ESTADISTICA Estimación puntual

Transcripción

1 Resumen estadístico Describir y sintetizar Tablas de frecuencias y Gráficos ESTADISTICA Estimación puntual Analizar e inferir Intervalos de confianza Contrastes de hipótesis

2 Qué es una hipótesis? Una creencia sobre la población, principalmente sus parámetros: Media Varianza Proporción Creo que el porcentaje de enfermos será el 5% Si queremos contrastarla, debe establecerse antes del análisis. Dicha creencia puede ser o no ser verdadera

3 Contrastando una hipótesis Son demasiados... Es el peso medio de 80 kg? Muestra aleatoria Gran diferencia! x = 65kg Rechazo la hipótesis

4 Contraste (Test) de Hipótesis Conjunto de reglas que se usan para determinar si una afirmación acerca de una población puede rechazarse o no a partir de los resultados obtenidos en una muestra. En todo contraste de hipótesis, hay 2 enunciados excluyentes: Hipótesis nula o H 0 : Hipótesis que se somete a comprobación para ver si se rechaza o no. Hipótesis alternativa o H 1 : Hipótesis que se acepta cuando se rechaza H 0, es la negación de H 0 Ambas hipótesis NO tienen igual fuerza, salvo que se demuestre lo contrario, hay que asumir que H 0 es cierta.

5 Contraste de hipótesis: Filosofía Contraste de hipótesis Hipótesis nula (H 0 ) versus alternativa (H 1 ) Un contraste de hipótesis tienen una presunción a favor de H 0, de forma similar a como ocurre en los tribunales de justicia, donde hay una presunción de inocencia. Dado que uno es inocente hasta que se demuestre lo contrario, la evidencia aportada debe ser muy consistente para admitir la culpabilidad Reglas de inferencia negativa Se da por supuesto que la hipótesis nula es verdadera La decisión por H 1, viene dada a partir del rechazo de H 0

6 Razonamiento básico Si supongo que H 0 es cierta... qué hace un científico cuando su teoría no coincide con sus predicciones? µ = 80 x = el resultado del experimento sería improbable. Sin embargo ocurrió.

7 Razonamiento básico Si supongo que H 0 es cierta... Rechazo que H 0 sea cierta. x = 65 µ = el resultado del experimento sería improbable. Sin embargo ocurrió.

8 Razonamiento básico Si supongo que H 0 es cierta... Si una teoría hace una predicción con éxito, queda probado que es cierta? No hay evidencia contra H 0 No se rechaza H 0 El experimento no es concluyente El contraste no es significativo µ = 80 x = el resultado del experimento es coherente. Siempre puede haber datos (no tomados), que contradigan H 0!!

9 Elementos a establecer en Contraste Hipótesis Hipótesis nula H o Afirmación en términos de igualdad Hipótesis científicamente más simple Los datos pueden refutarla No debería ser rechazada sin una buena razón. Hipótesis Alternativa H 1, <, > Niega a H 0 Hipótesis que se quiere demostrar fuera de toda duda Si nos decantamos por ella se quiere estar prácticamente seguro de que es cierta Los datos pueden mostrar evidencia a favor No debería ser aceptada sin una gran evidencia a favor. =,,

10 Elementos a establecer en Contraste Hipótesis Nivel de significación, α Probabilidad [Rechazar H 0 / H 0 es cierta] = α Es un valor tanto más pequeño cuántas más garantías se precisen de que una decisión a favor de H 1 sea correcta. Usualmente se toma α = 0.05 Estadístico de Contraste Variable aleatoria que se usa para realizar el test Es una función de los valores de la muestra que resume la información relevante de ella. Si se cumple H 0, su comportamiento es conocido

11 Quién es H 0? Ejemplo: «En la ejecución de una prueba diagnóstico del SIDA hay 2 posibilidades: que se obtenga resultado positivo, o que se obtenga resultado negativo. No obstante, la prueba no es 100% exacta, ya que existen los falsos negativos y falsos positivos. Determine quién sería H 0» Hipótesis: El individuo está enfermo (el virus está en el individuo) El individuo está sano (no existe el virus) Seleccionar la hipótesis nula, H 0 : El individuo está sano

12 Quién es H 0? Ejemplo: «Se está estudiando un nuevo fármaco para poder utilizarlo contra el cáncer de piel. Se espera que sea eficaz en la mayoría de los pacientes sobre los que se aplica. La empresa que produce el fármaco desea alguna prueba estadística que apoye tal afirmación» Hipótesis: El nuevo fármaco es efectivo en la mayoría de pacientes El nuevo fármaco no es efectivo en la mayoría de los pacientes Seleccionar la hipótesis nula, H 0 : El nuevo fármaco no es efectivo

13 Quién es H 0? Ejemplo: «Se está estudiando un nuevo fármaco para poder utilizarlo contra el cáncer de piel. Se espera que sea eficaz en la mayoría de los pacientes sobre los que se aplica. La empresa que produce el fármaco desea alguna prueba estadística que apoye tal afirmación» Solución: Traducir a lenguaje estadístico: Establecer su opuesto: Seleccionar la hipótesis nula p > 0.5 p 0.5 H0 : p 0.5

14 Quién es H 0? Problema: El porcentaje de personas atacadas por cierta epidemia en una gran ciudad, no supera el 10%. Solución: Traducir a lenguaje estadístico: Establecer su opuesto: p 0.1 p > 0.1 Seleccionar la hipótesis nula H0 : p 0.1

15 Quién es H 0? Problema: El peso medio de una población es 70kg? Solución: Traducir a lenguaje estadístico: Establecer su opuesto: Seleccionar la hipótesis nula µ = 70 µ 70 H 0 : µ = 70

16 Región crítica y nivel de significación Región crítica Valores improbables si Ho cierta. Es conocida antes de realizar el experimento: son resultados experimentales que harían rechazar H 0 Nivel de significación: α Número pequeño: 1%, 5% Fijado de antemano por el investigador Es la probabilidad de rechazar H 0 cuando es cierta α = 0.05=5% Reg. Crit. Reg. Crit. No rechazo H0 Η 0 : µ=40

17 Contrastes: unilateral y bilateral La posición de la región crítica depende de la hipótesis alternativa Bilateral H 1 : µ 20 Unilateral Unilateral H 1 : µ<20 H 1 : µ>20

18 Riesgos al tomar decisiones Ejemplo 1: Se juzga a un individuo por la presunta comisión de un delito Los datos pueden refutarla H 0 : Hipótesis nula Es inocente La que se acepta si las pruebas no indican lo contrario Rechazarla por error tiene graves consecuencias H 1 : Hipótesis alternativa Es culpable No debería ser aceptada sin una gran evidencia a favor Rechazarla por error tiene consecuencias menos graves

19 Tipos de error al tomar una decisión Realidad Inocente Culpable Veredicto Inocente OK Error Menos grave Culpable Error OK Muy grave

20 Riesgos al contrastar hipótesis Ejemplo 2: Se cree que un nueva dieta ofrece buenos resultados Ejemplo 3: Parece que hay una incidencia de enfermedad más alta de lo normal H 0 : Hipótesis nula (Ej.1) Es inocente (Ej.2) La nueva dieta no tiene efecto (Ej.3) La incidencia es normal H 1 : Hipótesis alternativa (Ej.1) Es culpable (Ej.2) La nueva dieta es útil (Ej. 3) La incidencia es anormal

21 Tipos de error al contrastar hipótesis Realidad Decisión H 0 Cierta H 0 Falsa No Rechazo H 0 (Retener H 0 ) Correcto La dieta no tiene efecto y así se decide Probabilidad 1 -α «Especificidad del test» Error de tipo II La dieta sí tiene efecto pero no se percibe. Probabilidad β «Falso negativo» Rechazo H 0 Acepto H 1 Error de tipo I La dieta no tiene efecto pero se decide que sí. Probabilidad α «Falso positivo» Correcto La dieta tiene efecto y el experimento lo confirma. Probabilidad 1-β «Sensibilidad del test»

22 Tipos de error al contrastar hipótesis Toda decisión por H 1 lleva implícita un posible error, llamado error α, o error Tipo I: α = P [Rechazar H 0 / H 0 es cierta] Error Tipo I Toda decisión por H 0 lleva implícita un posible error, llamado error β, o error Tipo II: β = P [Retener H 0 / H 1 es cierta] Error Tipo II Consideraciones: α está controlado. Por eso una decisión por H 1 es siempre fiable (es posible que sea errónea, pero es muy improbable) β no está controlado. Por eso una decisión por H 0 NO es fiable (lo único que indica es que no se ha podido demostrar que H 0 es falsa)

23 Procedimiento para un contraste de hipótesis 1. Fijar H 0 y H 1 de acuerdo al problema. 2. Seleccionar el estadístico de contraste (v.a.) que sea el adecuado para resolver el contraste, y que si H 0 es cierta tendrá un comportamiento conocido. 3. Fijar el nivel de significación,α 4. Determinar la región crítica o de rechazo de H 0 5. Seleccionar una muestra de tamaño n, para la cual el estadístico de contraste tomará un valor numérico (se denomina valor experimental). 6. Adoptar una decisión sobre el rechazo o no de H 0 : Se rechaza H 0 si el valor experimental del estadístico está en la región de rechazo.

24 Contraste de Hipótesis sobre µ Caso 1: Cuando σ 2 es conocida, el estadístico de contraste es: Z x µ = σ N (0,1) n Caso 2: Cuando σ 2 no es conocida, el estadístico de contraste es: x µ T = tn 1 sˆ n

25 Ejemplo 1 Se estima que el peso medio de una población de adultos es de al menos 76.7 Kg. Por una investigación anterior se conoce que la desviación típica poblacional es σ = 8.6 kg. Se seleccionan 45 individuos aleatoriamente obteniéndose un promedio de de 73.2 kg. Contraste la hipótesis de que el promedio ha disminuido paraα=0.01. Ho: µ 76.7 H1 : µ < 76.7 α = 0.01 Z= z exp = x µ 0 σ n = / = 2.73 z exp < z α/ < Se rechaza Ho al nivel α=0.01

26 Ejemplo 2 En un preparado alimenticio infantil se especifica que el contenido medio de proteínas es del 42%. Se está comprobando la validez de esa especificación, y para ello se toman 10 preparados que son analizados para determinar su contenido en proteínas, obteniendo una media del 40% y una cuasidesv. típica del 3.5% Es correcta la especificación paraα=0.05? Ho : µ = 42 H1 : µ 42 α = 0.05 t exp = x sˆ µ t exp > - t n-1; α/ > n 0 = / 10 = t= t=2.262 No se rechaza Ho al nivel α=0.05

27 Contraste de Hipótesis sobre σ 2 Se trata de efectuar un contraste de hipótesis acerca de variabilidad en la población, para ello se trabaja con la varianza poblacional σ 2 En este caso el estadístico de contraste es: χ ( n 1) sˆ 2 2 = χ 2 2 n 1 σ

28 Ejemplo 3 Para un tratamiento dietético se conoce que la reducción media de peso en mujeres adultas es µ = 9kg con una variabilidad dada por una varianza σ 2 = 2.5 kg 2. Un dietista está intentando mejorar la dieta reduciendo la variabilidad. Para ello, en una experiencia piloto con una muestra de 15 mujeres, modifica la dieta obteniendo una cuasivarianza muestral de 2.1 kg 2. Se puede admitir para nivel significación α = 0.05 que el dietista ha reducido la variabilidad?

29 Ejemplo 3 Ho : σ 2 2 H1 : σ < α = 0.05 χ 2 n 1);1 α / 2 χ 2 14;0.95 = = ( χ ( n 1)ˆ s 2 σ = exp = = No se rechaza Ho al nivel α=

30 Contraste de Hipótesis sobre p Se trata de efectuar un contraste de hipótesis acerca de la proporción p de individuos que presentan una cierta característica o atributo en una población. En este caso el estadístico de contraste es (n 30): Z = p 0 pˆ (1 p p 0 N 0 ) n (0,1)

31 Ejemplo 4 Se realizó una encuesta con el fin de estudiar las prácticas sanitarias dentales, de cierta población urbana de adultos. De 300 adultos entrevistados, 123 dijeron que regularmente se sometían a una revisión dental dos veces al año. Contraste la hipótesis de que el 50 % de los adultos de dicha población se someten regularmente a una revisión dental dos veces al año.

32 Ho: p = 0.5 H1 : p 0.5 α = 0.05 Ejemplo pˆ = = z exp = p 0 pˆ (1 p 0 p 0 ) n = ( ) / 300 = Se rechaza Ho a nivel de significación α=0.05 Z=-1.96 Z=1.96

33 Ejemplo 5 Se conoce que el porcentaje de complejos vitamínicos producidos cumple los requerimientos de calidad en al menos 90% de los casos. Para comprobar dicha afirmación, la inspección selecciona una muestra aleatoria de 625 complejos vitamínicos, encontrando que 550 son de calidad. Contraste la hipótesis de que el porcentaje de complejos que se producen con calidad es al menos el 90% para un nivel de significación α = 0.01.

34 Ejemplo 5 Ho: p 0.9 H1 : p < 0.9 α = pˆ = = z exp = p 0 pˆ (1 p 0 p 0 ) n = ( )/ 625 = No se rechaza Ho a nivel de significación α=0.01 Z=-2.326