Matemàtiques Sèrie 1. Instruccions

Transcripción

1 Proves d accés a cicles formatius de grau superior de formació professional inicial, d ensenyaments d arts plàstiques i disseny, i d ensenyaments esportius 2011 Matemàtiques Sèrie 1 Dades de la persona aspirant Qualificació Cognoms i nom DNI Instruccions Trieu i resoleu CINC dels set exercicis que es proposen. Indiqueu clarament quins heu triat. Només se n avaluaran cinc. Cada exercici val 2 punts. Material necessari Material d ús habitual: bolígraf, llapis i goma, regle, etc. Compàs i semicercle graduat. Calculadora científica. Cadascú ha de portar el seu propi material. En cap cas no es permetrà la cessió de calculadores ni d altres materials entre les persones aspirants. S MATEMATIQUES GS V.CAT 11

2 1. Indiqueu si les afirmacions següents són certes o falses. Expliqueu-ne el perquè. a) és un nombre irracional. b) 3, és un nombre racional. c) 4 + a =2 a d) 3 7= Calculeu i, si és possible, simplifiqueu les operacions següents: a) 2x(3x 2! x + 5)! (2x! 3)(2x + 3)= b) x + 2 5x! x 2 + 4x + 4 = 2

3 3. Volem fer una imposició de en una entitat financera durant el temps que calgui per a obtenir un capital acumulat (capital més interessos) de Si ens ofereixen un 4 % de rèdit anual, calculeu el temps necessari per a obtenir aquest capital final: C r t a) Amb un interès simple (recordeu que I = 100 ) b) Amb un interès compost (recordeu que C n = C 0 (1 + i) n ) 4. Donats els punts del pla A = ( 1, 3) i B = (2, 4) i els vectors! v = (!10, 4) i! u = (5, 2), calculeu: a) El mòdul del vector! v. b) L equació de la recta r que passa pel punt A i té la direcció del vector! v. 3

4 c) L equació de la recta s que passa pel punt B i té la direcció d un vector perpendicular a! u. d) La posició relativa de les rectes r i s calculades en els apartats b i c. Expliqueu raonadament la resposta. #% 5. Donada la funció, definida a trossos, f (x) = $ següents. &% 2x + m si x < 1, resoleu les qüestions!x 2 + 4x! 3 si x " 1 a) Calculeu f (1), f (2) i f (3) (imatges d 1, 2 i 3). b) Determineu el valor que ha de tenir m perquè f (x) sigui contínua en tot el seu domini. 4

5 c) Per a m = 1, representeu gràficament la funció f (x) següent en un sistema de coordenades: #% f (x) = $ &% 2x +1 si x < 1!x 2 + 4x! 3 si x " d) Sobre la funció representada gràficament en l apartat c, digueu quins són els extrems relatius i els punts de discontinuïtat, i especifiqueu-ne el tipus de cadascun. 5

6 6. Donada la funció f (x) = 1 3 x3! x 2! 3x! 1 3, calculeu: a) f (1) (imatge d 1) i les funcions derivades f ' (x) i f '' (x). b) L equació de la recta tangent a la funció f (x) en el punt d abscissa x = 1. c) Les abscisses dels extrems relatius de la funció f (x). d) Els intervals de creixement i decreixement. 6

7 7. Disposem de dues urnes: l urna A conté cinc boles numerades de l 1 al 5 i l urna B conté set boles numerades de l 1 al 7. a) Si escollim a l atzar una bola de l urna A, quina probabilitat hi ha que sigui de nombre parell? b) Si escollim a l atzar una bola de l urna B, quina probabilitat hi ha que NO sigui de nombre parell? A continuació tirem enlaire una moneda equilibrada (quan caigui hi ha la mateixa probabilitat que surti cara o que surti creu). Si surt cara, escollim a l atzar una bola de l urna A i, si surt creu, n escollim una de l urna B. c) Quina probabilitat hi ha que surti una bola de nombre parell? d) Si sabem que la bola obtinguda és de nombre parell, quina probabilitat hi ha que hagi sortit de l urna A? 7

8 L Institut d Estudis Catalans ha tingut cura de la correcció lingüística i de l edició d aquesta prova d accés

9 Proves d accés a cicles formatius de grau superior de formació professional inicial, d ensenyaments d arts plàstiques i disseny, i d ensenyaments esportius 2011 Matemàtiques Sèrie 1 Dades de la persona aspirant Qualificació Cognoms i nom DNI Instruccions Trieu i resoleu CINC dels set exercicis que es proposen. Indiqueu clarament quins heu triat. Només se n avaluaran cinc. Cada exercici val 2 punts. Material necessari Material d ús habitual: bolígraf, llapis i goma, regle, etc. Compàs i semicercle graduat. Calculadora científica. Cadascú ha de portar el seu propi material. En cap cas no es permetrà la cessió de calculadores ni d altres materials entre les persones aspirants. S MATEMATIQUES GS V.CAT 11

10 1. Indiqueu si les afirmacions següents són certes o falses. Expliqueu-ne el perquè. a) és un nombre irracional = 25 = 5 És un nombre natural; per tant, és fals. b) 3, és un nombre racional. Cert perquè és un nombre decimal periòdic. c) 4 + a = 2 a Si calculem aquesta expressió per a = 0, obtenim: Que és fals = 0 4 = 0 2 = 0 d) 3 7= = 21 7 = 21 7 = 3 7 Per tant, és cert Calculeu i, si és possible, simplifiqueu les operacions següents: a) 2x(3x 2 - x + 5) - (2x - 3)(2x + 3)= (6x 3 2x x) (4x 2 9) = 6x 3 2x x 4x = 6x 3 6x x + 9 b) x + 2 5x = x 2 + 4x + 4 x + 2 5x x 2 + 4x + 4 = x + 2 5(x 5) 2 5 (x + 2) 2 = 2 (x 5) (x + 2) = 2 x 2 3x 10

11 3. Volem fer una imposició de en una entitat financera durant el temps que calgui per a obtenir un capital acumulat (capital més interessos) de Si ens ofereixen un 4 % de rèdit anual, calculeu el temps necessari per a obtenir aquest capital final: a) Amb un interès simple (recordeu que I = C r t 100 ) Aïllem el temps, t = 100 I r t i hi substituïm les dades t = = = 12,5anys. b) Amb un interès compost (recordeu que C t = C 0 (1 + i) t ) Aïllem el temps, t = ln Ct C0 = ln ln(1+i) ln(1+0,04) = ln 1,5 ln 1,04 = 10,39anys 4. Donats els punts del pla A = (-1,3) i B(2,-4) i els vectors v = ( 10,4) i u = (5, 2), calculeu: a) El mòdul del vector v v = ( 10) = = 116 = 2 29 b) L equació de la recta r que passa pel punt A i té la direcció del vector v. En forma vectorial(op = OA + αv ): (x, y) = ( 1,3) + α( 10,4) En forma contínua: x+1 = y

12 c. L equació de la recta s que passa pel punt B i té la direcció d un vector perpendicular a u. La direcció perpendicular al vector (5,-2) és (2,5). Per tant la recta s és: s: x 2 2 = y d. La posició relativa de les rectes r i s calculades en els apartats b i c. Expliqueu raonadament la resposta. Els vectors (2,5) i (-10,4) són perpendiculars perquè (2,5) (-10,4) = = 0. 2x + m, x < 1 5. Donada la funció, definida a trossos, f(x) = x 2, resoleu les + 4x 3, x 1 qüestions següents. a. Calculeu f (1), f (2) i f (3) (imatges d 1, 2 i 3). Substituïm en f(x) els valors que ens donen. En tots els casos x 1; per tant, f(1) = = 0 f(2) = = 1 f(3) = = 0 b. Determineu el valor que ha de tenir m perquè f (x) sigui contínua en tot el seu domini. Perquè la funció sigui contínua cal que lim x 1 + f(x) = lim x 1 f(x). Així, m = m = 0 m = 2

13 c. Per a m = 1, representeu gràficament la funció f (x) següent en un sistema de coordenades: 2x + 1, x < 1 f(x) = x 2 + 4x 3, x 1 Per poder dibuixar la funció, fem una taula de valors: x<1 x f(x) x>1 x f(x) Ara dibuixem i unim aquests punts. El primer tros és una recta i el segon una paràbola. d. Sobre la funció representada gràficament en l apartat c, digueu quins són els extrems relatius i els punts de discontinuïtat, i especifiqueu-ne el tipus de cadascun. En x = 2 té un màxim relatiu. En x = 1 té una discontinuïtat de salt.

14 6. Donada la funció f(x) = 1 3 x3 x 2 3x 1 3, calculeu: a) f (1) (imatge d 1) i les funcions derivades f' (x) i f'' (x). Calculem f(1) substituint x per 1 a la funció f(x): f(1) = = 4 Fem la derivada de f, tenint en compte que si f(x) = x n, f (x)=n x n-1 Fem el mateix amb f per obtenir f : f (x) = x2 2 x 3 1 = x 2 2x 3 f (x) = 2x 2 b) L equació de la recta tangent a la funció f (x) en el punt d abscissa x = 1. L equació de la recta tangent és y = mx + n, on m = f (1). Calculem m: f (1) = = -4 = m. Sabem que f(1) = -4. Substituint a l equació de la recta podem obtenir el valor de n: y = mx + n; -4 = n; n = 0. Per tant, la recta tangent és y = -4x c) Les abscisses dels extrems relatius de la funció f (x). Els extrems relatius es troben entre les solucions de l equació f (x) = 0. x = b ± b2 4ac 2a f (x) = x 2 2x 3 = 0 = 2 ± ( 2)2 4 1 ( 3) 2 1 Els possibles extrems relatius són x 1 = 3 i x 2 = -1. = 2 ± = 2 ± 4 2 = x 1 = 3 x 2 = 1 d) Els intervals de creixement i decreixement. Els punts interior divideixen la recta real en tres parts: (, 1); ( 1,3) i (3, + ) Per saber si la funció és creixent o decreixent en cadascun d aquests intervals, prenem un punt i el substituïm en la derivada. f (-2) = = 5 > 0. La funció és creixent en la semirecta (, 1) f (0) = = -3 < 0. La funció és decreixent en l interval ( 1,3) f (4) = = 5 > 0. La funció és creixent en la semirecta (3, + )

15 7. Disposem de dues urnes: l urna A conté cinc boles numerades de l 1 al 5 i l urna B conté set boles numerades de l 1 al 7. a) Si escollim a l atzar una bola de l urna A, quina probabilitat hi ha que sigui de nombre parell? En l urna A tenim dues boles amb números parells, {2,4}, de les cinc. Per tant, p = casos favorables casos possibles = 2 5 b) Si escollim a l atzar una bola de l urna B, quina probabilitat hi ha que NO sigui de nombre parell? Si no és parell ha d ésser senar. En l urna B tenim quatre boles amb números senars: {1, 3, 5, 7}. Per tant, casos favorables p = casos possibles = 4 7 A continuació tirem enlaire una moneda equilibrada (quan caigui hi ha la mateixa probabilitat que surti cara o que surti creu). Si surt cara, escollim a l atzar una bola de l urna A i, si surt creu, n escollim una de l urna B. c) Quina probabilitat hi ha que surti una bola de nombre parell? La probabilitat de triar una de les urnes és ½. Diem A = {urna A}, B = {urna B}, P = {número parell} i S = {número senar}. p(p) = p(p A) + p(p B) = p(p A) p(a) + p(p B) p(b) = = = d) Si sabem que la bola obtinguda és de nombre parell, quina probabilitat hi ha que hagi sortit de l urna A? Sabem que: p(a P) = On p(a P) = p(p A) p(a) = p(a P) p(p) 2 = 1 5 = 1 5 = =

16 L Institut d Estudis Catalans ha tingut cura de la correcció lingüística i de l edició d aquesta prova d accés