Para qué aprender FISICA? Materiales Potencia Rozamiento y Fricción Viscosidad Turbulencias Movimiento

Transcripción

1 Para qué aprender FISICA? Materiales Potencia Rozamiento y Fricción Viscosidad Turbulencias Movimiento

2 OBJETIVOS Formular: Conceptos, Definiciones Leyes resolver PROBLEMAS Fomentar: Habilidades Destrezas Actitudes formar INGENIERO

3 CAPITULO 1. CINEMÁTICA Y DINÁMICA ROTACIONAL

4 1.Cinemática rotacional V a análogo

5 1.Cinemática rotacional

7 Desplazamiento angular

8 Velocidad angular

11 Aceleración angular

16 Energía cinética de rotación

17 CONSIDERACIONES INICIALES -Una partícula que se mueve en un círculo de radio R tiene una rapidez de: -Si tiene masa m, tendrá una energía cinética: -Cuerpo rígido formado por partículas de diferentes masas localizadas a diversas distancias del eje de rotación O.

18 Energía cinética de rotación -Energía cinética total del cuerpo = suma de energías cinéticas de c/partícula del cuerpo - Velocidad angular y constante 1/2 son las mismas para c/partícula, reorganizamos: Momento de Inercia: no depende del estado del movimiento, o sea tiene el mismo valor.

19 Energía cinética de rotación -Momento de Inercia se representa: -Dimensionalmente la inercia es M.L 2 usando esta definición, expresamos la Energía Cinética Rotacional como: -Similitud: m movimiento rectilíneo I movimiento rotacional

20 Ejemplo -Calcule el momento de Inercia para el sistema ilustrado en la figura. El peso de las barras que unen la masas es insignificante y el sistema gira con una velocidad angular de 6 rad/s. Cuál es la energía cinética rotacional? (considere que las masas están concentradas en un punto).

21 Momento de inercia de masa Mide la resistencia de un cuerpo a la aceleración angular: Del mismo modo que la masa mide la resistencia de un cuerpo a la aceleración

22 Momentos de Inercia -Para cuerpos que no están compuestos por masas separadas, sino que son distribuciones continuas de materia, los cálculos del Momento de Inercia son más laboriosos.

23 Momentos de Inercia -Existen tablas con fórmulas del momento de inercia para algunos casos sencillos.

24 Momentos de Inercia -Se puede definir el momento de inercia usando el cálculo integral (se reemplaza el sumatorio por una integral) m z

25 Momentos de Inercia El elemento diferencial de masa dm está relacionado con la densidad del sólido, si ésta es variable, se puede expresar: Si la densidad es constante,puede salir de la integral y la operación es entonces solo una función de la geometría:

26 Momentos de Inercia La integral puede resolverse fácilmente si el elemento de volumen seleccionado tiene un espesor diferencial en una sola dirección, para ello se usan elementos en forma de: casquillo o de disco

27 Momentos de Inercia Elemento diferencial en forma de DISCO: Determinar el momento de inercia del elemento respecto al eje z e integrar el resultado. DATOS : altura =z radio r = y espesor =dz Volumen dv =(πy 2 )dz.

28 Momentos de Inercia Elemento diferencial en forma de CASQUILLO DATOS : altura =z radio r = y espesor =dy Volumen dv =(2πy)(z)dy.

29 Radio de giro El I de un cuerpo respecto a un eje especificado, se puede reportar por medio del radio de giro k (manuales). Se determina mediante la ecuación: Similitud: di=dm*r 2.

30 Teorema de los ejes paralelos Determina el I de un cuerpo cuando el eje de rotación no pasa por el centro de masa, conociendo su Icm, su masa, y la distancia perpendicular entre los ejes paralelos. Teorema de Steiner

31 Cuerpos compuestos En un cuerpo compuesto de varias formas simples (discos esferas, barras), su I respecto a cualquier eje, se determina por la suma algebraica de los I de todas las formas compuestas calculadas respecto al eje. Se usa el teorema de Steiner en caso de que el CM de cada parte compuesta no quede en el eje. Cada Icm se determina por: integración o por tablas.

32 2da Ley movimiento rotación Establece la relación entre el momento de torsión F.r y la aceleración angular α Supóngase el análisis del movimiento de rotación de un cuerpo rígido con una fuerza F que actúa sobre una masa m a una distancia r. Entonces el cuerpo gira con aceleración tangencial :

33 2da Ley movimiento rotación Momento de torsión. Entonces, para todas las porciones del objeto

34 2da Ley movimiento rotación Similitud: Mov. rotacional Mov. Rectilineo

35 2da Ley movimiento rotación Ejercicio: Un disco de esmeril de radio 0.6m y 90 kg de masa gira a 460 rpm. Qué fuerza de fricción, aplicada en forma tangencial al borde hará que el disco se detenga en 20 s?

36 Trabajo y potencia rotacionales Se sabe que: T=F.d O sea el producto de un desplazamiento por la componente de fuerza en la dirección del desplazamiento. Ahora, analizaremos el desplazamiento rotacional bajo la influencia de un momento de torsión resultante.

37 Trabajo y potencia rotacionales F actúa en el borde de la polea r radio de la polea Θ ángulo de giro de la polea (rad.) S distancia recorrida (longitud de arco) S=rθ Trabajo= F.(S)= F.(rθ) Trabajo=τ.θ (en lb.pie ó joules)

38 Trabajo y potencia rotacionales Energía mecánica Transmite como trabajo rotacional Velocidad angular media SIMILITUD

39 Trabajo y potencia rotacionales Ejercicio 1: Una rueda de 60 cm de radio tiene un momento de inercia de 5kg.m 2. Se aplica una fuerza constante de 60N tangente a su borde. Suponiendo que parte del reposo, qué trabajo se realiza en 4s y qué potencia se desarrolla?.

40 Trabajo y potencia rotacionales Ejercicio 2: El motor de un automóvil proporciona 100HP (7.5x10 4 W) cuando gira a una rapidez de 1800 rpm. Cuál es el torque que produce?

41 Rotación y traslación combinadas Supongamos: Disco circular (radio R) (a) Se desliza sobre una superficie horizontal sin rotación ni fricción (velocidad igual a la del c.m.) (b) Rota libremente sin deslizarse por la misma superficie (requiere más energía para mantener la misma rapidez horizontal: rotación y traslación) y el c.m. rota en relación a un punto de contacto P a la misma ω del disco. Entonces:

42 Rotación y traslación combinadas Recordar: Al involucrar traslación + Rotación sumar: Energía cinética rotacional + energía cinética traslacional Principio de conservación de la energía total: U=energía potencial K=energía cinética Pérdidas= fricción / fuerzas disipativas

43 Rotación y traslación combinadas Ejercicio : Una aro y un disco circular tienen c/u una masa de 2kg y un radio 10cm. Se dejan caer rodando desde el reposo a una altura de 20m a la parte inferior de un plano inclinado. Compare sus rapideces finales.

44 Cantidad de movimiento angular Consideremos: -Partícula de masa m moviéndose en -Un círculo de radio r -Con una velocidad tangencial v -Posee 1 cantidad movimiento rectilíneo p=mv -Entonces, respecto al eje de rotación, la cantidad de movimiento angular L es: L=mv.r L=Producto cantidad de mov. rectilineo x distancia

45 Cantidad de movimiento angular Consideremos ahora: -Cuerpo rígido extenso girando alrededor de su eje O: -Un círculo de radio r,una velocidad tangencial v,1 cantidad mov. rectil. p cantidad de movimiento angular en cada partícula del cuerpo L=m.v.r -Se sabe V=ωr, entonces, sustituyendo: m.v.r=m(ωr)r= (mr) 2 ω Para todas las partículas, se tendría

46 Cantidad de movimiento angular Ejemplo: una varilla uniforme delgada mide 1m de longitud y tiene una masa de 6kg. Si la varilla se hace girar en su centro y se queda en rotación con una velocidad angular de 16rad/s, calcule su cantidad de movimiento angular. I=(ml 2 )/12 L=Iω

47 Cantidad de movimiento angular Ejemplo: una varilla uniforme delgada mide 1m de longitud y tiene una masa de 6kg. Si la varilla se hace girar en su centro y se queda en rotación con una velocidad angular de 16rad/s, calcule su cantidad de movimiento angular. I=(ml 2 )/12 L=Iω

48 Cantidad de movimiento angular Ejercicio: Se dispara una bala de 200 g mediante un dispositivo desde la posición x=50 cm, y=0, con velocidad de 100 m/s, haciendo un ángulo de 30º con el eje X. Hallar el momento angular de la bala respecto al origen, en el instante del lanzamiento. L=mv.r

49 Cantidad de movimiento angular Ejercicio: Hallar el momento angular (módulo, dirección y sentido) de una partícula de masa m=2 kg que describe un movimiento circular en el plano XY, de 40 cm de radio, con una velocidad angular de 60 r.p.m. L=mv.r

50 Cantidad de movimiento angular Ejercicio: Un cubo de madera de 2 kg y 20 cm de arista, que descansa sobre una superficie horizontal sin fricción, está sujeto a una barra rígida de longitud 2 m y masa 300 g fijada a la superficie por un extremo en el punto O y por el otro al centro del cubo. Una bala de masa 50 g y velocidad 200m/s se incrusta en el cubo a la altura de su centro de masa (en la dirección perpendicular al cubo, tal como se muestra en la figura) Cuál es la velocidad angular del sistema después del choque?. DATO: Momentos de inercia respecto de un eje que pasa por el C.M del cubo la varilla

51 Cantidad de movimiento angular L=mv.d L=Iω mv.d=iω donde I= Icubo+Ivarilla+Ibala RTA: ω=2.32 rad/s

52 Cantidad de movimiento angular

53 Conservación de la cantidad de movimiento angular Recordemos la segunda ley de Newton: Si la reescribimos como: donde Multiplicando por t, se tiene:

54 Conservación de la cantidad de movimiento angular Si no se aplica ningún momento de torsión externo a un cuerpo que gira, se establece τ=0 y se obtiene: Entonces se puede expresar:

55 Conservación de la cantidad de movimiento angular Cuerpo que gira no es rígido (cambia forma), entonces su momento de inercia y su rapidez cambian, pero I.ω es siempre constante.

56 Ejemplo: Conservación de la cantidad de movimiento angular