Resuelve. Unidad 2. Sucesiones. BACHILLERATO Matemáticas I. Una hermosa curva. Página 55

Transcripción

1 Uidad. Sucesioes Resuelve Págia Ua hermosa curva La curva de la derecha está costruida co ocho arcos de circuferecia. Los siete primeros so de u cuarto de circuferecia. El octavo, es solo u trocito. a) Localiza los cetros y averigua los radios de los ocho arcos dibujados. Ves la relació de los radios co la sucesió de Fiboacci? b) Reproduce la curva e tu cuadero completado el octavo tramo y añadiedo el oveo. Qué radio tiee este último? c) Como ves, esta curva se podría ir ampliado idefiidamete. Di cuáles sería los radios de los siguietes cico tramos (0.º,.º, ). a) Los dos primeros cetros de arcos de circuferecia coicide C C y está represetados como u úico cetro. El cetro del tercer arco es C y así sucesivamete. Los radios de los arcos de circuferecias coicide co los térmios de Fiboacci. Es decir, si llamamos r i al radio de cetro C i, r r, r, r, r, r 8, r 7, r 8. b) C C 7 C C C C C 9 C 8 El último radio es r 9. c) r 0, r 89, r, r, r 77

2 Uidad. Sucesioes Cocepto de sucesió Págia 7 Obté los seis primeros térmios de cada ua de las siguietes sucesioes: a + b ( ) + c ( ) ( + ) d ( ) e, e, e e + e f ( ) g + h! ( )! i c + m + a + a +, a + 8, a +, a +, a +, a + 8 b ( ) + b ( ) +, b ( ) +, b ( ) + 9, b ( ) +, b ( ) +, b ( ) + c ( ) ( + ) c ( ) ( + ), c ( ) ( + ), c ( ) ( + ) 7, c ( ) ( + ) 9, c ( ) ( + ), c ( ) ( + ) d ( ) d ( ), d ( ), d ( ) 8, d ( ), d ( ), d ( ) e, e, e + ( ), e +, e +, e + 7 f ( ) f ( ), f ( ), f ( ), f ( ), f 7 ( ), 9 f ( ) g + g + +, g + +, g + 8 +, + g + 7, g + +, g h! ( )! h! ( )! 0, h! ( )!, h! ( )!, h! ( )! 8, h! ( )! 9, h! ( )! 00 i c + m i c + m, i c + 9 m, i c + m 7, i c + m, i c m, i c + m 7 9

3 Uidad. Sucesioes Da el térmio geeral o el criterio de recurrecia (o ambas cosas) de las siguietes sucesioes: a), 8,, 8,, b), 8, 7,,, c) 0,, 8,,, d),,, 7, 9, e),,,, 0, f ),, 8,,,, g),, 8,,, 9 h) 0,,,,, i),,, 7,, 8, j),,,,,, a) Cada térmio es uidades mayor que el térmio aterior de la sucesió. a Por recurrecia: a, a a +. b) Cada térmio es el cubo del lugar que ocupa e la sucesió. b c) Cada térmio es ua uidad meor que el cuadrado del lugar que ocupa. c d) So los úmeros impares co los sigos + y alterativamete. d ( ) + ( ) e) So los úmeros factoriales co los sigos + y alterativamete. e ( ) +! Por recurrecia: e, e e ( ). f) El primer térmio impar es y los demás térmios impares se obtiee sumado a este u múltiplo de 7. El primer térmio par es y los demás térmios pares se obtiee sumado a este u múltiplo de 7. f, f. Para impar, f f + 7( ). Para par, f f + 7( ). g) Cada umerador es uidades mayor que el umerador aterior. Cada deomiador es el cuadrado del úmero atural siguiete al lugar que ocupa. g ( + ) h) Los deomiadores so los úmeros aturales. Cada umerador es ua uidad iferior a su deomiador. h i) Por recurrecia: i, i, i i + i. j) So los iversos de los úmeros aturales co los sigos + y alterativamete. j ( ) +

4 Uidad. Sucesioes Alguas sucesioes especialmete iteresates Págia 9 E las siguietes sucesioes idetifica las progresioes aritméticas y las progresioes geométricas. Añade dos térmios y escribe su térmio geeral: a), 7,,, 9, b),,, 9,, 8, c),,,, 8, d),, 9, 7, 8, e),,,,, f ) 0, 7,,,, g) 00; 0; ;,; h),,,, i),, 7, 9,, j) 80; 8; 8,; k) 90, 0, 0, 0/, 0/9, l) 7,;,8;,;,; a) Progresió aritmética e la que a y d. a, a 7 7. Térmio geeral: a + ( ) b) No es ua progresió. b ( ) 7, b 8. Térmio geeral: b + c) Progresió geométrica e la que c y r. c 9, c 7 9. Térmio geeral: c d) Progresió geométrica e la que d y r. d, d Térmio geeral: d e) Progresió geométrica e la que e y r. e, e 7. Térmio geeral: e ( ) f) Progresió aritmética e la que f 0 y d. f, f 7 8. Térmio geeral: f 0 + ( ) ( ) + g) Progresió geométrica e la que g 00 y r. g,, g,. Térmio geeral: g 00 c m h) Es a la vez ua progresió aritmética de diferecia d 0 y ua progresió geométrica de razó r. h, h. Térmio geeral: h i) No es ua progresió. i, i 7. Térmio geeral: i ( ) + ( + ) j) Progresió geométrica e la que j 80 y r 0. j,8, j 0,8. Térmio geeral: j 80 c m 0 k) Progresió geométrica e la que k 90 y r. k 0, k Térmio geeral: k 90 c 8 l) Progresió aritmética e la que l 7, y d,. l, l 0,. Térmio geeral: l 7, + ( ) (,), + 9 m

5 Uidad. Sucesioes E a) halla S 0. a ; S 0 ( + 79) 0 80 E f ) halla S. f + ; S ( 0 + ( )) E d) halla S 0. d ; S E k) halla S 0. 9 k 0 90 c m 0 ; S c m E cuáles de las sucesioes del ejercicio puedes hallar la suma de los ifiitos térmios? Hazlo. E las de los apartados g), j) y k) porque las razoes so, e valor absoluto, meores que. E el caso del apartado g), S E el caso del apartado j), S E el caso del apartado k), S 90. c m 7 Calcula: a) b) c) d) ( 0 + ) ( 0+ ) a) 0 9 b) 00 c) ( ) ( ) d) ( ) ( ) Calcula: Te e cueta que, por ejemplo, ( ) 8 y que 0 ( 0) ( ) + ( ) + ( ) + + ( 0) ( )

6 Uidad. Sucesioes Págia 0 9 Calcula el.º térmio de la sucesió de Fiboacci, f 8, aplicado la fórmula. f > e + o e oh 8( ) ( ) B 8 (Hemos usado el biomio de Newto e cada ua de las potecias sextas.) 0 Observa que, para valores algo grades de, el úmero ϕ es pequeño. Por tato, podemos hallar los térmios avazados de la sucesió de Fiboacci, de forma aproximada, prescidiedo del sustraedo: f (ϕ ϕ ) ϕ Por ejemplo, para calcular f procederíamos así: f ϕ. Hazlo y comprueba que el error cometido es meor que 0,00. Calcula de este modo f 0. El error cometido es igual a f 0 e + o 0 7 e o 8,87 0, que es iferior a 0,00. La sucesió de Lucas se defie así: l, l, l l + l Como ves, es muy parecida a la de Fiboacci y tambié tiee relació co el mudo vegetal. a) Halla sus primeros térmios. b) l + l + + l l +. Compruébalo para. c) Esta sucesió se relacioa co la de Fiboacci así: f l + l + Compruébalo hallado los 0 primeros térmios de la sucesió de Fiboacci a partir de la de Lucas. a) l, l, l, l 7, l, l 8, l 7 9, l 8 7, l 9 7, l 0, l 99 b) c) f l + l +, f + 7, f +, f 7+ 8, f + 9 8, f , f , f 9 7 +, f

7 Uidad. Sucesioes Límite de ua sucesió Págia Represeta la sucesió a y asiga u valor a su límite. a, a, a,; a,7; a,;, a 0,; ; a 00,0; ; a 000,00; lím a 0 Represeta la sucesió b + y asiga u valor a su límite. 8 b,; b 0; b 0,7; b ; b 0,7; b 0; 0 b 7,; b 8 ; b 9,; b 0 8,, b 00 0, lím b + Represeta la sucesió c ( ) y describe su comportamieto. Podríamos afirmar que lím c l o que lím c +? O acaso que lím c?

8 Uidad. Sucesioes Se trata de ua sucesió oscilate porque su represetació gráfica da saltos hacia arriba y hacia abajo. No tiee límite porque los térmios o se acerca a igú valor cocreto. Tampoco tiee límte + porque los térmios impares (que so egativos) se hace cada vez más pequeños. Aálogamete, tampoco tiee límite. Págia Estudia el comportamieto de estas sucesioes para térmios muy avazados e idica su límite: a) a b) b c) c + d) d a) a 0,8; a 00,8; a 000,8; lím a + b) b 0,; b 00,87; b 000,987; lím b c) c 0 0; c 00,7 0; lím c d) d 0,999; d 00,999999; lím d Di, razoadamete, cuáles de las siguietes sucesioes tiee límite: a) a b) b ( ) + a) a 0 0,0; a 00 0,000; a 000 0,00000; lím a 0. b) b 0 0,7; b 0,7; b 00 0,9; b 0 0,9; c) c ( ) d) d ( ) Los térmios pares so positivos y tiede a ; los térmios impares so egativos y tiede a. La sucesió o tiee límite. c) c, c, c 9, c, c ; Los térmios impares so egativos y tiede a ; los térmios pares so positivos y tiede a +. Es ua sucesió oscilate. No tiee límite. d) d ; d 0,; ; d 00 0,000; d 0 0,0009; lím d 0. 8

9 Uidad. Sucesioes Alguos límites importates Págia 80 a) Calcula c m y comprueba que se parece mucho a e. Haz lo mismo co c m. 80 e 000 Podemos supoer que lím c m? e b) Calcula y comprueba que es aproximadamete igual a e!!!! 9! 0!. Podemos supoer tambié que la sucesió ( )!!! tiede a e!!? a) a c m a 80 c m c 79 m 0, a 000 c m c 999 m 0, e e 0,788 Observamos que los resultados se acerca cada vez más a e. Comprobádolo co algú térmio más avazado, sí podríamos supoerlo. b) ,788!!!!!! 7! 8! 9! 0! Sí podemos supoerlo. Además, esta sucesió se acerca mucho más rápido a a), puesto que el térmio décimo de la sucesió ya es casi. e que la del apartado e Teiedo e cueta que el térmio geeral de la sucesió de Fiboacci para grade es: f (ϕ ϕ ) f f + demuestra que lím ϕ. f f + f f Para grade, + + f f, luego lím + f. f f f f Sabiedo que f es el térmio geeral de la sucesió de Fiboacci, calcula los siguietes límites: f f a) lím b) lím f f + + Razoado de forma aáloga al problema aterior, lím f f f f + y lím f f f f +. 9

10 Uidad. Sucesioes Ejercicios y problemas resueltos Págia. Los cuadrados va cotracorriete Hazlo tú. Halla la suma: (suma de los 000 primeros aturales pero co los cubos perfectos co sigo meos). Calculamos la suma de los mil primeros úmeros aturales sabiedo que forma ua progresió aritmética. S 000 ( + 000) Ahora debemos restar dos veces la suma de los primeros 0 cubos perfectos: Sc Por tato, la suma pedida es S 000 Sc Págia 7. Térmio geeral Hazlo tú. Halla el térmio geeral de estas sucesioes: a),, 0, 7, b),;,;,; c) 7,,,, a) No es ua progresió aritmética i geométrica. Los umeradores so ua uidad mayor que los cuadrados perfectos. Los deomiadores forma ua progresió aritmética de diferecia d. a ( ) b) Podemos escribir así los térmios de la sucesió: b +, b , b Luego b c m J N K O 00 + K O f p + + c m K O L 00 P c) Se trata de ua progresió aritmética de diferecia d. c 7 + ( ) c m

11 Uidad. Sucesioes. Límite de sucesioes Hazlo tú. Estudia los límites de las siguietes sucesioes: a) a + 7 b) b ( ) + + a) a , a , a , Observamos que los térmios idepedietes del umerador y del deomiador se hace isigificates comparados co los múltiplos de. Por tato, lím + 7 lím, b) b 00 ( ) b 000 ( ) b 0000 ( ) De forma similar al apartado aterior, los térmios idepedietes so isigificates comparados co los otros térmios. Por tato, lím ( ) + lím ( ) lím ( ) +

12 Uidad. Sucesioes Ejercicios y problemas guiados Págia 8. Paso de decimal periódico a fracció Utilizar las sucesioes para pasar el úmero periódico 7, " a fracció.,77, + 0,07 + 0, , a 7, a 7, a ; r ; S , 7 0, Itereses bacarios Se hace u depósito de 000 e u baco que paga u iterés del % aual. Cuátos años se ha de dejar para superar los 8 000? E años el capital se multiplicará por, ,0 8000,0 000,,0 log, log, log,0,98 log 0, Por tato, superará los 8000 a los años.. Límites de sucesioes Hallar el límite de las siguietes sucesioes: a), 7, 0,,, b),,, a), 7, 0,,, Los umeradores forma ua progresió aritmética de diferecia d. Los deomiadores forma ua progresió aritmética de diferecia d. + ( ) a + + ( ) ( ) + a lím +, + b) b / b ( / ) / / + / b ( ( ) ) + + / / / / / 8 / es la suma de los elemetos de ua progresió geométrica de razó r. 8 La suma es S /. / Luego lím b.

13 Uidad. Sucesioes Ejercicios y problemas propuestos Págia 9 Para practicar Criterio para formar sucesioes Escribe los cico primeros térmios de las sucesioes cuyos térmios geerales so estos: a) a + b) b 0 c) c + d) d e) e! f ) f ( ) a) a,; a,0; a,00; a,000; a,0000 b) b 0; b ; b 8 ; b ; b c) c ; c ; c ; c ; c 7 d) d ; d ; d 8 ; d ; d e) e ; e ; e ; e ; e 0 f) f ; f 0; f ; f 0; f Escribe el térmio geeral de estas sucesioes: a),,,, b),,,,, c),, 9,, d) 0,, 8,,, e),, 0, 7,, f ),,, 0,, a) a b) b + c) Los umeradores so cuadrados perfectos y los deomiadores forma ua progresió aritmética. c + ( ) + d) d + e) e + ( +) f) f ; f + ; f + + ; f ; ; f Costruye dos sucesioes cuyas leyes de recurrecia sea: a) a 0, a, a a + a b) a, a, a a a a) 0,,,,,,,, 8 b),,,,,,,, 8

14 Uidad. Sucesioes Busca ua ley de recurrecia para defiir las siguietes sucesioes. Halla tres térmios más de cada ua. a), 7,,, 7, b),,,,, a) a, a 7, a a a para > b) b, b, b b b Progresioes aritméticas para > De las siguietes sucesioes, di cuáles so progresioes aritméticas y escribe su térmio geeral: a),;,;,;,8; ; b) ;,;,;,8;,; c),,, 7,, d),,, 8,, e),,,, 7, f ), 89, 78, 7,, a) Es ua progresió aritmética co a, y d,. a, + ( ),,. b) Es ua progresió aritmética co b y d 0,. b + ( ) ( 0,) 0, +,. c) y d) o so progresioes aritméticas. e) La sucesió es ua progresió aritmética de diferecia d. e + ( ) + f) La sucesió es ua progresió aritmética de diferecia d. 00 f + ( ) c m Di cuáles de estas sucesioes so progresioes aritméticas: a) a b) b c) c d) d 8 e) e + f ) f a) a a ( ) + Es ua progresió aritmética co d. b) b b [( ) )] + + Es ua progresió aritmética co d. c) c, c, c, c, c c c c. No es ua progresió aritmética. d) d ( ) d Es ua progresió aritmética co d. e) e e + c+ m + +. Es ua progresió aritmética co d. f) f 0, f, f 8, f, f f f f. No es ua progresió aritmética.

15 Uidad. Sucesioes 7 Calcula la suma de los primeros térmios de las siguietes progresioes aritméticas: a),, 9,,, b) ;,9;,8;,7;,; c) c d) d a) a ; a a + d + 7 S ( a+ a ) ( + 7) 97 b) b ; b b + d 0,, S ( b+ b ) ( +, ) 9 c) c ; c 98 S ( c+ c ) ( + 98) 0 d) d ; d 9 S ( d d ) 9 + c m, 8 Halla la suma de los térmios compredidos etre a y a 0, ambos iclusive, de las progresioes aritméticas del ejercicio aterior. a) a + 7 a La suma es: ( ) 9 b) b + ( 0,), b ( 0,) 0, La suma es: (, + 0, ) 8, c) c 98 c La suma es: ( ) 8 d) d 9 d > 9 + c 9 mh La suma es: Progresioes geométricas 9 De las siguietes sucesioes, cuáles so progresioes geométricas? Escribe tres térmios más e cada ua y su térmio geeral. a),, 8,,, b) ; 0,; 0,0; 0,00; c),, 9,,, d),,,,, a) Es ua progresió geométrica co a y r. a, a 7, a8 ; a c m

16 Uidad. Sucesioes b) No es ua progresió geométrica; b, b 7 9, b 8, b. c) Es ua progresió geométrica co c y r 0,. c 0,0000; c 7 0,00000; c 8 0,000000; c 0, 0, d) Es ua progresió geométrica co d y r. d 8; d 7 8; d 8 ; d ( ) ( ). 0 Calcula la suma de los primeros térmios de las siguietes progresioes geométricas y halla la suma de los ifiitos térmios e los casos que sea posible: a) a, r / b) a 0, r /0 c) a 0, r d) a, r / a r a a r a S a, S r r r a) S c m, S 0 c m 0 b) S 0, a r 00 a S 9 00, r c) S 77, No se puede calcular S porque r o es mayor que. ( ) c m ( ) d) S S c m Halla la suma de los térmios compredidos etre el 0 y el 0, ambos iclusive, de la progresió geométrica cuyo primer térmio es a y cuya razó es r. a 0 ( ) 9 a 0 ( ) 0 9 La suma es ( ) ( 0 ) ( ) 8. Suma de potecias Calcula. a) b) a) b) ( )

17 Uidad. Sucesioes Calcula ( ) ( ) Límites Calcula los térmios a 0, a 00 y a 000, e estas sucesioes e idica cuál es su límite: a) a b) a + c) a d) a 7 a) a 0 0, # & ; a 00 00, ; a 000 0, 00 lím a 0 b) a 0,; a 00,0; a 000,00 lím a c) a 0 0,; a 00 0,9; a 000 0,99 lím a d) a 0,7; a 00 97; a lím a Estudia el comportamieto de las siguietes sucesioes para térmios muy avazados e idica cuál es el límite de cada ua de ellas: a) a 0 b) b c) c + d) d e) e ( + ) ( ) f ) f g) g + ( ) ( ) h) h ( ) i) i ( ) j) j k) k l) l + + ( ) + a) a 0 0; a 00 90; a lím a + b) b 0 0,; b 00 0,90; b 000 0,99 lím b c) c 0 0,7; c 00 0,98; c 000 0,998 lím c 0, d) d ; d lím d + e) e 000 (000 + ) 0000; e 0000 ( ) lím e f) f ( ) ; f ( ) La sucesió de los térmios pares tiede a y la de los impares a, luego o tiee límite (además, es oscilate). g) g 000 ( ) 000 (000 ) 99800; g 00 ( ) 00 (00 ) Se trata de ua sucesió oscilate e la que los térmios pares tiede a + y los impares tiede a. Luego o tiee límite. 7

18 Uidad. Sucesioes h) h 000 ( ) ; h ( ) Auque la sucesió es oscilate, todos los térmios tiede a 0, luego lím h 0. i) i ( ) ; i ( ) Cuado es grade, el primer térmio apeas ifluye e y, por tato, lím i lím. j) j ; j Observamos que el térmio idepediete del deomiador es isigificate co respecto a. lím j lím k) k 000 lím k 0 lím ; k l) l 000 ( ) ; l 00 ( ) 00 + Págia Esta sucesió o tiee límite porque los térmios pares siempre vale y los impares,. Para resolver Calcula la suma de: a) Los úmeros impares de tres cifras. b) Los cuadrados de los úmeros impares de tres cifras. a) Es la suma de los térmios de ua progresió aritmética e la que el primer térmio es 0, el último es 999, y hay 0 sumados: S ( ) b) Primero calcularemos: ( ) ( ) Ahora bie: ( ) ( ) Por otra parte: ( ) + ( ) + ( ) + + ( 99) Y de la misma forma que al pricipio, ( ) ( ) ( ) Fialmete,

19 Uidad. Sucesioes 7 Cuáto vale la suma de los 00 primeros múltiplos de 7? Queremos calcular la suma de los 00 primeros térmios de ua progresió aritmética e la que a 7 y d 7. S 00 ( a+ a00 ) 00 ( ) E ua progresió aritmética sabemos que d, a k y S k. Calcula k y a. ak a+ ( k ) d 8 a+ ( k ) ( a a ) k ( a ) k S + k k 8 + a + k a 7 k ( 7 k+ ) k 8 ( 7 kk ) 7k k k 7k + 0 k 7± 0 9 7± 89 7± a a 0 k / (ovale) k 9 9 E ua progresió geométrica de razó r coocemos S. Calcula a y a. S a a a r a a 79 a 78a a r r a a a r La suma de los ifiitos térmios de ua progresió geométrica es igual a y a. Calcula a y la razó. Z a a r 8 a ] r [ a S / r 8 r r r r r r ] \ r r + 0 r ± 8 r 8 a 8 8 Sabemos que la suma de 8 úmeros aturales cosecutivos es 0 9. Cuáles so el primero y el último? Supogamos que el primer térmio es k. Etoces el último será k + 7, luego: ( k+ k+7) 8 09 k es el primer úmero atural y k es el último Calcula la suma de todos los térmios compredidos etre el 0 y el 0, ambos iclusive, de estas sucesioes dadas por recurrecia: a) a 0, a a + b) b 7, b, b b + c) c 0,, c c d) d, d, d d 9 a) Esta sucesió es ua progresió aritmética e la que a 0 y d. a ; a La suma es: ( + 9) 8 9

20 Uidad. Sucesioes b) Esta sucesió es ua progresió aritmética e la que b 7 y d. b ; b La suma es: ( + ) 00 c) E esta ocasió teemos ua progresió geométrica e la que c 0, y r. c 0 0, 9 0; c 0 0, La suma es: d) Esta sucesió es ua progresió geométrica e la que d y r. d 0 La suma es: 9 cm 98 ; d 8 0 c m , Halla la suma de todos los térmios a partir del décimo de esta sucesió: a, a 07, a a. La sucesió dada es ua progresió geométrica de razó r. Por tato, se puede calcular la suma de los ifiitos térmios de la sucesió. a 0 9 c m La suma pedida es. Ua célula alcaza la madurez y se reproduce por mitosis al cabo de 0 miutos. Partiedo de u cultivo iicial de células, cuátas tedremos al cabo de horas? Observemos la sucesió; a (cultivo de partida) a 0 (0 mi) a 0 00 (80 mi) Vemos que los térmios forma ua progresió geométrica de razó r. El térmio geeral es a. Por otro lado, h 0 mi 0 mi se correspode co 7. El úmero de células es a E la primera década del siglo xxi la població española ha crecido u, % aualmete. Si a fiales de 00 había milloes de habitates, cuátos había a comiezos del año 00? Si llamamos P a la població a comiezos de 00, la població evolucioará de la siguiete forma: Fiales de 00: P c+, m 00 Fiales de 00: P c, + m 00 Fiales de 00: P c+, m 00 0 Por tato, P c+, m P,0 0 P 00 0, habitates. 0

21 Uidad. Sucesioes Se sabe que los águlos de cierto petágoo está e progresió aritmética. Si el meor mide 0, halla los demás. Recuerda cómo se obtiee la suma de los águlos de u petágoo. La suma de los águlos de u petágoo es: 80 ( ) 0 Si d es la diferecia de dicha progresió, teemos que: ( d) 0 de dode se obtiee que d 9 y los demás águlos so: 79, 08, 7 y. 7 Los lados de u hexágoo está e progresió aritmética. Calcúlalos sabiedo que el mayor mide cm y que su perímetro es de 8 cm. Llamamos a los lados a, a, a, a, a y a. Sabemos que a cm y que S 8. Por tato: a a+ d 8 a+ d 8 a d * ( a a ) S ( d + ) 8 8 ( d) 8 78 d d 0 d 0 d a 0 a Los lados del hexágoo mide cm, cm, 7 cm, 9 cm, cm y cm. 8 E u cie, la seguda fila de butacas está a 0 m de la patalla y la séptima fila está a m. E qué fila debe setarse ua persoa que le guste ver la patalla a ua distacia de 8 m? a 7 a 7 a + d 0 + d d, (La distacia etre las dos filas cosecutivas es de, metros). Buscamos para que a 8 m: a a + ( ) d 8,8 + ( ), 8 8,8 +,, 8, 0, 7 La fila 7 está a 8 metros. 9 La maquiaria de ua fábrica pierde cada año u 0 % de su valor. Si costó milloes de euros, e cuáto se valorará después de 0 años de fucioamieto? Al cabo de año valdrá ( 0 ) 0,8 Al cabo de años valdrá ( 0 ) 0,8 Al cabo de 0 años valdrá ( 0 ) 0,8 0 99,7 0 El de eero depositamos 000 e ua cueta bacaria a u iterés aual del % co aboo mesual de itereses. Cuáto diero tedremos u año después si o hemos sacado ada e ese tiempo? U % aual correspode a 0, % mesual. Al cabo de mes tedremos 000,00 Al cabo de meses tedremos 000,00 Al cabo de meses tedremos 000,00 08,9

22 Uidad. Sucesioes Recibimos u préstamo de 000 al 0 % de iterés aual y hemos de devolverlo e años, pagado cada año los itereses de la parte adeudada más la cuarta parte del capital prestado. Calcula lo que teemos que pagar cada año. a , 700 a , 0 a , 00 a , 0 Utiliza las sumas de los térmios de ua progresió geométrica para expresar los siguietes úmeros decimales periódicos como fraccioes: a),! $ b) 7, c) 0,! & d) 79, a), c m b), c m c) 0, c m d), c m Calcula el límite de las siguietes sucesioes: a) a + b) b 7 e) e + f ) f + c) c ( ) + ( + ) g) g ( ) a) a Vemos que el límite es porque el segudo sumado tiede a 0. d) d + h) h + b) b ; b ,888 0 ; b , Como se puede ver la sucesió crece idefiidamete y el límite es +.

23 Uidad. Sucesioes c) c 0 0,78; c 00 0,9798; c 000 0,9980 lím c d) d 0 0,0; d 00 0,000; d 000 0,00000 lím d 0, e) e 0 9,80; e 00 0,; e 000 9,90 lím e + f) f 0,7; f 00,97; f 000,997 lím f g) g 0 0,797; g 00 07,78; g ,07 lím g + h) h 0 0,70; h 00 0,909; h 000 0,99 lím h Calcula el térmio geeral de las siguietes sucesioes y luego halla su límite: a),, 7, 9,, b) 7,,,,, c) 99, 9, 9, 8, 7, a) Tato las sucesioes de los umeradores como las de los deomiadores so progresioes aritméticas. + ( ) a + lím a + ( ) ( ) + b) La sucesió de los umeradores es ua progresió aritmética y la de los deomiadores es la sucesió de los cuadrados de los úmeros aturales. 7+ ( ) ( ) b + 0 lím b 0 c) La sucesió de los umeradores se obtiee restado a 00 los cuadrados de los úmeros aturales. Los deomiadores so los múltiplos de 0. c 00 lím c 0 Halla el térmio geeral y estudia el límite de esta sucesió:,,,,, a / a ; a,; a,99; a,89; ; a 0,078 a 00,009; lím a a) Demuestra que: ( ) b) Calcula la suma de los cuadrados de los 0 primeros úmeros pares. c) Calcula la suma de los cuadrados de todos los úmeros impares meores que 00. a) ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) ( ) b) ( ) c) ( ) ( )

24 Uidad. Sucesioes 7 Halla la siguiete suma: Llamamos S ( ) Por tato: S 7 ( ) 7 8 Págia 7 Cuestioes teóricas 8 Sea a ua progresió aritmética co d > 0. Cuál es su límite? Si d > 0, la sucesió se va haciedo cada vez mayor. Por tato, lím a +. 9 Si a es ua progresió geométrica co r, cuál es su límite? Te e cueta el sigo del primer térmio. Al ir multiplicado por sucesivamete, los térmios se va aproximado a cero. Es decir, lím a 0. 0 Si la suma de los ifiitos térmios de ua progresió geométrica es, qué podemos decir del valor de r? Iveta u ejemplo co r positivo e el que se verifique esto. Iveta otro ejemplo co r egativo. Podemos decir que r < porque se puede sumar sus ifiitos térmios. Co r > 0 teemos, por ejemplo:,,,, ya que S 8. Co r < 0 teemos, por ejemplo: 0, 0, 0, 0, E este caso S c m La sucesió,,,, puede cosiderarse ua progresió aritmética y tambié geométrica. Cuál es la diferecia e el primer caso? Y la razó e el segudo? Es ua progresió aritmética co d 0. Tambié es ua progresió geométrica co r.

25 Uidad. Sucesioes E ua progresió geométrica cualquiera, a, ar, ar,, comprueba que: a a a a a a Se verifica tambié que a a 7 a a? Eucia ua propiedad que exprese los resultados ateriores. a a a ( a r) a r _ b a a ( a ) ( r a r) a r ` So iguales a a ( a r) ( a r) a rb a a a7 ( a r) ( a r) a r8 a a ( a r) ( a r) a r8 So iguales Para profudizar Calcula el límite de cada ua de estas sucesioes: a) a b), +, + +, c) ( + ) ( + + ),,, d) ( + ) ( + + ),,, a) a ( ) ( ) c + m c + m + Hallamos el límite: a 0 0,; a 00 0,0; a 000 0,00; lím a 0, b) Usamos los resultados de la págia 9 de esta uidad para el umerador y el deomiador. b ( + )( + ) ( + ) ( + )( + ) ( + ) + ; lím ( + ) ( + ) c) Cada térmio de esta sucesió es igual al correspodiete de la aterior multiplicado por el lugar que ocupa. Es decir: c b + ; lím d) Observamos que: + ( + ) + + ( + + ) Este resultado es el cuádruple de la sucesió del umerador del apartado b), por tato, el térmio ( + )( + ) geeral de este umerador es. El deomiador es igual al deomiador de la sucesió del apartado b). ( + )( + ) d ( + )( + ) 8 ( + ) ( ) ; lím

26 Uidad. Sucesioes Si llamamos f y l a los térmios geerales de las sucesioes de Fiboacci y Lucas, respectivamete: a) Comprueba que: l f + f + f + f b) Halla el térmio l 0 obteiedo, a partir de la fórmula, los térmios de la sucesió de Fiboacci que ecesites. l + c) Comprueba que lím ϕ, dividedo, por ejemplo, l l : l 0 y l : l. Sabrías demostrarlo de forma geeral? a) Podemos comprobar la relació observado los primeros térmios de ambas sucesioes: Sucesió de Fiboacci:,,,,, 8,,,, Sucesió de Lucas:,,, 7,, 8, 9, Por ejemplo, l + f + f o tambié, l 8 + f + f 7 Veámoslo e geeral: Utilizado la propiedad del ejercicio (pág. 0 de la uidad), teemos que: l f f + l l l l l l l l ( l+ + l) l l l l ( l l ) l l l l l ( l l ) l l l Además, f + + f (f + f ) + f f + f por la forma e la que se costruye la sucesió de Fiboacci. b) Utilizado la propiedad del ejercicio 0 (pág. 0 de la uidad), teemos que: 9 9 f 9 f e + o f 0 f e + o 7 l 0 f 9 + f c) f 9 f e + o 0 0 f 0 f e + o f + 89 f + 89 l 0 f 9 + f 0 + l f 0 + f l f + f 89 + l l 99 l,79; l,8, que so valores muy próximos a f 99 0 De forma geeral: f f+ + l f f f( ) lím lím lím f lím lím f f l f f f f f ( f ) + +,8.

27 Uidad. Sucesioes Autoevaluació Págia 7 Determia los térmios a, a 97 y a 00 de la sucesió cuyo térmio geeral es: a Cuál es su límite? a ; a ; a , Observamos que los térmios idepedietes se hace isigificates comparados co los otros térmios, luego: lím a lím lím + Escribe los diez primeros térmios de la sucesió defiida así: a, a 7, a + a a + a ; a 7; a 7 ; a 7 ; a ; a ( ) 7; a 7 ( ) 7 9; a 8 7 ( 9) ; a 9 ( 9) ; a 0 ( ) 7 Halla el térmio geeral de las siguietes sucesioes. Idica cuáles de ellas so progresioes aritméticas y cuáles progresioes geométricas: a), 7,,, 9,, b),,, 0, 7,, c) 0,,, 8, d), 9, 7, 8,, e) 8/, 9/, /, 7/, f),,,,,, 7, 0, g), 8, 7/, 8/8, /, h) 0,,,, 0, 0, a) Es ua progresió aritmética de diferecia d. a + ( ) b) No es ua progresió. Los térmios so ua uidad mayor que los cuadrados perfectos, empezado por el cuadrado de 0. b ( ) + + c) Es ua progresió geométrica de razó r. c c m 9 0 d) Es ua progresió geométrica de razó r. d ( ) e) 8, 9,, 7, Así vemos que es ua progresió aritmética de diferecia d. e 8 + ( ) c m + f) No es ua progresió. Los térmios impares forma ua progresió aritmética de diferecia d. Los térmios pares forma ua progresió aritmética de diferecia d. Z ] + + si es impar f [ ] si espar \ 7

28 Uidad. Sucesioes g) Es ua progresió geométrica de razó r. g c m h) No es ua progresió. Observamos la siguiete relació: Luego h ( ) Halla la ley de recurrecia por la que se forma las siguietes sucesioes: a) 7, 8,,, 8,, b),,,,, 9, 7,, c) 0,,,,,, 0, 7, d),,, 7, 7,, 99, a) Cada térmio, a partir del tercero, es la suma de los dos ateriores. Por tato: a 7 a 8 a a + a b) Cada térmio, a partir del cuarto, es la suma de los tres ateriores. Por tato: a a a a a + a + a c) Cada térmio, a partir del cuarto, es la suma de los tres ateriores. Por tato: a 0 a a a a + a + a d) a a a a + a Halla las siguietes sumas: a) b) , + 000, , c) d) e) a) Es la suma de los oce primeros térmios de ua progresió aritmética de primer térmio a y diferecia d. a a a a S + a + b) Es la suma de los quice primeros térmios de ua progresió geométrica de primer térmio a 000 y razó r,. a r a S 8 S 000, ,8 r, c) Es la suma de los ifiitos térmios de ua progresió geométrica de primer térmio a 80 y razó r /. a S 80 0 r / 8

29 Uidad. Sucesioes d) ( + )( + ) ( ) ( ) e) ( + ) ( ) ( + ) E ua progresió aritmética, a y a 8 8,. a) Calcula S 00. b) Obté el valor de a 0. a a + d a a + 8d 8, 8d d, d 0, 8 a 0,, a) a00, + 990, 9 (, 9) 00 S b) a 0 a + 9 d, + 9 0, Dados estos dos térmios de ua sucesió, a y a 8, halla cuatro térmios más y el térmio geeral supoiedo que se trata de ua progresió: a) aritmética. b) geométrica. a) Si es ua progresió aritmética, etoces: a a + d 8 + d, de dode d. Térmio geeral: a + ( ) Térmios de esta progresió so: a ; a ; a y a 7. b) Si es ua progresió geométrica, etoces: a 8 a a r 8 y, de aquí, r. Térmio geeral: a Térmios de esta progresió so: a ; a ; a ; a. 8 Halla los límites de las siguietes sucesioes: a) a b) b + + d) d ( ) + e) e g) g + h) h 000 c) c + f ) f ( ) i) i ( ) + a) a 0 0, a 00 0,0 a 000 0,00 lím 0 b) b 0,8 b 00,0 b 000,00 lím + + c) c 0,0 c 00 0,00 c ,000 lím + +

30 Uidad. Sucesioes d) d 00 ( ) , d 0 ( ) 0 + 0, E esta sucesió la potecia de apeas ifluye e el valor de los térmios. Se trata de ua sucesió oscilate e la que los térmios pares tiede a + y los impares tiede a. Por tato, o tiee límite. e) e , e , E esta sucesió los térmios idepedietes tiee ua ifluecia isigificate. lím lím f) f 0 ( ) 0 7,790 0 f ( ),7 0 Se trata de ua sucesió oscilate e la que los térmios pares tiede a + y los impares, a. Por tato, o tiee límite. g) g , 00 g , 000 E esta sucesió la primera fracció se hace cada vez más próxima a cero, ejerciedo ua ifluecia isigificate e el resultado. La seguda fracció se hace muy grade cuado crece idefiidamete. Por tato, lím g lím +. h) lím 000 lím porque el umerador es costate y el deomiador, e valor absoluto, se hace muy grade. i) i 000 ( ) 000 +, ( ) i Los térmios impares siempre vale 0 y los pares tiede a 0 porque el umerador es costatemete y el deomiador se hace muy grade. Por tato, lím i 0. 0