PLANO AFÍN Ecuaciones de la recta
|
|
- Alicia Valverde Alarcón
- hace 6 años
- Vistas:
Transcripción
1 PLNO FÍN Ecuaciones de la recta CPR. JORGE JUN Xuvia-Narón Si sobre un plano está definida un sistema de referencia definido por una base canónica, cualquier punto de dicho plano se puede unir con el origen, O, de dicho sistema de referencia con un vector cuyas coordenadas cartesianas coinciden con las coordenadas de dicho punto. a= O= O= (x 1,y 1 )-(0,0)= (x 1-0,y 1-0)= (x 1,y 1 ) a (x 1,y 1 ) Se deduce entonces que el vector,, que une dos puntos cualesquiera del plano viene dado por a= (x 1,y 1 ) b= (x 2,y 2 ) a + = b de donde = b a= (x 2,y 2 ) - (x 1,y 1 )= (x 2 -x 1,y 2 -y 1 ) a b Siguiendo el razonamiento seguido se puede obtener las coordenadas del punto medio de un segmento,, del que se conocen las coordenadas de sus extremos,, y,. M M a 2 m m=a +M= a + = a (b a)= 1 b.(a + b) 2 Sustituyendo en esta expresión los vectores por sus coordenadas cartesianas,, (x m,y m )= x y x y x x, y y Un razonamiento análogo a este seguido permite obtener la ecuación vectorial de la recta y a partir de ella obtener el resto de las ecuaciones de la misma: (x 0,y 0 ) X(x,y) Ecuación vectorial de la recta Sea (x 0,y 0 ) punto por donde pasa la recta a x X(x,y) punto genérico de la recta u= (a,b) vector director de la recta. Indica la dirección de ésta plano afín Departamento Matemáticas CPR Jorge Juan Xuvia 269
2 X= k.u vector proporcional al vector director, u, por tener ambos la misma dirección se verifica x= a + X= a + k.u en función de las coordenadas rectangulares de estos vectores la expresión anterior se escribe (x,y)= (x 0,y 0 ) + k.(a,b) expresión que define la ecuación vectorial de la recta. Dándole valores al escalar, k, se obtienen los distintos puntos de la recta. Ecuación paramétrica de la recta En la ecuación vectorial de la recta se separan las componentes, por lo que se escribe x= x 0 + k.a y= y 0 + k.b se obtienen estas ecuaciones que juntas definen la ecuación paramétrica de la recta. Dándole valores al escalar, k, se obtienen los distintos puntos de la recta. Ecuación continua de la recta En la ecuación paramétrica de la recta se despeja el escalar, k, en cada una de ellas k k x x 0 a y y 0 b igualando los resultados obtenidos x x y y a b 0 0 se obtiene la ecuación continua de la recta. Ecuación general ó implícita de la recta En la ecuación continua de la recta se eliminan los denominadores b.(x-x 0 )= a.(y-y 0 ) se eliminan los paréntesis bx bx 0 = ay ay 0 y se pasan todos los términos al primer miembro bx ay + ay 0 bx 0 = 0 se obtiene la ecuación general de la recta. Esta ecuación se escribe x + y + C= 0 plano afín Departamento Matemáticas CPR Jorge Juan Xuvia 270
3 = b = -a C= ay 0 bx 0 Se deduce que el vector director, u, de la recta viene dado por u= (a,b)= (-,) Un punto de la recta es aquel cuyas coordenadas verifiquen la ecuación de la misma. La ecuación general de la recta tiene los siguientes pasos particulares: = 0 La ecuación general se escribe y + C= 0 C y y= -C que es la ecuación de una recta paralela al eje X, del sistema de referencia canónico. El número al que está igualada la coordenada, y, representa el punto del eje coordenado, Y, del sistema de referencia en el que la recta lo corta paralelamente al eje coordenado, X. = 0 La ecuación general se escribe x + C= 0 C x que es la ecuación de una recta paralela al eje Y, del sistema de referencia canónico. El número al que está igualada la coordenada, x, representa el punto del eje coordenado, X, del sistema de referencia en el que la recta lo corta paralelamente al eje coordenado, Y. x= -C = 0, = 0 estos valores no pueden ser simultáneamente nulos, ya que de serlo el vector director de la recta sería el vector nulo u= (a,b)= (-,)= (0,0) y vector nulo no determina ninguna dirección. Ecuación explícita de la recta En la ecuación general de la recta si se despeja la variable dependiente, y, se obtiene la ecuación explícita de la recta. y= -.x C n tg = m= - plano afín Departamento Matemáticas CPR Jorge Juan Xuvia 271
4 x C C y. x m. x n m= n= = tg C pendiente de la recta. Indica la inclinación ó ángulo que la recta forma con el semieje positivo coordenado, X, del sistema de referencia, a través de su tangente. ordenada en origen. Indica el punto del eje coordenado, Y, en el que la recta lo corta. Ecuación punto-pendiente de la recta En la ecuación vectorial de la recta que pasa por el punto, (x 0,y 0 ), y que tiene como vector director, u=(a,b), x x y y a b 0 0 si se despeja el numerador que contiene la variable dependiente, y, se obtiene la ecuación punto-pendiente de la recta. y-y 0 = b a.(x-x 0)= m.(x-x 0 ) m= b a pendiente de la recta Ecuación segmentaria de la recta Si la recta corta a los ejes, X, e, Y, del sistema de referencia canónico en los puntos, (a,0), y, (0,b), respectivamente entonces se tiene: (a,0) punto por donde pasa la recta u= = -= (0,b) (a,0)= (-a,b) vector director de la recta la ecuación continua de esta recta es x a y 0 a b rompiendo la fracción del primer miembro (0,b) x a y a a b a (a,0) pasando al segundo miembro los términos que contienen a las variables, x, e, y x y 1 a b plano afín Departamento Matemáticas CPR Jorge Juan Xuvia 272
5 se obtiene la ecuación de la recta en forma segmentaria. El nombre de segmentaria se debe a que su expresión está en función del valor de los segmentos orientados, a, y, b. Ecuación normal de la recta Sea (x 0,y 0 ) X(x,y) u=(a,b) X punto por donde pasa la recta punto genérico de la recta vector director de la recta vector que tiene la dirección de la recta y por ello es proporcional al vector director de la misma, u. n a (x 0,y 0 ) X(x,y) x n= (-b,a) vector ortogonal al vector director de la recta, u Se verifica por ser los vectores, n, y, X, perpendiculares que su producto escalar es nulo n.x= 0 como el vector, X, es el vector resta de los vectores, x, y, a, se tiene X= x a por lo que n.(x a)= 0 es la expresión de la ecuación normal de la recta. Si el vector, n, normal a la recta es un vector unitario entonces la expresión n.x= n.(x a)= 0 n n es la ecuación normal canónica de la recta. Si se desarrolla la ecuación normal de la recta en función de las coordenadas cartesianas de los vectores que la definen, se tiene (b,-a).[(x,y) (x 0,y 0 )]= 0 (b,-a).[(x-x 0 ),(y-y 0 )]= 0 desarrollando este producto escalar b.(x-x 0 ) + (-a).(y-y 0 )= 0 eliminando los paréntesis en la expresión anterior b.x b.x 0 a.y + a.y 0 = 0 teniendo en cuenta la definición de los escalares que aparecen en la ecuación general de la recta plano afín Departamento Matemáticas CPR Jorge Juan Xuvia 273
6 = b = -a C= ay 0 bx 0 se escribe x + y + C= 0 La expresión de la ecuación normal canónica de la recta se obtiene de la expresión anterior sin más que dividir por el módulo del vector normal, n, todos los coeficientes de la misma n= (-b,a)= (b,-a)= (,) 2 2 n de forma que la ecuación normal canónica resulta C x y Cuando se tienen varias rectas en el plano éstas pueden ocupar entre ellas las siguientes posiciones relativas. El número de posibilidades depende de la cantidad de rectas que se tengan, así para: Dos rectas Dos rectas en el plano pueden ocupar las siguientes posiciones relativas: Secantes Las dos rectas se cortan en un punto, el cual es un punto común a ambas. El sistema de ecuaciones que constituyen las ecuaciones de ambas rectas tiene solución y ésta es coincidente con las coordenadas del punto en que ambas se cortan. Según en que forma vengan das las ecuaciones de las rectas se deduce: Rectas en forma general x + y + C= 0 x + y + C = 0 El sistema de ecuaciones lineales que las ecuaciones de esas rectas forman tiene solución si: Los vectores directores de ambas, u= (-,), y, v= (-, ), no son paralelos, es decir, no son proporcionales. ' ' Los vectores ortogonales a ambas rectas, u = (,), y, v = (, ), no son paralelos, es decir, no son proporcionales. ' ' plano afín Departamento Matemáticas CPR Jorge Juan Xuvia 274
7 Rectas en forma explícita y= m.x + n y= m.x + n El sistema de ecuaciones lineales que las ecuaciones de esas rectas forman tiene solución si: Las pendientes de ambas, m, y, m, no son iguales. m m Se llama haz de rectas secantes de vértice el punto, P(x 0,y 0 ), al conjunto de todas las rectas del plano que pasan por el punto, P. La ecuación del haz de rectas es en: Forma punto-pendiente y y 0 = m.(x-x 0 ) para cada valor que se le de a la pendiente, m, se obtiene una recta que pasa por el punto, P. Forma general Si el punto, P, viene dado como el punto de intersección de dos rectas cuyas ecuaciones vienen dadas en forma general x y C 0 P ' x ' y C ' 0 El haz de rectas que pasa por el punto de corte de ambas rectas viene dada por una combinación lineal de ambas ecuaciones ( x + y + C)+( x + y + C )= 0, números reales no nulos simultáneamente. si, 0, se llama, k por lo que se escribe para la ecuación del haz de rectas x + y + C + k.( x + y + C )= 0 para cada valor de, k, se obtiene una recta del haz. Paralelas No se cortan en punto alguno. Las rectas no Tienen punto en común alguno. El sistema de ecuaciones lineales que constituyen las ecuaciones de ambas rectas no tiene solución alguna. Según en que forma vengan das las ecuaciones de las rectas se deduce: plano afín Departamento Matemáticas CPR Jorge Juan Xuvia 275
8 Rectas en forma general x + y + C= 0 x + y + C = 0 El sistema de ecuaciones lineales que las ecuaciones de esas rectas forman no tiene solución si: Los vectores directores de ambas, u= (-,), y, v= (-, ), son paralelos, es decir, son proporcionales. ' ' Los vectores ortogonales a ambas rectas, u = (,), y, v = (, ), son paralelos, es decir, son proporcionales. ' ' demás de esta condición el hecho de que las rectas sean paralelas obliga a que la proporción anterior no se mantenga con los términos independientes de las mismas. C ' ' C ' Rectas en forma explícita y= m.x + n y= m.x + n El sistema de ecuaciones lineales que las ecuaciones de esas rectas forman no tiene solución si: Las pendientes de ambas, m, y, m, son iguales m= m Las ordenadas en origen de ambas no sean coincidentes n n Se llama haz de rectas paralelas a una recta, r, al conjunto de todas las rectas del plano paralelas a la misma. Si la ecuación de la recta, r, viene dada en forma general, según x+y+c= 0 La ecuación del haz de rectas viene dado por la expresión x+y+k= 0 k número real Para cada valor que le de a, k, se obtiene una recta del haz de rectas paralelo a la recta, r. plano afín Departamento Matemáticas CPR Jorge Juan Xuvia 276
9 Coincidentes Se cortan en infinitos puntos. Las rectas tienen todos sus puntos en común, es decir, tienen infinitos puntos en común. El sistema de ecuaciones lineales que constituyen las ecuaciones de ambas rectas tienen infinitas soluciones. Según en que forma vengan das las ecuaciones de las rectas se deduce: Rectas en forma general x + y + C= 0 x + y + C = 0 El sistema de ecuaciones lineales que las ecuaciones de esas rectas forman tiene infinitas soluciones si: Los vectores directores de ambas, u= (-,), y, v= (-, ), son paralelos, es decir, son proporcionales. ' ' Los vectores ortogonales a ambas rectas, u = (,), y, v = (, ), son paralelos, es decir, son proporcionales. ' ' demás de esta condición el hecho de que las rectas sean coincidentes obliga a que la proporción anterior se mantenga con los términos independientes de las mismas. C ' ' C ' Rectas en forma explícita y= m.x + n y= m.x + n El sistema de ecuaciones lineales que las ecuaciones de esas rectas forman tiene infinitas soluciones si: Las pendientes de ambas, m, y, m, son iguales m= m Las ordenadas en origen de ambas sean coincidentes n= n Realmente no se tiene un sistema de ecuaciones, pues ambas ecuaciones son coincidentes y por lo tanto únicamente se tiene una ecuación. plano afín Departamento Matemáticas CPR Jorge Juan Xuvia 277
10 Tres rectas No tienen punto en común alguno Son rectas paralelas. Se cortan en un punto Son rectas concurrentes. Se cortan en dos puntos Dos rectas son paralelas y la tercera corta a ambas. Se cortan en tres puntos Ninguna de las rectas es paralela a las otras. Cuatro rectas No tienen punto en común alguno Son rectas paralelas. Se cortan en un punto Son rectas concurrentes. Se cortan en tres puntos Tres rectas son paralelas y la cuarta las corta. Se cortan en cuatro puntos Las rectas son paralelas dos a dos. Se cortan en cinco puntos Dos rectas son paralelas y las otras dos son se cortan. Se cortan en seis puntos Ninguna de las rectas es paralela a las demás. Cinco rectas No tienen punto en común alguno Son rectas paralelas. plano afín Departamento Matemáticas CPR Jorge Juan Xuvia 278
11 Se cortan en un punto Son rectas concurrentes. Se cortan en cuatro puntos Cuatro rectas son paralelas y la quinta las corta. Se cortan en cinco puntos Cuatro rectas son concurrentes y la quinta las corta. Se cortan en seis puntos Se cortan en siete puntos Tres rectas son concurrentes y las otras dos son paralelas. Se cortan en ocho puntos Se cortan en nueve puntos Tres rectas se cortan y las otras dos son paralelas. Se cortan en diez puntos Ninguna de las rectas es paralela a las demás. En el caso de que se tengan, n, rectas se tiene: Si son paralelas no tienen punto de intersección alguno. Si son concurrentes tendrán un punto de intersección. El menor número de intersecciones es, n-1, que se corresponde con, n-1, rectas paralelas y la n-ésima recta secante a todas las demás. El número máximo de intersecciones cuando las rectas son secantes dos a dos es, 1 2.n.(n-1), De todas las formas en que se puede dar la ecuación de una recta, se deduce que la información necesaria para poder obtenerlas parte del conocimiento de: Un punto, P, por donde pase la recta, y Un vector, u= (a,b), denominado vector director que indique la dirección que ésta lleva La pendiente, m= b, de la recta a plano afín Departamento Matemáticas CPR Jorge Juan Xuvia 279
12 Se puede a partir de esta información deducir: Ángulo que forman dos rectas Si se conocen los vectores directores de ambas rectas Si las rectas son coincidentes o paralelas el ángulo que forman esas rectas es nulo. Si las rectas son secantes se cortan en un punto, P, vértice de cuatro ángulos iguales dos a dos al ser opuestos. Estos ángulos,, y,, son suplementarios, es decir + = 180º El ángulo que forman estas rectas secantes, coincide con el ángulo que forman sus vectores directores, u, y, u, de forma que su producto escalar se escribe u= (a,b) u = (a,b ) u.u = u.u.cos (u,u )=. ' '.cos(, ') a b a b u u u.u = (a,b). (a,b )= a.a + b.b igualando ambos resultados del producto escalar de ambos vectores de donde. ' '.cos(, ') = a.a + b.b a b a b u u cos( u, u ') a. a' b. b' a b. a' b' Si las rectas son perpendiculares, entonces también lo son sus vectores directores, en ese caso el ángulo que forman es, 90º, y cos (u,u )= cos 90= 0 por lo que se deduce cos (u,u )= cos 90= 0= a. a' b. b' a b. a' b' eliminando los denominadores a.a + b.b = 0 Si se conocen las pendientes de ambas rectas Las ecuaciones de las rectas vienen dadas por las expresiones y= m.x + n plano afín Departamento Matemáticas CPR Jorge Juan Xuvia 280
13 m= tg 1 y= m.x + n m = tg 2 el ángulo,, que forman ambas rectas viene dado por = 2-1 se verifica entoces tg tg tg m' m 1 tg. tg 1 m. m' 2 1 tg( 2 1) 2 1 Si las rectas son perpendiculares, = 90º, en cuyo caso tg = para lo cual se ha de anular el denominador del segundo miembro 1 + m.m = 0 1 m' m Distancia entre dos puntos del plano La distancia, d(,), entre dos puntos,, y,, del plano coincide con el módulo del vector,, que los une. Sea: = (x 1,y 1 ) = (x 2,y 2 ) = = (x 2,y 2 ) - (x 1,y 1 )= (x 2 -x 1, y 2 -y 1 ) se verifica 2 2 d(,)= = x x y y La distancia entre dos puntos tiene las siguientes propiedades: d(,)= 0; = d(,)= d(,) d(,) d(,c) + d(c,) ó desigualdad triangular plano afín Departamento Matemáticas CPR Jorge Juan Xuvia 281
14 Distancia de un punto a una recta La distancia de un punto, P, a una recta, r, coincide con el módulo del vector, QP, siendo, Q, el punto de corte de la recta, r, con la recta perpendicular a ella que pasa por el punto, P. Sea: P= (x 1,y 1 ) coordenadas del punto, P = (x 0,y 0 ) coordenadas del punto,, por donde pasa la recta u= (a,b) vector director de la recta, r n= (,)= (-b,a) vector normal a la recta, r se verifica d(p,r)= QP Por construcción se verifica que el triángulo, QP, es rectángulo y vectorialmente se tiene P= Q + QP multiplicando escalarmente ambos miembros por el vector normal, n, a la recta, r P.n= (Q + QP).n= Q.n + QP.n= QP.n Q.n= 0 por ser el producto escalar de dos vectores perpendiculares en módulos la expresión anterior se escribe P.n = QP.n= QP.n expresión de la cual se deduce d(p,r)= QP= P. n n Si esta ecuación se desarrolla en función de las coordenadas escalares de estos vectores se tiene P= P = (x 1,y 1 ) (x 0,y 0 )= (x 1 -x 0, y 1 -y 0 ) n= (,) 2 2 n x +y + C= 0 ecuación general de la recta, r sustituyendo estos valores en la expresión de la distancia de un punto a una recta d(p,r)= P. n = n x1 x0, y1 y0.,. x1 x0 ( y1 y0 ) x1 y1 ( x0 y0 x1 y1 C plano afín Departamento Matemáticas CPR Jorge Juan Xuvia 282
15 (x 0 +y 0 )= C por ser, (x 0,y 0 ), un punto de la recta, r, y verificar, x 0 +y 0 + C= 0. Si el punto, P(0,0), es el origen de coordenadas, entonces la distancia de este punto a la recta, r, quedaría d(p,r)= C 2 2 Se puede dar un significado geométrico a cada uno de los coeficientes que resultan de dividir la ecuación general de la recta por el módulo del vector normal a ella se deduce C x y cos = cos (i,n)= 1,0., cos = cos (j,n)= además 0,1., d(o,r)= C 2 2 Los coeficientes de, x, e, y, representan a los cosenos de los ángulos que forma el vector normal a la recta con los ejes del sistema de referencia canónico, y el valor absoluto del término independiente proporciona la distancia del origen de dicho sistema de referencia a la recta. Distancia entre dos rectas Dadas dos rectas, r, y, r, se verifica: Si las rectas son secantes o coincidentes la distancia, d(r,r ), entre ambas es nula d(r,r )= 0 Si las rectas son paralelas la distancia, d(r,r ), entre ambas es igual a la distancia de un punto cualquiera de una de ellas a la otra recta Sean x+y+c= 0 ecuación general de la recta, r x+y+c = 0 ecuación general de la recta, r C C por ser las recta paralelas plano afín Departamento Matemáticas CPR Jorge Juan Xuvia 283
16 P(x 0,y 0 ) un punto de la recta, r se tiene entonces que d(r,r )= d(p,r )=. x0. y0 C ' C ' C x 0 +y 0 = -C por ser, (x 0,y 0 ), un punto de la recta, r, y verificar, x 0 +y 0 + C= 0. Es importante simplificar los vectores normales a ambas rectas para que sean iguales y no proporcionales, puesto que la expresión anterior se obtuvo con el supuesto de que éstos fueses iguales. Lugar geométrico Es el conjunto de puntos del espacio que cumplen una determinada propiedad. Mediatriz de un segmento La mediatriz de un segmento de extremos los puntos,, y,, es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los extremos del segmento. Sea P(x,y) (x 1,y 1 ) (x 2,y 2 ) un punto genérico de la mediatriz un extremo del segmento, un extremo del segmento, se verifica d(p,)= d(p,) ( x x ) ( y y ) ( x x ) ( y y ) elevando ambos miembros al cuadrado para eliminar las raíces (x-x 1 ) 2 +(y-y 1 ) 2 = (x-x 2 ) 2 +(t-y 2 ) 2 x 2-2.x.x 1 + x y 2-2.y.y 1 + y 2 1 = x 2-2.x.x 2 + x y y.y 2 + y 2 pasando todos los términos al primer miembro x 2-2.x.x 1 + x y 2-2.y.y 1 + y x x.x 2 - x y y.y 2 - y 2 2 = 0 sumando los términos semejantes y simplificando (2x 2 2x 1 ).x + (2y 2 2y 1 ).y + (x y 2 1 x 2 2 y 2 2 )= 0 ecuación que se corresponde con la forma general de una recta x + y + C= 0 = 2x 2 2x 1 = 2y 2 2y 1 plano afín Departamento Matemáticas CPR Jorge Juan Xuvia 284
17 C= x y 1 2 x 2 2 y 2 2 Si tres segmentos determinan los lados de un triángulo, a cada uno de esos lados le corresponde una mediatriz, las cuales se cortan en un punto denominado circuncentro, que es el centro de la circunferencia circunscrita a dicho triángulo. isectrices de los ángulos determinados por dos rectas La bisectriz de un ángulo es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de la rectas, r, y, r, que forman el ángulo. Sea P(x,y) x+y+c= 0 un punto genérico de la bisectriz recta, r, que forma el ángulo x+ y+c = 0 recta, r, que forma el ángulo se verifica d(p,r)= d(p,r ). x. y C '. x '. y C ' ' ' se tienen dos opciones para las cuales se verifica la igualdad anterior. x. y C '. x '. y C ' ' '. x. y C '. x '. y C ' ' ' expresiones que desarrolladas dan lugar a las ecuaciones de las bisectrices. Se verifica: Las bisectrices de los ángulos formados por dos rectas secantes son perpendiculares., ángulos que forman las rectas, r, y, r += 180º como las bisectrices dividen a los ángulos por la mitad 1 1.( ).180º 90º por lo tanto estas bisectrices son perpendiculares. Si tres rectas se cortan formando un triángulo, a cada uno de sus vértices le corresponden dos bisectrices, una interior al triángulo y otra exterior. Las bisectrices interiores se cortan en un punto denominado incentro, que es el centro de la plano afín Departamento Matemáticas CPR Jorge Juan Xuvia 285
18 circunferencia inscrita a dicho triángulo. Área del triángulo Sea (x 0,y 0 ) vértice de un triángulo C (x 1,y 1 ) vértice de un triángulo h C(x 2,y 2 ) vértice de un triángulo Se toma como base el lado,, que tiene por longitud el módulo del vector,. = ( x x ) ( y y ) La altura, h, del triángulo se obtiene por trigonometría sen (C,)= h C h= C.sen (C,) el área del triángulo es entonces = base. altura. C. sen(, C) C Es decir, el área del triángulo coincide con la mitad del módulo del producto vectorial de dos de los tres vectores que se pueden construir como lados del triángulo con los tres vértices dados. plano afín Departamento Matemáticas CPR Jorge Juan Xuvia 286
GEOMETRÍA MÉTRICA. Plano afín:
Plano afín: Es el plano vectorial al que se le ha dotado de un sistema de referencia compuesto por un origen y una base de dicho espacio vectorial. En el plano afín podemos asignar a cada punto del plano
Más detalleses el lugar geométrico de los puntos p tales que ; R (1)
LA RECTA DEL PLANO ECUACIÓN VECTORIAL Y ECUACIONES PARAMÉTRICAS La recta en el plano como lugar geométrico Dados un punto p un vector no nulo u, la recta T paralela a u que pasa por p es el lugar geométrico
Más detallesDefinición 1.28 (Determinación de una recta) Una recta en el plano viene determinada por un punto y un vector libre, no nulo, r (P; u )
1.3. La recta en el plano afín La recta está formada por puntos del plano en una dirección dada. La ecuación de la recta es la condición necesaria y suficiente que deben cumplir las coordenadas de un punto
Más detallesVectores equipolentes. Dos vectores son equipolentes cuando tienen igual módulo, dirección y sentido.
TEMA 9: GEOMETRIA ANALÍTICA VECTORES EN EL PLANO Un vector fijo AB es un segmento orientado que va del punto A (origen) al punto B (extremo). Si las coordenadas de A son (x1, y1) y las de B, (X, y), las
Más detallesTEMA 6. ECUACIONES DE LA RECTA
TEMA 6. ECUACIONES DE LA RECTA Dados un punto y un vector, vamos a hallar las ecuaciones de la recta r que pasa por el punto A y es paralela al vector. Sea consideramos los vectores un punto cualquiera
Más detallesBloque 2. Geometría. 3. La recta. 1. Definición de recta
Bloque 2. Geometría 3. La recta 1. Definición de recta Para representar puntos en un plano (superficie de dos dimensiones) utilizamos dos rectas graduadas y perpendiculares, cuyo corte es el punto 0 de
Más detalles2. Distancia entre dos puntos. Punto medio de un segmento
Geometría 1 Geometría anaĺıtica Una ecuación de primer grado con dos incógnitas x e y tiene infinitas soluciones Por ejemplo x + y = 3 tiene como soluciones (0, 3), (1, ), ( 1, 4), etc Hasta ahora se han
Más detallesUn sistema de referencia en el plano es un par formado por un punto, llamado origen, y una base de vectores, R = {O, 1, 2}.
INTRO. GEOMETRÍA ANALÍTICA Este tema constituye una introducción a la geometría analítica del plano. Se definirán las coordenadas de un punto del plano respecto a un sistema de referencia cualquiera, como
Más detallesPROFR.: JULIO C. JIMÉNEZ RAMÍREZ GRUPOS: TODOS LOS ALUMNOS IRREGULARES EPOEM No.16 TRUNO: VESPETINO
Ecuación vectorial de la recta Ecuaciones paramétricas de la recta Ecuación continua de la recta Pendiente Ecuación punto-pendiente de la recta Ecuación general de la recta Ecuación explícita de la recta
Más detallesGeometría analítica del plano
8 Geometría analítica del plano Objetivos En esta quincena aprenderás a: Reconocer los elementos de un vector identificando cuando dos vectores son equipolentes. Hacer operaciones con vectores libres tanto
Más detallesGuía de Rectas en el plano. Prof. Wilson Herrera. 1. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto a(1, 5) y tiene de pendiente 2.
Wilson Herrera 1 Guía de Rectas en el plano. Prof. Wilson Herrera. 1. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto a(1, 5) y tiene de pendiente 2. 2. Hallar la ecuación de la recta que pasa por
Más detalles101 EJERCICIOS de RECTAS
101 EJERCICIOS de RECTAS Forma paramétrica: 1. Dado el punto A(5,3) y el vector director ur = (1, ), se pide: a) Hallar las ecuaciones paramétricas de la recta r que determinan. b) Obtener otros tres puntos
Más detallesG E O M E T R Í A M É T R I C A P L A N A
G E O M E T R Í A M É T R I C A P L A N A. PUNTO MEDIO D E UN SEGME NTO. S IMÉTRICO DE U N PUNTO Sean A y a,a b B,b las coordenadas de dos puntos del plano que determinan el segmento AB. Las coordenadas
Más detallesGeometría analítica. 3. Calcula u+ vy u v analítica y gráficamente en los siguientes. a) u (1, 3) y v(5,2) b) u (1, 3) y v(4,1) Solución:
5 Geometría analítica. Operaciones con vectores Piensa y calcula Dado el vector v (3, 4) del dibujo siguiente, calcula mentalmente su longitud y la pendiente. D A v(3, 4) C O Longitud = 5 Pendiente = 4/3
Más detallesEJERCICIOS DE GEOMETRÍA PLANA. 1. Hallar las ecuaciones paramétricas de la recta r que pasa por el punto ( 2, 2) tiene como vector director el vector
EJERCICIOS DE GEOMETRÍA PLANA Hallar las ecuaciones paramétricas de la recta r que pasa por el punto (, ) tiene como vector director el vector v i j A y x a + vt La ecuación paramétrica de una recta es
Más detallesProblemas Tema 7 Enunciados de problemas ampliación Temas 5 y 6
página 1/13 Problemas Tema 7 Enunciados de problemas ampliación Temas 5 y 6 Hoja 1 1. Dado el segmento de extremos A( 7,3) y B(5,11), halla la ecuación de su mediatriz. 2. Halla la distancia del punto
Más detallesGEOMETRIA EUCLIDEA. 3.-Determinar m para que el producto escalar de u=(m,5) y v=(2,-3) sea la unidad.
PRODUCTO ESCALAR GEOMETRIA EUCLIDEA 1.-Dados los vectores u,v y w tales que u*v=7 y u*w=8, calcular: u*(v+w); u*(2v+w); u*(v+2w) 2.-Sea {a,b} una base de vectores unitarios que forman un ángulo de 60.
Más detallesEcuación Vectorial de la Recta
Ecuación Vectorial de la Recta Definimos una recta r como el conjunto de los puntos del plano, alineados con un punto P y con una dirección dada. Si P(x 1, y 1 ) es un punto de la recta r, el vector tiene
Más detalles1. Halla la ecuación de la recta r, sabiendo que pasa por A(1,-2) y B(-1,2)
1. Halla la ecuación de la recta r, sabiendo que pasa por A(1,-2) y B(-1,2) 2. Halla la ecuación de la recta r, sabiendo que es paralela a y=2x-3 y pasa por el punto (1,3). 3. Halla la ecuación de la recta
Más detalles7. [2013] [JUN-A] a) Pueden existir vectores u y v tales que u = 2, v = 3 y u v = 8? Justifique la respuesta.
1. [014] [EXT-A] a) Determine el valor o valores de m, si existen, para que la recta r: mx+y = x+ mz = : x-y-z+6 = 0. b) Determine la distancia del punto P= (,1,1) a la recta r cuando m =. sea paralela
Más detallesTEMA 6. Ángulos, distancias, simetrías Problemas Resueltos
Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Soluciones de los problemas propuestos Tema 6 88 Ángulos entre rectas y planos TEMA 6 Ángulos, distancias, simetrías Problemas Resueltos Dadas las rectas r y s
Más detallesColegio Internacional Torrequebrada. Departamento de Matemáticas
Geometría. Problema 1: Calcula la distancia del punto P(1, 1, 1) a la recta Problema 2: Dadas las rectas, se pide: a) Analiza su posición relativa. b) Halla la ecuación general del plano π que contiene
Más detallesTema 3. GEOMETRIA ANALITICA.
Álgebra lineal. Curso 087-009. Tema. Hoja 1 Tema. GEOMETRIA ANALITICA. 1. Hallar la ecuación de la recta: a) que pase por ( 4, ) y tenga pendiente 1. b) que pase por (0, 5) y tenga pendiente. c) que pase
Más detallesUnidad 5: Geometría analítica del plano.
Geometría analítica del plano 1 Unidad 5: Geometría analítica del plano. 1.- Vectores. Operaciones con vectores. Un vector fijo es un segmento entre dos puntos, A y B del plano, al que se le da una orientación
Más detallesTEMA 6: GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL PLANO
Alonso Fernández Galián Tema 6: Geometría analítica en el plano TEMA 6: GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL PLANO La geometría analítica es el estudio de objetos geométricos (rectas, circunferencias, ) por medio
Más detallesEJERCICIOS DE GEOMETRÍA RESUELTOS
EJERCICIOS DE GEOMETRÍA RESUELTOS 1.- Dada la recta r: 4x + 3y -6 = 0, escribir la ecuación de la recta perpendicular a ella en el punto de corte con el eje de ordenadas. : - Hallamos el punto de corte
Más detallesLA RECTA Y SUS ECUACIONES
UNIDAD 1 LA RECTA Y SUS ECUACIONES PROBLEMAS PROPUESTOS Objetivo general. Al terminar esta Unidad resolverás ejercicios y problemas correspondientes a las rectas en el plano y sus ecuaciones. Objetivos
Más detallesLA RECTA Y SUS ECUACIONES
UNIDAD LA RECTA Y SUS ECUACIONES EJERCICIOS RESUELTOS Objetivo general. Al terminar esta Unidad resolverás ejercicios y problemas correspondientes a las rectas en el plano y sus ecuaciones. Objetivo. Recordarás
Más detalles1. Coordenadas en el plano. (Sistema de coordenadas, ejes de coordenadas, abcisas, ordenadas, cuadrantes)
Bloque 7. VECTORES. ECUACIONES DE LA RECTA. (En el libro Tema 9, página 159) 1. Coordenadas en el plano. 2. Definiciones: vector libre, módulo, dirección, sentido, vectores equipolentes, vector fijo, coordenadas
Más detallesTEMA 8. GEOMETRÍA ANALÍTICA.
TEMA 8. GEOMETRÍA ANALÍTICA. 8..- El plano. Definimos el plano euclideo como el conjunto de puntos ( x, y) R. Así, cada punto del plano posee dos coordenadas. Para representar puntos del plano utilizaremos
Más detallesEjercicios 16/17 Lección 5. Geometría. 1. como combinación lineal de u = (2,5), expresa uno de ellos como combinación lineal de los otros dos.
Ejercicios 16/17 Lección 5. Geometría. 1 1. Expresa el vector u = ( 3, 1) como combinación lineal de los vectores v = ( 3, ) w = ( 4, 1). y. Expresa w = (4, 6) como combinación lineal de u = (,5) y v =
Más detallesTEMAS 6 Y 7 GEOMETRÍA EN EL ESPACIO
Ejercicios Selectividad Temas 6 y 7 Geometría en el espacio Mate II 2º Bach. 1 TEMAS 6 Y 7 GEOMETRÍA EN EL ESPACIO EJERCICIO 1 : Julio 11-12. Optativa (3 ptos) Para los puntos A(1,0,2) y B(-1,2,4) y la
Más detallesCircunferencias. d) A( 1, 5) y d = X = (x, y) punto genérico del lugar geométrico. b) dist (X, A) = d
Circunferencias 6 Halla, en cada caso, el lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia al punto A es d. a) A(, ) y d = b) A(, ) y d = 1 c) A(, ) y d = 1 d) A( 1, ) y d = X = (x, y) punto genérico
Más detallesEvaluación NOMBRE APELLIDOS CURSO Y GRUPO FECHA CALIFICACIÓN. 6. Geometria analítica en el plano
Evaluación NOMBRE APELLIDOS CURSO Y GRUPO FECHA CALIFICACIÓN 4 Dados los vectores: u (, ) v, w (4, 6) z (/, ) x (, ) Cuáles de las siguientes afirmaciones son ciertas? a) Los vectores u y v son paralelos.
Más detallesCOLEGIO NUESTRA SEÑORA DEL BUEN CONSEJO. Melilla LUGARES GEOMÉTRICOS Y CÓNICAS
LUGARES GEOMÉTRICOS Y CÓNICAS 01. Halla la ecuación de la circunferencia de centro ( 5, 12) y radio 13. Comprueba que pasa por el punto (0, 0). 02. Halla las ecuaciones de los siguientes lugares geométricos:
Más detallesPágina 209 PARA RESOLVER. 44 Comprueba que el triángulo de vértices A( 3, 1), B(0, 5) y C(4, 2) es rectángulo
44 Comprueba que el triángulo de vértices A(, ), B(0, ) y C(4, ) es rectángulo y halla su área. Veamos si se cumple el teorema de Pitágoras: AB = (0 + ) + ( ) = AC = (4 + ) + ( ) = 0 BC = 4 + ( ) = 0 +
Más detallesINECUACIONES Y VALOR ABSOLUTO
INECUACIONES Y VALOR ABSOLUTO U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO I (051) - TEMA 1 Pág.: 1 de 3 1. Resuelva las siguientes ecuaciones: a. 4 3x = 5 b. x + 1x + = 3 c. x + 1x + 4 = 10 d. x 1 + = 4 e. x + 3 = 4 f.
Más detallesEjercicios 17/18 Lección 5. Geometría. 1. como combinación lineal de u = (2,5), expresa uno de ellos como combinación lineal de los otros dos.
Ejercicios 17/18 Lección 5. Geometría. 1 1. Expresa el vector u = ( 3, 1) como combinación lineal de los vectores v = ( 3, ) w = ( 4, 1). y. Expresa w = (4, 6) como combinación lineal de u = (,5) y v =
Más detalles95 EJERCICIOS de RECTAS
9 EJERCICIOS de RECTAS Forma paramétrica: 1. Dado el punto A(,3) y el vector director ur = (1, ), se pide: a) Hallar las ecuaciones paramétricas de la recta r que determinan. b) Obtener otros tres puntos
Más detallesLugar Geométrico. Se llama lugar geométrico a un conjunto de puntos que cumplen una determinada propiedad. Mediatriz
1 Lugar Geométrico Se llama lugar geométrico a un conjunto de puntos que cumplen una determinada propiedad. Mediatriz Mediatriz de un segmento es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan
Más detallesUNIDAD 3 : ELEMENTOS GEOMÉTRICOS
UNIDAD 3 : ELEMENTOS GEOMÉTRICOS 3.A.1 Características de un lugar geométrico 3.A ELEMENTOS DE GEOMETRÍA PLANA Se denomina lugar geométrico a todo conjunto de puntos que cumplen una misma propiedad o que
Más detallesUNI DAD 4 ESPACIO BIDIMENSIONAL: CÓNICAS
UNI DAD 4 ESPACIO BIDIMENSIONAL: CÓNICAS Objetivos Geometría analítica Introducción L cónica sección cónica Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 A B C D E F 4.1. Circunferencia Circunferencia es el conjunto
Más detallesel blog de mate de aida 4º ESO: apuntes de vectores pág. 1
el blog de mate de aida 4º ESO: apuntes de vectores pág. VECTORES.- LOS EJES CARTESIANOS Y EL ORIGEN El eje horizontal se llama eje de abscisas y el eje vertical se llama eje de ordenadas. El punto de
Más detallesUNIDAD XVII LA LINEA RECTA. Modulo 4 Ecuación de la recta
UNIDAD XVII LA LINEA RECTA Modulo 4 Ecuación de la recta OBJETIVO Encontrar y determinar la ecuación de una recta, conocidos los puntos de intersección con los ejes coordenados. 4. 1. LINEA RECTA. Lugar
Más detallesGEOMETRÍA. (x 1) 2 +(y 2) 2 =1. Razónalo. x y + z = 2. :3x 3z +1= 0 es doble de la distancia al plano π 2. : x + y 1= 0. Razónalo.
GEOMETRÍA 1. (Junio, 1994) Sin resolver el sistema, determina si la recta x +3y +1= 0 es exterior, secante o tangente a la circunferencia (x 1) +(y ) =1. Razónalo.. (Junio, 1994) Dadas las ecuaciones de
Más detallesEspacios vectoriales. Vectores del espacio.
Espacios vectoriales. Vectores del espacio. Consideremos un paralelepípedo de bases ABCD y EFGH, siendo A(1,1,1), B(2,1,1), C(2,4,1) y E(1,2,7). Halla: a) el área de una de las bases; b) el volumen del
Más detallesGEOMETRÍA ANALÍTICA. 32) Deduce la ecuación de la recta cuyos puntos de intersección con los ejes son A=(6,0) y B=(0,-2). Sol: x-3y- 6=0.
GEOMETRÍA ANALÍTICA 30) Encuentra la ecuación vectorial, paramétrica y continua de la recta que pasa por los puntos A=(3,2) y B=(1,-1). Sol: (x,y)=(3,2)+t(2,3); {x=3+2t; y=2+3t}; (x-3)/2=(y-2)/3 31) Cuál
Más detallesFunción lineal y cuadrática. Curvas de primer y segundo grado.
Tema 5 Función lineal y cuadrática. Curvas de primer y segundo grado. 5.0.1 Ecuaciones en dos variables. Una linea del plano es el conjunto de puntos (x, y), cuyas coordenadas satisfacen la ecuación F
Más detallesx-z = 0 x+y+2 = [2012] [EXT-B] Halla el punto simétrico del P(2,1,-5) respecto de la recta r definida por
x = 1+t 1. [014] [EXT-A] Considera los puntos A(1,1,) y B(1,-1,-) y la recta dada por y = t. z = 1 a) Halla la ecuación general del plano que que contiene a r y es paralelo a la recta que pasa por A y
Más detallesEs la elipse el conjunto de puntos fijos cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.
ESQUEMA LAS CÓNICAS LA PARÁBOLA ECUACIONES DE LA PARÁBOLA ECUACIÓN DE LA TANGENTE A UNA PARÁBOLA ELIPSE ECUACIONES DE LA ELIPSE PROPIEDADES DE LA ELIPSE LA HIPÉRBOLA ECUACIONES DE LA HIPÉRBOLA 10 ASÍNTOTAS
Más detallesGeometría Analítica. GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES 1. DE UN PUNTO 2. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
Geometría Analítica GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA René Descartes, matemático francés, en 67 define una ecuación algebraica para cada figura geométrica; es decir, un conjunto de pares ordenados de números reales
Más detallesMATEMÁTICAS 1º BACH. C. N. Y S. 25 de enero de 2010 Geometría y Logaritmos
MATEMÁTICAS 1º BACH. C. N. Y S. 5 de enero de 010 Geometría y Logaritmos x yz 1) Tomar logaritmos, y desarrollar, en la siguiente expresión: A 4 ab log x log b 4log a log y ) Quitar logaritmos: log A )
Más detalles1. Determine el valor de la constante k para que la recta kx + (3 k)y + 7 = 0 sea perpendicular a la recta x + 7y + 1 = 0
Universidad Técnica Federico Santa María Departamento de Matemática Campus Santiago Geometría Analítica 1. Determine el valor de la constante k para que la recta kx + (3 k)y + 7 = 0 sea perpendicular a
Más detallesEJERCICIOS DE SELECTIVIDAD DE GEOMETRIA
EJERCICIOS DE SELECTIVIDAD DE GEOMETRIA 2003 (4) Ejercicio 1. Considera los vectores u = (1,1,1), v = (2,2,a) y w = (2,0,0), (a) [1'25 puntos] Halla los valores de a para que los vectores u, v y w sean
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2006 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 006 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO Junio, Ejercicio 4, Opción A Junio, Ejercicio 4, Opción B Reserva, Ejercicio 3, Opción A Reserva, Ejercicio
Más detalles1 Si los puntos ( 6, 2), ( 2, 6) y (2, 2) son vértices de un cuadrado, cuál es el cuarto vértice?
Pág. 1 Puntos 1 Si los puntos ( 6, 2), ( 2, 6) y (2, 2) son vértices de un cuadrado, cuál es el cuarto vértice? 2 Los puntos ( 2, 3), (1, 2) y ( 2, 1) son vértices de un rombo. Cuáles son las coordenadas
Más detallesEspacio afín. 1. Rectas en el espacio. Piensa y calcula. Aplica la teoría
6 Espacio afín 1. Rectas en el espacio Piensa y calcula Calcula las coordenadas de un vector que tenga la dirección de la recta que pasa por los puntos A2, 1, 5 y B3, 1, 4 AB 1, 2, 1 Aplica la teoría 1.
Más detallesGeometría. 2 (el " " representa el producto vectorial)? En caso afirmativo, justifíquese. En caso contrario, póngase un ejemplo que lo confirme.
Geometría 1 (Junio-96 Dados los vectores a,b y c tales que a, b 1 y c 4 y a b c, calcular la siguiente suma de productos escalares: a b b c a c (Sol: -1 (Junio-96 Señalar si las siguientes afirmaciones
Más detallesECUACIÓN DE LA RECTA. 6. Hallar la ecuación de la recta que pase por el punto A ( 1, 2) y que determina en el eje X un segmento de longitud 6.
ECUACIÓN DE LA RECTA 1. El ángulo de inclinación de una recta mide 53º y pasa por los puntos ( 3, n) y ( 5, 4). Hallar el valor de n. A) 1 /5 B) 8 /5 C) 1 /5 D) 8 /5 E) 7 /3. Qué tipo de triángulo es el
Más detallesUnidad 7 Geometría analítica en el plano
Unidad 7 Geometría analítica en el plano PÁGINA 153 SOLUCIONES 1. La ecuación de la recta que pasa por A y B es: x+ y 9=. El punto C no pertenece a la recta pues no verifica la ecuación. Por tanto A, B
Más detalles4. Si dos rectas son paralelas, qué condición cumplen sus vectores directores? Y sus vectores normales? Y si la rectas son perpendiculares?
. Si u=(,4) es un vector director de la recta r, indicar si el vector v también lo es:. v=(-,-4). v=(0,). v=(,). Dado un vector director de una recta, calcular un vector normal:. v=(,). v=(,). v=(-,) 4.
Más detalleses el lugar geométrico de los puntos p tales que p 0 p n o p 0 p o. p x ; y ; z perteneciente a y un vector no
El Plano y la Recta en el Espacio Matemática 4º Año Cód. 145-15 P r o f. M a r í a d e l L u j á n M a r t í n e z P r o f. J u a n C a r l o s B u e P r o f. M i r t a R o s i t o P r o f. V e r ó n i
Más detallesTema 9. Geometría analítica. Vectores
Tema 9. Geometría analítica. Vectores. Vectores y puntos en el plano. Sistemas de coordenadas. Operaciones con vectores.. Suma y resta de vectores... Producto de un número real por un vector.3. Punto medio
Más detallesTema 6 La recta Índice
Tema 6 La recta Índice 1. Ecuación vectorial de la recta... 2 2. Ecuaciones paramétricas de la recta... 2 3. Ecuación continua de la recta... 2 4. Ecuación general de la recta... 3 5. Ecuación en forma
Más detallesDIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA
SISTEMA COORDENADO CARTESIANO, DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS ANGULO ENTRE DOS RECTAS y AREA 1) Transportar a una gráfica los siguientes puntos: a) ( 5, 2 ) b) (0, 0 ) c) ( 1 + 3, 1-3 ) d) ( 0, 3 ) e) ( -
Más detallesRESUMEN TEÓRICO LUGARES GEÓMETRICOS. CÓNICAS (circunferencia y elipse)
RESUMEN TEÓRICO LUGARES GEÓMETRICOS. CÓNICAS (circunferencia y elipse) 1. LUGARES GEOMÉTRICOS Definición: Se llama lugar geométrico a la figura que forman un conjunto de puntos que cumplen una determinada
Más detallesRESUMEN DE VECTORES. Un vector fijo AB es un segmento orientado que va del punto A (origen) al punto B (extremo). ELEMENTOS DE UN VECTOR:
RESUMEN DE VECTORES Un vector fijo AB es un segmento orientado que va del punto A (origen) al punto B (extremo). Componentes de un vector Si las coordenadas de los puntos A y B son ELEMENTOS DE UN VECTOR:
Más detallesCURSO DE GEOMETRÍA 2º EMT
CURSO DE GEOMETRÍA 2º EMT UNIDAD 0 REPASO 1º CIRCUNFERENCIA Y ANGULOS INSCRIPTOS Ángulos en la circunferencia 1. La circunferencia. 1.1. Elementos de una circunferencia Definición 1. Se llama circunferencia
Más detallesBLOQUE II. GEOMETRÍA.
BLOQUE II. GEOMETRÍA. PROBLEMAS SELECTIVIDAD (PAU) CANTABRIA 2000-204 I.E.S. LA MARINA. CURSO 204/205. MATEMÁTICAS II. Condidera el plano y la recta r dados por : ax + 2y 4z 23 = 0, r: 3 a) ( PUNTO) Halla
Más detalles. Halla los valores de α en cada uno de los siguientes casos: a) (1 punto) u r, v
EJERCICIOS BLOQUE III: GEOMETRÍA (04-M;Jun-A-4) Considera la recta r que pasa por los puntos A (,0, ) y (,,0 ) a) ( punto) Halla la ecuación de la recta s paralela a r que pasa por C (,,) b) (5 puntos)
Más detallesÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA Trabajo Práctico Nº 5 Recta y Plano Cursada 2014
ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA Trabajo Práctico Nº Recta Plano Cursada Desarrollo Temático de la Unidad La recta en el plano: su determinación. Distintas formas de la ecuación de la recta a partir de la
Más detallesLA CIRCUNFERENCIA. x y r. (x h) (y k) r. d(p; 0) x y r. d(p; C) (x h) (y k) r. Definición. Ecuación de la circunferencia. Geometría Analítica 3
Definición LA CIRCUNFERENCIA Se llama circunferencia a la sección cónica generada al cortar un cono recto con un plano perpendicular al eje del cono. La circunferencia es el lugar geométrico de todos los
Más detallesUNIDAD DE APRENDIZAJE III
UNIDAD DE APRENDIZAJE III Saberes procedimentales 1. Emplea de manera sistemática conceptos algebraicos, geométricos, trigonométricos y de geometría analítica. 2. Relaciona una ecuación algebraica con
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFÍN Y EUCLÍDEO
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 8 MATEMÁTICAS II TEMA : ESPACIO AFÍN Y EUCLÍDEO Junio, Ejercicio 4, Opción A Junio, Ejercicio 4, Opción B Reserva, Ejercicio 4, Opción A Reserva, Ejercicio 4,
Más detallesEJERCICIOS BLOQUE III: GEOMETRÍA
EJERCICIOS BLOQUE III: GEOMETRÍA (05-M4;Jun-B-4) Sea el plano π x + y z + 8 a) (5 puntos) Calcula el punto, P simétrico del punto (,,5 ) b) ( punto) Calcula la recta r, simétrica de la recta plano π P
Más detallesTEMA 7: CÓNICAS CIRCUNFERENCIA. A partir de esta ecuación podemos hallar el centro y el radio sin más que deshacer los cambios:
TEMA 7: CÓNICAS CIRCUNFERENCIA Se define la circunferencia como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro. A dicha distancia se le llama radio de la circunferencia.
Más detallesTEMA 4. Vectores en el espacio Problemas Resueltos
Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Soluciones de los problemas propuestos Tema 4 5 Vectores TEMA 4 Vectores en el espacio Problemas Resueltos Para a = (,, ) y b = (,, 4), halla: a) a b b) a b c)
Más detallesGeometría analítica en el plano
Geometría analítica en el plano E S Q U E M D E L U N I D D.. Vector fijo y vector libre página. Vectores página.. peraciones con vectores página 6.. Combinación lineal de vectores. ase página 7. Producto
Más detallesFacultad de Ingeniería Facultad de Tecnología Informática. Matemática Números reales Elementos de geometría analítica. Profesora: Silvia Mamone
Facultad de Ingeniería Facultad de Tecnología Informática Matemática Números reales Elementos de geometría analítica 0 03936 Profesora: Silvia Mamone UB Facultad de Ingeniería Facultad de Tecnología Informática
Más detallesLECCIÓN Nº 02 LA LINEA RECTA
LECCIÓN Nº 02 LA LINEA RECTA Definición En estudios anteriores de geometría plata se menciona que una recta es un conjunto de puntos del plano. En el estudio del álgebra se menciona que un conjunto tal
Más detallesEJERCICIOS DE GEOMETRÍA
1) Sean las rectas EJERCICIOS DE GEOMETRÍA x 2y 6z 1 r : x y 0 x y 1 s: z 2 a a) Determinar la posición relativa de r y s según los valores de a. b) Calcular la distancia entre las rectas r y s cuando
Más detallesÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA PRIMER CUATRIMESTRE 2014 EL PLANO
ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA PRIMER CUATRIMESTRE 04 GUIA DE ESTUDIO: EL PLANO Esta guía tiene la intención de ayudarte en el aprendizaje de los contenidos desarrollados en el material de estudio El plano
Más detallesLA RECTA. Una recta r es el conjunto de los puntos del plano, alineados con un punto P y con una dirección dada.
LA RECTA Una recta r es el conjunto de los puntos del plano, alineados con un punto P y con una dirección dada. En geometría euclidiana, la recta o la línea recta, se extiende en una misma dirección, existe
Más detallesLas bisectrices de dos ángulos adyacentes son perpendiculares. Las bisectrices de los ángulos opuestos por el vértice están en línea recta.
CONCEPTOS Y TEOREMAS BÁSICOS PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE GEOMETRÍA PLANA 1. CONSIDERACIONES GENERALES El objeto de la Geometría plana es el estudio de las figuras geométricas en el plano desde el
Más detallesMATEMÁTICAS II TEMA 6 Planos y rectas en el espacio. Problemas de ángulos, paralelismo y perpendicularidad, simetrías y distancias
Geometría del espacio: problemas de ángulos y distancias; simetrías MATEMÁTICAS II TEMA 6 Planos y rectas en el espacio Problemas de ángulos, paralelismo y perpendicularidad, simetrías y distancias Ángulos
Más detallesP RACTICA. 1 Si los puntos ( 6, 2), ( 2, 6) y (2, 2) son vértices de un cuadrado, cuál es el cuarto vértice?
P RACTICA Puntos Si los puntos 6 ) 6) y ) son vértices de un cuadrado cuál es el cuarto vértice? 6) 6 ) ) P ) P Los puntos ) ) y ) son vértices de un rombo. Cuáles son las coordenadas del cuarto vértice?
Más detallesPROBLEMAS DE HOMOTECIAS Y SEMEJANZAS EN EL PLANO
PROBLEMAS DE HOMOTECIAS Y SEMEJANZAS EN EL PLANO 1. Estudiar si la siguiente ecuación matricial corresponde a una homotecia del plano y, en su caso, calcular el centro y la razón: 1 1 1 ' = 3 y' 3 y. Estudiar
Más detallesTEMA 5. RECTAS Y PLANOS. INCIDENCIA.
TEMA 5. RECTAS Y PLANOS. INCIDENCIA. SISTEMA DE REFERENCIA EN EL ESPACIO. Un sistema de referencia en el espacio está formado por un punto y tres vectores linealmente independientes. A partir de ahora
Más detallesEcuaciones de la recta en el espacio
Ecuaciones de la recta en el espacio Ecuación vectorial de la recta Sea P(x 1, y 1 ) es un punto de la recta r y uu su vector director, el vector PPXX tiene igual dirección que uu, luego es igual a uu
Más detalles1. Los números negativos. Geometría analítica BLOQUE III: GEOMETRÍA
9 1. Los números negativos Geometría analítica BLOQUE III: GEOMETRÍA El tema comienza con el estudio de los vectores en el plano. Se definen las características de un vector y se estudian las operaciones
Más detallesGEOMETRÍA ANALÍTICA DEL PLANO
GEOMETRÍ NLÍTIC DEL PLNO.-Dependencia e independencia lineal de vectores. Un conjunto de vectores son linealmente dependientes cuando uno de ellos puede expresarse como combinación lineal de los restantes
Más detallesRESUMEN DE VECTORES. representa por AB El módulo de un vector es un número siempre positivo o cero.
RESUMEN DE VECTORES Un vector fijo AB es un segmento orientado que va del punto A (origen) al punto B (extremo). ELEMENTOS DE UN VECTOR: Dirección de un vector: La dirección del vector es la dirección
Más detallesTema 7. Geometría analítica.
Tema 7. Geometría analítica.. Vectores y puntos en el plano. Sistemas de coordenadas. Operaciones con vectores.. Suma y resta de vectores... Producto de un número real por un vector.3. Punto medio de dos
Más detallesBloque 2. Geometría. 4. Iniciación a las Cónicas
Bloque 2. Geometría 4. Iniciación a las Cónicas 1. La circunferencia Se llama circunferencia al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro. Elevando al cuadrado
Más detalles*SIMETRAL DE UN TRAZO.: perpendicular en el punto medio.
*DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS EN EL PLANO: P(x a, y b ). Q(x a, y b ) 2 b + ya yb d= ( ) ( ) 2 x a x *SIMETRAL DE UN TRAZO.: perpendicular en el punto medio. *ALTURA: perpendicular bajada del vértice al
Más detallesLugares geométricos y cónicas
Lugares geométricos y cónicas E S Q U E M A D E L A U N I D A D. Lugar geométrico página 6.. Definición página 6. Circunferencia página 6.. Ecuación página 6.. Casos particulares página 67. Elipse página
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFÍN Y EUCLÍDEO
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 7 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFÍN Y EUCLÍDEO Junio, Ejercicio 4, Opción A Junio, Ejercicio 4, Opción B Reserva, Ejercicio 4, Opción A Reserva, Ejercicio 4,
Más detallesProblemas resueltos del libro de texto. Tema 8. Geometría Analítica.
Problemas resueltos del libro de texto Tema 8 Geometría Analítica Combinación lineal de vectores 9- Es evidente que sí es combinación lineal de estos dos vectores, ya que -4 y permiten escribir z como
Más detalles1. Distancia entre puntos y rectas en el espacio. 3. Calcula la distancia existente entre las rectas: Solución: d(r, s) =
7 Espacio métrico. Distancia entre puntos y rectas en el espacio Piensa y calcula Dados los puntos A, 4, ) y B5,, 4), halla las coordenadas del vector: AB AB,5,) Aplica la teoría. Calcula la distancia
Más detalles