SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

Transcripción

1 SISTEM DE ECUCIONES LINELES Defiició: Llmremos sistem de m ecucioes co icógits, u cojuto de ecucioes de l form: m.... m..... m m (S) Los elemetos so los coeficietes del sistem. ij Los elemetos i so ls icógits del sistem. Los elemetos j será los térmios idepedietes. Clsificc ió de los Icomptiles (si solució ) S. E. L. Determidos (u solució) Comptiles Idetermidos (ifiits solucioes) Defiició: Llmmos sistems homogéeos los que tiee todos los térmios idepedietes ulos. Estos sistems siempre dmite l solució (,,,.,) que recie el omre de solució trivil, por tto, los sistems homogéeos so siempre comptiles. Epresió mtricil de u sistem Vmos ver que todo sistem se puede epresr e térmios de mtrices. Es lo que se cooce como epresió mtricil de u sistem. Se u sistem de m ecucioes co icógits: Podemos cosiderr etoces ls siguietes mtrices: m m.. m m m. m m X... B m L mtriz recie el omre de mtriz de coeficietes, l mtriz X es l mtriz de icógits y l mtriz B es l mtriz de los térmios idepedietes. E tl cso uestro sistem se podrá epresr como: X=B Por tto, resolver el sistem equivle hllr l mtriz X terior, que será X= - B Ctr. del Mote,. 47 Los Plcios y Vfrc (Sevill) Tfo: F Emil: edu@jutdedluci.es

2 Sistems de Crmer. Regl de Crmer. Defiició: Diremos que u sistem de ecucioes lieles es de Crmer si tiee igul úmero de ecucioes que de icógits y el determite de l mtriz de coeficietes o es ulo. Es decir, l mtriz es cudrd y co E este cso si desrrollmos l ecució mtricil X= - B oteemos l solució viee dd por (Regl de Crmer): , ,, Ejemplo: Vmos resolver el siguiete sistem por l Regl de Crmer. y z 3y z 5 y 4z l ser cudrd y 4 4 Podemos grtizr que el sistem es de Crmer y por tto comptile determido. L solució será: y z Por tto, l solució será: y z Ctr. del Mote,. 47 Los Plcios y Vfrc (Sevill) Tfo: F Emil: edu@jutdedluci.es

3 Discusió de sistems. Teorem de Rouché -Fröeius. Está clro que, tes de resolver u sistem, es itereste ser si tiee o o solució, y que si o l tiee, pr qué os vmos molestr e resolverlo? este proceso se le cooce como discutir u sistem. O mejor dicho, discutir u sistem cosiste e decir si tiee o o solució y, e cso de que l teg, decir cuáts. Por tto, se trt de decir, si el sistem es comptile o icomptile, y e el cso de ser comptile, decidir si es determido o idetermido. Pr tomr est decisió si ecesidd de teer que poeros resolver el sistem, hremos uso del Teorem de Rouché-Fröeius. Pero, tes de d, vmos defiir u pr de coceptos reltivos u sistem de ecucioes lieles. Se u sistem de ecucioes lieles culquier: Podemos cosiderr e él dos mtrices: l mtriz de coeficietes y l mtriz mplid * que es l que result de ñdir l colum de los térmios idepedietes: m. m m * =... m. m m m Ejemplo: Si el sistem es 3y z 8 3 y z 3 4 6y 7z 7 etoces * Pues co ests otcioes, el Teorem de Rouché-Fröeius dice lo siguiete: Teorem de Rouché-Froeius U sistem de m ecucioes co icógits es comptile si y solo si el rgo de l mtriz de los coeficietes es igul l rgo de l mtriz mplid. Rg()=Rg(*). demás, supoiedo que Rg()=Rg(*)=r etoces: Si r = el sistem es comptile determido. Si r < el sistem es comptile idetermido. Ctr. del Mote,. 47 Los Plcios y Vfrc (Sevill) Tfo: F Emil: edu@jutdedluci.es

4 Demostrció "" (Vemos que si el sistem es comptile etoces los rgos coicide) Si el sistem es comptile, etoces tiee solució, es decir, eiste vlores (,,, ) de ls vriles que verific que C C C B dode C i es l colum i,lo cul quiere decir que l colum de térmios idepedietes es u comició liel de ls colums de l mtriz de los coeficietes. El rgo de l mtriz mplid o vrí si se suprime es colum (y que es comició liel de ls otrs) sí que Rg()=Rg(*) "" (Vemos que si los rgos so igules etoces el sistem es comptile) Si los rgos so igules Rg()=Rg(*)= r, etoces e l mtriz sólo hy r colums lielmete idepedietes, que tmié so colums de l mtriz *. El resto de ls colums de y de *, será etoces comició liel de ests r colums. Por tto, el vector de térmios idepedietes, que es u colum de * es comició liel de ls colums de y se puede epresr C C C B por cosiguiete, el sistem es comptile y co solució (,,, ). Vemos hor l demostrció de l segud prte del teorem Supogmos pr ello que el sistem es comptile, es decir que Rg()=Rg(*)= r. Como el sistem es comptile, eiste l meos u solució, es decir u cojuto de vlores de ls icógits k, k,.. k tles que Vmos pror que: k C k C k C B () eiste más solucioes distits es solució r <. (O lo que es lo mismo, si r < hy l meos dos solucioes distits y el sistem es comptile idetermido, mietrs si r = o puede her más de u solució y el sistem es comptile determido y hremos cdo) "" (Vemos que si eiste más solucioes distits es solució dd, etoces r<) icógits Como el sistem es comptile, eiste l meos u solució, es decir u cojuto de vlores de ls k, k,.. k tles que k C k C k C B () Supogmos que eiste otr solució, distit de l terior, esto es, otro cojuto de vlores k', k',.. k' tles que k' C k' C Restdo ls igulddes () y () oteemos: ( k k' C B () k' ) C ( k k' ) C ( k k' ) C B B Etoces estmos diciedo que teemos u comició liel de ls colums de l mtriz iguld l vector cero, dode demás lguo de los coeficietes es distito de cero, y que ls dos solucioes hemos supuesto Ctr. del Mote,. 47 Los Plcios y Vfrc (Sevill) Tfo: F Emil: edu@jutdedluci.es

5 que so diferetes y por tto lgú luego h de verificrse que r <. k i k' i. Pero esto equivle decir que ls colums de so depedietes, "" (Vemos que si r< etoce eiste más solucioes distits es solució dd) Recíprocmete, si r < quiere decir que ls colums de l mtriz form u cojuto lielmete depediete, luego eiste lgu comició liel de ls colums que iguld cero resulte que o todos los coeficietes se ule. Esto es: C C co lguo de los C Sumdo est iguldd l iguldd () teemos: i. ( k ) C ( k ) C ( k ) C B B k, k,.. k de mer que es otr solució del sistem distit l terior y que l meos uo de los i. (De hecho hy ifiits solucioes distits, y que si multiplicmos todos los i por u fctor distito de cero, todo el rzomieto terior sigue siedo válido). sí pues hemos prodo que si r< etoce eiste más solucioes distits es solució dd Resumiedo: Si teemos u sistem de m ecucioes co icógits, podemos clsificrlos segú el Teorem de Rouché-Fröeius, de l siguiete form: Icomptiles (si solució ) ( Rg( ) Rg( *)) Clsificc ió de los S. E. L. Determidos (u solució) ( Rg( ) Rg( *) ) Comptiles Idetermidos (ifiits solucioes) ( Rg( ) Rg( *) ) Ctr. del Mote,. 47 Los Plcios y Vfrc (Sevill) Tfo: F Emil: edu@jutdedluci.es