtur? Ejercicio : Ídem problem : Simetrí impr b Asíntots verticles en -. Asíntot oblicu c Creciente en -,-.7.7, decreciente en -.7,- -,,.7 d Mínimo en.7,.6 máimo en -.7,-.6 e Punto de infleión en en, f Cómo es l curvtur? Págin de

220 Tem. Limite de funciones. Continuidd. Límite de un función. Funciones convergentes.... Límites lterles.... Distintos tipos de límites Límites infinitos cundo tiende un número rel síntot verticl Límites finitos cundo tiende infinito síntot horizontl Límites infinitos cundo tiende infinito Cálculo de límites.... Operciones con límites. Indeterminciones.... Resolución de límites sin indeterminciones Resolución indeterminciones del tipo Resolución de indeterminciones del tipo Resolución de indeterminciones del tipo... 9 k.6. Resolución de indeterminciones del tipo Resolución de indeterminciones del tipo Resolución de indeterminciones del tipo Resolución de indeterminciones del tipo Definición de continuidd Tipos de discontinuiddes Continuidd de ls funciones elementles. Operciones con funciones continus. 8. Teorems de Continuidd Teorem de conservción del signo Teorem de Bolzno...

221 Tem. Limite de funciones. Continuidd. Límite de un función. Funciones convergentes L ide intuitiv de límite de un función en un punto es fácil de comprender: es el vlor hci el que se proim l función cundo l vrible independiente,, se proim dicho punto. Ejemplo: se f el límite de l función cundo tiende es infinito, que cunto más se proim entonces - más próimo cero positivo, por tnto l función se hce más grnde /.. Definición: Mtemáticmente un función f tiene límite L cundo tiende un vlor, se denot lim f L si se cumple que cunto más se cerc l tnto l derech,, como l izquierd, - el vlor de l función, f más se proim L L Vmos considerr dos csos diferentes: lim f L f L veremos que es l definición de continu b lim f L pero f L Ejemplo: f lim f f. Vemos l gráfic de l función: Págin de

222 Tem. Limite de funciones. Continuidd b g si si lim g g Definición: Dd un función f, se dice que es convergente en si, eiste el límite lim f L, distinto de Pr que f se convergente en no es necesrio que pertenezc l dominio, por ejemplo g si lim g, Dom g, l función si es convergente. Límites lterles Eisten funciones definids trozos, son quells que están definids de diferente mner lo lrgo de distintos intervlos de l rect rel. En ests funciones, cundo queremos estudir el límite en los puntos donde cmbi l epresión nlític, es necesrio clculr los límites lterles, viéndose sí l tendenci de l función mbos ldos del punto. Definición: Un función f tiene límite L cundo tiende un vlor por l izquierd, se denot lim f L, si se cumple que cundo nos cercmos l vlor de pr menores que l función se cerc L. Consiste en estudir el comportmiento de l función en el entorno l izquierd de. Definición: Un función f tiene límite L cundo tiende un vlor por l derech, se denot lim f L, si se cumple que cundo nos cercmos l vlor de pr menores que l función se cerc L. Consiste en estudir el comportmiento de l función en todo entorno l derech de. Págin de

223 Tem. Limite de funciones. Continuidd Teorem: El límite de un función f en eiste si, sólo si, eisten los límites lterles éstos coinciden: lim f f L lim f lim lim f L lim f lim L f L Este teorem será mu importnte en los ejercicios de l PAU donde se nos pide estudir l continuidd de funciones definids trozos. Además, como veremos en el prtdo de cálculo de límites, que es el método utilizdo pr resolver ls indeterminciones de los límites del tipo Ejercicio. Clculr los límites vlores en l función de ls siguientes funciones representds: f-, f-, f, f Domf b lim f, lim f, lim f, lim f noeiste, lim f no eiste limf, limf, lim f no eiste, limf c lim g, lim g, lim g, lim g, lim g, lim g, lim g no eiste, lim g no eiste si < 5 si 5 < Ejercicio. Clculr los siguientes límites l función f log si < si lim f lim 5 5 lim f no eisten l ser los lterlesdistinto 5 lim f lim Págin de

224 Tem. Limite de funciones. Continuidd lim f lim b limf no eisten l ser los lterlesdistintos lim f limlog lim f limlog c limf lim f lim Vemos l gráfic de l función:. Distintos tipos de límites. Límites infinitos cundo tiende un número rel síntot verticl En este prtdo vmos estudir el cso de funciones que cunto más se proim un vlor, bien por l izquierd, por l derech o por los dos, l función se hce infinitmente grnde tiende o pequeñ tiende -. Cundo esto ocurre se dice que l función f tiene síntot verticl en Vemos los siguientes csos: Definición: Un función f tiene limite cundo tiende por l izquierd si cundo l cercmos con < l función crece de form infinit. Se escribe como: lim f Ejemplo: f si si < lim f que cunto más se proime por l izquierd entonces - más pequeño positivo por tnto f más grnde. Es decir, cundo - entonces l función f. En cmbio lim f Págin 5 de

225 Tem. Limite de funciones. Continuidd Cundo esto ocurre l función se proim l síntot verticl. Es decir cundo l función se proim por l izquierd, ést se cerc infinitmente l rect, que es prlel l eje OY. Vemos l gráfic: Definición: Un función f tiene limite cundo tiende por l derech si cundo l cercmos con > l función crece de form infinit. Se escribe como: lim f Definición: Un función f tiene limite cundo tiende si cundo l cercmos con > < l función crece de form infinit. Esto ocurre cundo los dos límites lterles vlen. Se escribe como: Ejemplo: f lim lim f lim f lim f lim lim f lim Págin 6 de

226 Tem. Limite de funciones. Continuidd Vemos l gráfic de l función sí podremos interpretr el significdo del límite: De igul form que hemos estudido el límite, el límite - es equivlente., sólo h que cmbir crecimiento infinito por decrecimiento infinito lim f lim f lim f Muchs veces ls funciones f tienden por un ldo de - por el otro ldo de ; cundo esto ocurre el lim f no eiste, que pr eistir debe coincidir los límites lterles. Si bien unque el límite no eist l función si tiene síntot verticl. Ejemplo: f lim, lim Vemos l gráfic: lim no eiste Asíntot Verticl Págin 7 de

227 Tem. Limite de funciones. Continuidd Definición: L función f tiene síntot verticl en cundo se cumpl lguno de estos 6 límites: lim f, lim f, lim f lim f, lim f, lim f. Límites finitos cundo tiende infinito síntot horizontl En este prtdo estudimos el comportmiento de lguns funciones en ls que, cundo l tom vlores mu grndes o mu pequeños, l función se proim cd vez más un vlor L. Si esto ocurre se dice que f tiende L cundo tiende o -. Vemos l definición: Definición: Un función f tiene por límite un número rel L cundo tiende, si se cumple que cunto mor es el vlor de el vlor de l función se proim más L. Se escribe como Ejemplo: f/ lim f lim f L Definición: Un función f tiene por límite un número rel L cundo tiende -, si se cumple que cunto menor es el vlor de el vlor de l función se proim más L. Se escribe como lim f L L función nterior f/ cumple tmbién que lim f Págin 8 de

228 Tem. Limite de funciones. Continuidd Definición: Un función f tiene un síntot horizontl en si se cumple un de ls siguientes condiciones o ls : lim f b lim f Cundo esto ocurre l función tiene un síntot horizontl L. Es decir, cundo se hce infinitmente grnde o infinitmente pequeño -, l función se cerc l rect prlel l eje OX L. Límites infinitos cundo tiende infinito En este último prtdo estudiremos csos: lim f b lim f c lim f d lim f lim f cundo se hce mu grnde el vlor de l función tmbién. Ejemplo: lim Págin 9 de

229 Tem. Limite de funciones. Continuidd b lim f negtiv. Ejemplo: - cundo se hce mu grnde el vlor de l función mu pequeñ lim c lim f cundo se hce mu pequeñ negtiv el vlor de l función se hce mu grnde. Ejemplo: f, lim Págin de

230 Tem. Limite de funciones. Continuidd d lim f cundo se hce mu pequeñ negtiv el vlor de l función tmbién. Ejemplo: f- lim Ejercicio. Clculr ls síntots verticles horizontles de ls siguientes funciones. Trt de bocetr l gráfic de l función: b 5 f g Solución 5 f A.V.: Verticles cundo el límite es infinito donde se nul el denomindor: -: lim f lim f el limite no eiste pero h AV en - lim f A.H.: Cundo el límite en /o - es un número: 5 lim f lim 5 5 lim f lim 5 Lugo tiene síntot horizontl 5, tnto cundo como cundo -. Págin de

231 Tem. Limite de funciones. Continuidd Vemos l gráfic: 5 - b g 9 A.V.: -9 -, 9, -9. Son síntots verticles: lim g 9 lim g lim lim g 9 lim g lim g lim 6 lim g 6 lim g lim lim g 6 lim g 6 A.H. : lim g lim, lim g lim L síntot horizontl es, tnto pr cundo tiene como - Págin de

232 Tem. Limite de funciones. Continuidd Vemos l gráfic: Ejercicio. Representr un función que cumpl ls siguientes premiss: lim f 5 b lim f 5 c lim f d lim f e lim f f lim f g lim f f lim f h lim f i lim f 6 j f k f Págin de

233 Tem. Limite de funciones. Continuidd b lim f b lim f c lim f d - Domf e lim f f lim f 5 g lim f 5 h lim f i lim f j f. Cálculo de límites. Operciones con límites. Indeterminciones Al hber límites cuo vlor es -, tendremos que ver cómo opern los números reles con ±. Veámoslo: Sum diferenci: k R k± ± Producto: k R k> k ejemplo lim -k R - -k< k - ejemplo lim k R k> k - - ejemplo lim -k R - -k< -k - ejemplo lim Págin de

234 Tem. Limite de funciones. Continuidd Cociente: k k R ejemplo lim ± k R ± ± ejemplo k -k R - ± m ejemplo k Eponente: lim lim k R k> k ejemplo lim k R <k< k ejemplo lim k R k> k ejemplo lim k R <k< k ejemplo lim Indeterminciones: -, - ejemplo lim ± ejemplo lim 5 6 k ejemplo ± ejemplo ± ejemplo ± lim lim lim ejemplo lim 7 ejemplo: lim Págin 5 de

235 Tem. Limite de funciones. Continuidd. Resolución de límites sin indeterminciones. En este prtdo vmos ver como se resuelven los límites en los que no h indeterminciones. Es sencillo sólo consiste en sustituir el vlor de l por el vlor del límite operr conforme lo eplicdo en el prtdo nterior.. Vemos lgunos ejemplos:. lim. lim. lim. lim 5. lim not: l indeterminción es cundo tiende, no cundo es. 6. lim ind. Resolución indeterminciones del tipo - Ls indeterminciones de este tipo es cundo un o vris funciones tienden otr u otrs -. Pr resolver ests indeterminciones no tenemos más que comprr el crecimiento de ls funciones, de tl form que prevlece quell cu tendenci o - se mor l resto. Orden de crecimiento de menor mor: log <log << / < < < n < b < donde > b >b. Tnto como b mores que Tods ests funciones tienden, pero crece mucho más rápido ls funciones eponenciles que ls polinómic, ests que los logritmos Veámoslo: b 5 / log X log X Págin 6 de

236 Tem. Limite de funciones. Continuidd Págin 7 de Ejemplos: lim log lim b lim log lim c lim log lim d lim lim..resolución de indeterminciones del tipo Ls situciones más simples en ls que prece es l clculr los límites infinitos de frcciones polinómic. Ests indeterminciones se resuelven dividiendo el numerdor el denomindor por l máim potenci de del denomindor Ejemplos: lim Q P 5 5 lim 5 5 lim 5 5 lim b 5 lim 5 lim 5 lim c 5 lim 5 lim 5 lim Conclusión: lim b b b n n n n m m m m n>m lim b b b n n n n m m m m b m>n lim b b b n n n n m m m m signoq signop signoq signop si c mn lim b b b n n n n n n n n n n

237 Tem. Limite de funciones. Continuidd Ejercicio 5. Clculr los siguientes límites de funciones. lim lim lim b c lim lim lim lim lim lim d lim lim lim not el grdo dentro de un ríz se divide entre el índice de l ríz, sí grdo. tiene / e lim lim lim lim / Estos no son los únicos tipos de límites en donde prece l indeterminción, vemos otros csos diferentes lim m lim b lim n m lim b n n n m m b m k n b k log m log n m n k b m k n b k > k > k > k > bn lim n b n log n k... b k > b n > Págin 8 de

238 Tem. Limite de funciones. Continuidd.5. Resolución de indeterminciones del tipo Aprece este tipo de límites principlmente en csos diferentes: Cociente de funciones polinómic: Se resuelven descomponiendo fctorilmente numerdor denomindor plicndo Ruffini con ríz l del límite, que es el vlor donde se nuln los dos polinomios, simplificndo los fctores comunes. Ejemplos: lim 6 lim lim b lim lim lim lim lim c lim lim lim d lim lim lim not: cundo el límite tiende en vez de Ruffini scmos fctor común, pues l ríz es cero, por tnto el fctor es -. 5 Cociente con funciones rcionles: Se resuelven multiplicndo numerdor denomindo por l epresión conjugd de l que llev ríz,cmbindo el signo: Ejemplos: lim lim lim lim lim Págin 9 de

239 Tem. Limite de funciones. Continuidd.6. Resolución de indeterminciones del tipo k Este límite puede ser, - o no eistir por ser los límites lterles diferentes. Se clcul prtir de los límites lterles son siempre síntots verticles: Ejemplo: k k lim lim k lim lim k lim lim no eiste el límite k k lim.7. Resolución de indeterminciones del tipo Se resuelven trnsformándols en indeterminciones del tipo o. Ejemplo: lim lim lim 6 6 lim.8. Resolución de indeterminciones del tipo - Ls indeterminciones de este tipo ls vimos en el prtdo.. En este prtdo vimos que el límite er o -, dependiendo qué función tendí más rápido. En el prtdo no considermos cundo ern funciones con crecimiento semejnte; esto ocurre cundo tenemos un ríz con un polinomio de grdo n un polinomio restndo de grdo l mitd n/. Si esto ocurre lo que se hce es multiplicr numerdor denomindor por l epresión conjugd, eliminndo sí l indeterminción del tipo - quedndo epresión del tipo /. Ejemplo: lim lim 5 mismo grdo lim 5 lim 9 lim Págin de

240 Tem. Limite de funciones. Continuidd Págin de.9. Resolución de indeterminciones del tipo Ests indeterminciones están relcionds con el número e. El vlor deciml del número e es: e,788 es un número irrcionl que debe su nombre l mtemático suizo Euler. Este número es el límite de l siguiente epresión: lim. Demos vlores:,59,769 6,788 En l práctic todo límite de l form lim f f cundo lim f. L form de resolver est indeterminción será buscr est epresión: Ejemplo: lim lim lim lim lim lim lim e e e e e Ejercicio 6. Clculr los siguientes límites: 5 lim 5 lim lim 5 lim 5 lim 5 lim 5 lim e e e e e

241 Tem. Limite de funciones. Continuidd Págin de b lim limite eiste el no e e e e e e ind e e e e lim lim lim lim lim lim lim lim c lim lim d lim lim Ejercicios Ejercicio 7.Clcul, en ls siguientes funciones representds, ls siguientes cuestiones: f-, f-, f, f Domf b lim f, lim f, lim f, eiste no f lim, eiste no f lim lim f, lim f, eiste no f lim, lim f

242 Tem. Limite de funciones. Continuidd c lim g, lim g, lim g, lim g, lim g, lim g, lim g no eiste, lim g no eiste Ejercicio 8: Clculr el límite: lime lim lim e e e lime no eiste lim e e Ejercicio 9: Clcul cuánto debe vler pr que l siguiente función, f, se convergente en : si - si lim f, lim f. El límite lim f eiste siempre que. Ejercicio : Siendo f clculr el siguiente límite: lim f f lim Ejercicio : Clculr los siguientes límites lim lim, b lim, c lim ind no eiste lim lim 5 d lim lim 5 ind e lim, f lim 5 5 lim 5 5 g lim, h lim i lim j lim k lim lim lim 6 l lim m lim n lim Págin de

243 Tem. Limite de funciones. Continuidd Págin de o lim lim p 5 lim 6 lim q lim lim lim 6 5 lim no eiste r lim lim lim s lim lim lim lim t lim lim lim lim u lim lim lim no eiste v 5 6 lim 5 6 lim 5 6 lim no eiste w lim lim lim lim 5 5 lim 5 5 lim e e e lim lim lim lim e e e e z lim lim e e lim lim

244 Tem. Limite de funciones. Continuidd b lim 5 lim lim lim 5 5 c lim lim lim Ejercicios PAU Septiembre. Prueb B. C-. Determínese el vlor del prámetro pr que se verifique lim lim. punto lim lim lim Págin 5 de

245 Tem. Limite de funciones. Continuidd 5. Definición de continuidd Vemos l definición de l continuidd: Definición: Un función f es continu en un punto si en dicho punto se cumplen ls siguientes tres condiciones:. Eiste lim f no vle ni - es decir es convergente en. L función definid en, es decir Domf. Los dos vlores nteriores coinciden: lim f f. Ejemplo: Domf-, [5, Continu en todos los puntos del dominio menos en - lim f f b lim f no eiste pues los límites lterles son distintos c 5 lim f no eiste pues no eiste el límite por l izquierd 5 Domg-,,],, Continu en todos los puntos del dominio menos en lim g no eiste pues los límites lterles son distintos b lim g no eiste pues no eiste el límite por l derech c lim g no eiste pues no eiste el límite por l izquierd d lim g pero Domg Págin 6 de

246 Tem. Limite de funciones. Continuidd Definición: Un función f es continu en un intervlo,b si en todos los puntos del intervlo es continu. Esto ocurre cundo l dibujr l gráfic no levntmos el boli de l hoj pr dibujrl En el ejemplo nterior f continu en -,-, -,,, 5,. L función g en -,,,,,,. Ejercicio. Clculr l continuidd de l siguiente función: Psos: Estudir l continuidd de los trozos en sus dominios de definición: es continu en R-{-,}, que el denomindor se hce cero el límite en - vle síntot verticl. Pero de los dos vlores sólo - pertenece l dominio de definición,. son rects por tnto continus en todos los reles. Luego por hor l función no continu en - Estudir l continuidd en los puntos donde l función cmbi de epresión nlític, en nuestro ejemplo. En lim f lim lim f lim f lim Luego l función no continu en tmpoco. En lim f lim 5 lim f 5 lim f lim 5 no eiste el limite Aunque el límite eiste l función no continu pues Domf. Y que pr l función no definid Luego l función no continu en tmpoco L función tiene tres puntos de discontinuidd en -,,. Págin 7 de

247 Tem. Limite de funciones. Continuidd 6. Tipos de discontinuiddes Definición: Un función f es discontinu en un punto si no es continu en dicho punto. Eisten dos tipos de discontinuiddes: Discontinuidd evitble b Discontinuidd no evitble Discontinuidd evitble: Un función f present un discontinuidd evitble en el punto si cumple ls siguientes condiciones:. L función convergente, es decir el límite de l función en eiste, es un numero lim f L. Un de ls dos siguientes condiciones: Ejemplos:. o el límite no coincide con f b. o bien l función no está definid en es decir Domf lim f f. Est discontinuidd se evit redefiniendo l función en, hciendo que en este punto l función tome el mismo vlor que el límite es decir f Así l función f si si es continu pues lim f f si Págin 8 de

248 Tem. Limite de funciones. Continuidd lim g pero Dong. Est discontinuidd se evitrí si redefinimos l e función tl que en est vlg lo mismo que el límite: g / si si Discontinuidd no evitble: Es quell en l que el límite en el punto o no eiste o es infinito. Pueden ser su vez de tipos: Slto finito en : los límites lterles no coinciden pero son números reles lim f lim f Slto infinito en : cundo los dos límites lterles en o l menos uno de ellos es o -. Págin 9 de

249 Tem. Limite de funciones. Continuidd Ejercicio. Decir de ls siguientes funciones los tipos de discontinuiddes de ls siguientes funciones f: - evitble, no evitble de slto finito. Entre [,5 l función no definid g: no evitble de slto infinito. Entre,] función no definid. Ejercicio. Decir que tipo de discontinuidd h en l función del ejercicio L función tiene tres puntos de discontinuidd en -,,. - En - no evitble de slto infinito - En no evitble de slto finito - En evitble 7. Continuidd de ls funciones elementles. Operciones con funciones continus Ls funciones elementles, por lo generl, son continus en todos los puntos del dominio. Ls discontinuiddes más importntes precen en funciones definids trozos discontinuiddes evitbles o de slto finito, en funciones con denomindor en el vlor donde se nul éste discontinuidd de slto infinito. Operciones de funciones continus: Sen f g funciones continus en Ls funciones sum rest f ± g son continu en L función producto f g es continu en L función división f/g es continu en si g Si g es continu en f es continu en g entonces l función compuest f g es continu en. Págin de