La integral Integral indefinida: primitivas

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1 Cpítulo 2 L integrl 2.. Integrl indefinid: primitivs Consideremos l operción invers de l derivción, desde un punto de vist lgebrico. Es decir, dd un función f (x), nos gustrí verigur l (o ls) funciones F(x) tles que f (x) = F (x). Definición 2.. Un primitiv de f (x) es un función F(x) tl que f (x) = F (x). Hemos demostrdo y ( v. l proposición.23, 5. ) lo siguiente. Proposición 2.2. Ls funciones constntes F(x) = C, C R son ls únics primitivs de l función cero f (x) = 0. Este hecho se escribe con l siguiente notción 0 = C. Recordd que esto es un consecuenci direct del t.v.m. El ejercicio.25 nos mostrb entonces que si dos funciones tienen l mism derivd, entonces difieren en un constnte. Proposición 2.3. Si F(x) y G(x) son dos primitivs de un mism función f (x), entonces difieren en un constnte Esto se denot con G(x) = F(x) + C, C R. f (x) = F(x) + C. 6

2 62 CAPÍTULO 2. LA INTEGRAL Un primitiv culquier de un función se denomin tmbién un integrl indefinid suy. Debemos memorizr uns cunts integrles indefinids básics, y prender clculr un conjunto suficientemente mplio de primitivs más generles. Contrstndo con el cso de l derivción, l integrción de culquier función no es un proceso totlmente lgorítmico, y su investigción se encuentr todví entre los problems biertos de l mtemátic ctul. Tod nuestr intención l comenzr este cpítulo er encontrr l operción invers de l derivción, y lo hemos conseguido: ( ) F d (x) = F(x) + C, f (x) = f (x). Obsérvese que l primer de ests fórmuls nos d l primer regl de integrción, l denomind integrl inmedit, que es quell en l que identificmos clrmente l función integrr ( el integrndo ) como l derivd de un función que conocemos. Más ejemplos de integrles inmedits son k = kx + C, x = x2 2, x 2 = x3 3, x n = xn+ n +, senx = cosx, cosx = senx, El típico cso de integrl inmedit es f (x) = ln f (x) + C = ln kf (x), k R. f (x) y como cso prticulr importnte el siguiente ejemplo. Ejercicio 2.4. Demuestr que = ln x + C x ( observ el vlor bsoluto ) Más propieddes son kf (x) = k f (x), f (x) ± g(x) = f (x) ± g(x) Pr integrr existen muchs técnics, l primer que vmos ver es l del cmbio de vrible, que consiste en intentr reconocer l integrl inmedit siguiente, que no es más que l inversión de l regl de l cden.

3 2.. INTEGRAL INDEFINIDA: PRIMITIVAS 63 Proposición 2.5. f (g(x))g (x) = F(g(x)) + C, siendo F(x) = f (x). (2.) Por ejemplo sen 2 x cosx = sen3 x 3 + C tomndo g(x) = senx y f (x) = x 2, luego f (g(x)) = senx. Es hbitul visulizr l función g(x) como un nuev vrible u = g(x), y se suele denotr g (x) = d(g(x)) = du, con lo que l fórmul (2.) se escribe f (g(x))g (x) = f (u)du = F(u) + C. En el ejemplo nterior, u = senx y du = u (x) = cosx con lo que se puede escribir sen 2 x cosx = u 2 du = u3 3 + C = sen3 x + C. 3 A veces se puede intentr divinr l función g(x) si no se reconoce fácilmente, escribiendo directmente u = g(x), = du/g (x(u)). Por ejemplo x x 2 + = xu /2 /2 2x = u = u /2 du 2 2 = u3/2 + C = (x2 + ) 3/2 + C. 3 L inversión de l regl de Leibniz es l denomind fórmul de l integrl por prtes Proposición 2.6 (Integrción por prtes). Se cumple que f (x)g (x) = f (x)g(x) f (x)g(x). L demostrción es obvi: d f (x)g(x) + C = [f (x)g(x)] = Ejemplos típicos son x cosx = x senx f (x)g(x) + senx = x senx + cosx + C f (x)g (x).

4 64 CAPÍTULO 2. LA INTEGRAL y x logx = x logx = x logx x + C. x Ejercicio 2.7. Resolved e x cosx integrndo dos veces por prtes. Integrles de funciones rcionles. Tod función rcionl se puede escribir como un polinomio más un función rcionl de numerdor de menor grdo que el denomindor: P (x) R(x) = A(x) + Q(x) Q(x). Todo polinomio puede fctorizrse en fctores de grdo, de l form (x α i ) donde cd α i C es un ríz complej del polinomio. Si el polinomio er de coeficientes reles, ls ríces complejs de prte imginri no nul se presentn en pres conjugdos (x bi)(x + bi) = (x ) 2 + b 2. Es decir, todo polinomio de coeficientes reles se puede fctorizr como Q(x) = (x x ) n (x x r ) n r [(x ) 2 + b 2 ]m [(x s ) 2 + b 2 s ] m s donde x i son r ríces reles de multipliciddes n i y α i = i + ib i son ríces complejs. Entonces podemos escribir R(x) Q(x) = A x x + + A n (x x ) n + + A r x x r + + A rnr (x x r ) n r + + M x + N (x ) 2 + b M m x + N m [(x ) 2 + b 2 + ]m + M sx + N s (x s ) 2 + b 2 s M sm s x + N sms [(x s ) 2 + b 2 s ] m s cuy integrl es un sum de integrles como A = Aln x x x x A (x x ) n = A, n N, n 2 n (x x ) n { ( ) Mx + N x (x ) 2 + b 2 = M b rctn + b 2 log[ (x ) 2 + b 2]} +N ( ) x b rctn b

5 2.. INTEGRAL INDEFINIDA: PRIMITIVAS 65 y, si m 2 Mx + N [(x ) 2 + b 2 ] m = M 2x 2 2 [(x ) 2 + b 2 ] m + M + N [(x ) 2 + b 2 ] m M M + N = 2(m ) [(x ) 2 + b 2 + ] m b (u 2 + ) m du y pr resolver l últim integrl podemos usr l fórmul de reducción (x 2 + ) m = x 2m 3 2m 2 (x ) m 2m 2 (x 2. + ) m Ejemplo 2.8. x 4 + 2x 3 4x 2 + x 3 x 2 = x 2 ( x 2 + 3x + + 8x x 2 x 2 = x x2 + x + ) 8x x 2 x 2. Fctorizndo x 2 x 2 = (x + )(x 2) podemos descomponer en frcciones simples 8x x 2 x 2 = L integrl es, pues, A x + + x 4 + 2x 3 4x 2 + x 3 Ejemplo 2.9. x 2 x 2 B x 2 = operndo = 3 x x 2. = x x2 + x + x x + 2 (x + ) 2 + = (x + ) 2 + = 2(x + ) 2 (x + ) x x 2 = x x2 + x + 3ln x + + 5ln x 2 + C. 2 (x + ) 2 + = 2 log[(x + )2 + ] 2rctn(x + ) + C.

6 66 CAPÍTULO 2. LA INTEGRAL Integrles de funciones rcionles de funciones trigonométrics. Un función rcionl R(senx,cosx) se puede integrr en generl utilizndo el cmbio de vrible t = tg x, según el cul 2 = 2 t2 2t dt, cosx =, senx = + t2 + t2 + t 2, trnsformándose el integrndo en un función rcionl de t. Ejemplo 2.0. = + 2cosx = t t dt = t2 + t t 2 dt = + t 2 3 dt = ln 3 + t / 3 3 t +C = 3 + tg x ln 2 +C 3 t 3 3 tg x t 2 dt Otros tipos de integrles. Cundo hy ríces del tipo x 2 se puede intentr el cmbio x = senu: x 2 = sen 2 u cosu du = cos 2 u du + cos2u = du = 2 2 u + 4 sen2u + C = 2 u + 4 sen2u + C = rcsenx + sen(2rcsenx) + C = rcsenx + sen(rcsenx)cos(rcsenx) + C = rcsenx x x 2 + C Algun vrición: = 3x 2 3 sen2 u 3 cosu du du = = u + C = rcsen 3x + C Integrl definid: áres, teorems Hemos visto cómo el concepto de derivd nos permite clculr mgnitudes que son inlcnzbles utilizndo los métodos nteriores l cálculo diferencil.

7 2.2. INTEGRAL DEFINIDA: ÁREAS, TEOREMAS 67 Ejemplos de ello son ls tss de vrición instntánes de diverss funciones, mgnitudes geométrics como ls rects tngentes, l curvtur, etc. En est sección estudiremos otro concepto que resultb difícil de definir, si no imposible, sin ls técnics infinitesimles, y que h producido quebrderos de cbez innumerbles l Humnidd, desde los tiempos de Zenón, l menos. Se trt de cuestiones como el cálculo del vlor cumuldo de un cntidd que vrí de un form determind, pero cmbinte. Por ejemplo, l distnci recorrid por un móvil de velocidd vrible, l longitud de un curv o el áre de un figur de contornos curvos. Comencemos con el problem del áre. El trtmiento inicil que estudiremos es decudo pr figurs limitds por l gráfic de un función entre dos vlores de x y el eje de bsciss. Y Eudoxo se le ocurrió el denomindo método de exhución: proximemos nuestr figur medinte polígonos de áre conocid, y podremos clculr, proximdmente, el áre de l figur. Definición 2.. Ddos < b, un prtición P del intervlo [,b] es un colección finit de puntos de [,b] que incluye y b: denotándose P = {x 0,x,x 2,...,x n,x n }. = x 0 < x < x 2 < < x n < x n = b Ls proximciones l áre se pueden construir utilizndo ls siguientes mgnitudes (ver el péndice sobre sumtorios). Definición 2.2. Supongmos que f (x) es cotd sobre [,b], y que P = {x 0, x,..., x n, x n } es un prtición de [,b]. Un sum integrl pr f entre y b es l sum I P = n f (ξ i )(x i x i ) = f (ξ )(x x 0 ) + f (ξ )(x x 0 ) + i= + + f (ξ n )(x n x n 2 ) + f (ξ n )(x n x n ) donde ξ i [x i,x i ] son puntos rbitrrios en cd subintervlo. Definición 2.3. L resolución o norm ρ P = P de un prtición P = {x 0, x,..., x n, x n } es el tmño del myor de los subintervlos. Es decir, denotndo x i = x i x i : ρ P = P = máx( x i ). i El problem es que no se puede definir el lím ρ P 0 I P y que I P no es un función de un vrible ρ P.

8 68 CAPÍTULO 2. LA INTEGRAL Definición 2.4. Un número I se denomin el límite de ls sums integrles de Riemnn n I P = f (ξ i )(x i x i ) i= si pr todo ɛ > 0 existe δ > 0 tl que pr tods ls posibles prticiones P de norm ρ P < δ se cumple que n I P I = f (ξ i ) x i I < ɛ. i= Definición 2.5. Un función f (x) definid en un intervlo [, b] es integrble (según Riemnn) si y solo si existe el límite de ls sums integrles. En ese cso, ese límite se denot como x=b x= f (x) = y se denomin integrl definid entre y b de f (x). f (x) = I Los vlores y b se denominn límites de integrción, y l interpretción de l integrl definid como el áre de l región comentd nteriormente, es clr. L integrl de Riemnn se puede entonces utilizr pr definir el áre de ls regiones del tipo prticulr que hemos estudido. Hy que hcer notr que existen regiones más complicds, pr ls cules l Mtemátic h proporciondo definiciones más generles ( utilizndo, por ejemplo, otr integrl, l integrl de Lebesgue ) Pr ls regiones que nosotros considermos, ls definiciones más generles coniciden con l de Riemnn. Es difícil determinr l clse de funciones que poseen integrl, y nos conformremos con resultdos que serán que suficientes pr nosotros. Es, sin embrgo, bstnte fácil identificr un clse de funciones no integrbles. Proposición 2.6. Un función no cotd no es integrble. Efectivmente, en el entorno de lgún punto l función h de tomr vlores rbitrrimente grndes (en módulo). En culquier prtición hbrá un subintervlo que conteng ese punto, y el término correspondiente en un sum integrl puede hcerse rbitrrimente grnde (en módulo). El siguiente teorem lo dmos sin demostrción. Teorem 2.7. Un función continu en un intervlo cerrdo [,b] es integrble. Es útil l siguiente proposición.

9 2.2. INTEGRAL DEFINIDA: ÁREAS, TEOREMAS 69 Proposición 2.8. Un función continu en un intervlo cerrdo con un número finito de discontinuiddes evitbles o de slto es integrble. Efectivmente, culquier prtición se puede refinr pr que ls discontinuiddes estén islds cd un en un subintervlo. L contribución l sum de Riemnn de esos subintervlos es un sum finit: f (ξ i ) x i < máx(f (x i ))ρ i i siendo ρ l norm de l prtición. A medid que l norm tiende cero, est contribución tiende cero. Ls demás contribuciones se comportn como ls del cso continuo ( Como lterntiv, demostrr que l función 0 con un discontinuidd evitble en 0 es integrble, y luego medinte sums y productos, un vez que conozcmos ls propieddes, lo podemos hcer ) L fmili más grnde de funciones integrbles que vmos discutir es l de l siguiente proposición, fácil de probr usndo rzonmientos nálogos los de l nterior. Proposición 2.9. Un función continu trozos es integrble. Recuérdese que l continuidd trozos (v. definición.88) implic que los límites lterles son finitos en los puntos de discontinuidd Ejemplos y propieddes de l integrl definid. L primer integrl definid que podemos hcer es Efectivmente, Otr es n f (ξ i ) x i = i= k = k(b ), k R. n k x i = k i= n (x i x i ) = k(x n x 0 ) = k(b ). i= 0 x. Est es más difícil, pero seguiremos l técnic siguiente. Sbemos que f (x) = x es continu, luego es integrble. Entonces todo proceso de límite de sums integrles converge l mismo vlor, l integrl. Podemos, por lo tnto, utilizr un tipo

10 70 CAPÍTULO 2. LA INTEGRAL especil de prtición, refinndo su norm hci cero, y el límite que obtengmos será l integrl, sin ser necesrio probr con otrs (tods) ls prticiones posibles, y que l integrbilidd está segurd. Este procedimiento es l bse de cierts técnics de evlución numéric de integrles, cundo los procedimientos nlíticos no permiten el cálculo. El tipo de prtición más simple es quell pr l que los puntos son equidistntes: x i = ih, i = 0,...,n, h = b n. L sum integrl es, eligiendo como ξ i = x i el ldo derecho del subintervlo [x i,x i ]: n f (x i ) x i = i= por lo que n ih h = h 2 i= n i= 2 n(n + ) i = h 2 0 = h2 2 x = b2 2. n = b h ( )( ) b b h h + b(b + h) h 0 = b2 2 2 Alguns propieddes, directmente demostrbles con l definición, son ls siguientes.. f (t)dt = f (x). 2. Si f es integrble en un intervlo, lo es en culquier subintervlo c y c. f (x) = f (x)+ c kf (x) = k f (x). [f (x) + g(x)] = f (x) + g(x). (si f y g son integrbles, tm- bién lo es f + g) 6. Si f y g son integrbles, tmbién lo es f g. 7. Si f (x) g(x) son integrbles y b entonces b f (x) donde b no necesrimente está entre f (x) g(x).

11 2.2. INTEGRAL DEFINIDA: ÁREAS, TEOREMAS 7 8. Si f (x) g(x) M y b entonces M(b ). f (x) f (x) g(x) L propiedd 8 se demuestr integrndo M g(x) f (x) g(x) M. Pr que l propiedd 3 se válid pr todos los,b,c en los que ls integrles tienen sentido, se hn de definir los siguientes csos especiles: f (x) = 0 f (x) = f (x) b El siguiente teorem es fácil de demostrr. Teorem 2.20 (Teorem de l medi pr integrles). Si φ(x) es integrble y tiene signo constnte en (,b), entonces si f (x) es continu en [,b] tenemos que f (x)φ(x) = f (c) φ(x), c (,b). Prticulrizndo pr φ(x) = tenemos que f (x) = f (c)(b ), c (,b). Demostrción. sup. φ 0, Weier m f (x) M, mφ(x) f (x)φ(x) Mφ(x), b > m φ(x) con m P M tl que b φ(x), y l ser f continu existe c (,b) tl que f (c) = P. f (x)φ(x) M f (x)φ(x) = P φ(x), con lo que existe P El significdo geométrico (con φ(x) = ) es el de que podemos encontrr un rectángulo de bse b con áre igul l integrl, cuy ltur está entre el máximo y el mínimo de f en (,b). De hecho, se define l medi de un función en un intervlo como sigue. Definición 2.2. L medi en el intervlo [,b] de un función integrble, es f (x) = f (x). b

12 72 CAPÍTULO 2. LA INTEGRAL Un medi ponderd según un función peso φ(x) 0 es f (x) = f (x)φ(x). Definición 2.22 (Vlor cudrático medio). φ(x) 2.3. El teorem fundmentl del cálculo infinitesiml Supongmos que f (x) es integrble en cierto dominio de R. Tomdo un punto de referenci R de ese dominio, consideremos l siguiente función: I f (x) = x f (t)dt. Est función represent el áre encerrd en el contorno limitdo por el eje de bsciss, l gráfic de l función f (t) y ls rects t = y t = x. Proposición Si f (x) es integrble sobre [,b] entonces l función I f (x) es continu en [,b]. Demostrción. Clculemos (con x [,b], x + δ [,b]) I f (x + δ) I f (x) x+δ = f (t)dt Sbemos que l ser integrble, f (x) es cotd en [,b], es decir M R, M > 0 tl que f (x) M. Entonces si δ = ɛ/m. I f (x + δ) I f (x) x+δ = x x f (t)dt x+δ x f (t) dt Mδ = ɛ El resultdo nterior se puede interpretr diciendo que l integrción suviz l función.

13 2.3. EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO INFINITESIMAL 73 Ejercicio Encontrd l función I u (x) siendo u(x) l función esclón ( definición.56 ) Pero eso no es todo, l función integrl se comport todví mejor, si el integrndo es suficientemente bueno, como muestr l siguiente versión simplificd del Teorem fundmentl del Cálculo. Teorem 2.25 (Teorem fundmentl del cálculo infinitesiml, I). Si f (x) es un función continu en [,b], entonces l función F(x) = I f (x) = x f (t)dt es un primitiv de f (x), es decir, F(x) es derivble y F (x) = f (x). Demostrción. El t.v.m. pr integrles segur que existe 0 θ tl que F(x + δ) F(x) δ dd l continuidd de f (x). = δ x+δ x f (t)dt = f (x + θδ) δ 0 = f (x), Ejercicio Encontrd l función I v (x) siendo v(x) = I u l función del ejercicio Teorem 2.27 (Teorem fundmentl del cálculo infinitesiml, II). Si f (x) es integrble sobre [,b] y f = F pr lgun función F(x), entonces f (x) = F(b) F(). Por qué tnto cuiddo? Por ejemplo, l función esclón no stisfce l regl de Brrow! De qué función es derivd? En culquier intervlo que conteng x = 0 tendremos problems pr elegir entre ls muchs posibles primitivs, y que, en x = 0, u(x) no puede ser l derivd de ningun función. Solo vmos demostrr el subcso que es un corolrio del primer teorem. Corolrio Si f (x) es continu en [,b], entonces f (x) = F(b) F() siendo F(x) un primitiv culquier de f (x).

14 74 CAPÍTULO 2. LA INTEGRAL Demostrción. sbemos que F(x) = x f (t)dt + C es un primitiv de f (x). Luego F() = C F(b) = f (t)dt + F(). Necesi- Cmbio de vrible e integrción por prtes de integrles definids tremos drnos cuent del siguiente resultdo clculístico. Proposición Siendo f (t) continu y g(x), h(x) derivbles, l función I(x) = h(x) g(x) f (t)dt tiene como derivd I (x) = f (h(x))h (x) f (g(x))g (x). Cmbio de vribles: x = φ(t) y u = u(x) f (x) = f (x) = φ (b) φ () u(b) u() f (φ(t))φ (t)dt du f (x(u)) u (x(u)) Ls funciones φ(t) o u(x) hn de ser inyectivs en los intervlos que se utilizn. Integrción por prtes: u(x)v (x) = u(x)v(x) b u (x)v(x) 2.4. Integrles impropis Extendemos en est sección el concepto de integrl definid pr trtr dos situciones nuevs:. L función f (x) se hce infinit en lgún punto de [,b] (es rbitrrimente grnde o pequeñ).

15 2.4. INTEGRALES IMPROPIAS El intervlo de integrción es infinito. Los puntos singulres son quellos en cuyo entorno l función no es cotd. Tmbién se dice que los puntos ± son singulres cundo precen en los límites de integrción. En mbos csos, l integrl correspondiente se denomin impropi. Ejemplo Intentemos dr sentido x 2 Si relizmos l integrción en un subintervlo [,R] con R R: R [ x 2 = ] R = x R +. Si R tiende ser muy grnde, prece que l integrl tiende ser. Esto puede interpretrse diciendo que el áre de l superficie entre l curv y = /x 2 y el eje x = 0 pr x, es finit, pese ser un región infinit. Este áre serí R = lím = lím R x2 R x R = lím R R + =. Ejemplo 2.3. Intentemos dr sentido 0 x. Si relizmos l integrción en un subintervlo [ɛ,] que no conteng el 0: = 2 x x ɛ = 2( ɛ) ɛ está clro que podemos hcer ɛ 0, y entonces l integrl prece tender ser Definición de integrl impropi Los ejemplos nteriores motivn ls siguientes definiciones ( recordd l definición.88 )

16 76 CAPÍTULO 2. LA INTEGRAL Definición 2.32 (Integrl impropi de primer especie). Se f continu trozos en [, ). Se define R f (x) = lím f (x), R f (x) = lím R f (x) R Definición 2.33 (Integrl impropi de segund especie). Se f continu trozos en (,b).. Si f puede ser infinit en b, se define c ɛ f (x) = f (x) = lím f (x) = lím f (x) c b ɛ 0 2. Si f puede ser infinit en, se define nálogmente f (x) = + f (x) = lím c + c f (x) = lím f (x) ɛ 0 +ɛ Si el límite existe, se dice que l integrl impropi converge, y en cso contrrio que diverge. Obsérvese que en el cso de que l función se cotd, l últim definición produce el mismo vlor de l integrl que l definición de Riemnn. Pr definir l integrl impropi de funciones con vrios puntos singulres, se divide el intervlo de integrción pr convertirl en uno de los tipos conocidos. Por ejemplo, si c < c 2 son puntos singulres de f (x), entonces c2 c f (x) = c c f (x) + c2 c f (x) siendo c (c,c 2 ) un punto interior no singulr. En generl, si c < c 2 <... < c n son puntos singulres de f (x), se define f (x) = c f (x) + c2 c f (x) + + c n f (x). Ejemplo L fuerz de Coulomb sobre un electrón en un cmpo producido por un átomo de crg Q es F = k Qe r 2.

17 2.4. INTEGRALES IMPROPIAS 77 Si el electrón orbit con un rdio r, l energí necesri pr seprrlo del átomo (pr ionizr el átomo) es igul l trbjo relizdo l llevrlo r : E i = k Qe dr dr = kqe r r2 r r 2 = kqe r = kqe. r r Ejemplo Se puede demostrr que (idelmente) l intensidd eléctric i(t) en el circuito de l figur es i(t) = V exp( t/rc). L crg totl R Figur 2.: Circuito RC. en el condensdor en un tiempo t, y qué vlor tenderá cundo t (situción estcionri), se clculn relizndo un integrl impropi: Q = t 0 dq dt = i(t), V R e s/rc ds = V C e s/rc t 0 = CV ( e t/rc ) t CV Criterios de convergenci En el estudio de ls integrles impropis prece un cuestión nuev, que no se presentb en el cso de integrles no impropis: puede ser necesrio o interesnte determinr si un integrl impropi es convergente o divergente, independientemente de su vlor. Con ls integrles que se pueden clculr explícitmente, simplemente clculndo su vlor, si es finito, se concluye que l integrl converge. Pero existen muchos métodos pr estudir l convergenci de integrles sin necesidd de clculr su vlor. Utilizándolos, podremos determinr l convergenci de integrles que incluso no se pueden clculr en términos de funciones elementles. No siempre es fácil determinr si un integrl impropi converge o diverge. Sin embrgo, existe un situción en que se puede decir con seguridd que un

18 78 CAPÍTULO 2. LA INTEGRAL integrl impropi de primer especie diverge: cundo el integrndo no tiende nulrse en el infinito (en el siguiente sentido) Proposición 2.36 (Condicion suficiente de divergenci). Si el integrndo de l integrl impropi de primer especie f (x) tiene un límite no nulo en, es decir entonces l integrl diverge. lím f (x) = c 0, x Este criterio no implic un condición necesri de convergenci: pr que l integrl converj no es necesrio que lím x f (x) = 0, existiendo contrejemplos. Demostrción. Si lím x f (x) = c 0 entonces f (x) c < ɛ cundo x > R pr ciert R. Si, por ejemplo, c > 0, entonces tomndo 0 < ɛ < c tenemos que f (x) > c ɛ µ > 0 y que que diverge. R f (x) > R µ (2.2) Pr ls integrles de l form f (x) l condición suficiente de divergenci es, evidentemente, que f (x) tiend un límite no nulo en. En l demostrción de l proposición nterior, en (2.2), hemos utilizdo un desiguldd entre integrles que se puede explotr más todví pr crer el siguiente criterio de convergenci. Teorem 2.37 (Criterio de comprción). Si f (x) y g(x) son continus trozos en [,b) (b puede ser ), son positivs y entonces 0 f (x) g(x), x [,b) g(x) es convergente f (x) es divergente f (x) es convergente g(x) es divergente

19 2.4. INTEGRALES IMPROPIAS 79 L demostrción se bs en que ls funciones integrles, l ser los integrndos positivos, son monótons crecientes y cotds. El teorem nterior es muy útil si conocemos un conjunto mplio de integrles simples convergentes o divergentes, con respecto ls que podemos comprr integrles impropis más complicds. Ls siguientes integrles simples son fundmentles. Proposición L integrl impropi x α converge cundo α > y diverge cundo α. L integrl impropi 0 x α converge cundo α < y diverge cundo α. Demostrción. Se hce integrndo directmente. Ejercicio Es convergente Ejemplo x? sen 2 x x 2 es convergente, y que si f (x) = sen 2 x/x 2 podemos comprr usndo el teorem 2.37 con g(x) = /x 2, porque mbs son positivs y l ser sen 2 x, f (x) = sen 2 x/x 2 /x 2 = g(x). Por l proposición (2.38) l integrl de /x 2 es convergente, luego l de f (x) tmbién lo es. Podemos umentr mucho el conjunto de funciones con ls que comprmos si comprendemos cómo se comportn, demás de ls potencis, los logritmos y ls exponenciles, y l relción entre los comportmientos de ess tres fmilis de funciones.

20 80 CAPÍTULO 2. LA INTEGRAL Ejemplo 2.4. Un logritmo crece más despcio que un potenci. logx x 2 R logx = lím R x 2 = lím R [ = lím logx R x [ logr R ] R + Todo ello se resume en ls dos siguientes proposiciones. Proposición Si 0 < < entonces es y si b > es 0 e σ/xp lnx γ x k R R + = lím R σ > 0 divergente p > 0 σ < 0 convergente (bs.) k > divergente si k < p 0 ó σ = 0 convergente (bs.) γ divergente k = γ < convergente (bs.) b e σxp x k lnx γ ] x 2 σ > 0 divergente p > 0 σ < 0 convergente (bs.) k > divergente si k < p 0 ó σ = 0 convergente (bs.) γ divergente k = γ < convergente (bs.) R + = Ejemplo e x2 cos3x p = 2, σ = es convergente 0 ( ) 4 lnx σ = 0, k = 4 es convergente x

21 2.4. INTEGRALES IMPROPIAS 8 2 lnx σ = k = 0 es divergente 0 e x p = /2, σ = es divergente x5 Muchos de los csos del árbol son integrles no impropis, porque sus integrndos no se hcen infinitos. Ejemplo /2 0 (lnx) 2 x 4 no es relmente impropi porque lím x 0 (lnx) 2 x 4 = 0 (luego es convergente) Más criterios de convergenci Los csos complicdos de nuestros árboles de funciones tipo se pueden resolver con el criterio de comprción o con el siguiente potentísimo criterio de convergenci. En l práctic, ls estimciones de convergenci no son más que un procedimiento rápido de plicr el criterio, y se sustituyendo por infinitésimos o por funciones equivlentes ls distints prtes de un integrndo cuy convergenci queremos estudir. Teorem 2.45 (Criterio de comprción II, o de pso l límite). Sen f (x) y g(x) funciones continus y positivs. Entonces, si existe el límite finito ( b puede ser ) y si. k 0, ls integrles g(x) convergen o divergen simultánemente; 2. k = 0, si es divergente, f (x) y f (x) lím x b g(x) = k, g(x) es convergente, g(x) es divergente; f (x) es convergente; si f (x)

22 82 CAPÍTULO 2. LA INTEGRAL 3. k = ±, si es convergente, g(x) es divergente, Ejemplo L integrl converge porque g(x) es convergente. lím x 0 0 lnx / x = lím x 0 lnx f (x) es divergente y si /x /(2x 3/2 ) = 0 (se puede integrr directmente por prtes). Más útil es clculr 0 (lnx) 4 (lnx) 4 lím x 0 / x = lím 4(lnx) 3 /x x 0 /(2x 3/2 ) = 2 lím (lnx) 3 x 0 / x = = 0 luego es convergente. Ejemplo diverge porque 2 (lnx) 2 /x lím x /(lnx) 2 = lím 2lnx/x /x = 2 lím x x = 0. f (x) El teorem tmbién sirve pr estudir l convergenci de muchs otrs integrles. Ejemplo (El logritmo en ). Si < c < c lnx γ porque lím x lnx x =. γ < es convergente (bs.) si γ es divergente

23 2.4. INTEGRALES IMPROPIAS Integrndos no positivos y convergenci bsolut Los criterios de comprción, teorems 2.37 y 2.45, se pueden plicr solo cundo ls funciones que se comprn, f (x) y g(x), son positivs, l menos en un entorno del punto b en donde l integrl es impropi. Si f (x) es estrictmente negtiv, se pueden plicr los criterios l función f (x), que es positiv. L convergenci o divergenci de f (x) es simultáne l convergenci o divergenci de f (x), y que solo hy involucrdo un cmbio de signo. Sin embrgo, si l función f (x) no es ni estrictmente positiv ni negtiv, los criterios no son directmente plicbles. Existen lgunos conceptos que permiten el estudio de funciones de signo cmbinte, que vmos discutir continución. Definición L integrl impropi es bsolutmente convergente si f (x) f (x) es convergente. Es fácil probr que (como considermos solo f s continus trozos) Proposición Si un integrl impropi es bsolutmente convergente, entonces es convergente. De hecho f (x) f (x). Dd un función f (x) de signo cmbinte, podemos considerr l integrl de su vlor bsoluto f (x), que es de signo positivo, plicndo los criterios de convergenci de que disponemos. Si l integrl de f (x) result ser convergente, l integrl de f (x) es bsolutmente convergente, por lo que es tmbién convergente. Ejemplo 2.5. senx x 2 es bsolutmente convergente (comprr con /x 2 ), luego es convergente.

24 84 CAPÍTULO 2. LA INTEGRAL Sin embrgo, si l integrl del vlor bsoluto f (x) result ser divergente, no podemos concluir que l integrl de f (x) tmbién lo es. Puede suceder que ls áres negtivs resultntes de integrr f (x) en ls regiones donde es negtiv, sen en mgnitud y contrrresten en cierto modo un contribución positiv (infinit) de ls zons en ls que f (x) es positiv. Es decir, l integrl de f (x) puede diverger, ún convergiendo l integrl de f (x). En ese cso, se dice que l integrl impropi es condicionlmente convergente. Ejemplo senx x no es bsolutmente convergente, pero es condicionlmente convergente. senx = cosx x x + cosx x 2 (l últim integrl es bsolutmente convergente) Vlor principl de Cuchy Se un integrl impropi f (x) con un único punto singulr en c (,b), divergente. En los lrededores del punto c, l integrl impropi puede diverger, debido que el áre de l región correspondiente es infinit. Pero podemos considerr el cso en el cul el áre infinit l izquierd de c se de signo contrrio, e igul mgnitud que el áre infinit su derech. Ilustremos este concepto con el siguiente ejemplo. Ejemplo x = x + = divergente+divergente = divergente 0 + x Sin embrgo, prece que ls dos integrles impropis, unque infinits, son opuests en signo, luego podrí ser demostrr más trde medinte series x = 0

25 2.4. INTEGRALES IMPROPIAS 85 Definición Si f (x) tiene un único punto singulr c en (,b), se define el vlor principl de Cuchy de l integrl impropi f (x) como el límite [ c ɛ ] VP f (x) = lím f (x) + f (x) ɛ 0 + c+ɛ Obsérvese que el hecho relevnte es que ls integrles dependen simétricmente de ɛ. Ejemplo Tenemos que [ ɛ ] [ VP = lím x ɛ 0 + x + ɛ x ɛ = lím ln x ɛ ln x = lím (ln ɛ ln ɛ ) = 0. ɛ 0 + Si, por ejemplo, en un de ls integrles nteriores decidimos que ɛ tiend cero l doble de velocidd que en l otr integrl: [ 2ɛ ] [ lím x ɛ 0 + x + ɛ x 2ɛ = lím ln x ] ɛ ln x ɛ = lím (ln2ɛ lnɛ) = ln2. ɛ 0 + El vlor principl de un integrl impropi convergente es igul l vlor de l integrl. El concepto de vlor principl se puede generlizr l cso de vlor principl en el infinito: + R VP f (x) = lím f (x) R R ɛ ] Ejemplo Sin embrgo x 0 x 2 + = lím R R VP = lím R R2 x + lím + x2 R ln R2 + + lím R 2 x + x 2 2 ln R2 2 + = no existe [ x x 2 + = lím R 2 ln R2 + + ] 2 ln R2 + = 0

26 86 CAPÍTULO 2. LA INTEGRAL