Resolución de las ecuaciones cuadráticas según Al Jwarizmi:

Transcripción

1 María Moreno Warleta ESTALMAT Madrid Au Jafar Mohammet in Mose Al - Jwarizmi fue uno de los mejores matemátios áraes de la Edad Media y es onsiderado el padre del álgera. Conoemos su ora matemátia graias a las traduiones al latín que de ella se hiieron durante la Edad Media y el Renaimiento. Al - Jwarizmi vivó del año 780 al 835. Naió en una iudad llamada Jwarizm que atualmente se llama Jiva y está en Uzekistán. Vivió en la orte del alifa Adulá al - Mamún quien haía fundado una aademia de ienias que se llamaa "La Casa de la Saiduría" en la que traajaron los mejores ientífios y matemátios, entre ellos, por supuesto, Al - Jwarizmi. En la Casa de la Saiduría se desempeñó omo ilioteario, matemátio y astrónomo y esriió varios tetos, fundamentalmente de matemátias. Su ora más importante es, sin duda, el Al - jaar wa l Muqaala, que es un tratado sore ómo plantear euaiones para resolver prolemas de la vida otidiana. El liro empieza así:"este interés por la ienia, on la que Alá ha dotado al alifa Al - Mamún, audillo de los reyentes, me ha animado a omponer esta reve ora sore el álulo por medio del álgera, en la que se ontiene todo lo que es más fáil y útil en aritmétia, omo por ejemplo todo aquello que se requiere para alular herenias, haer repartos justos y sin equívoos, resolver pleitos, realizar omerio y transaiones on tereros, todo aquello en donde esté impliada la agrimensura, la eavaión de pozos y anales, la geometría y varios asuntos más. Resoluión de las euaiones uadrátias según Al Jwarizmi: Al- Jwarizmi dividía las euaiones uadrátias en seis grupos: I Cuadrado de la osa igual a osa = II Cuadrado de la osa igual a número = III Cuadrado de la osa más osa igual a número. IV Cuadrado de la osa más número igual a osa. + = + = V Cuadrado de la osa igual a osa más número. = +

2 En todos ellos onsideraa que a, y eran números positivos y solamente usaa las soluiones positivas de estas euaiones. Para resolverlas realizaa onstruiones geométrias que equivalen a lo que nosotros hoy en día llamamos ompletar uadrados. De modo que utilizaa la geometría para resolver prolemas de álgera o, quizás, utiliza el álgera para resolver prolemas geométrios. Omar Jayyam, gran matemátio y poeta persa naido en 100 saiamente nos die: Quienquiera que piense que el álgera es un sistema de truos para otener los valores de inógnitas, piensa vanamente. No se dee prestar ninguna atenión al heho de que el álgera y la geometría son en aparienia diferentes. Los hehos del álgera son hehos geométrios que están demostrados." Las dos primeras euaiones se resuelven sin ningún prolema. Veamos que hae on el resto: + = + = / / El Arte de la Cosa María Moreno Warleta

3 Así pues, y. Vamos a haer unas pequeñas modifiaiones a la fórmula otenida: Compara esta fórmula on la que onoes para resolver euaiones de º grado. Oserva que esta onstruión se puede haer siempre, sean uales sean los valores de y. Así pues, la euaión + = tiene siempre una soluión positiva. La segunda soluión de la euaión es siempre negativa ( ) y, por tanto, Al Jwarizmi no la hallaa. + = / / = + / / / / Harás oservado que la segunda soluión de esta euaión tamién es positiva, así que Al Jwarizmi no deería ignorarla, y no lo hae. Lo que pasa es que en el primer paso, al haer la división del retángulo hemos supuesto que era menor que / (en nuestro aso 8/= ). La segunda soluión es 6, mayor que, y por eso no la podemos enontras así. El Arte de la Cosa 3 María Moreno Warleta

4 El Arte de la Cosa María Moreno Warleta Por qué es siempre ierto que una euaión de la forma + = tienen dos soluiones reales positivas, una menor que / y la otra mayor que /? Vamos a eponer el proedimiento para resolver la euaión en el aso en que es mayor que /, pero esta vez on letras: Oserva la relaión entre las áreas otenidas:. Entones,. De aquí deduimos que el lado del uadradito gris es y por tanto. De nuevo, haiendo algunas transformaiones algeraias, llegamos a la famosa fórmula que nos da la soluión mayor de la euaión + = 0. Al Jwarizmi alara que si (/) = amas onstruiones son idéntias y la soluión es únia y si (/) < la onstruión es imposile y la euaión no tienen soluión. / / / / = +

5 = + = + / / / / / Es posile realizar esta onstruión siempre? Cuántas soluiones positivas tiene la euaión? Talilla Plimpton on las ternas pitagórias El Arte de la Cosa 5 María Moreno Warleta

6 Atividades: A ontinuaión te proponemos algunos prolemas histórios que se resuelven planteando euaiones de segundo grado. Plantéalas y resuélvelas utilizando el método de Al Jwarizmi. Anónimo ailónio. Prolema de la époa seleúida, siglo II a.c. Desde el terer milenio antes de Cristo los puelos que haitaron entre los ríos Tigris y Eufrates nos han dejado miles de talillas de arilla. En más de 500 de ellas apareen manifestaiones matemátias que nos han permitido desurir desde su sistema de numeraión en ase 60 a sus onoimientos sore geometría. Conoían el teorema de Pitágoras mil años antes de que naiera Pitágoras! He sumado el área y el lado de un uadrado [y he otenido]: 3/ Al Jwarizmi. Al - jaar wa l Muqaala, 85 Divide diez en dos partes. Multiplia una parte por la otra y, entones, multiplia una parte por sí misma. Este uadrado es uatro vees el produto de la una por la otra. Gerolamo Cardano. Ars Magna Cardano, que era un gran admirador de Al Jwarizmi al que onsideraa el padre del álgera, pulió en su Ars Magna la forma de resolver las euaiones de terer grado. Deerías leer algo de la historia de la resoluión de la úia, es fasinante. En ella enontramos todos los elementos de una pelíula poliíaa: seretos, rivalidades, traiiones, enfrentamientos, esarnio púlio. Haía dos jefes, ada uno de ellos repartió 8 monedas entre sus soldados. Uno de ellos tenía dos soldados más que el otro, y a los soldados del grupo menor le toaron monedas más que al grupo mayor. Cuántos soldados tenía ada jefe? Juan Pérez de Moya. Aritmétia prátia y espeulativa. 156 Esta ora es, proalemente, el mejor liro de matemátias de España del siglo XVI, no tanto por la originalidad de los resultados sino por su aierto a la hora de eponerlos. Su éito fue tal que ha onoido treinta ediiones, la última en 1875 más de dos siglos después de su primera puliaión! El prolema que te proponemos está en el astellano antiguo original. Dame vn numero que juntandole 5 y por otra parte quitandole y multipliando la suma por la resta, monte 98. El Arte de la Cosa 6 María Moreno Warleta