Mesures. El sistema mètric decimal. El sistema sexagesimal

Transcripción

1 Mesures. El sistema mètric decimal. El sistema sexagesimal La mesura... Mesures indirectes... Mesures estimades... El Sistema Internacional d Unitats... 3 Sistema mètric decimal... 3 Mesures de superfície i de volum... 5 Expressió complexa i incomplexa de les mesures... 6 El sistema sexagesimal... 7 Pas de forma complexa a incomplexa... 8 Pas de forma incomplexa a complexa... 8 Factors de conversió... 8 Notació científica... 0 Coneixement Curs d ESO Unitat La mesura r 3 El sistema mètric decimal r 3 El sistema sexagessimal r 6 Factors de conversió n 3 Notació científica 3r, Document relacionat Operacions bàsiques de càlcul Apartats Nombres decimals

2 La mesura Mesurar és comparar una situació amb una altra, un cos amb un altre. Les propietats dels cossos que es poden mesurar s anomenen magnituds. Per mesura cal, per a cada magnitud, un instrument i una unitat de mesura. Mesurar és indicar el nombre de vegades que la unitat de mesura està inclosa en allò que es mesura. S efectua una mesura quan es compara allò que es vol mesurar amb la unitat escollida. Aquesta comparació es du a terme amb un instrument, amb la precisió adequada, en el qual es llegeix el nombre i la unitat corresponent. Per exemple, quan diem que un segment mesura 4 cm, estem indicant que inclou 4 vegades un segment d cm. Per mesurar, cal triar la unitat de mesura més adequada per al que es vol mesurar. En primer lloc, la unitat ha de correspondre a la magnitud que hem de mesurar. A més, com que cada magnitud té diferents unitats de mesura, cal saber quina és la més adient en cada cas. El resultat d una mesura s expressa mitjançant un nombre i la unitat de mesura corresponent. Mesures indirectes No sempre es poden fer mesures de forma directa, utilitzant instruments de mesura. A vegades, les mesures s obtenen a partir d altres mesures, mitjançant algunes operacions de càlcul. En aquest cas es diu que són mesures indirectes. Mesures estimades Sovint es dóna el valor d una mesura sense haver utilitzat cap instrument i sense haver efectuat cap càlcul. Moltes vegades, les mesures corresponents, tot i que els falta precisió, aporten prou informació i podem tenir-les en compte. Són mesures estimades.

3 Fer l estimació d una mesura és donar el valor aproximat que es considera que pot tenir una magnitud, acompanyat de la unitat de mesura que sembla més convenient utilitzar. Com més s acosti el valor d una mesura estimada al valor real, més bona serà l estimació. El Sistema Internacional d Unitats La major part dels països han adoptat el Sistema Internacional d Unitats, SI. El metre i el quilogram són dues de les unitats patró del SI. El metre patró és la mesura de la longitud que hi ha entre dues marques en una barra de platí iridiat que es troba a l Oficina Internacional de Pesos i Mesures de Sèvres, prop de París, a França. El quilogram patró és la massa d un cilindre de platí iridiat que es conserva en el mateix lloc que el metre patró. Sistema mètric decimal Les magnituds més presents en les nostres activitats quotidianes són la longitud, la massa, la capacitat, la superfície i el volum. Les unitats fonamentals de mesura de les tres primeres són el metre, el gram i el litre. A partir de cada una de les unitats fonamentals d aquestes tres magnituds se n defineixen unes altres, els seus múltiples i els seus divisors: Longitud km hm dam m dm cm mm Massa kg hg dag g dg cg mg Capacitat kl hl dal L dl cl ml Quan les ordenem de gran a petita, cada unitat de qualsevol de les tres magnituds equival a 0 unitats de la que es troba situada a la seva dreta. Aquesta equivalència és la mateixa que es dóna en el nostre sistema de numeració entre els diferents ordres d unitats. És per aquest motiu que les unitats de longitud, massa i capacitat formen part del sistema mètric decimal. Quan s efectuen càlculs amb les unitats del sistema mètric decimal, cal aplicar les operacions amb nombres decimals, tant per transformar unes 3

4 unitats en unes altres de la mateixa magnitud com per sumar, restar, multiplicar o dividir amb els seus valors. Els prefixos que utilitzem per anomenar les unitats, tant els múltiples com els submúltiples, fan referència al nombre de vegades que cada unitat és més gran o més petita que la unitat fonamental corresponent. Fixa t en la taula següent: Múltiples Divisors quilo k 000 deci d hecto h 00 centi c deca da 0 mil li m 0, 0 = 0,0 00 = 0, = Si has de transformar una unitat en una altra, cal que et plantegis quantes vegades la unitat que vols transformar és més gran o més petita que l altra. Per dur a terme la transformació, cal que recordis la taula de múltiples i divisors de cada magnitud i que practiquis multiplicacions i divisions amb potències de base 0 i amb unitats decimals. Fixa t en els exemples següents: Quants centímetres són,8 m? El metre és 00 vegades més gran que el centímetre. Per tant: Transforma 65, ml en litres. 00 cm,8 m 80 cm m = El mil lilitre és 000 vegades més petit que el litre. Per tant: Quants centigrams hi ha en kg? L 65,mL 0,065L 000 ml = El quilogram és vegades més gran que el centigram. Per tant: kg cg = cg kg 4

5 Quants decàmetres són 7,5 dm? El decímetre és 00 vegades més petit que el decàmetre. Per tant: dam 7,5 dm 0,075 dam 00 dm = Mesures de superfície i de volum A partir de la unitat fonamental de mesura de longitud es defineixen les unitats de superfície i de volum del sistema mètric decimal. La unitat fonamental de mesura de superfície és el metre quadrat, m. Un metre quadrat és la superfície d un quadrat d m de costat. Els múltiples i divisors del metre quadrat es relacionen de tal manera que cada unitat és 00 vegades més gran que la unitat immediatament inferior. La unitat fonamental de mesura de volum és el metre cúbic, m 3. Un metre cúbic és el volum d un cub d m d aresta. Els múltiples i divisors del metre cúbic es relacionen de tal manera que cada unitat és 000 vegades més gran que la unitat immediatament inferior. Observa, a la taula següent, les relacions de les unitats de superfície i les unitats de volum amb la unitat fonamental corresponent: Superfície Volum km = m km = m 3 3 hm = m hm = m 3 3 dam = 00 m dam = 000 m 3 3 dm = m = 0,0m 00 dm = m = 0,00m

6 cm = m = 0,000m cm = m = 0,00000m mm = m = 0,00000m mm = m = 0, m Per transformar una unitat en una altra, has de practicar el mateix procediment que amb les unitats de longitud, massa i capacitat, però considerant les equivalències de cada tipus de mesures. Fixa t en els exemples següents: Quants decímetres quadrats són,5 m? Transforma 45,3 cm en m. 00 dm,5 m 50 dm m = m 45,3 cm 0,0453 m cm = Quants metres cúbics són 6 978,96 cm 3? m 6 978,96 cm 0, cm cm = Expressió complexa i incomplexa de les mesures Els resultats de les mesures es poden expressar de dues maneres diferents: en forma complexa i en forma incomplexa. La forma incomplexa és la que només utilitza una unitat. Per exemple: 953 ml La forma complexa és la que utilitza diferents unitats. Per exemple: 8 dam 57 m 3 cm 6

7 El sistema sexagesimal En el sistema decimal, cada unitat d un ordre és igual a 0 unitats de l ordre immediatament inferior. Així funciona el nostre sistema de numeració, i també les diferents unitats emprades en la mesura de la longitud, la massa i la capacitat. Però hi ha altres magnituds les unitats de mesura de les quals no segueixen les regles del sistema decimal. Els angles i el temps en són dos exemples. En el cas de la mesura d angles, malgrat que el grau és una unitat força petita, per tal d augmentar la precisió es defineixen dues unitats encara més petites: el minut i el segon. Un minut és l amplitud de l angle que resulta de dividir un angle d en seixanta parts iguals. grau 60 minuts minut 60 segons = 60 = 60 Pel que fa a la mesura del temps, ja coneixes les unitats de mesura més utilitzades i la relació que hi ha entre elles: hora 60 minuts minut 60 segons h = 60 min min = 60 s Fixa t que necessitem 60 unitats d un ordre per obtenir una unitat de l ordre immediatament superior. Per això parlem del sistema sexagesimal d unitats. En un rellotge digital hi pots llegir aquesta hora: 5:45. Equival a 5 h 45 min. Diem que són tres quarts de quatre de la tarda. Fixa t que els dos punts que separen els nombres 5 i 45 indiquen la separació entre les hores i els minuts. Els cronòmetres que s utilitzen actualment permeten precisar el temps fins a les mil lèsimes de segon. Així, en una cursa de Fórmula el primer classificat ha fet el recorregut en :35:58,765 o, el que és el mateix, h 35 min 58 s i 765 mil lèsimes de segon. 7

8 Pas de forma complexa a incomplexa Expressem h 35 min 58,765 s en segons. Passem h a segons: Passem 35 min a segons: 60 min 60 s h s h min = 60 s 35 min 00 s min = Així: h 35 min 58,765 s = s + 00 s + 58,765 s = 5 758,765 s Pas de forma incomplexa a complexa Expressem s en forma complexa. Fixa t en les divisions successives: Així, s = h 7 min 47 s. Observa que en fer les divisions entre 60, el primer residu són segons, el segon residu són minuts i l últim quocient són hores. Factors de conversió Observem el mètode utilitzat en alguns dels exemples dels apartats anteriors per fer càlculs d unitats: 00 cm Quants centímetres són,8 m?,8 m 80 cm m = Quants segons són 35 min? 60 s 35 min 00 s min = En els dos casos, hem multiplicat la mesura inicial per un factor de conversió. Un factor de conversió és una raó de valor, en què el valor del numerador i el valor del denominador s expressen en unitats diferents. A continuació et presentem unes quantes raons que són factors de conversió: 8

9 km 000 m, 60 s min, dia 4 h, 00 dm m Com que un factor de conversió és una raó de valor, si fem la raó inversa obtindrem un altre factor de conversió, ja que el seu valor també és. Vegem-ho en els factors de conversió que hem escrit anteriorment: km 000 m, 000 m km 60 s min, min 60 s dia 4 h, 4 h dia 00 dm m m 00 dm Tenim, doncs, dos factors de conversió per a cada situació. Caldrà, per tant, ser molt curosos en la utilització d un o l altre a l hora de transformar unitats d una magnitud. Per tenir clar quin dels dos factors de conversió s ha d utilitzar, sempre cal observar la magnitud inicial a la qual volem canviar la unitat de mesura. Per explicitar-ho seguirem els exemples següents: Volem passar 90 minuts a hores: h min = 90 min = h =,5 h 60 min 60 Aquí hem utilitzat com a factor de conversió la raó que té com a denominador la magnitud expressada en minuts, i com a numerador les hores, per tal de poder simplificar els minuts de manera que el resultat final quedi expressat en hores. Si volem passar 3,5 h a minuts, utilitzarem el factor de conversió invers de l anterior: 60 min 3,5 h = 3,5 h = 3,5 60 min = 395 min h Aquí hem emprat la raó inversa, per tal de poder simplificar les hores per aconseguir la magnitud expressada en minuts. Per tant, la magnitud inicial ens indica quin dels dos factors de conversió necessitem per aconseguir el canvi d unitats. En aquests dos exemples hem utilitzat un únic factor de conversió en cada cas. Es poden emprar tants factors de conversió com siguin necessaris, per exemple, un canvi que cal fer sovint és el pas de quilòmetres per hora a metres per segon, quan mesurem la velocitat d un mòbil. Fixa-t hi: 9

10 35 km h 000 m km/h = = m/s = 37,5 m/s h s km Aquí hem emprat dos factors de conversió; un per passar les hores a segons i un altre per passar els quilòmetres a metres. Fixa t bé en el numerador i el denominador de cada factor de conversió. Notació científica Per escriure un nombre en notació científica, cal expressar-lo mitjançant el producte d un nombre decimal o un nombre enter per una potència de 0, amb la condició que el nombre enter o el nombre decimal han d estar compresos entre i 0. Per escriure, per exemple, el nombre en notació científica, escriurem 3,4 0 8, i no 0, ni 3,4 0 7, encara que totes tres expressions representin el mateix nombre. Les dues darreres no verifiquen la condició de la notació científica, ja que el primer factor del producte no està comprès entre i 0. La notació científica es fa servir per expressar mesures molt grans o molt petites i és molt utilitzada en disciplines com ara la química, la física o l astronomia, i en general en tot l àmbit científic. D aquí ve que aquest tipus de notació s anomeni científica. 0