COMPONENTES DE UNA FUERZA

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1 CDEMI DE ESTÁTIC DIVISIÓN DE CIENCIS BÁSICS FCULTD DE INGENIERÍ Monogrfí COMPONENTES DE UN FUERZ Contenido del tem: Principio de Stevin o le del prlelogrmo Composición de fuerzs Descomposición de un fuerz Componentes crtesins Vectores Ejercicios propuestos péndice: nots de trigonometrí L presente monogrfí pretende eplicr cómo se obtienen ls componentes de un fuerz; en prticulr, qué funciones trigonométrics deben emplerse en cd cso Pr ello, se eplicrá qué son componentes de un fuerz el principio en el que se fund tl descomposición El tem es uno de los primeros que debe conocer un estudinte de Mecánic, se de Estátic o Dinámic, pues ls fuerzs son ls cuss del movimiento de los cuerpos, el cul constitue el objeto del estudio de l Mecánic Entender correctmente el modo de obtener ls componentes de un fuerz será mu útil pr descomponer otrs cntiddes físics, como son los momentos de un fuerz, ls velociddes, ls celerciones, etc Pr poder modificr los sistems de fuerzs que ctún sobre los cuerpos, sustituirlos o trnsformrlos, es necesrio comenzr por sber descomponer un fuerz, es decir, cmbirl por dos o más que produzcn los mismos efectos eternos L descomposición más frecuentemente necesri es l que se reliz en ls direcciones de los ejes equis e, que son perpendiculres entre sí, pues resultn mu útiles pr obtener l resultnte de un sistem de fuerzs, son l bse del álgebr vectoril Principio de Stevin ntes de enuncir el principio de Stevin, que tmbién se conoce como le del prlelogrmo, vemos un ejemplo de su plicción 20 kg Consideremos un cuerpo de 20 kg de peso colgdo de un cuerd Dich cuerd ejerce sobre el cuerpo un fuerz que tiene un mgnitud de 20 kg, verticl, dirigid hci rrib L representremos medinte un segmento dirigido de rect, indicndo su mgnitud, como se muestr en l figur El efecto eterno de es fuerz sobre el cuerpo es mntenerlo quieto, en reposo hor colgremos el mismo cuerpo de dos cuerds; un desvid 40 de l verticl otr, 60 Ls cuerds ejercen hor sobre el cuerpo dos fuerzs distints, que producen el mismo efecto eterno que l fuerz originl Es decir, un fuerz se h sustituido por dos, que producen el mismo efecto eterno: decimos que l 20 kg

2 fuerz originl de 20 kg dirigid hci rrib, es l resultnte de ls dos nuevs tensiones que soportn el cuerpo Ests dos fuerzs son componentes de quéll El principio de Stevin es uno de los principios de l Mecánic es el único medio con que contmos pr determinr l resultnte de dos fuerzs Podemos enuncirlo de l siguiente mner: L resultnte de dos fuerzs que concurren en un punto, se encuentr en l digonl del prlelogrmo construido con dichs fuerzs, ps por el punto Como se ve, se trt de un procedimiento gráfico En l figur, se ven dibujds ls fuerzs escl en su dirección, se trzn prlels en los etremos, en l digonl correspondiente l punto de concurrenci de ls fuerzs se dibuj l resultnte; se mide su longitud, que, multiplicd por l escl empled, corresponde l mgnitud de l fuerz su dirección es l de l digonl, que se puede determinr medinte un trnsportdor El proceso pr remplzr vris fuerzs por un sol se llm composición o reducción de un sistem de fuerzs Tendremos que conocer el procedimiento de componer dos fuerzs pr entender el que por hor nos interes, que es el contrrio, cmbir un fuerz por dos, que produzcn los mismos efectos eternos, que recibe el nombre de descomposición o resolución de fuerzs Conviene tener mu clros los conceptos que venimos emplendo que son los siguientes Efecto eterno Es el cusdo por un fuerz que otro cuerpo distinto ejerce que puede lterr su movimiento Los efectos eternos principles son el equilibrio del cuerpo, los momentos, los movimientos, etc, pero no los esfuerzos ni ls deformciones Sistems equivlentes de fuerzs Son los conjuntos de fuerzs que ctún sobre un cuerpo que producen los mismos efectos eternos sobre él Resultnte Es el sistem equivlente más simple En el cso que nos ocup, se trt siempre de un sol fuerz Componente de un fuerz F Es l fuerz C que, junto con otrs, produce los mismos efectos eternos que F (Dich fuerz F es l resultnte de C ls otrs) Crcterístics de un fuerz Son: 1) l mgnitud (o tmño, intensidd, módulo, etc), 2) l dirección (el ángulo que form con lgun rect conocid, generl-mente l horizontl) 3) posición, o se, un punto culquier de su líne de cción Por ejemplo, l fuerz que sostiene l cuerpo del ejemplo que dimos rrib, tiene un mgnitud de 20 kg, su dirección es verticl hci rrib, un punto de su líne de cción es el de contcto de l cuerd con el cuerpo; este mismo punto, corresponde l posición de ls otrs dos que sustitueron l de 20 kg, sus direcciones coinciden con ls de ls cuerds Composición de fuerzs continución, prenderemos componer dos fuerzs concurrentes, es decir, hllr su resultnte, de cuerdo con lo estblecido por el principio de Stevin Sen ls fuerzs F1, horizontl de 40 kg, F2, de 30 kg que form con l nterior un ángulo de 60 Pr determinr l resultnte dibujremos ls fuerzs de

3 modo que 1 cm correspond 10 kg Dibujmos un prlelogrmo, tomndo ess fuerzs como ldos, dibujmos l digonl medimos su longitud el ángulo que form con l horizontl Como mide lrededor de 61 cm, entonces l resultnte es de 61 kg su dirección form un ángulo de 25 con l horizontl Puesto que el método gráfico que hemos empledo result poco preciso, empleremos en lo futuro un método nlítico Observemos que el prlelogrmo del ejemplo contiene dos triángulos, dos de cuos ldos son ls fuerzs el tercero, l resultnte Por tnto, en vez de construir un prlelogrmo, dibujremos un fuerz continución de l otr; l resultnte unirá el origen de l primer con l punt de l segund Del triángulo conocemos, por tnto, dos ldos el ángulo que formn entre sí Y medinte ls lees del triángulo podemos hllr l mgnitud de R su dirección Hllremos nlíticmente, medinte ls lees del 40 kg triángulo, l mgnitud l dirección de l resultnte de ls dos fuerzs que ctún sobre l rgoll de l figur 30 Dibujmos esquemáticmente un fuerz: continución de l otr unimos el origen de l primer con l 45 punt de l segund: este ldo corresponde l resultnte 50 kg Un mner sencill de determinr que el ángulo interior conocido es de 105, es trzr línes uilires horizontles en los vértices del triángulo, como se R Q muestr en l figur El ángulo que form líne de cción de l fuerz de 50 kg con culquier horizontl es de 45, mientrs el que form l otr es de 30 Como 40 fácilmente se deduce, = 105 Tenemos, pues, un triángulo del que conocemos dos ldos el ángulo que formn entre sí Conforme l teorem (o le) de los cosenos (ver péndice, 3), R 2 = F F 2 1 2F 1 F 2 cos Θ R 2 = (40)50 cos 105 = 717, por el teorem (o le) de senos (ver péndice, 2), sen Θ 40 = sen por tnto = 326 Y el ángulo que R form con l horizontl es = 124 Por fin R = 717 kg 124 Resolución de fuerzs Un vez que sbemos cómo hllr l resultnte de dos fuerzs concurrentes, trtremos de relizr el pro-ceso contrrio, es decir, resolver o descomponer un fuerz dd en dos componentes que constitun un sistem equivlente Ilustrremos el procedimiento medinte dos ejemplos

4 El primero consiste en resolver un fuerz en dos componentes que tengn cierts direcciones; el segundo, en descomponer l fuerz en dos componentes de ciert mgnitud Retomemos el cso del cuerpo de 20 kg que pende de un cuerd Desemos conocer ls componentes C1 C2 correspondientes ls fuerzs que ejercen ls dos cuerds que sustituen l originl Comenzmos dibujndo l fuerz que h de des-componerse l fuerz verticl de 20 kg, en cd uno de sus etremos, línes prlels ls direcciones de ls componentes, como se ve en ls figurs El tercer ángulo interior del triángulo obtenido es el suplemento de los otros dos (pues los tres deben sumr 180 ) hor podemos resolver el triángulo utilizndo l le de los senos: 20 sen 80 = C 1 sen 40 = C 2 sen 60 C 1 = 20 (sen 40 ) sen 80 C 2 = 20 (sen 60 ) sen 80 C 1 = 1305 kg C 2 = 1759 kg Resolveremos hor un segundo ejemplo Se trt de determinr cuáles deben ser los ángulos θ1 θ2 de modo que l resultnte de ls dos tensiones ejercids sobre l rgoll se un fuerz verticl de 750 lb Dibujmos l fuerz que desemos descomponer, con centro en sus etremos, trzmos dos rcos de circunferenci correspondientes ls fuerzs de lb Pr l resolución nlític empleremos primero l le de los cosenos: = (750)600 cos α cos α = (750)600 α = 416 hor empleremos el teorem de los senos: sen β 600 sen β = = sen sen β = 529 Puesto que α β son los ángulos complementrios de ϴ2 ϴ1, respectivmente, Θ 1 = 371 Θ 2 = 484 θ 1 β α θ 2 600# 500# B θ 1 θ 2

5 Componentes crtesins Un cso importnte frecuente de resolución de fuerzs es el que se efectú en dos direcciones perpendiculres entre sí Más frecuente ún es l descomposición en ls direcciones de los ejes crtesinos (son ejes de coordends; se llmn sí en honor de René Des Crtes): se trt de obtener ls componentes ortogonles (o se, perpendiculres) en el sentido de los ejes equis e Consideremos un fuerz F el sistem crtesino que se muestr en l figur Siguiendo el procedimiento ilustrdo con el primer ejemplo, trzmos prlels F ls direcciones deseds en cd uno de los etremos de l fuerz Como el cos Θ es igul l rzón de F F, sen Θ, l rzón de F F, entonces, F = F cos Θ θ F = F sen Θ; con tles epresiones quedn determinds ls mgnitudes los sentidos de ls componentes F F crtesins θ hor presentremos lgunos ejemplos de obtención de ls componentes crtesins de fuerzs, en diferentes sistems de referenci, con distint informción: F = 56 sen kg F = 375 kg F 42 F = 56 cos 42 F = 416 kg Debe notrse, en todos los csos, que l componente que es uno de los ldos del ángulo, se obtiene multiplicndo l mgnitud de l fuerz por el coseno de ángulo Pr hllr l componente que está enfrente del ángulo, l mgnitud de l fuerz se multiplic por el seno del ángulo F = 80 ( 3 2) 80# 30 F = 693 lb F = 80 (1 2) F = 40 lb Nótese que l componente verticl tiene signo negtivo porque su sentido es contrrio l del eje de ls es 20 F = 2400 ( 2 2) F = 1697 N 45 F = 240( 2 2) 2400 N F = 1697 N

6 En este cso ls dos componentes tienen sentido contrrio los ejes de referenci, por eso tienen signo negtivo H de quedr clro que ls fuerzs nunc pueden ser negtivs : el signo indic que, en l líne señld, el sentido es opuesto Obsérvese que ls direcciones de los ejes no fectn l mner de obtener ls componentes crtesins 2 m kg F = 150 sen 68 F = 1391 kg F = 150 cos 68 F = 562 kg Se multiplicó l mgnitud de l fuerz por el seno del ángulo de 68 pr obtener F, que est componente se hll enfrente de dicho ángulo; puesto que F está l ldo, se usó el coseno Otros csos de descomposición Es frecuente que l informción cerc de ls fuerzs esté relciond con ls dimensiones de los cuerpos no con sus ángulos Pensemos, por ejemplo, en el cble que sostiene el poste de l figur Si se sbe que l tensión del cble es de 260 kg, podrímos estblecer l siguiente relción entre el triángulo formdo por el poste, el cble el suelo, otro formdo por l tensión sus componentes crtesins, que son dos triángulos semejntes: por el teorem de Pitágors se puede clculr l longitud de l hipotenus del primer triángulo entonces escribir ls siguientes proporciones: F B F = F 5 = F 12 por tnto F = 260 ( 5 ), F 13 = 260 ( 12 ), es decir, F = 100 kg F = 240 kg 13 En generl podemos estblecer, según l nomencltur de l figur, que F = F ( c ) que F = F ( b c ) hor presentremos lgunos ejemplos resueltos de descomposición de un fuerz en sus componentes crtesins, prtir de l pendiente de su líne de cción kg F = 75 (4 5) F = 60 kg F = 75 (3 5) F = 45 kg

7 85 # F = 85 (15 17) F = 75 lb F = 85 (8 17) F = 40 lb El signo negtivo de l componente verticl obedece que su sentido, como se observ, es contrrio l del eje de ls es Vectores Un vector es esencilmente un segmento dirigido de rect, tl como hemos venido representndo ls fuerzs en est monogrfí Y, prtir de lo que hemos visto cerc de ls componentes, podemos estblecer un lenguje un álgebr vectoril elementles Dos son ls crcterístics de un vector: mgnitud (o tmño, o módulo) dirección L sum vectoril se reliz según l le del prlelogrmo; es decir F1 + F2 = R; tmbién C1 + C2 = F,, emplendo ls componentes crtesins, F = F + F (Nótese que hemos empledo, como es usul en los impresos, negrits pr designr los vectores distinguirlos de los esclres En los mnuscritos se suelen testr los símbolos de los vectores, pues no es posible usr ls negrits) Si un vector se multiplic por un esclr (que es un cntidd que se determin completmente con un solo número), se obtiene un nuevo vector, con l mism dirección, cu mgnitud ument tnts veces cunts vle el esclr: est operción se llm producto de un vector por un esclr Se llmn vectores unitrios quellos que tienen un mgnitud igul 1 Los vectores unitrios en ls direcciones de los ejes de ls equis ls es son i j, respectivmente Dremos un ejemplo de l utilizción del lenguje vectoril: Se un sistem crtesino cuo eje de ls equis se horizontl el de ls es, verticl: un fuerz de 52 lb tiene un líne de cción cu pendiente es de 12/5, como se muestr en l figur; su componente horizontl, que tiene sentido contrrio del eje de ls equis, tendrá un mgnitud de 52(5/13) = 20, l verticl 52(12/13) = 48; dich fuerz quedrá representd por el vector F = - 20 i + 48 j [lb] Como se ve, con est sol epresión estmos indicndo tnto l mgnitud como l dirección de l fuerz

8 Cundo se tienen fuerzs en el espcio, es decir, en tres dimensiones, lo que hemos dicho de ls componentes crtesins h que ñdir un componente más, perpendiculr ls dos nteriores, o se, en dirección de un eje de ls zets El vector unitrio en es dirección es k Por tnto, un fuerz epresd en lenguje vectoril (en form polinínómic), qued sí: F = F i + F j + Fz k Ejercicios propuestos Con lo que se h eplicdo, el lector debe ser cpz de resolver los siguientes ejercicios Note especilmente que pr obtener l componente que form uno de los ldos del ángulo conocido, se emple l función coseno; el seno se emple pr obtener l componente que se hll enfrente del ángulo 1 Descompong l fuerz horizontl de 430 N en dos componentes, C1 C2 en ls direcciones de ls línes B CD, respectivmente (SolC1 = 319 N; C2 = 210 N) C B D 450 N 2 Se dese que l resultnte de ls dos fuerzs que ctún sobre l rgoll se verticl de 80 lb Cuáles deben ser los vlores de los ángulos α β? (Solα = 61 ; β = 30 ) α ß 40 lb 70 lb ) 3 Dig cuáles son ls componentes crtesins de cd un de ls fuerzs mostrds N b) 150 lb 28 c) kg d) 2 m 460 N (Sol F=429 N; (Sol F=-704 lb; (Sol F=-680 kg; (Sol F= -460 N; F=375 N) F=1324 lb) F=494 kg) F= 0) 4 continución se d l pendiente de l líne de cción de cutro fuerzs Cuáles son ls componentes crtesins de cd un de ells? (Sol F=4500 N; (Sol F=-48 lb; (Sol F=14 kg; (Sol F=247 N F=6000 N) F=-20 lb) F=48 kg) F=813 N)

9 5 Qué vectores representn ls siguientes cutro fuerzs? Escríblos en form polinómic (o norml) (Sol -2380i - 773j [N]) (Sol 816i - 380j [lb]) (Sol 393i -275j [kg]) (Sol -52i [N]) 6 Escrib, en form polinómic, los vectores que representn ls tres fuerzs siguientes (Sol 62i - 58j + 80k [lb]) (Sol 433i j + 789k [N]) (Sol 252i + 691j + 617k [kg]) 7 L tensión de l cuerd que soport l brr es de 750 N Cuáles son ls componentes crtesins de l fuerz que l cuerd ejerce sobre el etremo de l brr? Qué vector puede representrl? (Sol F = -600 N; F = 450 N; F = -600i + 450j [N]) 8 El cble que sujet el poste de l figur sufre un tensión de 210 lb Dig qué vector represent l fuerz que el cble ejerce sobre el etremo del poste (Sol F = 80i + 40j - 190k [lb]) Epílogo Con este trbjo hemos pretendido mostrr cómo pueden obtenerse ls componentes de un fuerz, podos en el principio de Stevin Vimos cómo los procesos de composición resolución de un fuerz son procesos contrrios que sirven pr obtener distintos sistems de fuerzs equivlentes Dichos procesos servirán l estudinte no sólo pr el estudio de los sistems de fuerzs, sino tmbién pr componer descomponer otrs cntiddes vectoriles

10 péndice Nots de trigonometrí 1 Principles funciones trigonométrics C En l figur se present un triángulo rectángulo (o se, que uno de sus ángulos es recto) Hemos empledo letrs músculs pr designr los ángulos, ls letrs minúsculs correspondientes, pr los ldos opuestos El ángulo C es recto, B son complementrios, que sumdos dn uno recto El ldo opuesto l ángulo recto, que es el más lrgo, se llm hipotenus (pues en griego es plbr signific tendid bjo ); los otros dos ldos, los que formn el ángulo recto, se llmn ctetos (plbr que indic que son perpendiculres entre sí) Ls tres principles funciones trigonométrics con el seno, el coseno l tngente de un ángulo, son tres rzones (o cocientes) El seno es l rzón del cteto opuesto l ángulo, l hipotenus (es decir, el cociente del cteto opuesto entre l hipotenus El coseno es l rzón del cteto dcente l hipotenus Y L tngente, l rzón del cteto opuesto l dcente Según cbmos de estblecer, podemos escribir: 4 3 b c 4 3 B sen = c cos = b c sen = b Conviene notr que el coseno de culquier de los ángulos es igul l seno de su complemento L tngente del ángulo que un rect form con l horizontl se llm pendiente sí, si un cmino se elev 5 m por cd 100 que vnz, su pendiente es 5/100, o bien, 5 % Dos rects perpendiculres tienen pendientes inverss: si un tiene un pendiente de 3/4, su perpendiculr l tiene de 4/3 2 Teorem de los senos C Este teorem que con frecuenci se conoce con el desfortundo nombre de le estblece que en todo triángulo, los ldos son proporcionles los senos de los ángulos opuestos Simbólicmente podemos escribir: b h sen = b sen B = c sen C c B

11 L demostrción es l siguiente Se un triángulo culquier (es decir, sin hipotenus ni ctetos) BC, como se muestr en l figur Trzmos un perpendiculr l bse c que pse por el vértice C, que corresponde l ltur h Tenemos hor dos triángulos rectángulos sus hipotenuss son b, mientrs que h es el cteto opuest tnto l ángulo como l B, Por tnto sen = h ; h = b sen b igulndo tenemos ordenndo obtenemos sen B = h ; h = sen B b sen = sen B sen = b sen B L iguldd que flt se obtiene eligiendo otr de ls lturs del triángulo siguiendo el mismo proceso 3 Teorem de los cosenos C El teorem de los cosenos, mlmente llmdo tmbién le de los cosenos, estblece que en todo triángulo, el cudrdo de un ldo es igul l sum de los cudrdos de los otros dos, menos el doble producto de esos mismos ldos multiplicdo por el coseno del ángulo que formn entre sí Simbólicmente, escogiendo el ldo, se escribe sí: 2 = b 2 + c 2 2bc cos b m h c n B Lo demostrremos de l siguiente mner Se un triángulo culquier BC Levntmos un perpendiculr l bse c que pse por el vértice C, que viene ser un ltur h, como se muestr en l figur Se formn dos triángulos rectángulos cus bses son m n, de modo que c =m + n; o se, n = c m, cos = m/b, o bien, m = b cos Del teorem de Pitágors, m 2 + h 2 = b 2 n 2 + h 2 = 2 ; restndo miembro miembro obtenemos m 2 n 2 = b 2 2 Sustituendo n por su vlor, podemos escribir m 2 (c m) 2 = b 2 2 Desrrollndo el binomio tenemos m 2 (c 2 2cm + m 2 ) = b 2 2 Simplificndo qued c 2 + 2cm = b 2 2 hor sustituimos m por su vlor: c 2 + 2cb cos = b 2 2 Por último, ordenmos de l siguiente mner: 2 = b 2 + c 2 2bc cos Como es lógico, si se construe el triángulo sobre ls otrs bses, se obtiene ls siguientes epresiones: b 2 = 2 + c 2 2c cos B c 2 = 2 + b 2 2b cos C