Funciones de R en R. y = 1. son continuas sobre el conjunto

Transcripción

1 Funciones de R n en R m Teorem de l Función Invers Funciones de R en R Se f(x) un función rel de vrible rel con derivd continu sobre un conjunto bierto A se x 0 un punto de A donde f (x 0 ) 0. Considere l función F (x, ) f(x) clculemos sus derivds prciles. Así f (x) Nótese que F,, son continus sobre el conjunto B {(x, ) R 2 x A} Considere hor como solución inicil el punto (x 0, 0 ) donde 0 f(x 0 ). Tenemos que F (x 0, 0 ) 0 (x 0, 0 ) 0 De mner que se cumplen ls hipótesis del Teorem de l Función Implicit. Luego entonces cerc del punto (x 0, 0 ) l vrible x puede representrse en términos de l vrible. Estos expresdo formlmente nos dice que existe un únic función implicit x g() con dominio un intervlo J ( 0 k, 0 + k) con rngo I (x 0 h, x 0 + h) tl que g( 0 ) x 0, pr tod, en el intervlo J F (g(), ) 0 (g(), ) 0 dems, g su derivd g son continus sobre J, (g(), ) g () (g(), ) f (g()) f (x) L función g que h sido ermind no es otr que l función invers Ejemplo Se f l función denid por l regl de correspondenci f(x) x 5 x. Si clculmos su derivd, tenemos f (x) 5x 4. Observese que f (x) < 0 pr tod x en los reles, por lo que f es decreciente sobre tod l rect rel su vez es uno uno. Concluimos sí que l invers de f está denid sobre tod l rect rel que su grác es decreciente. Sin embrgo, no se puede obtener l regl de correspondenci pr l invers. Sin embrgo, podemos clculr su derivd. Se culquier número rel supóngse que x es tl que f () x. Así ( f ) () f (f ()) f (x) 5x 4 +

2 Funciones de R n en R m 2 Funciones de R 2 en R 2 Pr el cso de un funcion F : U R 2 R 2 se tiene Nuestro problem es, dds ls funciones x f(u, v) g(u, v) que describen x, como funciones de u, v, cundo es posible estblecer "funciones inverss"que describen u v como funciones de x,. Es decir queremos tener (F F )(u, v) F (F (u, v)) F (x, ) F (f(u, v), g(u, v)) (u, v) (F F )(x, ) F (F (x, )) F (u, v) F (ϕ(x, ), ψ(x, )) (x, ) Un cso prticulr del Teorem generl de l función implícit es el Teorem de l función invers. Ddo un sistem de n-ecuciones f (x, x 2,..., x n ) f 2 (x, x 2,..., x n ) 2. f n (x, x 2,..., x n ) n Trtmos de resolver ls n-ecuciones pr x, x 2,...x n como funciones de, 2,... n. Esto es, estmos trtndo de invertir ls ecuciones del sistem nterior, que es lgo nálogo formr los inversos de funciones como senx e x, sólo que est vez se intentrá con funciones de vris vribles. L cuestión de existenci se responde por medio del teorem generl de l función implícit plicdo ls funciones i f i (x, x 2,..., x n ) con ls incognits x, x 2,..., x n. L condición de existenci pr l solución en un vecindd del punto x 0 es que el erminnte de l mtriz Df(x 0 ) f (f i, f 2,...f n ) sen distintos de cero. Explicitmente: (f, f 2,..., f n ) (x, x 2,..., x n ) Ms ún, si considermos ls expresiones: J(f)(x 0 ) xx0 (x 0 ).... n (x 0 )... G(x,, u, v) x f(u, v) 0 H(x,, u, v) g(u, v) 0 (x 0 ). 0 n (x 0 ) n

3 Funciones de R n en R m 3 Lo que pretendemos es "despejr"de ell u v en términos de x e poder estblecer sí ls funciones u ϕ(x, ), v ψ(x, ). Entonces el T.F.Im. (tercer versión) nos d ls condiciones pr que podmos hcer esto. Se P (x,, u, v)ɛr 4 un punto tl que G(p) H(p) 0. Supongmos que en un bol de centro en P ls derivds prciles de G H son continus. Si el jcobino 0 en P, entonces es posible "despejr"de ells u v en terminos de x e, estblecer sí funciones u ϕ(x, ), v ϕ(x, ) denids en un vecindd V de (x, ) F (u, v), ls cules tienen derivds prciles continus en V que se pueden clculr como,,, ((x, v) Por lo tnto: 0 ((, v) Por lo tnto: 0 ((u, x) 0

4 Funciones de R n en R m 4 ((u, ) 0 En resumen tenemos: Sen f, g : U R 2 R funciones denids en el conjunto bierto U de R 2. Sen x f(u, v), g(u, v). Supong que lgun bol B de R 2 con centro (u, v), ls derivds prciles,,, son continus. Si el jcobino es no nulo en (u, v) entonces un vecindd V de x, ȳ donde podemos denir "funciones inverss"u ϕ(x, ), v ψ(x, ) es decir tles que u ϕ(x, ), v ψ(x, ), f(ϕ(x, ), ψ(x, )) x, g(ϕ(x, ), ψ(x, )) pr (x, )ɛv ls cules tienen derivds prciles continus en V que se clculn como,,, ( ) Dd l función invers F (x, ). Est tiene por funciones coordends ls funciones u ϕ(x, ). Es decir F (x, ) (u, v) (ϕ(x, ), ψ(x, )). L mtrix jcobin de est función es: JF El resultdo nterior ( ) nos dice como clculr ls derivds prciles,,, en un vecindd V de (x, ) l sustituir ls fórmuls correspondientes en JF, recordndo que. JF Multipliquemos JF JF, se obtiene U

5 Funciones de R n en R m 5 (JF )(JF ) [ 0 0 ] [ 0 0 Así concluimos que l mtriz jcobin de l función invers de F es justmente l invers de l mtriz jcobin de F. Es decir se tiene JF (JF ) Teorem de l Función Invers Se F : U R n R n un función denid en el conjunto bierto U R n. Se F (p) q donde p (x,..., x n ) q (,..., n ). Supong que en un bol B R n con centro p, F es clse C JF (p) 0. Entonces h un bol B R n con centro q en l que se puede denir l función invers de F, F l cul es de clse C JF () [JF (x)] donde F (x) B Ejemplo Se g : R ( R un función continu tl que g(0). Considere l función F : R 2 R 2 dd por F (x, ) x g(t)dt, ) x 2 g(t)dt. Demuestre que est función tiene un invers F denid en un bol B del origen de coordends. Determine JF Tenemos que: Análogmente f (x, ) x g(t)dt x g(t)dt + g(t)dt g(x) g() g(t)dt + g(t)dt ] Por lo tnto JF (f, f 2 ) (x, ) f 2 (x, ) 2 2 g(t)dt 2 2 g(t)dt + g(t)dt 2 2xg(x2 ) g(x) g(x 2 )2x 2 g() g() g() (0,0) 2 g(t)dt + g(t)dt g(0) g(0) g(0 2 )2 0 g(0) 0 0 0

6 Funciones de R n en R m 6 Por lo tnto en los lrededores del (0,0) podemos denir "funciones inverss". Ahor pr clculr JF tenemos que JF (JF ) 0 ( ) b * Recordndo que si A c d }{{} 0 0 ) ( d b entonces A A c