INSTRUCCIONES Y CRITERIOS GENERALES DE CALIFICACIÓN

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1 UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID PRUEBA DE ACCESO A ESTUDIOS UNIVERSITARIOS (LOE) EXAMEN MODELOCURSO - MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II INSTRUCCIONES Y CRITERIOS GENERALES DE CALIFICACIÓN INSTRUCCIONES: El lumno deberá elegir un de ls dos opciones A o B que igurn en el presente emen y contestr rzondmente los cinco ejercicios de los que const l opción elegid. Pr l relizción de est prueb se puede utilizr clculdor cientíic, siempre que no dispong de cpcidd de representción gráic o de cálculo simbólico. CALIFICACIÓN: L puntución máim de cd ejercicio es de puntos. TIEMPO: Un hor y treint minutos. OPCIÓN A Problem.- (Cliicción máim: puntos) Discútse el sistem siguiente en unción del prámetro R: z y z y El sistem viene deinido por ls mtices de coeicientes (A) y mplid (A). A A* n ; rg A* rg A A* A Si n rg A* rg A A Sistem comptible determindo. Se discute el tipo de solución del sistem pr los vlores del prámetro que nuln el determinnte de l mtriz de coeicientes. A A : Discusión. i. Si,. n rg A* rg A A Sistem comptible determindo. ii. Si.. rg A A < A :rg A. * A rg A*. De los menores orldos l menor, solo qued por estudir, rg A* rg A. Sistem incomptible.

2 iii. Si. A rg A <. A :rg A. A * rg A*. De los menores orldos l menor, solo qued por estudir rg A* rg A. Sistem comptible indetermindo. Problem.- (Cliicción máim: puntos) Dd l unción rel de vrible rel ) Hállense sus síntots horizontles, verticles y oblicus. b) Hállense los puntos de corte de l gráic de con los ejes de coordends y sus intervlos de crecimiento y decrecimiento.. Asíntots verticles, son rects de l orm tl que Dominio y Lím D [ ] { R / } R { } Lím En, l unción tiene un síntot verticl. Asíntots horizontles, son rects de l orm y L, donde L Lím Lím Lím ± L unción no tiene síntots horizontles. ± ± ± Lím ± Asíntot oblicu, son rects de l orm y m n, donde: m Lím Lím Lím Lím ± ± ± ± n Lím m Lím Lím Lím ± ± ± ± L unción tiene un síntot oblicu sobre l rect y. Otr orm de clculr l síntot oblicu es por división polinómic. k b. Cortes con OX(y ): ; ; ± ± Los puntos de corte con el eje OX son:, y, Cortes con OY( ): y El punto de corte es (, ).

3 L monotoní de l unción se soci l signo de l primer derivd: > < Creciente Decreciente Pr estudir el signo de l derivd, se clculn los ceros y los polos de l epresión. ± R : : Polos : No tiene ceros R : 6 Ceros : : 6 [ ] D > L unción () es creciente en todo su dominio,, Problem.- (Cliicción máim: puntos) Dd l unción rel de vrible rel > si si ) Estúdiese l continuidd de l unción en R. b) Clcúlese d. L unción () est deinid medinte epresiones polinómics, que son continus en su domino de deinición, por lo tnto, l continuidd de l unción dependerá de l continuidd en el punto ronter ( ). Pr que l unción se continu en se debe cumplir: Lím Lím Se clcul cd miembro de l iguldd por seprdo y se comprueb: Lím Lím Lím : 9 Lím Lím 9 Lím Lím En, l unción tiene un discontinuidd no evitble de slto inito, b. Pr clculr l integrl deinid, hy que tener en cuent que en el intervlo de integrción l unción tom dos epresiones dierentes, plicndo ls propieddes de l regl de Brrow l integrl qued de l siguiente orm: d d d d d 9

4 Problem 4.- (Cliicción máim: puntos) Tres máquins A, B y C bricn tornillos del mismo tipo. L probbilidd de que un tornillo bricdo en l máquin A se deectuoso es,, de que lo se uno bricdo en B es, y de que lo se si h sido mnucturdo en C es,: En un cj se mezcln tornillos: de l máquin A, de l B y 7 de l C. ) Clcúlese l probbilidd de que un tornillo elegido l zr no se deectuoso. b) Elegido un tornillo l zr result deectuoso. Cuál es l probbilidd de que hy sido bricdo por l máquin B?. Se deinen los siguientes sucesos: A Tornillo bricdo por l máquin A B Tornillo bricdo por l máquin B C Tornillo bricdo por l máquin C D Tornillo deectuoso Dtos: p D A, D B 7 p D C, ( A), p ( B), p ( C), 6 p p, En este tipo de problems, un digrm en árbol yud deinir los dtos. Se pide: ( D) p( ( A D) ( B D) ( C D) ) * p( A D) p( B D) p( C D) ** p ( A) p( D A) p( B) p( D B) p( C) p( D C),,,,,6,, p ( D) p( D),, 97 p ( D) 97,% p *. Por ser los sucesos ( A D), ( B D) y ( D) C incomptibles, ls uniones se trnsormn en sums. **. Por ser dependientes los sucesos deectuoso y tipo de mquin que lo bric, l intersección se resuelve por el teorem de l probbilidd totl. b. p( B D) *** p ( B D) p( D) p ( B) P( D B) p( D),,,, ***. Se plic el teorem de Byes ( B D) % p 4

5 Problem.- (Cliicción máim: puntos) El peso en grmos del contenido de ls cjs de cereles de un ciert mrc se puede proimr por un vrible letori con distribución norml de medi µ desconocid y desvición típic igul grmos. Se tom un muestr de tmño 44: ) Clcúlese l probbilidd de que el vlor bsoluto de l dierenci entre l medi de l muestr y µ se menor de grmo. b) Si l medi muestrl obtenid es igul 499, grmos, determínese un intervlo de coninz con un nivel del 9% pr el peso medio de ese tipo de cjs de cereles.. peso en grmos de un cj de cereles. Vrible continu con distribución Norml. : Nµ, σ Ls medis de muestrs de 44 dtos de l vrible, tmbién siguen un distribución Norml σ : N µ, 44 Se pide clculr p ( µ < ) Teniendo en cuent ls propieddes del vlor bsoluto: µ < µ < < µ ( µ < ) p( µ < < µ ) p Tipiicndo l vrible con los prámetros de l distribución de ls medi muestrles: µ µ µ z,4 pµ < < µ p,4 < z <,4 µ µ N µ, µ z,4 ( z <,4) p( z,4) p( z <,4) p( z,4) p( z <,4) p( z <,4) p( z <,4) p( z <, ) p 4 p ( z <,4) φ (,4),998, 986 ( µ < ) 98,6% p b. Intervlo de coninz prtir de un medi muestrl: σ Zα, Zα n 499, Nivel de coninz 9% α, 9 ;, σ n 44 σ n 499,,6, 499,, , α α ; Z φ φ (,9), 6 ( 498'8, ') Con un nivel de coninz del 9%, se puede segurr que el peso medio de los pquetes de cereles v estr comprendido entre 498,8 g y, g,

6 OPCIÓN B Problem.- (Cliicción máim: puntos) ) Determínense los vlores de y b pr que l unción objetivo F(, y) y lcnce su vlor máimo en el punto (6, ) de l región ctible deinid por y y y b b) Represéntese l región ctible pr esos vlores y clcúlense ls coordends de todos sus vértices.. Si l unción F(, y) lcnz su vlor máimo en el punto (6, ), y teniendo en cuent ls restricciones propuests, el punto (6, ) deberá ser l intersección de ls rects y, y b, por lo tnto ls coordends del punto deberán stiscer ls ecuciones de ls rects. ( 6, ) y 6 ; ( 6, ) y b 6 b ; b b. y y y Un vez representds ls rects que delimitn el recinto, l región ctible se delimit tomndo un punto culquier y comprobndo si cumple ls restricciones. Si l cumple, l región ctible es l que contiene l punto respecto de l restricción en cso contrrio es su complementri. Si se tom como punto de prueb (, ), y : Lo cumple (,) y : Lo cumple Vértices: A(, ) B(, ) C : y y ( 6, ) D(, ) Problem.- (Cliicción máim: puntos) Se l mtriz A 7 ) Obténgse A b) Hállese l mtriz B tl que A B A A A A I 4 L mtriz A es periódic y su periodo es dos. 7 A A A A I A I A A 6

7 b. A B Pr clculr L mtriz B se despej medinte l invers. 7 A B 7 ; A A B A ; { 7 I I B A B 7 B A 7 Pr clculr l invers de A, se puede tener en cuent el prtdo A. Si A A I A A A A I A A Sustituyendo en l epresión de B 9 B A Problem.- (Cliicción máim: puntos) El coste de bricción de un serie de hornos microonds viene ddo por l unción C() 4, donde represent el número de hornos bricdos. Supongmos que cd horno se vende por 49 euros. ) Determínese l unción de beneicios. b) Cuántos microonds deben bricrse y venderse pr que los beneicios sen máimos? Cuál es el importe de esos beneicios máimos?. L unción de beneicios (B()) es vents menos costes. V C 49 ( 4 ) 4 B b. El número de hornos microonds que se deben bricr y vender pr obtener un beneicio máimo se clcul derivndo l unción de beneicios e igulndo cero. 4 B 4 ; hornos microonds Pr comprobr que el etremo clculdo es un máimo, se utiliz el criterio de l segund derivd. B < Máimo Pr clculr el beneicio máimo se sustituye el vlor de en l unción de beneicios. B 4 6 Fbricndo y vendiendo hornos microonds, se obtiene un beneicio máimo de 6. Problem 4.- (Cliicción máim: puntos) Sen A y B dos sucesos letorios tles que p ( A) p ( B) p ( A B) 4 ) Determínese si son comptibles o incomptibles los sucesos A y B. b) Determínese si son dependientes o independientes los sucesos A y B. Not: s denot l suceso complementrio del suceso S.. Dos sucesos son comptibles cundo l intersección entre ellos es distint l conjunto vcío. A y B serán comptibles si p( A B), en cso contrrio serán incomptibles. Con los dtos que se dn, l intersección se puede clculr prtir de l unión. p( A B) p( A) p( B) p( A B) Despejndo p A B p A p B p A B 7

8 El único dto que lt es p(b), que se clcul medinte su complementrio. p ( B) p( B) 4 4 Sustituyendo en l epresión se clcul l intersección de A y B. p A B p A p B p A B 4 A y B son comptibles. b. Si dos sucesos son independientes se debe cumplir: p( A) p( B) p( A B) En el cso de no cumplirse, los sucesos serán dependientes. p ( A) p( B) p( A B) 4 8 A y B son dependientes. Problem.- (Cliicción máim: puntos) L ltur de los árboles de un determind comrc se puede proimr por un vrible letori con distribución norml de medi desconocid y vrinz cm. Se tom un muestr letori simple y, pr un nivel de coninz del 9%, se construye un intervlo de coninz pr l medi poblcionl cuy mplitud es de,4 cm. ) Determínese el tmño de l muestr selecciond. b) Determínese el límite superior y el inerior del intervlo de coninz si l ltur medi pr l muestr selecciond ue de 7 cm.. El tmño muestrl, se puede obtener prtir del error máimo dmitido. El error máimo dmitido es l mitd de l mplitud del intervlo. mplitud,4 ε m, cm El error máimo viene ddo por l epresión: εm > Zα σ n Despejndo el número de dtos de l muestr: σ n > Zα ε má Nivel de coninz 9% α, 9 ;, σ Vrinz, α α ; Z φ φ (,97), 96 σ n > Zα,96 64 ε n 6 má, b. Intervlo de coninz conocid l medi muestrl es: ( 7 ε,7 ) má ε má Intervlo de coninz ( 7 ',7 ') ( 68'77,7' ) 8