Práctico 8 - Integrabilidad y Teorema Fundamental. 1. Integrales geometricas

Transcripción

1 Universidd de l Repúblic Cálculo Fcultd de Ingenierí - IMERL Segundo semestre 6 Práctico 8 - Integrbilidd y Teorem Fundmentl. Integrles geometrics En est sección se trbjr con l ide intuitiv de integrles, donde l integrl de un función f en el intervlo [,b] es el áre signd entre el gráfico y el eje Algunos ejemplos de integrles 3 f (t)dt = + = 5 g(t)dt = =, 4 g(t)dt = 4 h(t)dt = = Todos los resultdos de est sección se podrn probr formlmente luego, quí estn pr dr ides intuitivs del problem y trbjr con cotciones. Se recuerdn ls propieddes de áre. Propieddes bsics de áres Si A B entonces Are(A) Are(B) El áre de un rectngulo R de ldos y b es Are(R) = b Si A B = entonces Are(A B) = Are(A) + Are(B). Adems si dos rectngulos R y R se intersecn solo en ldos Are(R R ) = Are(R ) + Are(R ) Se puede sumir que tods ls funciones de est sección son integrbles. Posteriormente podrán probr que lo son.. Clculr l integrl de ls siguientes funciones en [,]. () f () = { si si < (b) f () = + [] (c) f () = si [ ] si < (d) f () = ( ( ) n ) n+ si ( ) n ( ) n ( ) + n+ ( ( ( n ) + ( ) n+ )) n+ si ( ) n ( ) + n+ ( ) < < n

2 Figur : bosquejo del ejemplo.d. ) Clculr ls integrles () π sin(kt) + 5 dt, k N (b) b) Determinr el signo de ls siguientes integrles π cos(kt) + 5 dt, k N () sin( π)d (b) cos( π)d 3. Que vlores de y b, < b, mimizn el vlor de b d 4. Sbiendo que f : [,] R es un función integrble, demostrr que: ) Si f es pr, entonces b) Si f es impr, entonces f ()d = 5. Demostrr l siguiente desiguldd: f ()d =. f ()d. 3 4 d 6. Bosquejr ls funciones F i () = f i(t)dt, pr ls siguientes funciones. Conjeturr sobre si ls funciones F i son derivbles 7. Clculo de integrles trigonometrics ) Clculr l integrl π sin() + 3d b) Bosquejr en los mismos ejes ls funciones f () = sin() + 3 y g() = sin() en el intervlo [,π].

3 c) Clculr el re entre ls grfics de f y g d) Clculr ls integrles de ) π sin() d, π π ) π sin() d sin() d 8. Se f : [,π] R l funcion definid por si < π 6 si π 6 < π 4 si π 4 < 5π 6 f () = 3 Grficr ls funciones g() = f (t)dt y h() = g(t)dt. Sums de Riemnn i= i= si π 3 < π 3 si π 3 < 3π 4 si 3π 4 < 5π 6 si 5π 6 π. Clculr 3 d hllndo sus sums superiores e inferiores pr prticiones equiespcids. Recordr que n i = n(n+) y n i = n(n+)(n+) 6.. Clculr b e d hllndo sus sums superiores e inferiores pr prticiones equiespcids. Recordr que n k=m r k = rm r n+ r. 3. Probr que si f es un función integrble, entonces l función g() = f (t)dt es continu. 4. Acotr el áre del círculo de rdio con un error menor l,% 5. Probr que un función monotom creciente y cotd es integrble. Sugerenci: Pr probr que es integrble en el intervlo [,b], tomr un prtición equispcids de tmño b n 6. Supong que f es un funcion continu y que lím + f () =. ) Asumiendo que eiste el límite lím + f (t)dt probr que R se tiene que lím f (t)dt = lím f (t)dt + + b) Probr que el limite lím + f (t)dt eiste y dems lím + f (t)dt = 3

4 3. Vlor medio y teorem fundmentl. Pr ls siguientes funciones bosquejr ls funciones F() = f (t)dt. Demostrr que b b+c f ()d = f ( c)d +c Sugerenci: tod prtición P = {t,...,t n } de [,b] d origen un prtición P = {t + c,...,t n + c} de [ + c,b + c] y vicevers. 3. Probr que si f es continu y no negtiv en [,b], entonces b f ()d = f () = [,b] 4. Dr un ejemplo de función integrble f tl que c [,b] se cumple que b f () d (b )f (c) 5. Utilizr el teorem del vlor medio pr probr que lim ( ) log(t) t log(t) Se f continu en [,8], tl que f ()d = y f ()d =. 4 ) Clculr f ()d b) Probr que eiste c [,4] tl que f (c) = Sin clculr l integrl, derivr ls siguientes funciones: 8 dt = () f () = t t + dt (b) f () = t t + dt (c) f 3 () = 3 t t + dt (d) f 4 () = 3 t t + dt (e) f 5 () = log() t t + dt cos() cos() 4

5 8. Determinr (si eisten) un función f : R R y un número rel c R tles que () c f (t)dt = + R (b) f (t)dt = log( + + ) c (c) c f (t)dt = ( ) 4 (d) f (t)dt = c e 9. Se F() = f. En cd uno de los siguientes csos indicr pr qué vlores de se verific que F () = f (). i)f () = { si si < ii)f () = { si si { si R Q iii)f () = q si = p q, (frcción irreducible). Se f un función continu, monóton estrict en [,b] y derivble en (,b). ) Probr que f (t)dt + f () f () f (t)dt f () + f () = [,b] Interprete geométricmente el resultdo. b) Clculr t dt y log(t)dt, utilizndo el resultdo de l prte nterior.. ) Demostrr que si f es integrble en [,b] y m f () M, [,b], entonces pr un cierto µ [m,m]. b f ()d = (b )µ b) Demostrr que si f es continu en [,b] entonces b f ()d = (b )f (ξ) pr un cierto ξ [,b]. Este resultdo se conoce como el teorem del vlor medio pr integrles. Ver con un ejemplo que l continuidd es esencil. c) De un modo más generl si f es continu en [,b] y g y f g son integrbles y g es no negtiv en [,b] demostrr que b f ()g()d = f (ξ) b g()d pr un cierto ξ [,b]. Este resultdo se conoce como segundo teorem del vlor medio pr integrles. d) Deducir el mismo resultdo si g es no positiv (en vez de no negtiv) en [,b] y observr que l hipótesis de que g no cmbi de signo en [,b] es esencil.. Consideremos l función y = F() definid por l fórmul F() = e log(3) s ds. Se g = F. Clculr l derivd de g en y =. Observción: L integrl que prece en este ejercicio no dmite un epresión elementl, por lo que no es posible hllr un fórmul pr g. 5

6 + 3. Se G : R R tl que G() = e t dt ) Probr que G es derivble en todo R y clculr G (). b) Grficr y estudir etremos reltivos y bsolutos de G. 4. Indicr si es verddero o flso que: Si f : R R es un función continu y F un primitiv de f tl que F() = 4 necesrimente 4. Complementrios F(t)f (t)dt = (F()). Sen f y g dos funciones integrbles. Seleccione l cntidd mínim necesri de hipótesis pr que f = g y de contrejemplo en los csos flsos. ) Si eisten,b R, < b tl que b f = b g entonces f = g b) Si eisten,b R, < b tl que b f = b g y dems f, g son continus entonces f = g c) Si b f = b g,b R entonces f = g d) Si b f = b g,b R y f y g son continus entonces f = g. Clculr lím 3 t t 4 + dt 3. Otr posible definición de l función eponencil Definimos l función logritmo como un primitiv de, ms precismente log() = t dt ) Probr que l función log : R + R es creciente e infinitmente derivble. b) Definimos l función invers de log como ep : I R, en su dominio de definición. Probr que (ep()) = (ep()) 4. Se f : R R un función derivble con derivd positiv y tl que f () =. Definimos g() = f (t)dt Cul de los siguientes enuncidos son ciertos ) L función g es continu b) L función g es derivble c) L grfic de g tiene tngente horizontl en d) L función g tiene un mínimo locl en e) L función g tiene un máimo locl en f ) L función g tiene un punto de infleión en g) L grfic de g cort l eje en el punto = 5. ) De ejemplo de funciones f, g que sen integrbles pero que f g no lo se. b) Determinr si es verddero o flso l siguiente firmcion. Si f es integrble entonces f lo es 8 6

7 6. Se considern ls funciones J,H : R R definds por ) Clculr H, J, J(), H(). J() = rctn() +, H() = + t t dt b) Hllr l foruml eplicit de H(), distinguir pr positivo y negtivo. 7