Matemáticas Avanzadas para Ingeniería Transformada Z: Ejemplos resueltos

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1 Matemáticas Avaadas para Igeiería Trasformada Z: Ejemplos resueltos. Determie la trasformada Z de ua sucesió x() cuyos úicas muestras o cero so x(0), x(), x(2) 9 y x() 9. Reporte la parte real de los ceros de su trasformada. Directamete de la defiició de Trasformada : La trasformada de ua señal discreta x() es ua serie de potecias egativas e la variable iiciado e 0 dode el coeficiete la potecia i es el valor de la señal e el istate i: Z {x()} x(0) + x() + x(2) 2 + x() + x(4) 4 + x(5) 5 + E uestro ejemplo, y tomado e cosideració que los termios para 4 so ceros, os queda: Z {x()} x x Siedo ua fució racioal, los ceros de Z {x()} so los ceros del umerador; al resolver obteemos las raíces + 0 i, i y + 0 i. 2. Determie la trasformada Z de ua señal y() cuyos úicas muestras o cero so y(0), y() 6, y(2) 4, y() 54 y y(4) 45. Reporte la parte real de los ceros de su trasformada. Directamete de la defiició de Trasformada Z: La trasformada de ua señal discreta y() es ua serie de potecias egativas e la variable iiciado e 0 dode el coeficiete de la potecia i es el valor de la señal e el istate i: Z {y()} y(0) + y() + y(2) 2 + y() + y(4) 4 + y(5) 5 + E uestro ejemplo, y tomado e cosideració que los termios para 5 so ceros, os queda: Z {y()} Siedo ua fució racioal, los ceros de Z {y()} so los ceros del umerador; al resolver obteemos las raíces 0 + i, 2 0 i, 5 y 4.

2 Ma002, Trasformada Z: Ejemplos resueltos 2. Cosidere ua sucesió h() cuyos úicas muestras o cero so h(7), h(8) 5 y h(9) 4. Idique la trasformada Z de cada ua de las sucesioes: a)h( ) b)h() c)h( + 2) d)h( + 4) detro de la lista: ) ) ) ) ) ) La señal proporcioada queda: h() Lo que se os pide so trasformadas Z de esta señal adelatada (h( k)) o de retrasos de ella (h( + k)). E uestro ejemplo, los adelatos ( uidad) o atrasos (4 uidades el máximo) da señales tambié causales (es decir que sigue siedo cero para < 0). Por tato, la propiedad que aplica es: Etoces debemos calcular la trasformada Z de la señal: Z {x( k)} k Z {x()} Z {x( + k)} k Z {x()} Z {h()} Por tato, la trasformada de la señal h() adelatada ua uidad e el tiempo queda: Z {h( )} Z {h()} ( ) h( )

3 Ma002, Trasformada Z: Ejemplos resueltos La señal h() atrasada e el tiempo 2 uidades e el tiempo queda: Z {h(+2)} +2 Z {h()} +2 ( ) h( + 2) Determie la trasformada Z de x() u( ) u( 6) Reporte el módulo de X() e i, e i y e i. E este problema el referete es la fució escaló uitario, y aparece e u sumado adelatada uidades y adelatada 6 uidades. u( ) u( 6) x() u( ) u( 6) Las propiedad que usaremos so: Z {u()} y Z {u( m)} m Observado que ambas fucioes (u( ) y u( 6)) sigue siedo causales: Z {x()} Z {u( ) u( 6)} Z {u( )} Z {u( 6)} Z {u()} 6 Z {u()}

4 Ma002, Trasformada Z: Ejemplos resueltos 4 5. Determie la trasformada Z de x() u( ) Reporte el módulo de X() e 2 i, e i y e i. Teemos: Z {x()} Z { u( )} d d Z {u( )} d d d d ( Z {u()} ) ( 2 2 ( ) 2 ) 6. Determie la trasformada Z de x() Reporte el módulo de X() e i, e i y e 2 i. ( ) u() 4

5 Ma002, Trasformada Z: Ejemplos resueltos 5 x() f(x) x ( ) x 4 Usaremos las siguietes propiedades: Z { x() u()} d d Z {x() u()} y Z {a u()} a Teemos: { ( ) Z {x()} Z u()} 4{( ) d u()} d Z ( 4 ) d d 4 4 (4 ) 2 7. Determie la trasformada Z de x() ( ) u( 2) 2 Reporte el módulo de X() e i, e i y e i. Observe que el escaló uitario u( 2) e la señal x() hace ésta se haga cero para < y para valores iguales o posteriores a 2 la señal se comporte como /2. x() f()

6 Ma002, Trasformada Z: Ejemplos resueltos 6 E vista que uestro referete es la fórmula: Z {a u()} a a uestra señal x() le está faltado los térmios e 0 y /2 e. Por lo tato, Por lo tato, Y así Por la liealidad de la trasformada Z: 2 u() x() + δ( 0) + δ( ) 2 x() 2 u() δ( 0) δ( ) 2 Z {x()} Z Z {x()} Z { 2 u() δ( 0) } δ( ) 2 { } 2 u() Z {δ( 0)} Z {δ( )} 2 Cocluimos que Z {x()} Determie la trasformada Z de y() ( 5 5 2) ( ) u() Reporte el módulo de Y () e i, e i y e i. Nuestros referetes so las fórmulas: Así Z {a u()} a Z { x() u()} Z {y()} Z {( 5 5 2) ( ) } u() d (Z {x() u()}) d Z { 5 u() 5 2 u() } 5 Z { u() } 5 Z { 2 u() } 5 5 (Z { u() }) 5 5 ( ( { d d Z u() })) ( ( ( { d d d d Z u() }))) ( ( ( ))) d d d d 5 2 ( ) ( )

7 Ma002, Trasformada Z: Ejemplos resueltos 7 9. Cosidere las sucesioes x() y y() cuyos úicas muestras o cero so x(0) 2, x(2) 4 y x() 4; y y(0), y() y y(4) 2. Calcule () x() y(): Reporte (), (4), (6) y (7) La tabla de multiplicacioes y(i) x(j) os queda: x(0) x() x(2) x() x(4) x(5) x(6) y(0) y() y(2) y() y(4) y(5) y(6) y(7) Para obteer los valores de () x() y(), sumamos los elemetos de cada diagoal de la tabla aterior. Observe que el elemeto o cero e la diagoal más alejada es el producto y(4) x() 8 (el que correspode al mayor dode y( ) 0 y al 2 mayor dode x( 2 ) 0) que estará e la diagoal 4 + 7; esto correspoderá al valor de mayor dode () 0 (claro, si la suma de los elemetos de la diagoal o da cero): () Cosidere ua sucesió x() cuya trasformada Z es la fució: X() ( 5) ( + 4) Reporte el valor de x(0) y el de x(). Recordado que el factor clave e el umerador es, aplicaremos fraccioes parciales a X()/: ( 5) ( + 4) ( 28 9 ( + 4) 0 9 ( 5) )

8 Ma002, Trasformada Z: Ejemplos resueltos 8 Por lo tato Así X() ( 5) ( + 4) 28 9 x() Z {X()} { 28 Z 9 ( ( 4)) { 9 Z ( ( 4)) ( + 4) 0 9 } ( 5) } 0 9 Z { 28 9 ( 4) u() 0 9 (5) u() ( 5) } ( 5). Para la sucesió Costruya la sucesió x() y() ( ) u() 4 x(i) Reporte el módulo de Y () e i, e 2 i y e i. Nuestros referetes so las siguietes propiedades: Z {a u()} a y i0 {( ) } Z x(m) u() m0 Z {x() u()} Aplicádolas teemos: { ( ) Z {y()} Z u()} 4 i0 {( ) u()} Z ( 4 ) ( ) (4 )

9 Ma002, Trasformada Z: Ejemplos resueltos 9 2. Para la sucesió Costruya la sucesió x() u() y() Reporte el módulo de Y () e 2 i, e i y e i. Nuestros referetes so las siguietes propiedades: x(i) i0 Z { x() u()} d Z {x() u()} d Aplicádolas teemos: {( ) } Z x(m) u() m0 { } Z {y()} Z u() i0 Z {x() u()} Z { u()} ( dd ) (Z {u()}) ( d ( )) d 2 ( )

10 Ma002, Trasformada Z: Ejemplos resueltos 0. Cosidere las sucesioes la sucesió semiperiódica x() u() tal que x(0), x() 2 y x(2). Determie su trasformada Z y reporte el módulo de X() e 2 i, e i y e 2 i. x() Nuestro referete es: ( ) N Z {x() u()} Z {x ()} N E uestro caso x () es la señal base para x() (tambie N ): x () Por tato Y así: Z {x ()} Z {x()} Z {x ()} ( ) ( 2 + 2) ( + ) ( )

11 Ma002, Trasformada Z: Ejemplos resueltos