Material educativo. Uso no comercial CAPÍTULO 1. ELEMENTOS BÁSICOS DEL CÁLCULO PROPOSICIONAL Y CUANTIFICACIONAL. Introducción. Objetivos Específicos.

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1 CAPÍTULO 1. ELEMENTOS BÁSICOS DEL CÁLCULO PROPOSICIONAL Y CUANTIFICACIONAL Introducción. Como ya lo expresé anteriormente, el desarrollo del texto está inscrito dentro de la estructura que corresponde a una Teoría Axiomática, de allí la necesidad de su formulación como también de los fundamentos del lenguaje de la Teoría de conjuntos que planteo iniciando con los elementos básicos de los cálculos proposicional y de cuantificadores. Objetivos Específicos. 1. Establecer las características propias de una teoría axiomática y como las definiciones y demostraciones se constituyen en los pilares para su desarrollo; mostrando su necesidad e importancia en la construcción de las matemáticas y en particular de la geometría.. Revisar los elementos fundamentales en la constitución del esquema de la implicación y mostrar su función vital en la construcción de las argumentaciones lógicas, y como se estructura en torno a ellas el proceso demostrativo. 3. Identificar en las argumentaciones los elementos básicos de la estructura demostrativa; hipótesis, tesis y la argumentación de soporte que conduce de la hipótesis a la tesis. 4. Presentar las reglas de inferencia que validan el proceso demostrativo y propiciar su identificación y aplicación en las demostraciones. 5. Señalar los métodos de demostración, como las estrategias generales empleadas en los procesos demostrativos, indicando cuándo y como se pueden utilizar en una demostración, según la naturaleza de ésta. Precisar en cada método su fundamentación lógica y el esquema operativo propio. Este objetivo es vital pues se constituye en un instrumento permanente de trabajo en el todo curso. 6. Mostrar en el desarrollo temático del curso, como se articula una teoría deductiva, indicando explícitamente los términos y las relaciones primitivas, los axiomas,

2 introduciendo las definiciones correctas que surgen de manera natural para designar nuevos objetos, nuevas relaciones y demostrar los teoremas más importantes.

3 1.1 TEORÍA AXIOMÁTICA O DEDUCTIVA Un sistema axiomático, es la forma acabada que toma hoy una teoría deductiva. Es un sistema en donde todos los términos u objetos no definidos y las proposiciones no demostradas se enuncian explícitamente, siendo estas últimas, fijadas como hipótesis a partir de las cuales pueden construirse las demás proposiciones del sistema, siguiendo unas reglas lógicas perfecta y expresamente determinadas. El encadenamiento lógico que se hace a partir de la hipótesis, constituye la demostración. La necesidad de términos no definidos y proposiciones no demostradas, se debe a que es imposible llevar la definición y la demostración indefinidamente. Mediante la demostración, se establecen nuevas proposiciones o relaciones entre los objetos a partir de las relaciones dadas como axiomas; luego se hace necesario nombrar o definir los nuevos objetos que verifican estas propiedades; es así como la demostración y la definición avanzan en forma simultánea. Definición y demostración son en consecuencia, las dos componentes fundamentales mediante las cuales se desarrolla una teoría deductiva. Dentro del desarrollo axiomático griego, las nociones y principios se construían con fundamentación en el mundo exterior, es decir, se pretendía que los axiomas respondieran a la realidad y fueran así mismo auto-evidentes. Este tipo de axiomáticas se han denominado genéticas o materiales, aquí los axiomas tienen un contenido y un sentido. En la geometría desarrollada por Euclides, los términos primitivos como son: punto, recta, relaciones de incidencia, orden y congruencia tienen un contenido material e intuitivo evidentemente, sin embargo, en el desarrollo de su fundamentación se prescinde de este desarrollo material e intuitivo. En oposición a la axiomática material, se estructuró lo que se ha denominado un sistema axiomático formal, en el cual los elementos primitivos carecen en absoluto de contenido y son las piezas de un puro juego sin sentido material en sí mismo. El sentido viene definido

4 implícitamente por las reglas del juego construidas por los axiomas y las reglas lógicas de demostración. En un sistema formal, los axiomas no tienen características de auto-evidencia, son simplemente premisas, puntos de partida para el desarrollo de resultados posteriores. En este sentido, de las proposiciones que se concluyen de los axiomas por medio de reglas lógicas, diremos que son formalmente válidas, es decir, que existe una filiación lógica entre los axiomas y dichas conclusiones. De otra manera, podemos entender la verdad matemática como una verdad implicada, donde el antecedente está constituido por los axiomas y el consecuente por las conclusiones. En síntesis, una teoría deductiva bien estructurada, debe cumplir las siguientes condiciones: 1. Enunciar explícitamente los términos primeros y las relaciones primeras, con ayuda de los cuales (y las cuales) se propone definir todos los otros (y las otras relaciones).. Enunciar explícitamente las proposiciones primeras, con ayuda de las cuales se propone demostrar todas las demás. Estas proposiciones se denominan axiomas. Los axiomas deben verificar a su vez tres propiedades: a. Consistencia: Se refiere a la no introducción de contradicciones entre ellos en la teoría. b. Suficiencia: Implica el hecho de que los resultados requeridos en la teoría, pueda concluirse de ellos. c. Independencia: Esta característica establece que ningún axioma debe deducirse a partir de los otros. 3. Que las relaciones establecidas entre los términos sean únicamente relaciones lógicas, permaneciendo independiente del sentido concreto que pueda darse a los términos. 4. Que en las demostraciones sólo intervengan estas relaciones, lo que prohíbe tomar prestado algo a la consideración de las figuras. Debe aclararse que la condición de independencia entre los axiomas, no es requisito indispensable en el desarrollo de una teoría axiomática, simplemente asegura que la teoría tenga el mínimo de supuestos teóricamente necesarios (axiomas).

5 En la práctica, esta condición no se respeta, ya que no introduce contradicciones y permite agilizar el desarrollo de la teoría.

6 1. LA IMPLICACIÓN LÓGICA Dada la función vital que tiene la implicación en la construcción de las argumentaciones lógicas y en consecuencia en la estructuración del proceso demostrativo, es necesario adelantar su estudio; y por ello se consideran los siguientes elementos: 1..1 Definición. El condicional. Si R y S son proposiciones, entonces la proposición R S se denomina condicional de R y S. La figura lógica del condicional responde a la conexión de dos proposiciones mediante el esquema Si.., entonces,.. La proposición R S puede leerse de cualquiera de las siguientes formas: Si R, entonces S. R es suficiente para S. S es necesario para R. R sólo si S. S siempre que R. En este condicional, la proposición R se denomina antecedente y la preposición S se denomina consecuente. 1.. Definición. La implicación lógica. Cuando el condicional es lógicamente verdadero, se dice que existe la implicación lógica y, en este caso, se lee la expresión como: R implica S. La cual se denota R S.

7 Es importante anotar, en este caso, el significado intuitivo que adquieren el antecedente y el consecuente en las diferentes lecturas del condicional, así: R es suficiente para S. Se entiende como basta que se dé R para que ocurra S. Se puede concebir la implicación en estos términos como un compromiso en el sentido de que si se da el antecedente, entonces tiene que darse el consecuente. Ahora, si no se da el antecedente, no hay compromiso y, por tanto, el consecuente puede darse o no. Bien podría hablarse de un consecuente multicausado, en el sentido que causas diferentes pueden conducir a la misma consecuencia. S es necesario para R. Se entiende como: Si no se da S, entonces, no se da R. Ésta acepción es en la práctica muy importante para comprender como se verá posteriormente la equivalencia entre una implicación y su contrarrecíproca. Además, puede utilizarse como un excelente criterio para determinar, en situaciones concretas, si un condicional es o no verdadero, cuando la lectura directa Si R, entonces S no es clara para el lector, si lo puede ser Si no S, entonces, no R. Nota: Aunque el término implicación se utiliza estrictamente para designar un condicional lógicamente verdadero, es usual en el lenguaje corriente llamar implicaciones a todas las proposiciones de la forma si., entonces,., y en este sentido amplio la utilizaremos Definición. El bicondicional. Si R y S son proposiciones, entonces, la proposición denomina bicondicional de R y S. R S y R La proposición R S puede leerse de cualquiera de las siguientes formas: R si y solo si S. S se nota R S y se Las convenciones usuales utilizadas para diferenciar en la escritura el condicional de la implicación lógica,, no se emplearan en adelante, pero el contexto permite precisarlas. Lo mismo ocurre con el bicondicional y la equivalencia lógica. N del A.,

8 R es suficiente y necesario para S. Y recíprocamente de S respecto a R Definición. Equivalencia lógica. Cuando el bicondicional es lógicamente verdadero, se dice que hay equivalencia. En este caso se lee: R equivale a S. Y se denota: R S Definición. Implicaciones asociadas. Dada una implicación R S se identifican las siguientes implicaciones asociadas: nor nos que se llama implicación contraria. S R que se llama implicación recíproca. nos nor que se llama implicación contrarrecíproca (contraria de la recíproca). Se puede establecer el siguiente cuadro de relaciones entre las implicaciones asociadas. Recíprocas Contrarrecíprocas Contrarias Contrarias Recíprocas Ilustración Nº1 Figura 1

9 Dada la proposición: Si un triángulo es rectángulo, entonces tiene dos ángulos agudos. Tomado esta implicación, que es verdadera, determinemos las implicaciones asociadas y sus respectivos valores de verdad. Implicación contraria: Si un triángulo no es rectángulo, entonces, no tiene dos ángulos agudos. Esta proposición es falsa, porque podemos mostrar al menos un caso (contraejemplo) 3 en el cual el antecedente es verdadero, pero el consecuente es falso, como lo indica la figura siguiente. Figura Implicación recíproca: Si un triángulo tiene dos ángulos agudos, entonces, es un triángulo rectángulo. Esta proposición es falsa, y podemos utilizar el contraejemplo anterior. Implicación contrarrecíproca: Si un triángulo no tiene dos ángulos agudos, entonces, el triángulo no es rectángulo. Esta proposición es verdadera. Por qué? Ilustración Nº Dada la proposición: Si un cuadrilátero convexo tiene sus cuatro ángulos congruentes, entonces, el cuadrilátero tiene sus cuatro lados congruentes. 3 Consultar en la sección

10 Determinemos, el valor de verdad de esta implicación y el de las implicaciones asociadas. La implicación anterior es falsa, puesto que en la figura siguiente podemos indicar un contraejemplo. Figura 3 Implicación contraria. Si un cuadrilátero convexo, no tiene sus cuatro ángulos congruentes, entonces, el cuadrilátero no tiene sus cuatro lados congruentes. Esta proposición es falsa porque podemos mostrar al menos un caso (contraejemplo) en el cual el antecedente es verdadero, pero el consecuente es falso, como lo indica la figura siguiente.  Ĉ, Bˆ Dˆ pero  Bˆ Figura 4 Implicación recíproca. Si un cuadrilátero convexo tiene sus cuatro lados congruentes, entonces, el cuadrilátero tiene sus cuatro ángulos congruentes. Esta proposición es falsa, la figura inmediatamente anterior es un contraejemplo.

11 Implicación contrarrecíproca. Si un cuadrilátero convexo no tiene sus cuatro lados congruentes, entonces, el cuadrilátero no tiene sus cuatro ángulos congruentes. Esta proposición es falsa, y la primera figura nos muestra un contraejemplo. Como veremos posteriormente, toda implicación y su contrarrecíproca tienen el mismo valor de verdad pues son proposiciones equivalentes Equivalencias lógicas fundamentales, en el cálculo proposicional, cuantificacional y la teoría de conjuntos 1. P Q : P Q.. P Q : P Q Q P. 3. a. P P, b. P P 4. P Q Q P, c. P P P, d. P P P Ley del contrarrecíproco. 5. P Q P Q.. 6. a. P Q P Q, b. P Q P Q c. P Q P Q 7. a. P Q R P Q P R, b. P Q R P Q P R. 8. a. P Q R P Q R, b. P Q R P Q R 9. x Px x Px. 10. x Px x Px. 11. xp Q x P x Q. 1. xp Q x P x Q.. Las siguientes equivalencias se cumplen siendo A y B conjuntos. 13. A B : x x A x B. 14. A B : x x A x B. 15. A B x x A x B. 16. x A B x A x B x A B x A x B. 17. x A B x A x B x A B x A x B. 18. x A B x A x B x A B x A x B.

12 1.3 LA DEMOSTRACIÓN El proceso demostrativo En el lenguaje de la lógica el proceso demostrativo consiste básicamente en que, a partir de unas proposiciones dadas que llamaremos premisas o hipótesis, que se admiten como verdaderas, obtener mediante una cadena de implicaciones lógicas, una proposición final que se denomina conclusión o tesis. Este proceso está regido por unas reglas lógicas que lo regulan, denominadas reglas de validez y se reducen a las siguientes: Regla de validez 1: Los axiomas pueden figurar en cualquier paso de una demostración, cuando se necesiten. Igualmente ocurre con los teoremas ya demostrados. Regla de validez : Si en una demostración figura P Q y en la misma demostración también figura P, entonces, en dicha demostración se puede concluir Q. Esta regla universal se conoce con el nombre del Modus Ponendo Ponens ó Modus Ponens. Regla de validez 3: Si dos proposiciones son equivalentes, se puede sustituir la una por la otra en cualquier parte de una demostración. Esta regla se conoce como sustitución por equivalencia. Para probar que una proposición determinada (conclusión) se deduce (demuestra) a partir de las premisas dadas, se aplican reiteradamente las tres reglas señaladas, partiendo de las premisas y generando nuevas proposiciones, el número de veces necesario hasta obtener la conclusión. En demostraciones en áreas específicas, como la geometría, en nuestro caso, utilizamos además de los axiomas y teoremas probados, las definiciones y las relaciones construidas a través de este proceso, en todas las ocasiones en que se requieran. Como lo observaremos en el desarrollo de este trabajo, a medida que se avanza en la construcción de la teoría, las demostraciones tienden a ser más ágiles puesto que se dispone de más teoremas y herramientas propias, que facilitan esta labor.

13 Como el proceso demostrativo puede hacerse muy largo, utilizando únicamente las reglas anteriores, recurrimos a unas reglas más dinámicas y, desde luego, fundamentadas en ellas que se llaman Reglas de inferencia ó Reglas de prueba y que se definen así: 1.3. Reglas de inferencia Son reglas que nos sirven para probar que a partir de unas premisas dadas, es posible hacer la demostración para una conclusión específica. Su objetivo es abreviar las demostraciones. A continuación se destacan las reglas de mayor utilización en las demostraciones matemáticas Modus Ponens P Q P. Premisas Q Conclusión Modus Tollendo Ponens P ó Q P ó Q no P. Premisas no Q. Premisas Q Conclusión P Conclusión Modus Tollendo Tollens P Q no Q. no P Premisas Conclusión Transitividad en la implicación ó silogismo hipotético P Q Nota: Se destaca nuevamente por su importancia no obstante ser una regla de validez. Q R Premisas P R Conclusión

14 Inferencia Conjuntiva ó Conjunción P Q. Premisas P y Q Conclusión Simplificación de la conjunción P y Q P Q Premisas Adjunción P P ó Q Conclusión Conclusión Premisa Conclusión Método de casos o Silogismo disyuntivo P ó Q Caso particular: P ó Q P R P R Q S Premisas Q R Premisas R ó S Conclusión R Conclusión Ilustración Nº3 Elaboremos, utilizando las reglas de validez e inferencias necesarias, una demostración para probar que de las premisas dadas, es posible obtener la conclusión establecida. 1.H not..p 3.S.y.P 4.no.H K 5.Q no.p Demostración R.ó.S no.q T Nota: Q es una proposición cualquiera, sin importar su valor de verdad. Premisas Conclusión: K ó V.

15 1.H not..p 3.S.y.P 4.no.H K 5.Q no.p R.ó.S no.q T Premisas 6.S Simplificación en 3. 7.P Simplificación en 3.. R.ó.S no.q T 8 Modus Ponens de 7. y. 9.R.ó.S Adjunción en no.q T Modus Ponens de 9. y no.not. no.h Equivalencia por el contrarreciproco en 1. Regla de validez 3. 1 T. no.h Equivalencia por doble negación en T. K Transitividad entre 1. y no.Q Modus Tollendo Tollens de 7.y T. Modus Ponens de 14. y K Modus Ponens de 15. y K.óV. Adjunción en 16.

16 1.4 MÉTODOS DE DEMOSTRACIÓN Designamos en esta forma las estrategias o esquemas más generales que identificamos en los procesos deductivos. Estos modelos están fundamentados lógicamente en teoremas o reglas de inferencia establecidas Método directo o Método de la hipótesis auxiliar Dado un conjunto de premisas en una teoría, si bajo el supuesto de que una proposición P es verdadera y utilizando las premisas disponibles se puede hacer una demostración de que una proposición Q es verdadera, entonces en esa teoría puede concluirse que verdadera. Esquema operativo general: Para demostrar que una proposición específica de la forma así: P Q es P Q es teorema, se procede 1. Suponemos como verdadero el antecedente P. Esta proposición la denominamos hipótesis auxiliar.. A partir de la hipótesis construimos una argumentación lógica en la cual podemos utilizar los axiomas y los teoremas ya demostrados para obtener mediante las reglas de validez y de inferencia, la validez de Q. 3. En este punto concluye la prueba y queda establecida la validez de P Q. Nota: De una manera intuitiva podemos fundamentar la validez de este método, con el hecho de que la implicación es falsa únicamente en el caso en el cual partiendo de un antecedente verdadero llegáramos a una conclusión falsa; este es precisamente el caso que queda descartado cuando asumiendo la verdad del antecedente concluimos la verdad del consecuente. Como con antecedente falso la implicación siempre es verdadera, no se requiere ninguna otra consideración.

17 Ilustración Nº4 Dadas las siguientes premisas, demostremos la conclusión pedida, utilizando el método directo. 1. R S. 3T. S F K H H Demostración 1. R S. 3T. S F K H H Premisas. Conclusión: R K T Premisas. 4. Supongamos: R Hipótesis auxiliar. 5. S Modus tollendo ponens de 4.y S F Adjunción en K H Modus ponens de 6. y. 8. K Simplificación en H Simplificación en T Modus tollendo tollens de 9. y K T Conjunción de 8. y R K T Método directo desde 4. hasta 11. Ilustración Nº5. Demostrar el siguiente teorema de la aritmética, utilizando el método directo. Para t, a, b enteros, si t divide a a y t divide a b, para m y n enteros t divide a ma nb. 1. Supongamos: t,a,b Z, m,n Z, t divide a a y t divide a b. Hipótesis auxiliar.. Existe k Z y a tk. De la hipótesis, definición divisibilidad.

18 3. Existe s K y b s. t. De la hipótesis, definición divisibilidad. 4. m.a m.t. k Ley uniforme del producto en. 5. n.b n.t. s Ley uniforme del producto en m.a n.b m.t.k n.t. s Ley uniforme de la suma de 4 y m.a n.b t. m.k n.s Factorizando en m.k n.s Z Leyes clausurativa en el producto y en la suma en Z. 9. t divide a ma nb. Definición de divisibilidad de 7 y Método del Contrarrecíproco El teorema del contrarrecíproco P Q no.q no.p da lugar a una variante del método directo, que se utiliza mucho en matemáticas y es conocido como método del contrarrecíproco. Este método puede resumirse así: Supongamos que se quiere demostrar que una proposición específica P Q es teorema y al intentar su demostración por el método directo no logramos obtener la conclusión deseada. Se procede entonces a demostrar por el método directo su contrarrecíproco no.q no. P, si se consigue este objetivo, entonces queda establecida la validez de sustitución por equivalencia. Esquema operativo general Para demostrar que una proposición especifica de la forma método del contrarrecíproco, se procede así: 1. Suponemos como hipótesis auxiliar no Q. P Q al hacer P Q es un teorema, por el. Utilizando el método directo construimos una argumentación lógica hasta concluir no P. 3. Concluimos por el método directo que no.q no. P es teorema.

19 4. La regla de validez 3 nos permite concluir que P Q es verdadera mediante la equivalencia del contrarrecíproco. Ilustración Nº6 Demostrar el siguiente teorema, utilizando el método del contrarrecíproco: Si el cuadrado de un número es impar, entonces el número es impar. El enunciado explícito del teorema corresponde a: Si a es impar, entonces a es impar. 1. Supongamos: a es par. Hipótesis auxiliar.. a n y n Z De 1. Definición de número par. 3. a n 4n n Ley uniforme y asociativa en el producto. 4. n Z Ley clausurativa en el producto de enteros. 5. a es un número par. 6. Si a es par, entonces a es par. De 3 y 4 definición de número par. Método directo. 7. Si a es impar, entonces a es impar. Equivalencia por el contrarrecíproco. Nota: Trata de demostrar la implicación original, por el Método directo Método de demostración por contradicción o reducción al absurdo. Antes de presentar este método precisemos los siguientes conceptos que hacen parte de su estructura. Contradicción: Designamos en esta forma, toda proposición correspondiente a la conjunción entre una proposición y su negación, y en consecuencia esta proposición es falsa.

20 Teoría contradictoria o inconsistente: Se designa en esta forma, toda teoría en la que es posible concluir una contradicción. En una teoría contradictoria podemos concluir que una proposición es verdadera y falsa a la vez. El método de demostración por reducción al absurdo se fundamenta en la condición de consistencia que debe caracterizar a una teoría (no presencia de contradicciones en su interior), básicamente la estrategia consiste en suponer explícitamente la negación de la proposición a demostrar, a partir de esta hipótesis se busca generar una contradicción, esto es: que la teoría con este nuevo supuesto es inconsistente y, en consecuencia, tal hipótesis es falsa, o lo que es equivalente, que su negación es verdadera, quedando en esta forma validada la proposición inicial. La estructura lógica subyacente de lo que hemos expresado, se puede resumir en la siguiente Regla de inferencia denominada Regla de la contradicción y que se ilustra y se demuestra a continuación. Ilustración Nº7 Regla de la contradición De la siguiente premisa, demostrar la conclusión indicada. no.p Q.y.no.Q Premisa P 1..P Q.y.no.Q Conclusión no Premisa.. Q.y.noQ no.no. P no Equivalencia en 1. por el contrarrecíproco. Regla de 3..Q.ó.no.no.Q P validez 3. no Equivalencia en. Negación de la conjunción y doble negación. Regla de validez no.q.ó.q P Equivalencia en 3. doble negación. Regla de validez no.q.ó. Q Teorema del medio excluido. 6. P Modus Ponens de 4 y 5.

21 Esquema operativo general Supongamos que se quiere demostrar que una proposición específica P es teorema. Por este método procedemos así: 1. Suponemos la negación de la tesis (no P) como hipótesis auxiliar.. A partir de las premisas de la teoría y de la hipótesis auxiliar se razona por el método directo, hasta obtener como conclusión una contradicción, por ejemplo Q y no Q. 3. Por el método directo concluimos.p Q.y.no.Q no. 4. Por la Regla de contradicción probada en la ilustración Nº7, concluimos la validez de P. Ilustración Nº 8 Demostrar, utilizando el Método de reducción al absurdo, el siguiente teorema: Si a es par, entonces a es par. 1. Supongamos que a es par. Hipótesis auxiliar.. Supongamos que a no es par. Hipótesis auxiliar. Reducción al absurdo. 3. a k 1 y k Z De, definición de número impar. 4. k 1 a Ley uniforme del producto en a 4k 4k 1 Leyes distributivas y conmutativas en k k1 a Leyes distributivas del producto en k k Z Leyes clausurativas en el producto y la suma a es un número impar. a es par y a es impar. De 6 y 7, definición de número impar. Conjunción de 1 y 8. Contradicción. 10. a es par. Método de reducción al absurdo entre y Si a es par, entonces, a es par. Método directo, entre 1 y 10.

22 1.4.4 Método de casos (Silogismo disyuntivo) La regla de inferencia de ese nombre da lugar a este método de demostración, casi de forzosa utilización cuando la hipótesis o una de las hipótesis es una disyunción de dos o más proposiciones, en cuyo caso procedemos así: 1. Suponemos la hipótesis dada correspondiente a una disyunción.. A partir de cada una de las proposiciones que integran la disyunción se obtiene una conclusión parcial por el método directo. 3. Se concluye finalmente la disyunción de las conclusiones parciales. Ilustración Nº 9 Demostrar el siguiente teorema: Para a, b números reales, si a 0 ó b 0, entonces, a.b Supongamos que: a 0 ó b 0 Hipótesis auxiliar 1.. Supongamos que: a 0 Hipótesis auxiliar (º nivel). 3. a.b 0. b Ley uniforme del producto en b 0 Teorema en el conjunto de los números reales. 5. a.b 0 Transitividad en la igualdad de 3 y a. b 0 a Método directo de a Supongamos que: b 0 Hipótesis auxiliar. (º nivel). 8. a.b a. 0 Ley uniforme del producto en a.0 0 Teorema en el conjunto de los números reales. 10. a.b 0 Transitividad en la igualdad de 8 y a. b 0 b Método directo de 7 a a.b 0 Regla de inferencia Método de casos de 1, 6 y ó b 0 a. b 0 a Método directo de 1 a1.

23 1.4.5 Método del contraejemplo La equivalencia establecida en el numeral 9 de la sección 1..6 da lugar al método de demostración designado con el nombre de Contraejemplo, de gran aplicación en las matemáticas y que se describe a continuación. Esquema operativo Se busca demostrar que una proposición específica de la forma. xpx también que xpx es falsa. 1. Es suficiente demostrar, por la equivalencia establecida, que xno.px no es teorema, o es teorema.. Para validar lo anterior debe verificarse que para un objeto concreto a, la proposición no.pa es verdadera. En este caso del término a decimos que es un contraejemplo con relación a la proposición xpx Ilustración Nº 10. Mostrar un contraejemplo para probar que la siguiente proposición es falsa. El cuadrado de todo número real, es mayor que el número. Esta proposición lo podemos simbolizar así: x x R x x En consecuencia, probemos que no. x x R x x La proposición anterior equivale a xx R x x. es verdadera. por qué? A su vez 0 es un contraejemplo, porque 0 R 0 0 es verdadera.

24 1.5 EJERCICIOS PROPUESTOS Temas: Elementos básicos del cálculo proposicional y cuantificacional. Nociones preliminares sobre una teoría deductiva. Métodos de demostración. Sean P, Q, R, S proposiciones. 1. Si se sabe que P es verdadera, Q es verdadera y R es falsa, que puede concluirse sobre el valor de verdad de las siguientes fórmulas: 1.1 P S 1.6 ( P Q) ( R S) 1.11 P ( Q R) P 1.7 Q ( R S) 1. R 1.1 R ( P S) 1.3 R S 1.8 Q ( R P) 1.13 ( P R) ( S Q) 1.4 R S 1.9 ( Q S) ( R P) 1.14 ( S R) ( P) P 1.10 (( P R) Q) ( P S) 1.5 R 1.15 S ( R ( S R)). Para cada una de las siguientes proposiciones, conociendo el valor de verdad de la proposición compuesta, determina en cada caso, si es posible, el valor de verdad de cada una de las proposiciones simples..1 P Q es verdadera.9 ( P Q) R es falsa. P Q es falsa.10 ( P Q) ( P Q) es verdadera.3 P Q es verdadera.11 P ( Q R) es verdadera.4 P Q es falsa.1 ( P Q ) ( R Q ) es falsa.5 ( P Q) R es verdadera.13 ( T P) (( Q S) P) es falsa.6 ( P Q) R es falsa.14 P ((Q P ) ( S Q )) es falsa.7 ( P Q) R es falsa.15 Q ( P P) es verdadera.8 ( P Q) R es verdadera

25 3. A continuación se indican los pasos que supuestamente permiten, a partir de las hipótesis, llegar a las conclusiones respectivas. Analice cada paso indicando la regla de validez, de inferencia que lo justifique, e indique finalmente, si la argumentación es ó no válida P Q. P S 3. Q ( T H ) 4. S H 5. P ( T H ) 6. S 7. H 8. P 9. T H 10. T 11. T H T H. P Q 3. S T 4. Q S 5. P 6. Q 7. S 8. S H 9. S H 10. S H 11. H Premisas Conclusión: Premisas Conclusión: H T H Q H. Q T

26 3. P T 4. T P 5. Q P Premisas Conclusión: P 6. Q 7. P P R. S P 3. Q S 4. H Q 5. F R 6. P 7. R 8. S 9. Q 10. H 11. F 1. H F Premisas Conclusión: H F 4. A partir de las premisas en cada numeral anterior, elabore demostraciones que lleven a las conclusiones que se indican así: 4.1 De las premisas del numeral 3.1 concluir P K 4. De las premisas del numeral 3. concluir H S 4.3 De las premisas del numeral 3.3 concluir H P 4.4 De las premisas del numeral 3.4 concluir F H 5. Utiliza las reglas de inferencia, las reglas de validez y las equivalencias necesarias para determinar en cada caso, si de las premisas dadas, es posible obtener la conclusión establecida. 5.1 P Q

27 nop noq Premisas Conclusión 5. P Q Q S Premisas S 5.3 S T nor not nor nos 5.4 K T S not Conclusión Premisas Conclusión nos H Premisas K H Conclusión 5.5 S F K F noh nof S ó K H 5.6 S nor no (T y no R) H D.y.S noh F no F Premisas Conclusión no T Premisas Conclusión

28 6. Dado el siguiente teorema: Si un triángulo es rectángulo, entonces, el triángulo tiene exactamente dos ángulos agudos. Indique para los siguientes condicionales derivados, su nombre relativo respecto a la implicación inicial y el valor de verdad de cada uno. 6.1 Si un triángulo tiene exactamente dos ángulos agudos, entonces el triángulo es rectángulo. 6. Si un triángulo no es rectángulo, entonces, el triángulo no tiene exactamente dos ángulos agudos. 6.3 Si un triángulo no tiene exactamente dos ángulos agudos, entonces, no es un triángulo rectángulo 7. Dada la siguiente proposición: Si un triángulo es equilátero, entonces el triángulo es isósceles. 7.1 Indique si la proposición anterior es verdadera o falsa. 7. Determine con relación a la proposición anterior, los condicionales derivados (recíproco, contrario y contrarrecíproco) e indique el valor de verdad de cada uno. 8. Utilice el método directo para demostrar la conclusión pedida, en cada una de los siguientes numerales. 8.1 P Q R Q Premisas P R Q 8. P Q R Conclusión Premisa P R Conclusión 8.3 P Q R Premisa Q R Conclusión

29 8.4 P Q R Premisas P Q R Conclusión 9. Utilice el Método de reducción al absurdo para demostrar la conclusión pedida, en cada uno de los siguientes numerales. 9.1 noq P nor Q nop R Premisas R 9. P W S now Conclusión no P S Premisas nop Conclusión 10. Demuestre utilizando el Método directo, el siguiente teorema: La suma de tres enteros consecutivos, es un múltiplo de Demuestre utilizando el Método directo, el siguiente teorema: Si m es un número par, entonces, para cualquier entero k, m.k es par. 1. Demuestre utilizando el Método directo, el siguiente teorema: En los números enteros, si a divide a b y b divide a c, entonces a divide a c 13. Demuestre utilizando el Método del contrarrecíproco, el siguiente teorema: Si el producto de dos números enteros es par, entonces, al menos uno de ellos es par. 14. Demuestre utilizando el Método de reducción al absurdo, el siguiente teorema: Para x, y números reales. Si x.y 0, entonces x 0 ó y 0.

30 15. Demuestre utilizando el Método de reducción al absurdo, la siguiente proposición: es un número irracional. 16. Utilice el método del contraejemplo para probar que la siguiente proposición es falsa. Para t, b, c números enteros. Si t divide a b c, entonces t divide a b ó t divide a c. 17. Utilice el Método del contraejemplo para probar que la siguiente proposición es falsa: Todo número primo es un número impar. 18. Utilice el Método del contraejemplo para probar que la siguiente proposición es falsa: Si un triángulo no es equilátero, entonces, no es escaleno. 19. Utilice el Método del contraejemplo para probar que la siguiente proposición es falsa: Si un cuadrilátero convexo no es regular, entonces, no es equilátero. 0. Utilice el Método del contraejemplo para probar que la siguiente proposición es falsa: En todo triángulo, cada ángulo es menor que la suma de los otros dos.