el blog de mate de aida MATEMÁTICAS I. Números complejos. Pág. 1 Diofanto, un adelantado a su época.

Transcripción

1 el blog de mate de aida MATEMÁTICAS I. Númeos complejos. Pág. 1 AMPLIACIÓN DEL CAMPO NUMÉRICO Diofato, u adelatado a su época. Este tiágulo está costuido co ua cueda e la que se ha ealizado doce udos a igual distacia uos de otos. Los lados mide, 4 y 5 uidades y el tiágulo es ectágulo, ya que se veifica el teoema de Pitágoas: El peímeto de dicho tiágulo es p = = 1 uidades, y su áea es S 6 uidades cuadadas. El ga matemático giego Diofato (75 d.c.) tató de costui u tiágulo ectágulo co la misma cueda de 1 udos y que su áea fuea igual a 7 uidades cuadadas. Como el áea teía que se igual a 7, si el cateto medía x, el oto mediía 14. Po tato, los lados x 14 tedía que medi x, y h. x Teiedo e cueta que el peímeto debía se de 1 uidades y que po se ectágulo el tiágulo debía de veificase el teoema de Pitágoas, Diofato llegó a la solució: x 1 1 Peo Diofato o coocía igú úmeo eal que elevado al cuadado fuese igual a 1, po tato, el poblema o teía solució. Veemos como Diofato fue u adelatado a su tiempo, plateado po pimea vez ua situació que tadó muchos siglos e esolvese. La uidad imagiaia. Númeos imagiaios. Paa pode esolve estos poblemas teemos que i ampliado el campo uméico: N: cojuto de los úmeos atuales. Z: cojuto de los úmeos eteos, tato los positivos (atuales) como los eteos egativos. Q: cojuto de los úmeos acioales (los eteos y los faccioaios). R: cojuto de los úmeos eales (los acioales y los iacioales). Al iteta esolve las siguietes ecuacioes: x, x 4 0, x 6x 1 0, apaece. Como o hay igú úmeo eal, i positivo i egativo, cuyo cuadado valga 1, se hace ecesaio amplia el cojuto de los úmeos eales, ivetado u úmeo cuyo cuadado sea igual a 1. Así, defiimos la uidad imagiaia: i 1, y obsevamos que otos úmeos, como 4, queda de la foma a i, co ar.

2 el blog de mate de aida MATEMÁTICAS I. Númeos complejos. Pág. Númeos complejos e foma biómica Llamaemos uidad imagiaia: i 1. Se llama úmeo complejo, e foma biómica, a la expesió: a + bi, dode a y b so úmeos eales. El úmeo a se llama pate eal y el úmeo b se llama pate imagiaia. El cojuto de los úmeos complejos se epeseta po C. Si b=0, el úmeo complejo se educe a u úmeo eal, ya que a+0i=a. Po tato, los úmeos eales so u subcojuto de los úmeos complejos. Si b0, al úmeo complejo le llamaemos imagiaio. Si a=0 y b0, el úmeo complejo se educe a bi, y se dice que es u úmeo imagiaio puo. Igualdad de úmeos complejos: Dos úmeos complejos so iguales si los so las pates eales e imagiaias, espectivamete: a+bi=a +b i a=a y b=b. Númeos complejos opuestos y cojugados: Paa u úmeo complejo z=a+bi, llamaemos opuesto de z al úmeo complejo z=-a-bi. Dos úmeos complejos so cojugados si tiee la misma pate eal y las pates imagiaias opuestas. Paa u úmeo complejo z=a+bi, llamaemos cojugado de z al úmeo complejo z a bi. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS Dibujamos u sistema de coodeadas catesiaas. E el eje de abscisas se epeseta la compoete eal, y se llama eje eal, y e el eje de odeadas la compoete imagiaia, y se llama eje imagiaio. E este sistema de coodeadas los úmeos complejos se epeseta haciedo coespode al úmeo a+bi el puto de coodeadas A(a,b). A este puto se le llama afijo del úmeo complejo a+bi. OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS Suma y difeecia de úmeos complejos: La suma y difeecia de dos úmeos complejos se ealiza sumado y estado pates eales ete sí y pates imagiaias ete sí.

3 el blog de mate de aida MATEMÁTICAS I. Númeos complejos. Pág. Suma: Difeecia: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d) i (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d) i Ejemplo: ( + i) + (8-5i) = i - 5i = 11 - i Poducto de úmeos complejos: El poducto de dos úmeos complejos se ealiza aplicado la popiedad distibutiva del poducto especto de la suma y teiedo e cueta que i =-1. (a + bi) (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc) i Ejemplo: ( + i) (6-5i) = 1 10i + 18i - 15 i = 1-10i + 18i + 15 = 7 + 8i Cociete de úmeos complejos: La divisió de úmeos complejos se hace acioalizado el diviso; es deci, multiplicado umeado y deomiado po el cojugado del deomiado: a bi c di a bi c di c di c di ac bd bc ad i c d ac bd c d bc ad i c d Ejemplo: 0 0i i 0 0i i i i 90 70i i Potecia de úmeos complejos: La potecia de u úmeo complejo se hace desaollado la potecia del biomio (a+bi) y teiedo e cueta las potecias del úmeo i (que se epite de cuato e cuato). i 0 = 1 (po defiició). i 1 = i (po defiició). i = -1 (po defiició). i = i i = (-1) i = -i i 4 = i i = (-1) (-1) = 1 i 5 = i 4 i = 1 i = i i 6 = i 4 i = 1 (-1) = -1 i 7 = i 4 i = 1 (-i) = -i i 8 = i 4 i 4 = 1 1 = 1.. Los valoes de las potecias de i se epite de cuato e cuato, de tal maea que las potecias del úmeo i cuyo expoete es múltiplo de cuato so iguales a la uidad. Así pues, paa calcula potecias del úmeo i, dividiemos el expoete po 4 y calculaemos la potecia del úmeo i que tiee po expoete el esto.

4 el blog de mate de aida MATEMÁTICAS I. Númeos complejos. Pág Ejemplo: i i i i 1 i i 1 5 Ejecicio esuelto º.- Calcula el valo de a paa que el cociete a 8i 4 6i asimismo, el valo de a paa que dicho esultado sea u úmeo imagiaio puo. dé como esultado u úmeo eal. Calcula, Solució: a 8i 4 6i a 8i 4 6i 4 6i 4 6i 8 a 8 eal 0 a 1 a 8 a 1 i a im. puo 0 a 6 1 Repesetació gáfica de la suma de complejos: Repesetació gáfica del cojugado de complejos: Multiplicació po la uidad imagiaia i: Multipliquemos po i el úmeo complejo a+bi: a bi i ai bi b ai Si epesetamos gáficamete el esultado, obteemos que multiplica po i supoe gia 90º el úmeo complejo iicial.

5 el blog de mate de aida MATEMÁTICAS I. Númeos complejos. Pág. 5 NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA POLAR Hemos epesetado los úmeos complejos asociados al úmeo z=a+bi, el puto de coodeadas A(a,b). La distacia del afijo A al oige de coodeadas, O, se llama módulo del úmeo complejo z=a+bi. Se desiga así: z OA a b. El águlo que foma el semieje positivo de abscisas co la ecta OA medido e setido cotaio a las agujas del eloj, se llama agumeto del úmeo complejo z=a+bi al Se epeseta po =ag(z) y su elació co las compoetes eal e imagiaia del complejo z es: tg Si el úmeo complejo z=a+bi tiee po módulo y po agumeto, se escibe. Esta foma de expesa u úmeo complejo ecibe el ombe de foma pola. Po tigoometía sabemos que b actg a b a os popocioa dos águlos meoes que 60º. Si embago, sólo uo seá válido. Se sabe cuál es po los sigos de a y b. El agumeto de u úmeo complejo e foma pola o es úico, pues es idifeete cosidea, o +60º, + 60º, Ejemplo: Escibe el úmeo complejo 1+i e foma pola. El módulo: 11 ; el agumeto: 1 actg 45º 1 (pues el afijo de 1+i está e el pime cuadate). Po tato: 1 i 45 º DE FORMA POLAR A FORMA BINÓMICA Y TRIGONOMÉTRICA Si coocemos el módulo y el agumeto de u úmeo complejo: Podemos deduci que: a= cos b= se Po tato, e foma biómica, se tiee: z = a + bi = cos + i se = (cos + ise) A la expesió (cos+ise) se le llama foma tigoomética del úmeo complejo a+bi. Foma biómica Foma tigoomética Foma pola a + bi (cos + ise) Ejemplo: Escibe el úmeo complejo e foma tigoomética y biómica.

6 el blog de mate de aida MATEMÁTICAS I. Númeos complejos. pág. 6 E foma pola: (cos60º+ise60º). Sustituyedo las azoes tigoométicas de 60º tedemos la foma biómica: Ejecicio esuelto º.- Qué úmeo debe sumase a i adiaes? Solució: i 5 paa obtee oto úmeo de módulo 1 y agumeto 4 5 i z 1 i z i i / 4 i Poducto y cociete de úmeos complejos e foma pola. Poducto Paa multiplica dos úmeos complejos y escibiemos e foma tigoomética y opeado: ` que está expesados e foma pola, los cos i se ` cos se cos se se cos se ise ` ` i `cos i `cos se cos Al multiplica dos úmeos complejos se obtiee oto complejo; su módulo es el poducto de los módulos y el agumeto la suma de los agumetos. ' ' Cociete Como cosecuecia imediata del poducto, podemos deduci que, paa dividi dos úmeos complejos e foma pola, el cociete es oto úmeo complejo que tiee po módulo el cociete de los módulos y po agumeto la difeecia de los agumetos. : ' ' ' ', co 0. Poteciació de úmeos complejos e foma pola. Teiedo e cueta el poducto de úmeos complejos, la potecia -ésima se obtiee del siguiete modo: z... La potecia -ésima de u úmeo complejo es oto úmeo complejo, que tiee po módulo la potecia -ésima del módulo y po agumeto veces el agumeto del complejo dado:

7 el blog de mate de aida MATEMÁTICAS I. Númeos complejos. pág. 7 Fómula de Moive: Si escibimos el esultado obteido al eleva a ua potecia: e foma tigoomética obteemos: Si hacemos =1, obteemos la fómula de Moive: cos i se cos( ) i se( ) cos i se cos( ) i se( ) que es muy útil e tigoometía, pues pemite calcula cos() y se() e fució de se y cos. Ejecicio esuelto z i. 4º.- Escibe e la foma biómica y e la foma pola el esultado de la potecia: 5 Solució: º cos15º ise15º 18 i 18 i z 18 Radicació de úmeos complejos e foma pola. Nos popoemos ecota las aíces -ésimas de u úmeo complejo: z = (cos + ise) Se llama aíz -ésima del úmeo complejo z a todo úmeo complejo w tal que w z w z. Sea w = R (cos + ise) ua de sus aíces -ésimas; etoces ; aplicado la fómula de Moive se tiee: cos i se R cos( ) i se( ) Como estos complejos so iguales, debeá tee iguales los módulos, difeeciádose los agumetos e u múltiplo de ; luego: R y = + k de dode: R y k Obseva que k toma los valoes 0, 1,,, -1. Paa k= esulta la misma aíz que paa k=0, paa k=+1 la misma que paa k=1, etc., ya que los valoes de los águlos coespodietes difiee e u múltiplo de. Ejemplo: calculemos la aíz cúbica de 8. Paa ello, lo pimeo que hacemos es expesa este úmeo e foma pola: 8180º. Paa k = 0 R 8 R 180º 1 60º z1 60º 1 i

8 el blog de mate de aida MATEMÁTICAS I. Númeos complejos. pág º 60º 180º 180º 60º 00º z 00º 1 i Paa k = 1 180º z Paa k = El módulo de las aíces -ésimas de u úmeo complejo se obtiee hallado la aíz -ésima del módulo del complejo dado. Hay agumetos; el pimeo se obtiee dividiedo el agumeto ete 60º y, los demás, sumado al agumeto ateio. Es deci: R R k Ejecicio esuelto 0º.- Halla las aíces cúbicas del complejo 8i. Solució:,, REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LAS RAÍCES DE COMPLEJOS Hemos visto que las aíces -ésimas de u complejo z = (cos + ise) tiee todas el mismo módulo R que es pecisamete ; de aquí que los afijos de las aíces -ésimas de z se ecueta sobe la cicufeecia de adio R y ceto el oige de coodeadas. Además, la difeecia de los agumetos de dos aíces cosecutivas es costate e igual a 60 º. Po tato, gáficamete los afijos de las aíces -ésimas de z está situados e los vétices de u polígoo egula de lados. Ejecicio esuelto 6º.- Calcula el valo de las cuato aíces cuatas de 8 19i y dibuja sus afijos. Qué figua detemia? Solució: i / / / /