Sumas/promedios de variables aleatorias

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Sandra Suárez Navarro
hace 6 años
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1 Sumas/promedios de variables aleatorias Dadas unas variables aleatorias X 1,..., X n, interesa considerar las variables S n = X i o bien Z n = 1 n X i. De las variables S n y Z n querremos calcular sus medias, sus varianzas, y en general sus funciones de densidad o masa. El cálculo de las medias no requiere hipótesis: E(S n ) = E(Z n ) = 1 n E(X i ), E(X i ). Pablo Fernández Gallardo (UAM) Probabilidad y Estadística, November 3, / 12

2 El calculo de las varianzas es más complicado. Por ejemplo, V(X + Y ) = E((X + Y ) 2 ) E(X + Y ) 2 = E(X 2 + Y X Y ) ( E(X ) + E(Y ) ) 2 = E(X 2 ) + E(Y 2 ) + 2E(X Y ) E(X ) 2 E(Y ) 2 2E(X ) E(Y ) = [ E(X 2 ) E(X ) 2] + [ E(Y 2 ) E(Y ) 2] + 2 ( E(X Y ) E(X ) E(Y ) ) = V(X ) + V(Y ) + 2 cov(x, Y ). Obsérvese cómo interviene la covarianza. Si por ejemplo fueran tres variables, intervendrían todas las covarianzas (de cada par de variables). Pablo Fernández Gallardo (UAM) Probabilidad y Estadística, November 3, / 12

3 Vamos a ponernos en una situación muy especial: las variables X 1,..., X n son independientes; y todas ellas tienen la misma función de densidad/masa (idénticas). Se suele decir que son independientes e idénticamente distribuidas, y abreviarse con variables iid. Se trata de un modelo que describe ciertas situaciones habituales: repetición independiente de un experimento aleatorio en las mismas condiciones; simulación de muestras en el ordenador; etc. Pablo Fernández Gallardo (UAM) Probabilidad y Estadística, November 3, / 12

4 Digamos entonces que las variables X 1,..., X n son iid, y todas ellas copias de una variable X de referencia. De esta variable X conocemos su función de densidad/masa, que denotaremos indistintamente por f X (x); su función de distribución F X (x); y también, claro, su media E(X ) = µ y su varianza V(X ) = σ 2. Pablo Fernández Gallardo (UAM) Probabilidad y Estadística, November 3, / 12

5 El cálculo de medias y varianzas de S n y Z n es ahora especialmente sencillo: E(S n ) = E(Z n ) = 1 n E(X i ) = n µ, E(X i ) = µ. Y, como las X i son independientes (todas las covarianzas son 0), V(S n ) = V(X i ) = n σ 2, V(Z n ) = 1 n 2 V(X i ) = σ2 n. Pablo Fernández Gallardo (UAM) Probabilidad y Estadística, November 3, / 12

6 Obsérvese que para la variable promedio, Z n, E(Z n ) = µ y V(Z n ) = σ2 n. Así que, para n muy grande, la variable Z n es prácticamente una constante (el valor µ), puesto que su varianza se hace extremadamente pequeña. Este hecho es conocido como la ley de los grandes números. Por ejemplo, si lanzamos 1000 veces la moneda regular y calculamos el promedio de caras, estará muy cercano al 50%. Pablo Fernández Gallardo (UAM) Probabilidad y Estadística, November 3, / 12

7 Sobre la distribución de la suma y el promedio Cómo es la distribución de las variables S n y Z n? Nos gustaría saber, por ejemplo, cuán probable es obtener menos de 400 caras al lanzar 900 veces la moneda regular, o cuán probable es que que al lanzar 773 veces un dado, el promedio de puntos obtenido esté entre 3 y 4. En algunos (pocos) casos, conocemos expĺıcitamente la distribución de estas variables. Pablo Fernández Gallardo (UAM) Probabilidad y Estadística, November 3, / 12

8 Ejemplo 1. Supongamos que X ber(p). La variable S n = es una bin(n, p), que toma los valores 0, 1, 2..., n con probabilidades ( ) n P(S n = j) = p j (1 p) n j para cada j = 0, 1,..., n. j X j Y la variable Z n = 1 n X j? Pablo Fernández Gallardo (UAM) Probabilidad y Estadística, November 3, / 12

9 Ejemplo 2. Supongamos que X N (µ, σ). La variable es una N (nµ, n σ). S n = X j Mientras que la variable es una N (µ, σ/ n). Z n = 1 n X j Pablo Fernández Gallardo (UAM) Probabilidad y Estadística, November 3, / 12

10 El teorema central del ĺımite El teorema central del ĺımite (TCL) afirma que las versiones tipificadas de las variables S n y Z n son, aproximadamente y cuando n es grande, normales estándar. Es decir, para todo x R, ( Sn nµ ) n P x P(N (0, 1) x) = Φ(x). nσ O bien ( Zn µ ) P σ/ n x n P(N (0, 1) x) = Φ(x). Pablo Fernández Gallardo (UAM) Probabilidad y Estadística, November 3, / 12

11 Esto nos permite contestar (aproximadamente, y siempre que n sea grande) a cualquier pregunta sobre la distribución de S n o de Z n. Ejemplo. Calculamos la probabilidad de que al lanzar 1000 veces la moneda (regular) obtengamos entre 450 y 550 caras. La variable X es una ber(1/2). Sabemos que E(X ) = 1/2 y que V(X ) = 1/4. Llamemos S 1000 = X X 1000 a la variable que registra el número de caras. En este caso, la respuesta (exacta) sería P(450 bin(1000, 1/2) 550). Una cantidad, en todo caso, muy difícil de calcular. Pablo Fernández Gallardo (UAM) Probabilidad y Estadística, November 3, / 12

12 Alternativamente, sabiendo que y usando el TCL, E(S 1000 ) = 500 y V(S 1000 ) = 250, P(450 S ) = P( 50 S ) ( 50 = P S ) ( = P S ) P( N (0, 1) 3.162) = Φ(3.162) Φ( 3.162) = 2 Φ(3.162) 1 = % Pablo Fernández Gallardo (UAM) Probabilidad y Estadística, November 3, / 12

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