Optica de Fourier y filtrado espacial

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Ramón Alvarado Araya
hace 6 años
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1 Optica de Fourier y filtrado espacial Objetivo Estudiar la óptica de Fourier y la formación de imágenes con luz coherente. Difracción de Fraunhofer Sea una onda plana de luz coherente que incide sobre una pantalla opaca que tiene una abertura de cualquier forma que está caracterizada por una función de transmisión t(x, y) similar a la producida por un negativo fotográfico, como se muestra en la Fig. (1). y y x x t(x,y) f Plano de Fourier Figura 1: Difracción de Fraunhofer producida por una transparencia. 1/6

2 Se puede demostrar que la intensidad I(x, y ) de la figura de difracción al infinito o de Fraunhofer que se observa sobre el plano focal (x, y ) (también denominado plano de Fourier) de una lente convergente de distancia focal f, se puede evaluar a través de la expresión [1], [2], [3], [4] I(x, y ) = t(x, y)exp[ ik f (xx + yy )]dxdy donde k = 2π/λ es el módulo del vector de onda, siendo λ la longitud de onda de la luz. La Ec (1) es la transformada de Fourier de la función de transmisión t(x, y), calculada para las frecuencias espaciales f x = x /λf y f y = y /λf, las cuales se miden en cm 1 [2]. Por lo tanto: I(x, y ) = F {t(x, y)} 2 (2) donde F {} es el operador que genera la transformada de Fourier. Las frecuencias espaciales bajas son aquéllas que están ubicadas a una distancia pequeña del origen de coordenadas del plano de Fourier (x, y ). Como sucede en la teoría de series de Fourier, las frecuencias espaciales bajas dan información sobre los detalles gruesos de la función t(x, y). Las frecuencias espaciales altas sirven para definir los detalles finos de t(x, y). La Ec. (1) es válida en aquellos casos en que se verifica la teoría escalar de la difracción que desprecia la interacción entre los campos eléctrico y magnético. Esta aproximación es válida cuando la dimensión media de la abertura es grande comparada con λ y la pantalla donde está ubicada la abertura es opaca a la radiación incidente (o sea que la pantalla no irradia). Además, debe verificarse la aproximación de rayos paraxiales, la lente no debe presentar aberraciones y su diámetro debe ser lo suficientemente grande como recoger todas las ondas difractadas por la abertura. En la práctica, estas últimas aproximaciones no se verifican dado que cualquier lente posee aberraciones y además funciona como un filtro pasabajos, el cual rechaza las frecuencias espaciales mayores a las determinadas por su radio y permite pasar a todas las menores. 2 (1) Caso de una red de difracción unidimensional Consideremos un caso unidimensional en el cual la abertura difractante se cubre con una transparencia que tiene una función de trasmisión tipo cuadrada (red de difracción), como se muestra en la Fig. (2). 2/6

3 t(x) a x Figura 2: Caso de una red de difracción unidimensional. Calculando la transformada de Fourier de t(x), se puede demostrar que la figura de difracción producida por este objeto es similar a la que se muestra en la Fig. (3) [2] x Figura 3: Figura de difracción de Fraunhofer producida por una red unidimensional. Las frecuencias espaciales se alejan del eje central de acuerdo con la expresión sen θ = mλ (3) a con m = 0, 1, 2,.. y donde el ángulo θ y el orden de difracción m se muestran en la Fig. (4). Formación de imágenes y filtrado espacial Sea un sistema óptico como el que se muestra en la Fig. (5). El objeto es una transparencia con una función de transmisión t(x, y) y está iluminado 3/6

4 x m = 1 θ m = 0 Figura 4: Máximos de la figura de difracción producida por una red unidimensional. por un haz plano coherente. La lente transformadora 1 generará la transformada de Fourier del objeto sobre el plano π 1. Este espectro de difracción actuará como objeto para la lente 2, la cual se puede demostrar que generará la transformada de Fourier inversa de la anterior transformada. La formación de imágenes como un proceso de doble difracción fue propuesta por Abbe [2]. En el plano de Fourier π 1 se pueden insertar máscaras o filtros para evitar que ciertas frecuencias espaciales lleguen al plano imagen. Este proceso se conoce como filtrado espacial. Actualmente, estos métodos se siguen usando para procesar distintas imágenes, pero la generación óptica de la transformada de Fourier fue reemplazada por su evaluación mediante computadoras usando los algoritmos conocidos como FFT (fast Fourier transform o transformada rápida de Fourier). Dado que las lentes se comportan como filtros pasabajos, las mismas están limitadas en su capacidad para reproducir las frecuencias espaciales altas contenidas en un objeto real iluminado con luz coherente. Por consiguiente, en la imagen aparecerá una pérdida de nitidez y de resolución. 4/6

5 plano objeto lente 1 plano π 1 (Fourier) lente 2 plano Imagen f1 f1 f2 f2 Figura 5: Sistema óptico usado para generar imágenes con luz coherente. Desarrollo experimental Para realizar los experimentos de filtrado espacial, similares a los publicados por A. Porter en 1906 [1], se usa un sistema óptico como el esquematizado en la Fig. (6). laser objetivo microscopio lente colimadora plano objeto lente 1 plano π 1 (Fourier) lente 2 plano Imagen f f1 f1 f2 f2 Figura 6: Sistema óptico para realizar las experiencias de filtrado espacial. Como objeto se coloca una pantalla opaca con una abertura circular ocupada por distintas mallas finas de alambre (redes de difracción bidimensional). Una vez finalizada la alineación del sistema óptico, se deben observar y fotografiar los espectros de difracción y las imágenes obtenidas. En particular, se deben analizar y explicar los resultados obtenidos en los siguientes casos: 1. sin modificar las frecuencias espaciales; 2. dejando pasar, con la ayuda de una rendija, sólo a las frecuencias espaciales horizontales que contengan al orden cero; 3. idem al caso anterior, pero dejando pasar sólo a las frecuencias verticales; 5/6

6 4. idem al caso 2, pero además eliminando las frecuencias espaciales altas; 5. idem al caso 2, pero eliminando las frecuencias espaciales bajas; Como experiencia complementaria se propone ampliar un negativo cualquiera para observar la granulosidad producida por la emulsión. Fotografiarlo y colocarlo como objeto en el sistema óptico usado. Filtrar las altas frecuencias con una abertura circular para obtener una imagen en tonos de gris. Discutir los resultados obtenidos. Si es posible, realizar la experiencia anterior degradando una imagen con ruido al azar mediante una computadora. Para filtrar el ruido, usar un programa de FFT (se recomienda usar el software Matlab). Referencias [1] E. Hecht, Optics, Third Edition, Addison-Wesley, R. [2] D. Guenther, Modern Optics, Wiley, [3] M. Françon, Optical Image Formation and Processing, Academic Press, [4] J. W. Goodman, Introduction to Fourier Optics, McGraw-Hill, /6

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