Juan Carlos Colonia P. PROBABILIDADES

Transcripción

1 Juan Carlos Colonia P. PROBABILIDADES

2 EXPERIMENTO ALEATORIO Se conocen todos los resultados posibles antes de realizar el experimento. Antes de realizar el experimento no se puede conocer el resultado del mismo. Se puede repetir indefinidamente de forma independiente bajo las mismas condiciones. En una larga sucesión de observaciones independientes del experimento, a medida que las repeticiones aumentan, los resultados tienden a variar cada vez menos. (Regularidad Estadística).

3 EXPERIMENTO ALEATORIO Evolución de la frecuencia relativa del número de caras obtenido en 100 lanzamientos de una moneda (simulado por Excel). Los resultados individuales parecen ocurrir de forma caprichosa pero a medida que el aumenta el número de lanzamientos la frecuencia relativa del número de caras tiende a lo que se entiende por probabilidad de cara.

4 EXPERIMENTO ALEATORIO Ejemplos: En una central telefónica: Número de llamadas entrantes Tiempo de duración de llamadas En un servidor de archivos: Número de solicitudes de envío de archivos Tiempo de duración de la descarga de los archivos. Servicio de Internet: Tiempo empleado para establecer una conexión a internet

5 ESPACIO MUESTRAL El espacio muestral asociado a un experimento aleatorio es el conjunto formado por todos los posibles resultados del experimento. Es denotado por S. A los elementos del espacio muestral se les denomina Eventos Elementales y son denotados por s. S s, s, s,

6 ESPACIO MUESTRAL Experimento aleatorio: Lanzamiento de un dado. Espacio muestral: Experimento aleatorio: Número de caras al lanzar dos monedas. Espacio muestral: S 1, 2, 3, 4, 5, 6 S cc, cs, sc, ss

7 EVENTO Es un subconjunto del espacio muestral S. Si A es un evento entonces A S. Los eventos se denotan con letras mayúsculas A, B,C etc. El evento que solo consta de un solo elemento de se llama evento elemental. El conjunto vacío y S son de por si eventos. El conjunto vacío se denomina EVENTO IMPOSIBLE y el conjunto S es EVENTO SEGURO.

8 EVENTOS Experimento aleatorio: Lanzamiento de dos dados. 1,1, 1,2, 1,3, 1,4, 1,5, 1,6 2,1, 2,2, 2,3, 2,4, 2,5, 2,6 3,1, 3,2, 3,3, 3,4, 3,5, 3,6 Espacio muestral: S 4,1, 4,2, 4,3, 4,4, 4,5, 4,6 5,1, 5,2, 5,3, 5,4, 5,5, 5,6 6,1, 6,2, 6,3, 6,4, 6,5, 6,6 Posibles eventos: A: La suma debe ser igual a 5 S 1,4, 2,3, 3,2, 4,1

9 EVENTOS Experimento aleatorio: Selección de dos empaques de una caja con 5 empaques. 1,2, 1,3, 1,4, 1,5, 2,3 Espacio muestral: S 2,4, 2,5, 3,4, 3,5, 4,5 Posibles eventos: suponga que las cajas 1,2 y 3 están defectuosos. A: Ningún empaque defectuoso A 4, 5 B: Dos empaques defectuosos B 1,2, 1,3, 2,3 C: Un empaque defectuoso C 1,4, 1,5, 2,4, 2,5, 3,4, 3,5

10 PROBABILIDADES: ENFOQUE CLÁSICO La probabilidad de un evento A es el cociente entre el número de resultados favorables al suceso y el número de resultados posibles. P A Número de resultados favorables al evento A Número de resultados posibles En notación de conjuntos NS P A N A NS Donde y N A es el cardinal de S y A respectivamente.

11 PROBABILIDAD: ENFOQUE AXIOMÁTICO Una probabilidad P es una función que asigna a cada evento E de S un número real P(E) llamado PROBABILIDAD DEL EVENTO E tal que cumple los siguientes axiomas: 1. Axioma 1: 2. Axioma 2: P E 0 P S 1 E i ES 3. Axioma 3: Si es una sucesión de eventos disjuntos entonces P Ei PE i1 i1 i

12 PROBABILIDAD Ejemplo 1: Se lanzan dos dados Cuál es la probabilidad de que la suma sea igual a 5? A: La suma debe ser igual a 5 PA Ejemplo 2: Se seleccionan dos empaques de una caja de cinco empaques, los empaques 1, 2 y 3 están defectuosos. A: Ningún empaque defectuoso B: Dos empaques defectuosos C: Un empaque defectuoso 1 P A P B P C

13 PROBABILIDAD Ejemplo 3: Se dispone de 7 hombres y 10 mujeres para seleccionar un comité de 5 personas. La selección se realiza al azar. Cuál es la probabilidad de que el comité esté formado por dos hombres y tres mujeres?. Solución: Sea el evento A: Comité esté formado por dos hombres y tres mujeres. Se requiere conocer el número de resultados totales, es decir el número de elementos del espacio muestral y el número de resultados a favor del evento A.

14 PROBABILIDAD: EJEMPLOS Ejemplo 3: Solución Para calcular el número de elementos del espacio muestral se debe tomar en cuenta que se quiere seleccionar cinco personas de un universo de diecisiete ! 6, !x2! Para calcular el número de elementos para el evento A se debe tomar en cuenta que se quiere seleccionar dos hombres de un total de siete y tres mujeres de un total de ! 10! x 2, !x5! 3!x7! 2,520 La probabilidad de A: PA ,188

15 PROPIEDADES DE LA PROBABILIDAD Para todo evento A: 0 P A 1 Sea A el complemento de A, entonces: PA 1PA La probabilidad del evento imposible: P 0 Para dos eventos A y B cualquiera, se tiene: PA B PA PB PA B Si A son N eventos incompatibles, entonces: 1, A 2,... AN N N P Ai PAi i1 i1

16 PROPIEDADES DE LA PROBABILIDAD: EJEMPLO Un sistema contiene dos componentes A y B y se conecta de manera que funciona si cualquiera de las dos componentes funciona. Se sabe que la probabilidad de que A funcione es 0.9 y la de B es 0.8 y la probabilidad de que ambos funcionen es Determinar la probabilidad de que el sistema funcione. La probabilidad de que el sistema funcione es igual a la probabilidad de la unión de A y B, por tanto P A B