Muestreo e intervalos de confianza

Transcripción

1 Muestreo e intervalos de confianza Intervalo de confianza para la media (varianza desconocida) Intervalo de confinza para la varianza Grados en Biología y Biología sanitaria M. Marvá. Departamento de Física y Matemáticas. UAH

2 En general, la varianza es un parámetro poblacional desconocido pero necesario para calcular el intervalo de confianza para la media: Si no lo conocemos podemos estimarlo? Candidato natural: calcular la varianza de la muestra Dada una muestra X 1,, X n, calcular la media muestral X y n i=1 Var(X 1,, X n ) = (X i X) n Se puede demostrar que E[ X] = µ X. Es un buen estimador puntual. E[Var(X 1,, X n )] = n 1 n σ2 X. Sistermaticamente infravalora el verdadero valor de la varianza poblacional

3 Estimadores Un estimador es insesgado cuando su valor esperado coincide con el valor de parámetro que pretende estimar En caso contrario, se dice sesgado Ejemplo: lo que dice el resultado (de la diapo.) anterior es La media muestral es un estimador insesgado de la media poblacional La varianza de la muestra es un estimador insesgado de la varianza poblacional con R, X es un estimador sesgdo pero Var es sesgado

4 Es estimador insesgado de la varianza Dada una muestra de la variable X, de tamaño n, formada por los valores X 1,..., X n definimos la cuasivarianza muestral (a veces se llama varianza muestral) mediante: s 2 = n (X i X) 2 i=1. n 1 Y la cuasidesviación típica muestral (o desviación típica muestral) es la raíz cuadrada s de la cuasivarianza muestral. E[s 2 ] = σ 2 X

5 Intervalo de confianza para la media, muestras grandes Sea X una v.a. cualquiera. Si tomamos muestras de tamaño n > 30, entonces ( ) s X N µ X, n tiene una distribución normal estándar. Usando este resultado, un intervalo de confianza al nivel nc = (1 α) para la media µ X es: ( ) s s X z α/2, X + z n α/2 n que también se escribe como µ X = X ± z α/2 s n.

6 Ejemplo: Se ha medido la presión sanguínea (en mmhg) a 40 habitantes de Framingham. Determina el intervalo de confianza para la media con un nivel de confianza del 0.95% Usando, por ejemplo, R: X = , s = 22.57, z = 1.96 ( , ) = ( , ) 40 40

7 Recapitulando: Si conocemos σ y X es normal ( X N µ X, σ ) X n Si no conocemos σ, para cualquier v.a. X y muestras de n > 30 ( ) s X N µ X, n Si no conocemos σ y las muestras son pequeñas (n < 30), qué podemos hacer?

8 Distribución t de Student: Sea X una variable aleatoria de tipo N(µ X, σ X ), y sea X la media muestral de X para muestras de tamaño n. Entonces, la distribución de la variable aleatoria T k = X µ X s/ n, es la distribución t de Student con k = n 1 grados de libertad. Student obtuvo la función de densidad de probabilidad de T k que, para para k = n 1 grados de libertad es: f (x) = 1 k β( 1 2, k 2 ) Veamos su gráfica, y que lim k T k = N(0, 1) ) k+1 (1 + x2 2 k

9 Valores críticos t k;α/2 de distribución t de Student Sean 0 p 1 y k N. El valor crítico de la distribución t de Student con k grados de libertad asociado a p es el valor t k;p tal que: P(T k t k;p ) = 1 p. t k;p deja una probabilidad p en su cola derecha (1 p en la cola izda) t 0.95 = grados libertad t 0.05 =

10 I.C. para la media: muestras normales, pequeñas, σ 2 desconocida Sea X una v.a. normal, cuya varianza σx 2 se conoce. Si consideramos muestras de tamaño n, el intervalo de confianza al nivel de confianza nc = (1 α) para la media µ X es: ( ) s s X T k,α/2, X + T n k,α/2 n El valor T α/2 s n es la semianchura del intervalo (mide la precisión). El error estándar de la muestra es s n

11 Ejemplo: Se ha medido las lipoproteinas de baja densisdad (LDL) (en mg/dl) a 20 habitantes de Framingham. Determina el intervalo de confianza para la media con un nivel de confianza del 90% suponiendo que la concentración de LDL se distribuye de forma normal Usando, por ejemplo, R: X = , s = 41.06, t 19,0.05 = 1.73 ( , ) = ( , ) 20 20

12 Inferencia sobre la varianza Muchas poblaciones de interés siguen una distribución normal y para caracterizarla es necesario conocer ( estimar!) tanto la media como la varianza. Ahora nos ocuparemos de la varianza. Sea X una variable aleatoria de tipo N(µ, σ) (que representa a la población), y sea X 1, X 2,..., X n una muestra aleatoria de X (las X i son n copias independientes de X). Entonces: s 2 = n (X i X) 2 i=1. n 1 El objetivo es relacionar s 2 con una normal N(0, 1)para pder construir un intervalo de confianza para σ 2

13 Una función de densidad de probabilidad para hacer inferencia sobre la varianza s 2 σ 2 = = = n (X i X) 2 i=1 σ 2 (n 1) = 1 (n 1) 1 (n 1) n i=1 n (X i X) 2 i=1 ( (Xi X) 2 ) = σ 2 σ 2 1 (n 1) n i=1 1 n i=1 (n 1) Z2 i = 1 ( Z 2 n Z n) Z2 ( Xi X σ ) 2

14 Variable aleatoria Chi cuadrado, χ 2 Si la variable aleatoria Y es la suma de los cuadrados de una familia de n copias independientes de la distribución normal estándar, entonces diremos que Y es de tipo χ 2 k, con k = n 1 grados de libertad La función de densidad de probabilidad de χ 2 k para k grados de libertad es: 1 f (x; k) = 2 k/2 Γ(k/2) x(k/2) 1 e x/2 si x 0 0 si x < 0 La media de χ 2 k es µ χ 2 k = k, y su desviación típica es σ χ 2 k = 2k Veamos su gráfica, que no es simétrica.

15 Estadístico para la distribución muestral de σ 2, poblaciones normales. Si X es una variable aleatoria de tipo N(µ, σ)), y se utilizan muestras aleatorias de tamaño n, entonces: (n 1) s2 σ 2 χ2 k, con k = n 1. (1)

16 Sean 0 p 1 y k N. El valor crítico χ 2 k;α/2 de distribución χ2 k con k grados de libertad asociado a p es el valor t k;p tal que: χ 2 k;p P(χ 2 k χ 2 k;p) = 1 p. deja una probabilidad p en su cola derecha (1 p en la cola izda) χ 2 10;0.95 = grados de libertad χ2 10;0.05 =

17 Intervalo de confianza para σ 2, poblaciones normales de tamañ o n Con los valores críticos de χ 2 n 1 se construte el intervalo de confianza: fijado nc = 1 α, ( ) P χ 2 n 1;1 α/2 < χ2 n 1 < χ 2 n 1;α/2 = 1 α Sabemos que (n 1) s2 σ 2 χ2 n 1 sustituyendo en la expresión anterior ) 2n 1;1 α/2 s2 P (χ < (n 1) σ 2 < χ2 n 1;α/2 = 1 α Al reorganizar términos (pág 234 del libro) se tiene ( ) (n 1)s 2 P < σ 2 (n 1)s2 < = 1 α χ 2 n 1;α/2 χ 2 n 1;1 α/2

18 Intervalo de confianza para σ 2, poblaciones normales Sea X una v.a. de tipo N(µ, σ). Si consideramos muestras de tamaño n, el intervalo de confianza al nivel nc = (1 α) para la media σ es: ( ) (n 1)s 2 (n 1)s 2 P χ 2, n 1;α/2 χ 2 n 1;1 α/2

19 Ejemplo: Se ha medido las lipoproteinas de baja densisdad (LDL) (en mg/dl) a 20 habitantes de Framingham. Determina el intervalo de confianza para la varianza al nivel de confianza del 90% suponiendo que la concentración de LDL se distribuye de forma normal Usando, por ejemplo, R: s = 41.06, χ 2 19,0.95 = 10.12, χ2 19,0.05 = ( , ) = (25.88, 77.12) Para tenerel intervalo para σ, extraer las raices cuadradas de los extremos del intervalo de confianza