PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2010 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES

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1 PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva 4, Ejercicio, Opción A Reserva 4, Ejercicio, Opción B Septiembre, Ejercicio, Opción A Septiembre, Ejercicio, Opción B

2 Calcula π sen ( ) d. Sugerencia: Efectúa el cambio = t MATEMÁTICAS II.. JUNIO. EJERCICIO. OPCIÓN A Como el cambio es = t, vamos a calcular los nuevos límites de integración. Si =π π = t t =π Si = = t t = Vamos a calcular cuanto vale d: = t d= dt d= tdt Hacemos la integral por partes. Sustituyendo, nos queda: π t π sent dt = cos + cos = [ cos + ] = ( πcos π+ π) ( ) = π t t t dt t t sent sen sen u = ; t du = dt dv = sent dt ; v = cost

3 Considera la función f dada por f ( ) = 5 y la función g definida como g ( ). a) Esboza el recinto limitado por las gráficas de f y g indicando sus puntos de corte. b) Calcula el área de dicho recinto. MATEMÁTICAS II.. JUNIO. EJERCICIO. OPCIÓN B. 4 = para a) La función f ( ) = 5 es una recta, luego podemos dibujarla fácilmente con una tabla de 4 valores. La función g ( ) = es una hipérbola, la podemos dibujar dando ó 4 valores a la derecha y a la izquierda de. Vemos que las dos funciones se cortan en los puntos (,4) y (4,) b) El área de la región pedida es: A= (5 ) d= 5 4ln = ( 8 4ln 4) 5 = 4ln 4 u

4 Considera las funciones f, g: definidas por: f ( ) = y g ( ) a) Esboza sus gráficas en unos mismos ejes coordenados. b) Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de f y g. MATEMÁTICAS II.. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN A. = a) La función f ( ) los puntos (, ) y (,) = es una parábola cuyo vértice está en el punto (, ) y corta al eje X en. si La función g ( ) = = son dos rectas, que son la bisectriz del º y er cuadrante. si < b) 7 A= ( ) d= = = u

5 Dada la función f : (, + ) definida por f ( ) = ln, donde ln es la función logaritmo neperiano, se pide: a) Comprueba que la recta de ecuación y = e+ + e es la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa = e. b) Calcula el área de la región limitada por la gráfica de f, el eje de abscisas y la recta normal del apartado (a). MATEMÁTICAS II.. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN B a) Calculamos la derivada de la función: f '( ) = La ecuación de la recta normal es: y f ( e ) = ( ) ln ( ) ( ) '( ) e y e = f e e y = e e y = e + e + e b) Calculamos el punto de corte de la normal con el eje X. + = e + e + = = e + e e e El área que nos piden es: e+ e e+ e e e e (ln ) ( ) [ ln ] e e A= d+ + e e d= + + e = e e+ e = [( e e) ( ) ] + e+ + e e+ e+ e = + u e e e e

6 Sea f : (, + ) la función definida por f( ) = ln( + ). Halla una primitiva F de f que verifique F () =. ( ln denota logaritmo neperiano). MATEMÁTICAS II.. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN A. F( ) = ln( + ) d= ln( + ) d= ln( + ) d= ln( + ) + Ln( + ) + C + + u = ln( + ); du = d + dv = d; v = Calculamos el valor de la constante C. F() = = ln( + ) + Ln( + ) + C C = ln Luego, la primitiva que nos piden es: F( ) = ln( + ) + Ln( + ) ln

7 Calcula el valor de a > sabiendo que el área del recinto comprendido entre la parábola y = + a y la recta y+ = vale 6 unidades cuadradas. MATEMÁTICAS II.. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN B. Hacemos un esbozo de las dos funciones. Calculamos los puntos de corte de las dos funciones. y = ( a ) ; a + + = = =. y = + a 6 ( ) a a a a a ( a) ( a) a( a) = a d = = = a = a + a + a+ = 6 a + a + a 5 = a= 5 6

8 Dada la función f definida por f( ) = para y 4. Calcula el área del recinto 5+ 4 limitado por la gráfica de f, el eje de abscisas, y las rectas =, =. MATEMÁTICAS II.. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN A. Hacemos un esbozo de la gráfica. Calculamos la integral 5+ 4 d Calculamos las raíces del denominador: 5 + 4= = ; = 4 Descomponemos en fracciones simples: A B A( 4) + B( ) = + = ( )( 4) Como los denominadores son iguales, los numeradores también tienen que serlo. Para calcular A y B sustituimos los valores de las raíces en los dos numeradores = = A A= = 4 = B B= Con lo cual: d = d + d = ln( ) + ln( 4) A = ln ln 4 ( ln ln) ( ln ln ) ln u 5+ 4 = + = =

9 Considera la función f : definida por f ( ) =. a) Esboza su gráfica. b) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f, el eje de abscisas y la recta de ecuación =. MATEMÁTICAS II.. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN B. si < a) Abrimos la función: f( ) = =. si Hacemos el dibujo de las dos parábolas en sus intervalos. b) Según vemos en la figura el área que nos piden es: A= ( + ) d + ( ) d = + + = = ( 9 9) 4 = u

10 Sea la función f dada por f( ) = para y. Determina una primitiva F de f + tal que F () =. MATEMÁTICAS II.. RESERVA 4. EJERCICIO. OPCIÓN A. Calculamos la integral d = + ( + ) d Descomponemos en fracciones simples: A B A( + ) + B = + = + + ( + ) Como los denominadores son iguales, los numeradores también tienen que serlo. Para calcular A y B sustituimos los valores de las raíces en los dos numeradores Con lo cual: = = A = = B B= F( ) = d = d = d d = ln ln + + C + ( + ) ( + ) Como F() = = ln ln + + C C = + ln Luego la primitiva que nos piden es: F( ) = ln ln ln

11 Sean f, g: las funciones definidas por f( ) = + y g ( ) = +. a) Esboza las gráficas de f y g, y halla su punto de corte. b) Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de ambas funciones y el eje de ordenadas. MATEMÁTICAS II.. RESERVA 4. EJERCICIO. OPCIÓN B a) Dibujamos las dos parábolas. Calculamos los puntos de corte igualando las dos funciones. b) El área de la región pedida es: + = = = 8 8 A = ( + ) d = ( + ) d = 4 4 u + 6 = + = 6 6

12 5 Sea Calcula I = d. + e a) Epresa I haciendo el cambio de variable t = e. b) Determina I. MATEMÁTICAS II.. SEPTIEMBRE. EJERCICIO. OPCIÓN A a) Como el cambio es t = e, vamos a calcular cuanto vale d: t dt t dt dt tdt= e d d= = = e t t 5 5 I = d = dt = dt + e + t t t( + t) b) Es una integral racional con raíces reales simples. Descomponemos en fracciones simples: ( + ) + = A + B = A t Bt t( + t) t + t t( + t) Como los denominadores son iguales, los numeradores también tienen que serlo. Para calcular A, y B sustituimos los valores de las raíces en los dos numeradores t = = A A = t = = B B = Con lo cual: dt = dt + dt = ln t + ln ( + t) = ln e + ln + e + C t( + t) t + t

13 Considera la función f : dada por f( ) = + 4. a) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa =. b) Esboza el recinto limitado por la gráfica de f, el eje de ordenadas y la recta de ecuación y = +. Calcula su área. MATEMÁTICAS II.. SEPTIEMBRE. EJERCICIO. OPCIÓN B. a) La ecuación de la recta tangente es: y f() = f '() ( ). f () = + 4 = 5 f '( ) = f '() = Sustituyendo, tenemos: y f() = f ' () ( ) y 5 = ( ) y= + b) Hacemos el dibujo del recinto. El área de la región pedida es: A= ( + 4 ) d= ( + ) d= + = + = u