MATEMÁTICAS 2º BACH CIENCIAS INTEGRAL DEFINIDA

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1 Profesor: Fernndo Ureñ Portero 1. APROXIMACIÓN DE ÁREAS BAJO UNA CURVA Hy infinidd de funciones extríds del mundo rel (científico, económico, físic )pr ls cules tiene especil relevnci clculr el áre jo su gráfic. Vmos ocuprnos del cálculo de ests áres. Vemos un ejemplo práctico; imginemos que lfunción v(t) represent l velocidd de un cuerpo en el tiempo, con l siguiente gráfic: Queremos clculr el espcio recorrido entre t= y t=, por dicho cuerpo. El espcioserá igul l áre comprendid entre l gráfic y el eje de sciss en el intervlo [,]. Un ide, utilizd desde l ntigüedd pr medir áres, consiste en dividir el intervlo[,] en n pequeños trmos de mplitudε = n. Estos trmos tienen por extremos los siguientes puntos: =x0<x1< <xn=, donde x1=+ ε, x2=+2ε Podemos proximr el áre como l sum de los rectángulos con se εy de ltur mi omi, donde mi es el menor vlor de l función en el intervlo [xi,xi+1], y Mi el myorvlor de l función en el intervlo [xi,xi+1]. Vemos gráficmente ls áres clculds: ) ) 1

2 Profesor: Fernndo Ureñ Portero Designemos l áre clculd en gráfic ) como sum inferior de Riemn, s[f(x)]; siendo l clculd en ) l sum superior de Riemn, S[f(x)].Se cumple: s[f(x)] Áre S[f(x)] Los vlores de ls sums de Riemn son: s[f(x)]= m1(x1-x0)+m2(x2-x1)+ +mn(xn-xn-1)= n m x x S[f(x)]=M1(x1-x0)+M2(x2-x1)+ +Mn(xn-xn-1)= M i xi xi 1 Es fácil drse cuent que cunto myor se el número n, de intervlos, y por tntocunto menor se ε, más se proximrán l áre exct s[f(x)]y S[f(x)]. Así si n s[f(x)]= Áre= S[f(x)]. Se cumple sí que: lim s[f(x)] = lim S[f(x)] = f(x)dx, n n que es l integrl definid def(x) con extremos y. 2. Dd un función f(x) y un intervlo [, ] de l rect rel, l integrl definid es igul l áre limitd entre l gráfic de f(x), el eje de sciss, y ls línes verticles x= y x=. Se represent por: f(x)dx 3. REGLA DE BARROW Isc Brrow ( ) fue un mtemático inglés, cuy portción más importnte ls Mtemátics fue l unión del cálculo diferencil e integrl. i 1 n i 1 i i i 1 Si f(x) es continu en [, ] y F(x) es un primitiv de f(x), el vlor de l integrl definid de f(x) es: F( x) F( ) F( ) f ( x) dx Ejemplo1: 2 x 1 22 x 7 dx x Ejemplo2: Se un movimiento con celerción constnte, v=v0+t. Se v0=40m/s y =g=- 10m/s 2 v(t)=40-10t. Queremos clculr el espcio recorrido desde t=0 hstque el cuerpo se pre t=4s: 2

3 Profesor: Fernndo Ureñ Portero 4. PROPIEDADES DE LA 1) El vlor de l integrl definid cmi de signo si se permutn los límites deintegrción: f(x)dx = f(x)dx 2) Aditividd respecto del intervlo: Si f es continu en [, ] y c (, ) c f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx 3) Si los límites de integrción coinciden, es decir, si= f(x)dx = 0 4) Linelidd de l integrl definid:si f(x) y g(x) son continus en [, ] ) [f(x) ± g(x)]dx = f(x)dx ± g(x)dx ) k f(x)dx = k f(x)dx 5) Teorem del vlor medio (pr integrles): Si f es continu en [, ], f ( x) dx f ( ) 6) Si f(x) g(x) x [,] f(x)dx g(x)dx Ejemplos: Clculr ls siguientes integrles definids plicndo l regl de Brrow. c ) S o l : ) ; S o l : c) ; S o l : d ) ; S o l : e) ; Por Prtes log e u = logx; du = dx x ; dv = dx; v = x { 3

4 Profesor: Fernndo Ureñ Portero f ) ; C l c u l m o s l i n t e g r l d e f i n i d p o r c m i o d e vrile. Sustitución Por Prtes ; { x = t 2 ; ; { u = t; du = dt dx = 2tdt dv = sentdt; v = cost H l l m o s l o s n u e v o s l í m i t e s d e i n t e g r c i ó n. = 2[ tcost + sent] 0 π = 2π T m i é n s e p u e d e h c e r s i n t r n s f o r m r l o s l í m i t e s d e i n t e g r c i ó n y volvi e n d o l vrile i n i c i l. ; ; E j e r c i c i o s d e i n t e g r l e s d e f i n i d s

5 Profesor: Fernndo Ureñ Portero 5. ÁREA DE UNA FUNCIÓN Y EL EJE DE ABSCISAS OX 1. L función es positiv Si l función f(x) es positiv en un intervlo [, ], entonces l gráfic de f(x) está por encim del eje de sciss. El áre de l función viene dd por: A = f(x)dx Pr clculr el áre entre f(x) y el eje OX: 1º Se clculn los puntos de corte con el eje OX, hciendo f(x) = 0 y resolviendo l ecución. 2º El áre es igul l integrl definid de l función que tiene como límites de integrción los puntos de corte (nteriormente clculdos). Ejemplos ) Clculr el áre del recinto limitdo por l curv y = 4x x 2 y el eje OX. En primer lugr hllmos los puntos de corte con el eje OX pr representr l curv y conocer los límites de integrción. ) Puntos de corte: 4x-x 2 =0; x1=0, x2=4 ) Se clcul l integrl: ) Hllr el áre de l región del plno encerrd por l curv y = ln x entre el punto de corte con el eje OX y el punto de scis x = e..1) Clculmos el punto de corte con el eje OX: Ln x=; x=e 0 =1; punto de corte (1,0) PorPrtes.2) ; { u = Lnx; du = dx ; x dv = dx; v = x ; 5

6 Profesor: Fernndo Ureñ Portero 2. L función es negtiv Si l función es negtiv en un intervlo [, ], entonces l gráfic de l función está por dejo del eje de sciss. El áre de l función viene dd por un viene dd por: A = f(x)dx = f(x)dx Ejemplos: 1. Clculr el áre del recinto limitdo por l curv y = x 2 4x y el eje OX. ) Puntos de corte: x 2-4x=0; x1=0, x2=4 ) Se clcul l integrl: 2. Hllr el áre limitd por l curv y = cos (x) y el eje OX entre π/2 y 3π/2. ; 6

7 Profesor: Fernndo Ureñ Portero 3. L función tom vlores positivos y negtivos En ese cso, el recinto tiene zons por encim (positivs) y por dejo (negtivs) del eje OX. Pr clculr el áre entre f(x) y el eje OX: 1º Se clculn los puntos de corte con el eje OX, hciendo f(x) = 0 y resolviendo l ecución. 2º Estudir el signo de l función f(x) entre los puntos de corte. 3º Se clcul l primitiv de f(x), F(x). 4º El áre totl es igul l sum (lgeric) (o ien en vlor soluto) de ls áres correspondientes cd intervlo formdo por los puntos de corte (nteriormente clculdos). c d c d AT=A1+A2+A3= f(x)dx f(x)dx + f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx + f(x)dx c c d d Ejemplos 1. Clculr el áre de ls regiones del plno limitd por l curv f(x) = x 3 6x 2 + 8x y el eje OX. ) Puntos de corte: x 3-6x 2 +8x=0; x(x 2-6x+8)=0 x=0; x=2; x=4 El áre, por rzones de simetrí, se puede escriir: 7

8 Profesor: Fernndo Ureñ Portero 8

9 Profesor: Fernndo Ureñ Portero 9

10 Profesor: Fernndo Ureñ Portero 6. ÁREA COMPRENDIDA ENTRE (DOS) FUNCIONES El áre comprendid entre dos funciones es igul l áre de l función que está situd por encim menos el áre de l función que está situd por dejo. Pr clculr el áre entre f(x) y el eje OX: 1º Se clculn los puntos de corteentre ls dos funciones f(x) y g(x), resolviendo l ecuciónf(x)=g(x). 2º En los intervlos definidos por los puntos de corte, vemos; si f(x) está por encim de g(x) f(x)>g(x) o por dejo g(x)>f(x). 3º El áre en cd intervlo es l integrl definid con extremos, los del intervlo; y función integrción: [f(x)-g(x)] si f(x)>g(x) o [g(x)-f(x)] si g(x)>f(x). 4º El áre totl es igul l sum de ls áres correspondientes cd intervlo formdo. 10

11 Profesor: Fernndo Ureñ Portero Ejemplos 1. Clculr el áre limitd por l curv y = x 2-5x + 6 y l rect y = 2x. ) hllmos los puntos de corte de ls dos funciones pr conocer los límites de integrción. De x = 1 x = 6, l rect qued por encim de l práol. 2. Clculr el áre limitd por l práol y 2 = 4x y l rect y = x. ) De x = o x =4, l práol qued por encim de l rect. 3. Clculr el áre limitd por ls gráfics de ls funciones 3y =x 2 e y = x 2 + 4x. ) Representmos ls práols prtir del vértice y los puntos de corte con los ejes. y=x 2 /3xv=0; yv=0; V(0,0) (punto de corte); y=-x 2 +4x; xv=2; yv=4; V(2,4); -x 2 +4x=0; x1=0, x2=4 (puntos de corte) ) Hllmos los puntos de corte de ls funciones, que nos drán los límites de integrción. 11

12 Profesor: Fernndo Ureñ Portero 4. Clcul el áre de l figur pln limitd por ls práols y= x 2 2x, y = x 2 + 4x. ) Representmos ls práols prtir del vértice y los puntos de corte con los ejes..1) y= x 2 2x ; xv=1, yv=-1; V(1,-1); x 2-2x=0; x1=0, x2=2 (0,0) y )2,0).2) y = x 2 + 4x; xv=2, yv=4; V(2,-4); -x 2 +4x=0; x1=0, x2=4 (0,0) y (4,0). 5. Hllr el áre de de l región limitd por ls funciones: y = sen (x), y = cos (x), x = 0. ) Hllmos el punto de intersección de ls funciones: L gráfic del coseno qued por encim de l gráfic del seno en el intervlo de integrción. 12

13 Profesor: Fernndo Ureñ Portero EJERCICIOS DE 1. Hll el áre de l región comprendid entre ls curvs determinds por f(x)=4 x 2 y g(x)=3x Clcul el áre del recinto cerrdo comprendido entre l curv y =x 2 +1 y ls rects y = x, x = -1, x = Clcul el áre del recinto del plno limitdo por el eje X y por ls gráfics de ls funciones y = x 2 +4x+4 e y = 2x+3. Relice un esozo gráfico. 4. Hllr el áre del recinto limitdo por l curv y =4-x 2 y los segmentos AB y BC, siendo A = (- 2,0), B =(-2,4) y C = (2,0). (Sol. 6,33) 5. Dd l función f(x) = { x2 2x si 0 x 2 Puede ser función de densidd pr lgun 0 en otro cso vrile letori continu? Justifíquese l respuest. (Sol. No) Not. Si f(x) es un función de densidd 6. Dd l función f(x)=x 3-3kx 2 + 9x+5: ) Clculr el vlor de k pr que l función teng un punto de inflexión en x =2 ) Clculr el áre que dej l derivd de l función dejo del eje X. 7. Durnte un cierto periodo de tiempo, ls hojs de un especie vegetl trnspirn rzón de 2mg de gu por cm 2. Los ordes de un de dichs hojs coinciden con los del recinto cotdo del plno limitdo por ls curvs de ecuciones y =(5x) 1/2 e y=(1/5)x 2, donde x e y están expresdos en cm. Clculr l cntidd de gu trnspird por dich hoj en el periodo de tiempo citdo. (Sol.16,66 mg ). 8. Estudir el áre del recinto limitdo por l curv y=x 3-3x 2 +2x y su rect tngente en x=0. Sol: A=6,75 u Hállese el áre del recinto limitdo por l práol y=-x 2 y l rect y=2x-3. Sol: A=10,7 u Hllr el recinto limitdo por ls funciones: y=x 2, y=x 2 /2, y=2x. Sol: A=4 u Se l función y=2e -2 x. Clculr el áre de l región pln comprendid por l gráfic de f(x) y ls rects x=1 y x=-1. Sol: A=1,72 u Se f(x)=x 3 +x 2 +x+c. Determinr, y c de modo que f<(x) teng un extremo reltivo en x=0, l rect tngente l gráfic de f(x) en x=1 se prlel l rect y-4x=0, y el áre comprendid por l gráfic de f(x), el eje OX y ls rects x=0, x=1, se igul 1. Sol: =1/2, =0 y c=7/12. 13

14 Profesor: Fernndo Ureñ Portero MÁS PROBLEMAS Y CUESTIONES 1. Dds ls práols y=x 2 -x/2+2 e y=x 2 +3/2x+2. ) Hllr el áre encerrd por ms ) L distnci entre sus vértices. 2. Integrr ls funciones ) ; ) ; c) ; d) ; f) 3. Se l función Qué vlor dee tener pr que el áre encerrd por l curv y= f(x), y= 2 y el eje verticl se igul l áre encerrd por l curv y= f(x), x= y el eje horizontl. 4. Ls rects y= x+1, y= -2x+10 e y= -x-1 determinn un triángulo del que queremos conocer su áre. 5. ) Qué vlor dee tener pr que l rect y= -x+6 y l curv y= -x 2 +5x-1 sen prlels en x= 1 ) Cuál es el máximo vlor posile de pr que el recinto encerrdo por ms curvs no se vcío? 6. L curv y= x 3 - y l rect y= x+1 se cortn en los puntos de scis x= -1 y x= 2. ) Hllr los prámetros y. ) Hllr el áre encerrd por ms. 7. ) Hllr >0 pr que ) Representr ls rects y= x-1, x=, pr el vlor d otenido en el prtdo nterior. Al oservr el gráfico resultnte, podemos decir que el áre entre ls rects y= x-1, x=, x=0 y el eje horizontl es 4? 8. Hllr el áre encerrd por l curv y el eje de sciss. 14

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