Capítulo 8 Sistemas completos de contectivos

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1 Capítulo 8 Sistemas completos de contectivos por G 3 Agosto 2014 Resumen Un conectivo de aridad n, es una función que asigna un valor de verdad a un conjunto de n proposiciones ordenadas. Mostramos que hay 2 2n conectivos de aridad n. Mostramos además que existen conjuntos de conectivos (mínimos) de los cuales pueden construirse el resto. Índice 1 Conectivos unarios y binarios Conectivos de aridad n Sistemas completos de conectivos Ejercicios del Capítulo Conectivos unarios y binarios Los conectivos lógicos que hemos estudiado con detalle hasta ahora son,,,,, y, conocidos, respectivamente, como: negación, doble negación (identidad), conjunción, disyunción, disyunción excluyente (diferencia simétrica), implicación (condicional) y doble implicación. 1

2 Son los conectivos más usuales. Pero no son los únicos. Por ejemplo, la barra (o función) de Sheffer, es el conectivo, (o también ) determinado por la tabla de valores de verdad p q p q V V F V F V F V V F F V (1) Es decir, la proposición p q ( p barra q ) es F si, y sólo si, ambas p y q son V. Entonces interpretamos p q como p es incompatible con q. Es fácil comprobar que p q (p q). Por lo que la barra de Sheffer es también denominada como NAND, es decir, no and, y entonces leemos p q como p NAND q. Otro ejemplo es el funtor (o función o barra) de Peirce, denotado con y determinado por la tabla de valores de verdad p q p q V V F V F F F V F F F V (2) Es decir, la proposición p q ( p barra abajo q ) es V si, y sólo si, ambas p y q son F. Por lo tanto, leemos p q como ni p ni q. Es también fácil comprobar que p q (p q). Por lo que el funtor de Peirce es también denominado como NOR, es decir, no or, y entonces leemos p q como p NOR q. Nos preguntamos: Cuántos conectivos hay? 2

3 Vayamos por partes. Primero, distinguimos dos tipos de conectivos: Un conectivo es unario cuando produce una proposición a partir de una sola proposición. Un conectivo es binario cuando produce una proposición a partir de dos proposiciones. Por ejemplo, y son unarios. Mientras que,,, y son binarios. Consideremos cualquier conectivo unario en particular. Usemos el símbolo para denotarlo. Si p es una proposición, entonces p quedará determinado por una tabla de valores de verdad del siguiente tipo: p p V? F? (3) Los signos de interrogación? son ocupados por cualquiera de las letras V o F, según como esté determinado. Por ejemplo, los conectivos y están determinados por las tablas p p p p V F y V V F V F F Note entonces que hay tantos conectivos unarios como tablas del tipo (3), donde los signos? son ocupados por cualquiera de las letras V o F. Así que nos preguntamos, cuántas tablas de esta forma hay? Pues bien, el signo? de cada uno de los dos renglones de la tabla (3), puede ser ocupado por cualquiera de los dos símbolos V o F. Así que debe haber 2 2 = 4 formas posibles de construir una tabla del tipo (3), donde los signos? son ocupados por cualquiera de las letras V o F. En consecuencia, hay solo 4 conectivos unarios. Específicamente, en la tabla siguiente, enlistamos todos los conectivos unarios posibles. Denotaremos tales conectivos como 1, 2, 3 y 4. p 1 p 2 p 3 p 4 p V F F V V F F V F V (4) 3

4 Ahora, si es cualquier conectivo binario, éste tendrá que estar determinado por una tabla de valores de verdad del tipo p q p q V V? V F? F V? F F? (5) donde los signos? de cada renglón están ocupados por alguno de los valores V o F. Luego, el número de conectivos binarios corresponde al número de tablas del tipo (5), que puedan formarse, tal que en cada renglón, el signo? sea ocupado por alguno de las letras V y F. Pues bien, en cada uno de los 4 renglones de la tabla (5), el signo? puede ser ocupado por cualquiera de las 2 letras V o F. Por tanto hay = 16 formas posibles de construir una tabla del tipo (5), tal que en cada renglón, el signo? sea ocupado por alguno de las letras V y F. En consecuencia, hay 16 conectivos binarios. Exhaustivamente, si sólo asignamos un número para representar cada uno de los 16 conectivos binarios, podemos enlistarlos en la tabla siguiente: VV F F F F V V V V F F F F V V V V VF F F F V F V F F V V F V F V V V FV F F V F F F V F V F V V V F V V FF F V F F F F F V F V V V V V F V (6) En la página siguiente mostramos en forma de diagrama la lista anterior, interpretada de forma conjuntista. Queremos remarcar un hecho sencillo pero relevante. Note que los renglones de la tabla (5) corresponden a cada una de las parejas ordenadas VV, VF, FV y F F. De manera que el número de renglones corresponde al número de elementos que tiene el producto cartesiano {V,F} 2 = {VV, VF, FV, FF}. Así que cualquier conectivo unario puede entenderse como una función del conjunto {V,F} en sí mismo 4

5 Figure 1: Los 16 conectivos binarios. Imagen tomada del artículo: Simetría y lógica, de M. García, J. F. Gómez y A. Oostra. Liga 5

6 Por otra parte, es cierto que cualquier conectivo binario puede interpretarse como una función de dos variables, cada una de ellas perteneciente al espacio de todas las proposiciones, y cuyo contradominio es este mismo espacio. Pero lo que importa de cualquier proposición es su valor de verdad, y éste es uno de entre únicamente dos valores: V o F. Así que cuelquier conectivo binario puede entenderse como una función del conjunto {V,F} 2 al conjunto {V, F }. La regla de correspondencia de cualquier conectivo binario está determinada justamente por su tabla de valores de verdad. 2 Conectivos de aridad n La lista de conectivos no se agota únicamente en los tipos unarios y binarios. Definición 1. Un conectivo (lógico proposicional) de aridad n, es una función que asigna un valor de verdad a n proposiciones ordenadas. Los conectivos unarios son todos los conectivos de aridad n = 1, y los binarios los de aridad n = 2. Hay 4 = 2 21 conectivos de aridad 1, y hay 16 = 2 22 conectivos de aridad 2. En general, cuántos conectivos de aridad n hay? Teorema 1. Hay 2 2n conectivos de aridad n. Demostración. Sea (n) cualquier conectivo de aridad n elegido arbitrariamente. Escribimos (n) (p 1,..., p n ) como la proposición resultante de aplicar el conectivo (n) a las proposiciones p 1,...,p n. La tabla de (n) (p 1,..., p n ) tiene 2 n renglones: p 1 p 2 p n 1 p n (n) (p 1,..., p n ) V V V V? V V V F?..... F F F F? En efecto, cada renglón de esta tabla corresponde a un arreglo de tamaño n, con repetición incluso, de las letras V y F, dispuestas una a una en orden. 6

7 Como cada lugar de un arreglo de tamaño n, puede ser ocupado por cualquiera de las dos letras V o F se sigue que el número de renglones es 2 } 2 {{ 2} = 2 n. n-veces Note que cada renglón corresponde a cada arreglo ordenado de tamaño n del producto cartesiano {V,F} n = {V,F} {V,F} {V,F}. }{{} n-veces El número de renglones de la tabla de (n) (p 1,..., p n ) corresponde así al número de elementos que tiene el conjunto {V,F} n. En conclusión, cualquier conectivo de aridad n, tiene una tabla de 2 n renglones, cada uno de los cuales tiene asignado un único valor de verdad de entre dos valores: V o F. Por lo tanto, el número de tablas con estas características, y por ende el número de conectivos de aridad n, es igual a 2 } 2 {{ 2} = 2 2n. 2 n -veces Ejemplo 1. Definimos el conectivo de aridad 3, dado por la tabla p q r (p, q, r) V V V F V V F F V F V F V F F F F V V V F V F F F F V V F F F V Note que (p, q, r) ( p) (q r). 7

8 Ejemplo 2. Definimos la disyunción de aridad 3 como el conectivo, dado por la tabla p q r (p, q, r) V V V V V V F V V F V V V F F V F V V V F V F V F F V V F F F F Note que (p, q, r) p q r. Del mismo modo podemos definir la conjunción de aridad 3, mediante la equivalencia (p, q, r) p q r. En general, definimos la disyunción de aridad n, con la equivalencia (p1, p 2,..., p n ) p 1 p 2 p n. Y definimos la conjunción de aridad n con la equivalencia (p1, p 2,..., p n ) p 1 p 2 p n. También es usual la notación n i=1 p i y n p i. i=1 Observación 1. Algunos autores usan los símbolos y para el cuantificador universal y el cuantificador existencial, respectivamente. Motivados por los ejemplos anteriores (y muchos similares que el lector puede hacer por sí mismo), nos preguntamos si es posible construir cualquier conectivo de aridad n 2, a partir de los conectivos unarios y binarios. La respuesta es afirmativa. La prueba de ello será más clara después de estudiar la sección siguiente. 8

9 3 Sistemas completos de conectivos Partimos de la siguiente observación: Sean p y q proposiciones, entonces p ( p) ( p) p [( p) ( p)] p q (p q) p q (p q) (q p) [ (p q)] [ (q p)] p q (p q) ([ (p q)] [ (q p)]) p q ( p q). Así que todos los conectivos usuales pueden escribirse en términos (lógicamente) equivalentes de y. Será entonces posible que todos los conectivos binarios pueden expresarse en términos equivalentes de los conectivos y? La respuesta es afirmativa. Teorema 2. Cualquier contectivo unario o binario es lógicamente equivalente a una expresión que está escrita en términos únicamente de los conectivos y. Demostración. Siguiendo la notación dada antes en la tabla (4), es fácil comprobar que 1 p p p 2 p p (p p) 3 p p ( p p) 4 p p p ( p p) Por lo tanto, todo conectivo unario es lógicamente equivalente a una expresión que está escrita en términos de y. Ahora, sean p y q proposiciones y consideremos las proposiciones r 0 (p p) q, y r 1 p q r 2 p q r 3 p q r 4 p q 9

10 Note que r 0 es un absurdo. Las tablas de las restantes proposiciones son p q p q p q p q p q V V V V V V F F F F V F F F V F V F F V V V F F F F F V F V V F V F F F V V V V F F F F F F F F F V F F V V V V Notamos que la tabla de r i solo tiene V en el renglón i, con i = 1, 2, 3, 4. Supongamos que es un conectivo binario. La tabla de p q tiene 4 renglones. Hay entonces únicamente las situaciones siguientes: Caso 0. p q es absurdo (conectivo 1 de la tabla (6)). En tal caso, p q r 0. Caso 1. La tabla de p q tiene solo un valor V (conectivos 2-5 de la tabla (6)). Si éste está en el renglón i, para algún i {1, 2, 3, 4}, entonces p q r i. Caso 2. La tabla de p q tiene únicamente dos valores V (conectivos 6-11 de la tabla (6)). Si éstos están en los renglones i y j (i, j {1, 2, 3, 4}, i j), entonces p q r i r j ( r i r j ). Caso 3. La tabla de p q tiene tres valores de verdad (conectivos de la tabla (6)). Si éstos están en los renglones i, j y k (i, j, k {1, 2, 3, 4}, i j k i), entonces p q r i r j r k ( r i r j r k ). Caso 4. p q es tautología (conectivo 16 de la tabla (6)). En tal caso, p q r 1 r 2 r 3 r 4 ( r 1 r 2 r 3 r 4 ). Así que cualquiera que sea la tabla, p q puede escribirse en términos lógicamente equivalentes de y. 10

11 Decimos por tanto que el conjunto de conectivos y es un sistema completo (o suficiente o mínimo) de conectivos, para el conjunto de conectivos unarios y binarios. Surge un par de preguntas: 1. Existen otros conectivos que formen un sistema completo para los conectivos unarios y binarios? 2. Cuál es el número mínimo de conectivos necesarios para formar un sistema completo de conectivos, para los conectivos unarios y binarios? Desde luego, la pregunta 1 tiene obvia respuesta afirmativa. Corolario 1. Los conectivos y forman también un sistema completo de conectivos para el conjunto de conectivos unarios y binarios. Demostración. Para cualesquiera p y q proposiciones, p q (p ( q)) (p q). Es decir, el conectivo puede describirse en términos equivalentes de y. Luego, dado que cualquier conectivo unario y binario, puede escribirse en términos equivalentes de y, sucede también que puede escribirse en términos equivalentes de y. Vayamos más despacio con la segunda pregunta. Ya sabemos que los conjuntos de pares de conectivos {, } y {, }, conforman sistemas completos de conectivos de tamaño dos, para el conjunto de conectivos unarios y binarios. La cuestión es, en específico, si existe un sistema completo de conectivos que conste de un solo conectivo. Podemos dar una primera respuesta parcial Proposición 1. Ningún conectivo unario forma por sí mismo un sistema completo de conectivos, para el conjunto de conectivos unarios. Demostración. Supongamos que alguno de los conectivos unarios de la tabla (4) forma por sí mismo un sistema completo para el conjunto de los conectivos unarios. Denotemos como dicho conectivo. Entonces en particular, 1 p p 4 p. (7) 11

12 Pero 1 p es absurdo y 4 p tautología. Por lo que la equivalencia (7) es imposible. Luego, no existe ningún conectivo unario el cual forma por sí mismo un sistema completo de conectivos, para el conjunto de conectivos unarios. De manera que si existiera un sistema completo de conectivos para el conjunto de conectivos unarios y binarios, que conste de un sólo conectivo, éste no es unario. Será entonces que existe un conectivo binario que forme por sí mismo un sistema completo de conectivos para el conjunto de conectivos unarios y binarios? Podemos descartar algún candidato. Proposición 2. El conectivo no es un sistema completo para el conjunto de conectivos unarios, ni para el conjunto de conectivos binarios. Demostración. Si fuese por sí mismo un sistema completo de conectivos para el conjunto de conectivos unarios, entonces esperaríamos obtener p, mediante únicamente p y aplicaciones sucesivas del conectivo. Algo que podemos representar genéricamente como (p p) 1 Pero recordemos que p p es una tautología, y que si T es una tautología, entonces p T es tautología y T p p. Así que a partir de y una proposición p, solo podemos obtener tautologías o bien proposiciones equivalentes a p. Nunca podemos obtener p. Ahora veamos que no puede ser por sí mismo un sistema completo de conectivos para el conjunto de conectivos binarios. Si lo fuese, entonces, en particular, el absurdo p p es equivalente a una proposición escrita en términos de y p. Pero ya vimos que a partir de y una proposición p, solo podemos obtener tautologías o bien proposiciones equivalentes a p. 1 Queremos decir que el proceso de aplicar sucesivamente el conectivo a una sola proposición p, es finito, por lo que deberemos tener en algún momento la expresión p p. Descartamos con ello fórmulas infinitas tales como p (p (p ( ))). Ello tiene una justificación rigurosa, a partir de reglas sictácticas previamente establecidas, pero no queremos aquí entrar en detalles que resultarían muy largos y engorrosos. 12

13 Es fácil también descartar los conectivos 1 y 16 de la tabla (6). De hecho, podríamos continuar analizando caso por caso. O bien, podemos tratar de responder la pregunta: Qué debe cumplir un conectivo binario para ser por sí mismo un sistema completo de conectivos para los conjuntos de conectivos unarios y binarios? Vayamos por partes. Primero debemos tener claro que cualquier sistema completo de conectivos para el conjunto de conectivos binarios, es también completo para el conjunto de conectivos unarios ( por qué?). De modo que si existe un sistema completo de conetivos con un único conectivo, de éste debemos obtener. Supongamos por el momento que es un conectivo binario el cual es por sí mismo un sistema completo de conectivos. Para cualquier proposición p existe una fórmula (p p) (8) la cual es equivalente a p. Analizamos dos únicos casos: Supongamos que p es V. Entonces p es F. Es decir, (8) es F. Dede suceder por lo tanto que p p es F, de lo contrario, jamás podríamos obtener F de (8). Con esto obtenemos el primer renglón de la tabla de p q: p q p q V V F V F? F V? F F?. Supongamos que p es F. Con un argumento análogo concluimos que p p es V. Con lo que obtenemos el cuarto renglón de la tabla de p q: p q p q V V F V F? F V? F F V. Ahora analizamos qué sucede con el tercer renglón. Nuevamente analizamos dos casos: 13

14 Supongamos que el segundo renglón es V. Esto es, supongamos que si p es V y q es F, entonces p q es V. Hay que ver qué sucede con el tercer renglón. Si el tercer reglón fuera F, obtendríamos la tabla p q p q V V F V F V F V F F F V. En tal caso note entoces que p q q. Pero ya vimos que es imposible que (que es un conectivo unario) pueda ser por sí mismo un sistema completo de conectivos. Así que no queda de otra más que el tercer renglón de la tabla de p q sea V. Con lo cual obtenemos la tabla p q p q V V F V F V F V V F F V. Note que esta es la tabla de la barra de Sheffer (1). Como segundo caso, supongamos que el segundo renglón de la tabla de p q es F. Nuevamente hay que ver qué sucede con el tercer renglón. Si éste fuera V, entonces obtendríamos la tabla p q p q V V F V F F F V V F F V. En cuyo caso, note que p q p. Pero ya vimos que es imposible que (que es un conectivo unario) pueda ser por sí mismo un sistema completo de conectivos. 14

15 Así que el tercer renglón debe ser F. Con lo cual obtenemos la tabla p q p q V V F V F F F V F F F V. Note que esta es la tabla del funtor de Peirce (2). Hemos demostrado así que, si es que existe algún conectivo binario que sea por sí mismo un sistema completo de conectivos para los conjuntos de conectivos unarios y binarios, éste es la barra de Scheffer o bien el funtor de Peirce. Teorema 3. La barra de Scheffer y el funtor de Peirce, son los únicos sistemas de conectivos binarios que conforman, por sí mismos, un sistema completo de conectivos para los conjuntos de conectivos unarios y binarios. Demostración. Ya hemos hecho casi todo el trabajo. Lo único que debemos comprobar es que y son por sí mismos completos. Note primero que para cualesquiera proposiciones p y q, p (p p) p p, y también p q (p q) (p q) (p q) (p q). Así que la barra de Scheffer es un sistema completo de conectivos. Análogamente, p (p p) p p. Y también p q ( p q) [(p p) (q q)] (p p) (q q). Por lo tanto, el funtor de Peirce es un sistema completo de conectivos. Teorema 4. Cualquier conectivo de aridad n puede escribirse en términos equivalentes a una expresión que contiene únicamente los conectivos y. 15

16 Demostración. Con la finalidad de ilustrar una prueba sencilla, haremos únicamente el caso n = 3. El lector debería intuir cómo es la prueba para cuaquier n. Se trata simplemente de extender la prueba hecha para el caso n = 2. Pues bien, note en primer lugar que cualquier conectivo de aridad 3 tiene una tabla de 2 3 = 8 renglones. Sea cualquier conectivo de aridad 3. Sean p, q y r proposiciones. Definimos las proposiciones s 0 (p p) q r s 1 p q r s 2 p q r s 3 p q r s 4 p q r s 5 p q r s 6 p q r s 7 p q r s 8 p q r. Note que s 0 es un absurdo y que para cada 1 i 8, la tabla de la proposición s i tiene F en todos los renglones, salvo el i-ésimo, que es V. De modo que si (p, q, r) es un absurdo, entonces (p, q, r) s 0. En otro caso, la tabla de (p, q, r) tienen únicamente k renglones con V, para algún 1 k n. Digamos que se trata de los renglones i 1, i 2,..., i k, ordenados sucesivamente, o sea, i 1 < i 2 < < i k. Por consiguiente, (p, q, r) s i1 s i2 s ik ( s i1 s i2 s ik ). Los conectivos binarios constituyen el sistema de conectivos realmente importante. Cualquier otro conectivo de aridad n, puede obtenerse combinando los conectivos binarios. Esta es la razón por la que en lógica proposicional solo trabajamos con unos cuantos conectivos binarios. 16

17 Ejercicios del capítulo 8 1. Haga una representación conjuntista de los conectivos unarios enlistados en la tabla Construye una proposición P compuesta por p, q y r tal que tenga la tabla de valores de verdad p q r P V V V V V V F F V F V F V F F V F V V V F V F V F F V F F F F V 3. Construye una proposición Q compuesta po p, q y r tal que tenga la tabla de valores de verdad p q r Q V V V V V V F V V F V F V F F V F V V F F V F V F F V F F F F V 4. Demuestra que no es un sistema completo de conectivos. 5. Demuestra que no es un sistema completo de conectivos. 17