Para un dado que no está cargado asignamos equiprobabilidad a los valores posibles de la variable aleatoria X:

Transcripción

1 7. Varables Aleatoras 57 Defnr una varable aleatora en un eermento aleatoro consste en asocar un valor numérco a cada suceso elemental del eermento. Interesa fundamentalmente asgnar robabldades a dchos valores numércos. Formalmente, dados un eermento aleatoro ε, un esaco muestral Ω, una famla de sucesos en Ω con una robabldad P, dremos que una funcón : Ω R, es una varable aleatora s -1 (-, ] = { ω Ω : ( ω ) } es un suceso Esta defncón asegura que sea osble realzar cálculos de robabldades sobre sucesos defndos en R a artr de valores de las varables aleatoras. No utlzaremos esta defncón en forma elícta en lo que sgue! En ocasones los sucesos elementales de un eermento aleatoro son números, en esta stuacón esos números concden con el valor de una varable aleatora. Ejemlo 1 ε = se arroja un dado y se observa el resultado de la trada Ω = {1,,3,4,5,6} Sucesos = cualquer subconjunto de Ω : Ω R la funcón dentdad Valores osbles de = {1,,3,4,5,6} = R Para un dado que no está cargado asgnamos equrobabldad a los valores osbles de la varable aleatora : P(=1) = P(=) = P(=3) = P(=4) = P(=5) = P(=6) = 1/6 Ejemlo ε = se elge un ndvduo al azar de una oblacón y se regstra cuantos años comletó de la escuela secundara Ω = {0,1,,3,4,5 } Sucesos = cualquer subconjunto de Ω : Ω R la funcón dentdad Valores osbles de = {0, 1,,3,4,5} = R En qué casos es razonable asgnar equrobabldad a los valores osbles de la varable aleatora?

2 58 Muchas veces los sucesos elementales de un eermento aleatoro son vectores, en esta stuacón odemos defnr una o más varables aleatoras en dcho eermento y asgnar robabldades a sus valores. Ejemlo 3 ε = se elgen al azar y con reoscón 3 artículos de un lote que contene 5% de artículos defectuosos. Ω = {ω / ω Є (DDD, BDD, DBD, DDB, BBD, BDB, DBB, BBB)} Sucesos = cualquer subconjunto de Ω : Ω R (ω) = cantdad de defectuosos en ω Valores osbles de = {0,1,,3} = R P(=0) = P { ω Ω : ( ω ) = 0 } = P(BBB)= (0.95) 3 P(=1) = P { ω Ω : ( ω ) = 1 } = P(BBD, BDB, DBB)= 3 (0.95) (0.05) 1 P(=) = P { ω Ω : ( ω ) = } = P(BDD, DBD, DDB)= 3 (0.95) 1 (0.05) P(=3) = P { ω Ω : ( ω ) = 3} = P(DDD)= (0.05) Cuál es la robabldad de obtener a lo sumo un defectuoso? P ( 1) = P(=0)+ P(=1) = (0.95) 3 +3 (0.95) (0.05) 1 Cual es la robabldad de a lo sumo artículos defectuosos? P ( ) = 1- P (=3) = 1- (0.05) Veremos más adelante como asgnar robabldades en este to de varables aleatoras en general.

3 7.1 Varables Aleatoras Dscretas 59 S el conjunto de resultados osbles, R, es fnto ó nfnto numerable, decmos que es una v.a. dscreta. Sea una v.a. dscreta. Indcaremos or R ={, Naturales} al conjunto de todos sus valores osbles. Un modelo de robabldad ara está dado or la asgnacón de robabldades,, a estos resultados, P(= ) = ( ) =. Las robabldades deben satsfacer Σ =1 La robabldad P( esté en A) de cualquer suceso se calcula sumando las de los resultados que comonen A. Los valores determnan la dstrbucón de robabldades de la v.a. medante la funcón de robabldad untual (f... ) que asgna a cada una robabldad. Ejemlo 4: Un rofesor calfca sus ruebas en una escala de 4 untos (1,, 3, 4). Suongamos que en un curso de 30 alumnos los resultados ordenados fueron: Sea = resultado de la rueba ara un alumno del curso elegdo al azar. Luego R = {1,, 3, 4} es una varable aleatora dscreta La frecuenca de cada una de las calfcacones es, 3, 6, 1 y 9 resectvamente, ues 3 alumnos obtuveron 1, 6 alumnos obtuveron, 1 alumnos obtuveron 3 y 9 alumnos obtuveron 4. resultado ( ) frecuenca (f ) frec. relatva (f /n) ( ) = Es razonable asgnar a cada valor osble de la v.a. una robabldad gual a la frecuenca relatva.

4 60 Dagrama de barras -- Hstograma de Probabldad Sguendo con el ejemlo 4: Cuál es la robabldad de que un alumno elegdo al azar haya tendo a lo sumo un 3? P( 3 ) = (1) + () + (3) = = =.7 Este valor (0.7) concde con la roorcón de alumnos que obtuveron una calfcacón de a lo sumo 3. S ensamos que los 30 alumnos consttuyen la oblacón en estudo, odemos calcular la meda, μ, y la varanza, σ, oblaconales de la varable, (resultado de la rueba) μ = = = 1 (1) + () + 3 (3) + 4 (4)

5 61 La meda oblaconal μ de una varable es un romedo esado de los valores osbles. En general tenemos: S es una v.a. dscreta con valores osbles R = {, en los Naturales} y f... ( ) entonces se defne la Eseranza de (μ ) E()= R ( ) Volvendo al ejemlo 4: La varanza oblaconal σ es σ (1 μ) = = (1 μ) = (1 μ) + (1 μ) + (1 μ) (4 μ) ( μ) + (3 μ) + (4 μ) (1) + ( μ) () + (3 μ) 9 30 (3) + (4 μ) (4) En general tenemos: S es una v.a. dscreta con valores osbles R = {, en los Naturales} y f... ( ) entonces se defne la Varanza de (σ ) Var()= R ( - μ ) ( ) 7. Varables aleatoras contnuas Una varable aleatora es contnua cuando el conjunto de sus valores osbles son todos los valores de un ntervalo o de una unón de ntervalos de números reales. Por ejemlo, la concentracón de cromo en el Rachuelo es una varable aleatora contnua. La dstrbucón de una varable aleatora contnua se descrbe medante la funcón de densdad de robabldad, ó smlemente funcón de densdad f. La funcón de densdad, f, de una varable aleatora satsface: 1. f () 0

6 6. f () d = 1 3. P( A) = A f () d S es una v.a. contnua cualquera. Cuánto vale la robabldad de que = 160? Por qué? Ejemlo 5: La dstrbucón alturas de las mujeres jóvenes argentnas es aromadamente Normal con μ = 160 cm σ = 4 cm. Sea = altura de una mujer argentna joven, elegda al azar, es una v.a. contnua y su funcón de densdad de robabldad está dada or: f ( μ) 1 ( ) σ = e πσ En general, s la funcón de densdad de robabldad de una varable aleatora está dada or la eresón anteror, decmos que tene dstrbucón Normal de arámetros μ y σ : ~ N (μ, σ ) 7,,1 Proedades de la dstrbucón Normal Sea ~ N (μ, σ ), entonces a) Z= ( - μ) / σ ~ N (0, 1) dstrbucón Normal Estándar. b) a + b ~ N (a μ + b, a σ ) Sguendo con el ejemlo 5: Cuál es la robabldad de que una mujer joven elegda al azar tenga una altura entre 160 cm y 168 cm? Recordemos que = altura de una mujer argentna joven, elegda al azar entonces ~ N (μ, σ ) con μ = 160 cm y σ = 4 cm P (160 < < 168) = P ( 0 < ( - 160) / 4 < ) = Φ() - Φ(0) = = Eseranza y varanza de una varable aleatora contnua Cómo se calculan la eseranza y la varanza de una varable aleatora contnua conocendo su funcón de densdad de robabldad f?

7 63 S es una varable aleatora contnua con funcón de densdad, f entonces su meda o eseranza (E()) está dada or: μ = t f ( t) dt y su varanza σ = ( t μ ) f (t) dt Comare con el caso dscreto. En base a las roedades de la eseranza es fácl ver que Var() = E[(- μ) ] Proedades de la Eseranza y la Varanza a) Eseranza de una funcón de una varable aleatora: sea Y = h( ) entonces E(Y) h( ) ( ) = 1 h () f() d s es dscreta s es contnua b) S P( = c) = 1 entonces E() = c ( E (c) = c ) c) E( a + b) = ae() + b d) Var (a + b) = a Var() e) Var (c) = Funcón de Dstrbucón acumulada La funcón de dstrbucón acumulada de una varable aleatora, cualquera, es: F () = P ( ) S es una varable aleatora dscreta

8 64 F () = ( ) R S es una varable aleatora contnua F ( ) = f ( t) dt Luego ' F ( ) = f ( ) Proedades de la funcón de dstrbucón acumulada () 0 F () 1 R orque es una robabldad () Es monótona no decrecente orque es acumulada () Es contnua a derecha (v) lím F () = 1 + lím F () = 0 - or la forma en que está defnda or () () (v) En cada unto el valor del salto es la robabldad untual de ese unto: salto = F () - F ( - ) = () Ejemlo 4 cont: Sea = nota obtenda en una rueba de un alumno elegdo al azar

9 65 nota () () F Funcón de dstrbucón acumulada ( ) = s < 1 s 1 < s < 3 s 3 < 4 s 4