Contenidos Matrices y determinantes

Transcripción

1 Contenidos 1 Matrices y determinantes Definición de matriz y algunos tipos de matrices Operaciones con matrices y propiedades de las operaciones Igualdad de matrices Suma de matrices Propiedades de la suma de matrices Producto de una matriz por un escalar α del mismo cuerpo Propiedades del producto de una matriz por un escalar del mismo cuerpo Producto de matrices Propiedades del producto de matrices Estructura algebraica de las matrices M m n en IK Análisis de otras propiedades del producto de matrices Inversa de una matriz Transformaciones de una matriz Traspuesta de una matriz Conjugada de una matriz Potencia de una matriz Operaciones elementales y equivalencia Operaciones elementales Equivalencia por filas, equivalencia por columnas y equivalencia Inversa de una operación elemental Matrices equivalentes por filas, equivalentes por columnas y equivalentes: una relación de equivalencia Matrices elementales Operación elemental como producto por una matriz elemental Inversa de una matriz elemental Varios resultados sobre equivalencia de matrices Formas escalonadas por filas de una matriz Definiciones de forma escalonada por filas y forma canónica por filas Algoritmo de Eliminación Gaussiana Simple Rango de una matriz Matrices equivalentes a la identidad: aplicación para obtener la inversa Forma escalonada y forma canónica de una matriz Matrices de intercambio, de Jordan, de Töeplitz y de Hankel Determinantes Definición Cálculo de un determinante de orden n, por adjuntos Propiedades de los determinantes Determinante e inversa Cálculo de la inversa de una matriz, por adjuntos Algunas propiedades de matrices inversibles

2 CONTENIDOS Relación equivalencia con la identidad, determinante, rango y existencia de inversa Determinantes notables Determinante de la matriz de Vandermonde Jacobiano Hessiano Wronskiano Repaso sobre vectores de IR n Definición Combinación lineal Dependencia e independencia lineal Ejercicios Soluciones

3 Capítulo 1 Matrices y determinantes 1.1 Definición de matriz y algunos tipos de matrices Una matriz es una ordenación rectangular de elementos dispuestos en filas y columnas encerrados entre corchetes, por ejemplo i 1 i 3i B 1 4 C 3 2i 2 + 6i 2 i i 1 + i 2 + i Las matrices se representan por letras mayúsculas A,B,C,... y sus elementos por minúsculas con dos subíndices, a ij. Los subíndices indican, por este orden, la fila y la columna en la que se sitúa el elemento. a 11 a a 1n A a 21 a a 2n Se denota también A {a ij } a m1 a m2... a mn Una matriz de m filas y n columnas se dice que es una matriz de orden m n, y esto también se denota así: A m n. El primer índice se refiere siempre al número de filas y el segundo al número de columnas. Las matrices que trataremos tendrán elementos de un cuerpo IK. Consideraremos el cuerpo de los números reales, IR, o el cuerpo de los números complejos, C. Ambos son cuerpos conmutativos (tanto la suma como la multiplicación cumplen la propiedad conmutativa). Hablaremos de matrices en IR si a ij IR y de matrices en C si a ij C. La matriz ejemplo B se puede considerar como una matriz en el cuerpo de los números reales, IR, o también en el cuerpo de los números complejos, C, sin más que tener en cuenta que todo real es un elemento de C con parte imaginaria nula. La matriz ejemplo C es una matriz en el cuerpo de los números complejos. No es una matriz en el cuerpo de los reales ya que tiene elementos que no son números reales. Definimos a continuación algunos tipos de matrices. 1) Matriz fila es una matriz de orden 1 n, A [a 11 a a 1n ] b 11 b 21 2) Matriz columna es una matriz de orden m 1, B. A una matriz columna se le denomina también vector. b m1 3

4 CAPÍTULO 1. MATRICES Y DETERMINANTES 4 3) Matriz nula es aquella que tiene todos los términos nulos. Se denota como A, o como Ω. El elemento nulo de un cuerpo es el elemento neutro de la suma. El elemento nulo de los números reales es, y el elemento nulo de los números complejos es + i. 4) La matriz opuesta de A, denotada A, es aquella que resulta de sustituir en A cada elemento por su opuesto (el elemento simétrico de la suma en el cuerpo). Si A {a ij }, los elementos de A son: A { a ij } 5) Matriz cuadrada es aquella con igual número de filas que de columnas. m n. Una matriz cuadrada de n filas y n columnas se dice que es una matriz de orden n. Una matriz de este tipo se denota como A n n o A n. En una matriz cuadrada la diagonal principal es la línea formada por los elementos cuyos subíndices de fila y columna coinciden, a 11, a 22,... a nn. La diagonal secundaria es la línea formada por los elementos a ij tales que i + j n + 1. Se denomina traza, denotada tr(a), a la suma de los elementos de la diagonal principal de A. tra a 11 + a a nn Se llama triángulo superior al formado por los elementos a ij situados por encima de la diagonal principal. Se llama triángulo inferior al formado por los elementos a ij situados por debajo de la diagonal principal. * diagonal principal triángulo superior triángulo inferior Matriz triangular superior. Matriz cuadrada que tiene el triángulo inferior nulo. O lo que es lo mismo, a ij para i > j. Matriz triangular inferior. Matriz cuadrada que tiene el triángulo superior nulo. O lo que es lo mismo, a ij para i < j Matriz diagonal. Es aquella que es triangular superior y triangular inferior a la vez. Entre éstas cabe destacar la matriz escalar, matriz cuya diagonal principal tiene todos los elementos iguales. La matriz unidad es una matriz escalar cuya diagonal principal está formada sólo por unos. La matriz unidad también se denomina matriz identidad. La matriz identidad de orden n se denota como I n. Uno es el el. neutro de la multiplicación en el cuerpo. Matriz simétrica. Una matriz A n es simétrica si a ij a ji para todos los valores de i y de j. Matriz antisimétrica o hemisimétrica. Una matriz A n es antisimétrica si a ij a ji para todos los valores de i y de j. Evidentemente, para los elementos de la diagonal principal se concluye a ii a ii, por tanto a ii para i 1, 2,... n.

5 CAPÍTULO 1. MATRICES Y DETERMINANTES 5 6) Se dice que A m n es escalonada si verifica: a) Si tiene filas cuyos elementos son todos ceros, aparecen en la parte inferior de la matriz. b) El primer elemento distinto de cero de una fila, empezando por la izquierda, se llama elemento pivote o cabecera. Dadas dos filas sucesivas, el elemento pivote de la 2 a fila está más a la derecha que el elemento pivote de la 1 a fila. Ejemplo 1.1 Matrices escalonadas. [ ] Se indican en negrita los elementos pivote. [ 2 1 ] A continuación damos dos ejemplos de matrices que no son escalonadas Toda matriz cuadrada en forma escalonada es triangular superior En una matriz escalonada, las columnas que contienen pivotes se denominan columnas pivotales. 7) Se dice que A m n es canónica por filas o reducida por filas si es escalonada, con pivotes unidad, y tal que en las columnas pivotales todos los elementos salvo el pivote son nulos. Ejemplo 1.2 Matrices canónicas por filas. [ ] [ ] Obsérvese la diferencia con las matrices escalonadas ) La división de matrices por bloques o submatrices permite simplificar los cálculos

6 CAPÍTULO 1. MATRICES Y DETERMINANTES Operaciones con matrices y propiedades de las operaciones El conjunto de las matrices de orden m n con elementos del cuerpo IK tiene distintas notaciones: M m n (IK) ó IK m n, entre otras Igualdad de matrices Decimos que dos matrices A {a ij } y B {b ij } del mismo orden son iguales si {a ij } {b ij } i 1,..., m, j 1,..., n Suma de matrices Dadas A {a ij } y B {b ij }, se define A + B como la matriz C {c ij } tal que c ij a ij + b ij. Para poder sumar dos matrices deben tener el mismo orden, y el resultado es de ese mismo orden. 1 1 Ejemplo 1.3 Calcular A + B con A 1 y B El resultado es una matriz del mismo orden, en nuestro caso A + B Ejemplo 1.4 Calcular A B, tomando las matrices del apartado anterior. (Nótese como la resta es la suma de la opuesta) A B Propiedades de la suma de matrices Tanto para las matrices en IR como para las matrices en C (separadamente), se cumplen las siguientes propiedades. 1) Operación cerrada: A, B M, A + B M 2) Asociativa: A, B, C M, A + (B + C) A + (B + C) 3) Elemento neutro: M/ A M, A + A 4) Conmutativa: A, B M, A + B B + A 5) Existencia de elemento opuesto: A M A / A + ( A) A es la que hemos denominado anteriormente matriz opuesta. El elemento opuesto de a IR es a IR El elemento opuesto de a + bi C es a bi C. (Signo opuesto en la parte real y en la parte imaginaria).

7 CAPÍTULO 1. MATRICES Y DETERMINANTES Producto de una matriz por un escalar α del mismo cuerpo Dada A {a ij } definida en el cuerpo IK y α IK, se define αa C αa ij c ij i 1,..., m, j 1,..., n α, a ij y c ij IK. Es decir, se define como otra matriz C {c ij } cuyos elementos se forman multiplicando α por cada uno de los elementos de A {a ij } La matriz C es del mismo orden que A. Para matrices en el cuerpo IR, tomando los escalares α IR se garantiza que la operación sea cerrada, es decir que la matriz producto resulte ser una matriz en el cuerpo IR. Ejemplo Ejemplo 1.6 (5 + i) Ejemplo [ ] [ ] ( 1) [ ] [ ] i 5 i i 5 + i i [ 5 5 ] [ ] [ ] [ ] 1 + i 5 (1 + i) i 2 i 3i 5 (2 i) 5 3i 1 5i 15i [ ] 1 + i Ejemplo 1.8 (5 + i) [ ] 2 i 3i 4 + 6i 11 3i i [ ] (5 + i) (1 + i) (5 + i) (5 + i) (2 i) (5 + i) 3i Propiedades del producto de una matriz por un escalar del mismo cuerpo Se cumplen las siguientes propiedades para las matrices en el cuerpo IR y en el cuerpo C, separadamente. 1) Cerrada: A M en IK y α IK, αa M en IK 2) Distributiva respecto a la suma de matrices: α(a+b) αa+αb A, B M, α IK 3) Distributiva respecto a la suma de escalares: (α + β)a αa + βa A M, α, β IK 4) Pseudoasociativa (asociativa entre el producto externo y el producto interno en IK): (αβ)a α(βa) β(αa) A M, α, β IK 5) Ley de identidad o de unidad del producto externo: 1 A A 1 es el elemento neutro del producto en el cuerpo IK En IR es el escalar 1, ejemplo En C es el escalar 1 + i, ejemplo (1 + i).(2 6i) (2 6i)

8 CAPÍTULO 1. MATRICES Y DETERMINANTES Producto de matrices Dadas dos matrices A m n {a ij } y B n p {b ij }, compatibles para el producto, es decir, tales que el número de columnas de A coincide con el número de filas de B, se define A.B C, como otra matriz C m p con tantas filas como A y tantas columnas como B, siendo su elemento c ij el resultado de sumar los productos de los elementos de la fila i de A por los de la columna j de B, en la forma dada en el siguiente sumatorio: n C A B {c ij } c ij a ik b kj i 1,..., m j 1,..., p El algoritmo puede entenderse fácilmente observando el siguiente esquema: k1 fila i columna j c ij m n n p m p Es decir, c ij a i1 b 1j + a i2 b 2j a in b nj Ejemplo 1.9 Multiplicar las siguientes matrices: [ ] 1 [ ] [ ] Ejemplo 1.1 Multiplicar entre sí por pares, las matrices A [ ], B 2 y [ ] C A B [ ] 2 [ ] B A 2 [ ] AC, CA, CB, BC no son operaciones posibles Propiedades del producto de matrices Siempre que los productos sean posibles, se verifican las siguientes propiedades: 1) Asociativa: A, B, C M A (B C) (A B) C 2) Distributiva respecto a la suma de matrices: A, B, C M A (B + C) (A B) + (A C) (A + B) C A C + B C 3) Pseudoasociativa (asociativa entre el producto externo y el producto interno en M) A, B M y α K α(a B) (αa) B A (αb)

9 CAPÍTULO 1. MATRICES Y DETERMINANTES Estructura algebraica de las matrices M m n en IK M m n en IK ( +, IK). El conjunto de matrices M m n en IK, con la suma y producto externo con IK, cuyas definiciones y propiedades se enunciaron en las secciones anteriores, tiene estructura de espacio vectorial sobre el cuerpo IK. M m n en IK ( +,., IK). El conjunto de matrices M n en IK, con la suma, producto interno, y con el producto externo con IK, cuyas definiciones y propiedades se enunciaron en las secciones anteriores, tiene estructura de álgebra sobre el cuerpo IK Análisis de otras propiedades del producto de matrices 4) I m A m n A m n ; A m n I n A m n ; I m A m n I n A m n Ejemplo 1.11 I 2 I 2 A A A I 3 A I 2 A I 3 A Ejemplo 1.12 [ ] 1 1 [ 2 + i 7 3i 4i 6 1 I 3 1 A 1 ] [ ] 1 1 [ 2 + i ] 7 3i 4i 6 [ ] Se cumple: ) El producto de matrices no es conmutativo, es decir, en general A B B A Una condición necesaria, aunque no suficiente, para que se cumpla A.B B.A es que A y B sean matrices cuadradas del mismo orden. A m n B n p C m p B n p A m n C n n Tenemos por una parte que el producto es de orden m p, y por otra que p m (para poder multiplicar B por A) y que el producto es de orden n n. Para que C y C sean del mismo orden se requiere m p n. Por tanto A y B han de ser matrices cuadradas de orden n. Se dice que dos matrices cuadradas de orden n conmutan o que son conmutativas o que son permutables si se cumple la igualdad A B B A. También se utiliza la denominación conmutante o permutante. En algunos casos se verifica que A B B A, entonces se dice que las matrices cuadradas de orden A y B son anticonmutativas o antipermutables. También se utiliza la denominación anticonmutante o antipermutante Ejemplo 1.13 Ejemplo de dos matrices cuadradas del mismo orden que no son permutables ni antipermutables. [ ] [ ] A B [ ] [ ] [ ] A B [ ] [ ] [ ] B A

10 CAPÍTULO 1. MATRICES Y DETERMINANTES 1 6) El producto de matrices tiene divisores de cero: A B no implica necesariamente que A ó B. La definición estricta de los divisores de cero es la siguiente: Dos matrices no nulas A y B se denominan respectivamente divisor de cero por la izquierda y divisor de cero por la derecha si AB. Una matriz C que sea divisor de cero por la izquierda o divisor de cero por la derecha se denomina simplemente divisor de cero. Una matriz F que sea divisor de cero por la izquierda y por la derecha se denomina divisor de cero por la izquierda y por la derecha o divisor de cero por los dos lados. [ ] 1 1 Ejemplo 1.14 A B 1 1 [ ] [ ] [ ] [ ] 3 2 y A B 3 2 En este ejemplo hemos determinado que A y B son divisores de cero. 7) El producto de matrices no verifica la propiedad de simplificación: Si A B A C no necesariamente B C Ejemplo 1.15 A B A C, sin embargo B C [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] sin embargo, ) El producto de dos matrices triangulares superiores es una matriz triangular superior. 9) El producto de dos matrices triangulares inferiores es una matriz triangular inferior. Ejemplo ) El producto de dos matrices diagonales es otra matriz diagonal. Además c ii a ii b ii Ejemplo ) Una matriz diagonal conmuta con todas las matrices diagonales. Es consecuencia de que el producto de elementos del cuerpo IK sea conmutativo Ejemplo

11 CAPÍTULO 1. MATRICES Y DETERMINANTES 11 Ejemplo 1.19 En este ejemplo se observa como se obtiene el producto de una matriz dada por una una matriz diagonal En el primer caso cada columna queda multiplicada por el elemento de la diagonal. En el segundo caso cada fila queda multiplicada por el elemento de la diagonal. c ij A D D A n a ik d kj a ij d jj n c ij d ik a kj d ii a ij k1 1.3 Inversa de una matriz Dada una matriz A M n decimos que F es la inversa de A si: A F F A I. La inversa de A se denota como A 1, es decir F A 1, y se tiene entonces A A 1 A 1 A I A 1 M n No todas las matrices cuadradas tienen inversa. Una matriz A que posee inversa se denomina matriz regular o matriz inversible. De una matriz que no tiene inversa se dice que es no inversible o singular. Propiedades Dadas A y B inversibles y α IK, α se cumple: 1) A 1 es única 2) (A 1 ) 1 A 3) A B es inversible, y (A B) 1 B 1 A 1 4) (α A) 1 α 1 A 1 Dem. 1) Sea A 1 la inversa de A, y B otra matriz tal que A B I. Premultiplicando la última expresión por A 1 obtenemos: A 1 A B A 1 I B A 1 concluimos que B es la misma matriz que A 1. 2) A 1 A AA 1 I (A 1 ) 1 A 3) Consideramos el producto B 1 A 1 ABB 1 A 1 AIA 1 AA 1 I y B 1 A 1 AB B 1 IB B 1 B I (AB) 1 B 1 A 1 k1 4) αaα 1 A 1 αα 1 AA 1 1I I y α 1 A 1 αa 1I I (αa) 1 α 1 A 1 Observaciones: Una consecuencia de la propiedad 3 es que el producto de tres matrices inversibles de orden n es inversible, y la inversa es el producto de las inversas en el orden contrario. La generalización a productos de más matrices es obvia. (A B C) 1 ((A B) C) 1 C 1 (A B) 1 C 1 B 1 C 1

12 CAPÍTULO 1. MATRICES Y DETERMINANTES 12 (A B... F ) 1 F 1... B 1 A 1 I n es inversible y su inversa es I n 1.4 Transformaciones de una matriz Traspuesta de una matriz Dada una matriz A m n se llama traspuesta de A y se denota A t, a la matriz que resulta de cambiar ordenadamente sus filas por sus columnas. A t será entonces de orden n m. aij t a ji i 1,..., n, j 1,..., m Ejemplo 1.2 A Propiedades: 1) (A t ) t A [ 2 3 ] ) (α A) t α A t α IK 3) (A ± B) t A t ± B t 4) (A B) t B t A t Demostración de la propiedad 4): Sea A B C c t ij c ji 2 A t n a jk b ki k1 n a t kjb t ik k1 n b t ika t kj k1 La penúltima igualdad se obtiene por cumplir la propiedad conmutativa el producto de elementos del cuerpo IK. El primer término de la igualdad es el elemento (i, j) de (A B) t y el último término es el elemento (i, j) de la matriz B t A t. Concluyendo entonces que (AB) t B t A t Cuando A es cuadrada tenemos: Una matriz A n es simétrica si y sólo si A A t. En efecto A n es simétrica si y sólo si a ij a ji, y como a ji a t ij, tenemos que a ij a t ij y por tanto A At Ejemplo 1.21 A es una matriz simétrica 3 2 Una matriz A n es antisimétrica o hemisimétrica si y sólo si A A t. En efecto A n es antisimétrica o hemisimétrica si y sólo si a ij a ji, y como a ji a t ij, tenemos que a ij a t ij y por tanto A At 2 3 Ejemplo 1.22 A 2 2 es una matriz antisimétrica 3 2 Dada una matriz cuadrada A n, A + A t es una matriz simétrica. Veamos la demostración: Definimos C A + A t c ij a ij + a t ij at ji + a ji a ji + a t ji c ji (La tercera igualdad se cumple por la propiedad conmutativa de la suma de los elementos del cuerpo IK).

13 CAPÍTULO 1. MATRICES Y DETERMINANTES 13 Dada una matriz cuadrada A n, A A t es una matriz antisimétrica. Veamos la demostración: Definimos C A A t c ij a ij a t ij at ji a ji a ji + a t ji (a ji a t ji ) c ji (La tercera igualdad se cumple por la propiedad conmutativa de la suma de los elementos del cuerpo IK). Toda matriz cuadrada A n se puede expresar de forma única como suma de una matriz simétrica S y otra antisimétrica H: A S + H Veamos la demostración: A S + H [1] y tomando traspuestas A t S t + H t Por otra parte S t S y H t H, por tanto A t S H [2] Sumando [1] y [2] obtenemos A + A t 2S S 1 2 (A + At ) Restando [1] y [2] obtenemos A A t 2H H 1 2 (A At ) Hemos demostrado cómo obtener S y H a partir de A [ ] 2 1 Ejemplo 1.23 Descomponer A como suma de una matriz simétrica y otra 3 5 antisimétrica. ([ ] [ ]) [ ] [ ] S 1 2 (A + At ) ([ ] [ ]) [ ] [ ] H 1 2 (A At ) [ ] [ ] [ ] Propiedad adicional Dada A m n, las matrices AA t y A t A son ambas simétricas. Demostración: (AA t ) t (A t ) t A t AA t (A t A) t A t (A t ) t A t A Matriz ortogonal Una matriz cuadrada se dice ortogonal si AA t A t A I Propiedades a) A 1 A t b) La inversa y la traspuesta de una matriz ortogonal es ortogonal c) El producto de dos o más matrices ortogonales es ortogonal Dem. a) Por la definición de inversa b1) Sea A ortogonal, A 1 (A 1 ) t A t (A t ) t A t A I y (A 1 ) t A 1 (A t ) t A t AA t I, por tanto A 1 es ortogonal. b2) Sea A ortogonal, A t (A t ) t A t A I y (A t ) t A t AA t I, por tanto A t es ortogonal. c) Lo demostramos para el producto de dos matrices. Sean A y B ortogonales (AB) (AB) t ABB t A t AIA t AA t I (AB) t AB B t A t AB B t IB B t B I

14 CAPÍTULO 1. MATRICES Y DETERMINANTES Conjugada de una matriz Dada una matriz A m n se llama conjugada de A y se denota A, a una nueva matriz cuyos elementos son los conjugados de los elementos de A. La parte real de los elementos no varía, mientras que la parte imaginaria cambia de signo. Propiedades: A A αa αa A ± B A ± B AB A B Si todos los elementos de A son reales A A Si todos los elementos de A son imaginarios puros A A Cuando A es cuadrada tenemos: A n se dice hermítica o autoadjunta si A t A, es decir, si a ij a ji para todos los valores de i y j. Obviamente, los elementos de la diagonal principal de una matriz hermítica han de ser números reales. A n se dice antihermítica o hemihermítica si A t A, es decir, si a ij a ji para todos los valores de i y j. Se desprende que los elementos de la diagonal principal de una matriz antihermítica han de ser nulos o imaginarios puros. A n se dice normal si A A t A t A A n se dice unitaria si A t A Potencia de una matriz Dada una matriz A n y k un entero positivo, entonces A k denota el producto de A por sí misma k veces. A k k veces {}}{ AA... A Matriz periódica es aquella matriz A cuadrada que verifica que A k+1 A para algún k entero positivo. Si k es el menor de esos enteros, entonces se dice que la matriz A tiene período k. Cuando k 1 se tiene A 2 A, y resulta inmediato demostrar que entonces A k A para todo k. Se dice que A es idempotente. A 3 A 2 A AA A, etc. Matriz nihilpotente de índice k es aquella matriz A que verifica A k, siendo k el menor entero positivo para el que se cumple la igualdad. Si k 2 se dice directamente que A es nihilpotente Matriz involutiva es la matriz A que verifica A 2 I, Si A es involutiva AA I, es decir, A 1 A A k : (A 1 ) k A : I (: significa que es igualdad por definición, se utiliza también el símbolo )

15 CAPÍTULO 1. MATRICES Y DETERMINANTES Operaciones elementales y equivalencia Operaciones elementales Sea la matriz A m n, efectuamos una operación elemental sobre una línea (fila o columna) de A cuando realizamos una de estas tres operaciones: a) Intercambiar entre sí las líneas i y j (intercambiar dos filas entre sí o dos columnas entre sí ). También se denomina trasposición o permutación. b) Multiplicar la línea i (fila o columna) por un escalar k. También se denomina escalamiento, o línea-homotecia. c) Sumar a la línea i la j (paralela a ella) multiplicada por un escalar cualquiera. También se denomina reemplazamiento o manipulación. A lo largo del curso se realizará un amplio uso de las operaciones elementales por filas, para resolver sistemas de ecuaciones, calcular rangos, determinantes, etc. Se realizará un uso menos extenso de las operaciones elementales por columnas, aunque sí se utilizarán por ejemplo para el cálculo de determinantes. Notación: F 13 se intercambian las filas 1 y 3 F 1(7) la fila 1 se multiplica por 7 F 13( 4) a la fila 1 se le suma la 3 multiplicada por 4 C 13 se intercambian las columnas 1 y 3 C 1(7) la columna 1 se multiplica por 7 C 13( 4) a la columna 1 se le suma la 3 multiplicada por 4 Ejemplo: A [ ] [ ] 1 2 B 2 La operación elemental realizada ha sido F 21( 1) Ejemplo: G [ ] [ ] 2 1 H 4 1 La operación elemental realizada ha sido C 12 Ejemplo: R [ ] [ ] [ ] 2 1 S 1 Las operaciones elementales realizadas han sido primero C 12 y seguidamente F 21( 2) Equivalencia por filas, equivalencia por columnas y equivalencia Se dice que A m n es equivalente por filas a B m n si partiendo de A podemos obtener B efectuando un número finito de operaciones elementales por filas. Notación: A f B Se dice que A m n es equivalente por columnas a B m n si partiendo de A podemos obtener B efectuando un número finito de operaciones elementales por columnas. Notación: A c B Se dice que A m n es equivalente a B m n si partiendo de A podemos obtener B efectuando un número finito de operaciones elementales por columnas, por filas o combinando los dos tipos. Notación: A B

16 CAPÍTULO 1. MATRICES Y DETERMINANTES 16 Observaciones: A f B A B A c B A B A B no implica que necesariamente A sea equivalente por filas a B ni que necesariamente A sea equivalente por columnas a B Inversa de una operación elemental Se llama inversa de una operación elemental a una operación elemental que cancela el efecto de la primera; es decir, si después de realizar una operación elemental sobre A se aplica la operación elemental inversa, se obtiene de nuevo la matriz original A. La inversa de una o.e. de filas (columnas) es una o.e. de filas (columnas). La inversa de F ij es F ij La inversa de F ij(α) es F ij( α) La inversa de F i(α) es F i(1/α) La inversa de C ij es C ij La inversa de C ij(α) es C ij( α) La inversa de C i(α) es C i(1/α) Matrices equivalentes por filas, equivalentes por columnas y equivalentes: una relación de equivalencia Desde el punto de vista de las relaciones entre los elementos de un conjunto, en este caso el conjunto de matrices de un orden m n dado, la relación de equivalencia por filas, por columnas, y la relación de equivalencia pertenecen a la clase de relaciones denominadas relaciones de equivalencia, puesto que cumplen las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva. Lo podemos ver por ejemplo para el caso de la equivalencia por filas: Reflexiva: A es equivalente por filas a A, sin más que considerar la operación de multiplicar una fila por el escalar 1. Simétrica: Si A es equivalente por filas a B, B es equivalente por filas a A, simplemente realizando la o.e. inversa. Transitiva: Si A es equivalente por filas a B, y B es equivalente por filas a C, entonces A es equivalente por filas a C. A o.e o.e. l B y B o.e. l+1... o.e. k C A o.e o.e. l o.e. l+1... o.e. k C A equivalente a B por filas, por columnas o por o.e. de ambos tipos, implica que B tiene establecido el mismo tipo de relación con A. Por ello se dirá entonces que A y B son equivalentes por filas, por columnas, o equivalentes sin más, en vez de indicar un orden A equivalente a B o B equivalente a A Matrices elementales Se define matriz elemental como aquella matriz cuadrada de orden n, que se obtiene al efectuar una operación elemental sobre una línea (fila o columna) de la matriz identidad de orden n.

17 CAPÍTULO 1. MATRICES Y DETERMINANTES 17 Ejemplos: F 23 1 E F23 Se intercambia fila 2 a con fila 3 a F 3 1 1(3) 1 E F1(3) Se multiplica la 1 a fila por F ( 2) 1 E F31( 2) Se suma a la 3 a fila la 1 a por Con frecuencia para simplificar la notación se designan las matrices elementales como las operaciones elementales asociadas. Para los ejemplos anteriores la notación sería: F 23, F 1(3) y F 31( 2) Para las operaciones elementales por columnas las correspondientes matrices elementales serían: C 23, C 1(3) y C 31( 2) Nótese la relación entre las matrices elementales de filas y las matrices elementales de columnas: F 23 C 23 son iguales F 1(3) C 1(3) son iguales F 31( 2) C 13( 2) las líneas transformada y auxiliar aparecen intercambiadas Operación elemental como producto por una matriz elemental Sea la matriz elemental F m correspondiente a determinada operación elemental por filas, y una matriz A m n ; entonces el producto F m A m n es igual a la matriz que resulta de efectuar la misma operación elemental sobre las filas de A m n. Sea la matriz elemental C n correspondiente a determinada operación elemental por columnas, y una matriz A m n ; entonces el producto A m n C n es igual a la matriz que resulta de efectuar la misma operación elemental sobre las columnas de A m n Ejemplo: Dada A , sumar a la segunda fila la primera multiplicada por ( 2) utilizando el producto por una matriz elemental. 1 F 21( 2) 2 1 es la matriz elemental que resulta de sumarle 1 a la fila 2 a de I 3, la 1 a multiplicada por ( 2). F 21( 2) A es igual resultado que si le sumamos a la 2 a fila de A la 1 a multiplicada por ( 2). Es decir, es lo mismo que efectuar F 21( 2) sobre A.

18 CAPÍTULO 1. MATRICES Y DETERMINANTES Ejemplo: Dada A 4 2 1, intercambiar las columnas 1 y 3 utilizando el producto por una matriz elemental. 1 C Ejemplo 1.24 A partir de la matriz A queremos obtener la matric C que tiene intercambiadas las filas 2 y 4. Determina la matriz elemental B tal que B.A C 1 B Comprobación: Inversa de una matriz elemental Toda matriz elemental tiene inversa, y la inversa de una matriz elemental es elemental (corresponde a la operación elemental inversa). La inversa de F ij es F ij La inversa de F ij(α) es F ij( α) La inversa de F i(α) es F i(1/α) Análogamente para columnas, sin más que sustituir F por C. Comprobaciones para matrices elementales correspondientes a operaciones elementales por filas: F ij F ij I I F ij(α) F ij( α) I I F ij( α) F ij(α) I I F i(α) F i(1/α) I I F i(1/α) F i(α) I I F ij F ij I F ij(α) F ij( α) I F ij( α) F ij(α) I F i(α) F i(1/α) I F i(1/α) F i(α) I Y análogamente para las o.e. por columnas Ejemplos: E 23 E F

19 CAPÍTULO 1. MATRICES Y DETERMINANTES 19 1/3 3 1 E F1(1/3) E F1(3) E F31(2) E F31( 2) Varios resultados sobre equivalencia de matrices A y B equivalentes por filas implica que existen F 1, F 2,..., F a / F a... F 2 F 1 A B A y B equivalentes por columnas implica que existen C 1, C 2,..., C b / A C 1 C 2... C b B A y B equivalentes implica que existen F 1, F 2,..., F a, C 1, C 2,..., C b / F a... F 2 F 1 A C 1 C 2... C b B Ya que las relaciones anteriores son simétricas, también podríamos haber escrito: A y B equivalentes por filas implica que existen F 1, F 2,..., F s / F s... F 2 F 1 B A A y B equivalentes por columnas implica que existen C 1, C 2,..., C t / B C 1 C 2... C t A A y B equivalentes implica que existen F 1, F 2,..., F s, C 1, C 2,..., C t / F s... F 2 F 1 B C 1 C 2... C t A Pero en realidad las F y las F no son independientes, ni lo son las C respecto de las C, pues obviamente: F a... F 2 F 1 A B (F 1 ) 1 (F 2 ) 1... (F a ) 1 F a... F 2 F 1 A (F 1 ) 1 (F 2 ) 1... (F a ) 1 B (F 1 ) 1 (F 2 ) 1... (F a ) 1 B A (Por ser las matrices elementales inversibles). Por otra parte, por ser el producto de inversibles inversible, tenemos: A y B equivalentes por filas implica que existe P inversible / P A B ( A P 1 B) Nótese que manteniendo la notación anterior: { P Fa... F 2 F 1 P 1 F1 1 F Fa 1 A y B equivalentes por columnas implica que existe Q inversible / A Q B ( A BQ 1 ) { Q C1 C 2... C b Q 1 C 1 b... C2 1 C1 1 A y B equivalentes implica que existen P y Q inversibles / P A Q B ( A P 1 BQ 1 )

20 CAPÍTULO 1. MATRICES Y DETERMINANTES 2 De las ecuaciones anteriores se deduce directamente (por el hecho de que el producto de inversibles es inversible) que si A y B son equivalentes por filas, equivalentes por columnas o equivalentes, entonces o ambas, A y B, son inversibles, o ninguna de ellas lo es. 1.7 Formas escalonadas por filas de una matriz Definiciones de forma escalonada por filas y forma canónica por filas Partiendo de cualquier matriz A se puede llegar mediante un número finito de o.e. por filas a una matriz U escalonada, y a ésta se le denomina forma escalonada por filas de A. Para una matriz dada existen infinitas formas escalonadas por filas. Nótese que si U es una forma escalonada por filas de A, aparte de ser escalonada cumple que existirá P inversible tal que P A U. Esa matriz inversible corresponde a los productos de las matrices elementales por filas aplicadas. P F a... F 2 F 1 Al proceso de obtener una forma escalonada por filas de una matriz también se le conoce como eliminación gaussiana. Se denomina forma canónica por filas o reducida por filas de una matriz A a la forma escalonada por filas de A con pivotes unidad y ceros encima de los elementos pivote. Dada A, la forma canónica por filas es única. En general utilizaremos para esta matriz la notación A can filas o A red filas. Debido a que la equivalencia por filas cumple la propiedad transitiva, todas las matrices equivalentes por filas entre sí tienen la misma forma canónica por filas Algoritmo de Eliminación Gaussiana Simple Describimos a continuación un algoritmo para obtener a partir de una matriz dada A m n una forma escalonada por filas, y la forma canónica por filas. El método se denomina Eliminación Gaussiana Simple y el orden en el que se efectúan las operaciones elementales por filas viene prefijado por un convenio. No se pueden realizar escalamientos. El intercambio de filas sólo se puede realizar para buscar un elemento pivote en la obtención de la forma escalonada por filas, y se ha de realizar con la primera fila siguiente que sí posea pivote. El algoritmo de Eliminación Gaussiana Simple consta de los siguientes pasos: 1) Partiendo de la izquierda, buscamos la 1 a columna con un elemento distinto de cero, llamémosla j 1. Esta columna j 1 es la primera columna pivotal. Si el primer elemento no nulo de j 1 (el de la fila más alta) no está en la 1 a fila se intercambian la primera fila y ésta. Este elemento no nulo, en la posición (1,j 1 ) es el primer elemento pivote. Mediante operaciones elementales por filas convertimos los elementos de la primera columna pivotal que están debajo del elemento pivote, en ceros. La fila auxiliar utilizada es la 1 a fila. La operación elemental que elimina el elemento b es la de sumar a la fila que contiene el elemento b la fila auxiliar multiplicada por ( b / primer pivote). 2) Moviéndonos hacia la derecha, a partir de la 1 a columna pivotal, buscamos la siguiente columna que tenga un elemento no nulo en la 2 a fila o siguientes. Esa columna j 2 será la segunda columna pivotal. Se realizará un intercambio de filas si este primer elemento no nulo no estuviera en la 2 a fila, para colocarlo precisamente en ésta. Este es el segundo elemento pivote. Además de esta operación elemental de intercambio a fin de que el elemento pivote se encuentre en la 2 a fila (posición (2,j 2 )), se realizarán las operaciones

21 CAPÍTULO 1. MATRICES Y DETERMINANTES 21 elementales necesarias para que todos los elementos de la columna pivotal, por debajo del pivote, sean ceros, utilizando como fila auxiliar la fila 2 a. Estas operaciones elementales no afectan a los elementos de las columnas situadas a la izquierda de j 2, ya que los elementos de la fila 2 a la izquierda de j 2 son todos nulos. 3) Seguimos moviéndonos hacia la derecha. Sea j 3 la siguiente columna que tiene un elemento no nulo, ahora en la 3 a fila o más abajo. Si es necesario intercambiaremos las filas para que, en la nueva matriz, la columna j 3 tenga en la fila 3 el primer elemento no nulo encontrado (tercer elemento pivote), y a continuación realizaremos las operaciones para transformar a ceros los elementos por debajo de él, utilizando la fila 3 como auxiliar. 4) Seguimos repitiendo el proceso hasta conseguir r columnas pivotales, j 1, j 2..., j r y solamente ceros en las filas r + 1, r + 2,..., m. Al final de estos cuatro pasos habremos conseguido transformar la matriz, a través de operaciones elementales por filas, en una forma escalonada por filas. Dada una matriz, mediante el método de eliminación gaussiana simple se obtiene una única matriz en la forma escalonada por filas. Esto es debido a que las operaciones elementales que se realizan y el orden en que se realizan están fijadas por el método Ejemplo: Obtén la forma escalonada de la matriz A mediante eliminación gaussiana simple F 13 1 F 41( 1/2) 1 A F 23 F 42( 1/2) F 52( 1/2) / / F 43(7/2) A esc filas 7/2 F 53( 1/2) 1/2 A f A esc filas 3 cols. pivotales: la 2 a, la 3 a y la 4 a. Los pivotes respectivos son 2, 2 y 1. 5) Una vez obtenida la matriz equivalente por filas escalonada, debemos continuar el proceso transformando en unos los elementos pivote y en ceros los elementos de las columnas pivotales situados por encima del elemento pivote. a) Para hacer unos los elementos pivote se escalan las filas no nulas, a fin de que todos los pivotes tomen el valor 1. b) Para obtener los ceros por encima de los elementos pivote los pasos son los siguientes: b.1) Considerando la última fila no nula, que llamamos fila r, como auxiliar, y con las correspondientes operaciones elementales sobre las filas, consigamos mediante reemplaza-

22 CAPÍTULO 1. MATRICES Y DETERMINANTES 22 mientos que la columna j r tenga ceros en las filas 1,2,...r 1. Ninguna columna a la izquierda de j r se verá afectada por estas operaciones, ya que los elementos de la fila r a la izquierda de la columna pivotal j r son todos nulos. b.2) Continuamos hacia arriba, en la fila r 1, donde a través de operaciones elementales, tomando la fila r 1 como fila auxiliar, haremos cero los elementos de esa columna pivotal en las filas 1,2,... r 2. Continuamos con estas transformaciones para que cada columna pivotal j i tenga ceros en las i 1 primeras filas, siempre disminuyendo i, hasta i 2. Con el proceso descrito en este quinto paso se obtiene la forma canónica por filas con: r filas con sus elementos no todos nulos, que son además las r primeras filas de la matriz. El primer elemento no nulo en cada fila es el 1. r columnas pivotales, no necesitariamente las r primeras, con todos los elementos nulos salvo un 1. Ejemplo: Partiendo de la forma escalonada por filas obtenida, calcula la forma canónica por filas (o forma reducida por filas), según el procedimiento de eliminación gaussiana simple /2 1 F 1(1/2) F 23( 3/2) F 2(1/2) F 13( 2) 1 1 F 12( 3) 1 A can filas, A f A can filas Las columnas pivotales son las mismas: la segunda, la tercera y la cuarta. Los pivotes ahora son todos 1 y cada columna pivotal tiene ceros por encima de los elementos pivote Rango de una matriz Se denomina rango de una matriz A m n al número de columnas pivotales o número de filas no nulas de cualquier forma escalonada por filas de la matriz. En efecto todas las formas escalonadas por filas de una matriz tienen el mismo rango. Propiedades: El rango de la matriz I n es n, pues la matriz ya es escalonada por filas y tiene n filas no nulas (o lo que es lo mismo, n columnas pivotales). Debido a que la equivalencia por filas cumple la propiedad transitiva, todas las matrices equivalentes por filas entre sí tienen el mismo rango. Dada una matriz A m n el rango ha de ser menor o igual que m y menor o igual que n. Por comodidad se suele obtener el rango de una matriz A a partir de una forma escalonada por filas de A. Un resultado muy importante que no vamos a demostrar es el siguiente: Ejemplo 1.25 rg rga rga t [ ] , rg , rg

23 CAPÍTULO 1. MATRICES Y DETERMINANTES Ejemplo 1.26 Determina el rango de la matriz A A rga /3 F 21( 2) F 32( 1/3) Matrices equivalentes a la identidad: aplicación para obtener la inversa Partiendo de A n, A can filas I n F a... F 2 F 1 A I (F a... F 2 F 1 ) 1 (F a... F 2 F 1 ) A (F a... F 2 F 1 ) 1 I A (F a... F 2 F 1 ) 1 I (F a... F 2 F 1 ) 1 A inversible y A 1 F a... F 2 F 1 I Concluimos que efectuando la misma secuencia de operaciones elementales por filas y en el mismo orden que llevan de A a I, la matriz I se transforma en A 1. Este método de determinación de la inversa de una matriz se conoce como método de Gauss-Jordan. El esquema es el siguiente: [ A I ]... [ I A 1 ] operaciones elementales por filas Además tenemos el importante resultado de que A can filas I n rgan Ejemplo 1.27 Determina la inversa de A 2 2 por el método de Gauss-Jordan, 2 3 si es que dicha inversa existe A fila2 fila2-2 * fila1 fila3 fila3-2 * fila1 Se intercambian las filas 2 y 3 fila 2 fila 2 * (-1) fila3 fila3 + 4* fila2 Observamos que el rango es 3, igual al orden de la matriz A, por tanto A tiene inversa. La submatriz de la izquierda es ya triangular superior, pero falta hacer 1 uno de los pivotes. Aplicando fila3 1/8 * fila3 tenemos:

24 CAPÍTULO 1. MATRICES Y DETERMINANTES /4 1/8 1/2 fila2 fila2-2*fila3 fila1 fila1 - fila /4 1/8 1/ /4 1/8 1/ /2 1/ /2 1/4 1 3/4 1/8 1/2 1 3/4 1/8 1/2 fila1 fila1-2*fila2 1 1/4 1 1/8 + 1/2 1/2 1 3/4 3/8 1/2 1 1/2 1/4 1 1/2 1/4 1 3/4 1/8 1/2 1 3/4 1/8 1/2 3/4 3/8 1/2 Resultado: La matriz inversa de A es A 1 1/2 1/4 3/4 1/8 1/2 1.8 Forma escalonada y forma canónica de una matriz Forma escalonada de la matriz A m n es cualquier matriz equivalente a A y escalonada. Para una matriz dada existen infinitas formas escalonadas. Al requerir que la matriz sea simplemente equivalente, y no equivalente por filas, están permitidas tanto las o.e. por filas como las o.e. por columnas. 2 3 Ejemplo. Para A A F 13 F 21( 4) F 3(3) F 32(1) F 3( 1/2) C 21( 2) C 31( 3) Las cuatro últimas matrices son formas escalonadas de la matriz A Nótese que si U es forma escalonada de A, aparte de ser escalonada cumple que existirán P y Q inversibles tales que P AQ U. Esas matrices inversibles corresponden a los productos de las matrices elementales aplicadas. P F a... F 2 F 1 Q C 1 C 2... C b Una forma escalonada por filas es un caso particular de forma escalonada, que corresponde a tomar Q I Forma canónica de la matriz A m n es la forma escalonada de A que tiene la expresión: I r Ω, siendo r el rango de A Ω Ω

25 CAPÍTULO 1. MATRICES Y DETERMINANTES 25 La forma canónica de una matriz A dada es única. Se suele utilizar para ella la notación A can. Para obtener la forma canónica será necesario, en general, efectuar los dos tipos de operaciones elementales, es decir, por filas y por columnas. Obviamente si A n es equivalente por filas a la identidad, I n, entonces la forma canónica de A es la identidad, I n. Se demuestra fácilmente que si A n es equivalente a I n, también es equivalente por filas a I n. Demostración: A P IQ A P Q A P QI RI P, Q y R son matrices inversibles Ejemplo 1.28 Obtén la forma canónica de A F 21( 1) F 31( 1) F 32(2) F 12(1) F 2( 1) A Forma esc. Forma canón. C 21( 2) C 23 por filas por filas Forma canón Ejemplo 1.29 Obtén la forma canónica de A A F 32( 1) C 12 C 31( 2) C 54( 2) C 24 C 64( 1) C 61( 2) Nótese con este ejemplo cómo no siempre se puede llegar a una forma escalonada aplicando simplemente operaciones elementales por columnas.

26 CAPÍTULO 1. MATRICES Y DETERMINANTES Matrices de intercambio, de Jordan, de Töeplitz y de Hankel Matriz de intercambio E n, es igual a la matriz I n, pero invirtiendo el orden de las columnas (también se podría haber dicho el de las filas), como se indica a continuación: E n Podríamos decir también que es la reflexión, respecto de la horizontal (o respecto de la vertical), de la matriz identidad. Otra definición posible sería la de la matriz cuadrada en la que todos los elementos son cero excepto los de la diagonal secundaria, que valen todos 1. Veamos un ejemplo de cómo opera sobre una matriz dada, pre-multiplicando o postmultiplicando: 1 E Coloca las filas en orden inverso Coloca las columnas en orden inverso λ... 1 λ... 1 λ... Matriz de Jordan completa de orden n: J n (λ) λ... 1 λ... 1 λ Matriz de Jordan de orden n, cuando en la subdiagonal primera hay aleatoriamente λ 1 λ 1 λ unos o ceros, por ejemplo: λ λ 1 λ Definiendo J n como: J n J n () (Jordan completa)

27 CAPÍTULO 1. MATRICES Y DETERMINANTES 27 Tenemos que J n (λ) λi n + J n. Vemos que el rango de J n es n Se demuestra fácilmente que Jn es:, con rango n 2, y que al obtener Jn, 3..., Jn n 1, siguen bajando las filas que tienen unos de forma que rango Jn k n k, llegando finalmente a Jn n Ω, con rango. Otra forma de describir el efecto del exponente es que si éste es 1, los unos se encuentran en la subdiagonal primera, y si es k se encuentran en la subdiagonal k-ésima, de forma que para el exponente n tendríamos la subdiagonal n-ésima, que ya se encuentra fuera de la matriz, obteniéndose por tanto la matriz nula. También se demuestra fácilmente que en la matriz (J n ) t los unos ocupan la supradiagonal primera, y que en las sucesivas matrices (J t n) k, aumentando k, suben las filas que tienen unos, o dicho de otra forma, sube la supradiagonal que continene los unos. Análogamente, rg(j t n) k n k y (J t n) n Ω Se demuestra fácilmente que (J t n) k (J k n) t La matriz de Toeplitz de orden n, de parámetros α 1... α 2n 1, tiene la forma. α n α n+1 α n+2... α 2n 2 α 2n 1 α n 1 α n α n+1... α 2n 3 α 2n 2 α T n (α 1,..., α 2n 1 ) n 2 α n 1 α n... α 2n 4 α 2n α 2 α 3 α 4... α n α n+1 α 1 α 2 α 3... α n 1 α n Su expresión general, como combinación lineal de otras más simples es: n 1 T n (α 1,..., α 2n 1 ) α n I n + α n i Jn i + α n+i (Jn) i t i1 La matriz de Hankel de orden n, de parámetros α 1... α 2n 1, tiene la forma: α 1 α 2 α 3... α n 1 α n α 2 α 3 α 4... α n α n+1 α H n (α 1,..., α 2n 1 ) 3 α 4 α 5... α n+1 α n α n 1 α n α n+1... α 2n 3 α 2n 2 α n α n+1 α n+2... α 2n 2 α 2n 1 Esta matriz es la reflexión respecto de la horizontal de la matriz de Töeplitz. Se puede comprobar fácilmente que E n T n H n, con los mismos parámetros α i.

28 CAPÍTULO 1. MATRICES Y DETERMINANTES Ejemplo: Matriz de Toeplitz T (1, 2, 3, 5, 1) Ejemplo: Matriz de Hankel H(2, 3, 4, 1, 2) Determinantes Definición A toda matriz cuadrada A n le asociamos un número denominado determinante de A, deta o A simbolizado así : a 11 a a 1n deta A a 21 a a 2n IK a n1 a n2... a nn Este número se calcula sumando todos los productos que se obtienen al multiplicar n elementos de la matriz de todas las formas posibles, con la condición de que en cada producto exista un único elemento de cada fila y un único elemento de cada columna; cada uno de estos productos llevará su signo o el contrario según la permutación formada por los subíndices fila de los n factores y la formada por los subíndices columna de los n factores, sean o no de la misma clase. Cada sumando tiene esta forma: a 1 i a 2 j... a n 1 l a n k siendo i, j... l, k una permutación de 1, 2... n. Por simplicidad hemos tomado para las filas el orden natural. El número de permutaciones (ordenaciones) de n elementos distintos 1, 2... n 1, n es n!, por tanto el número de sumandos es n!. Dos permutaciones son de la misma clase (distinta clase) cuando para pasar de una otra se necesita un número par (impar) de intercambios (también llamados inversiones o trasposiciones). Cuando el determinante es de una matriz de orden 2 se obtiene: a 11 a 12 a 21 a a 11a 22 a 12 a Filas Columnas Signo Misma clase Distinta clase Para un determinante de orden 3 resulta: a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 11a 22 a 33 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 31 a 32 a 33

29 CAPÍTULO 1. MATRICES Y DETERMINANTES 29 Filas Columnas Signo Inversiones Misma clase Distinta clase Distinta clase Misma clase Misma clase Distinta clase 1 La regla de Sarrus simplifica la obtención del determinante de orden 3. con signo + ; con signo Para un determinante de orden 4, tendríamos sumandos, cada uno formado por el producto de 4 elementos. Sin embargo, veremos como las propiedades de los determinantes permiten reducir el número de operaciones. Ejemplo 1.3 Calcular los siguientes determinantes: i 4 i 6 5i (2 + i)5i 6(4 i) 1i i 16i Cálculo de un determinante de orden n, por adjuntos El desarrollo de determinantes de orden superior a 3 se complica enormemente. Vamos a describir un método en el que el cálculo del determinante de una matriz de orden n se reduce básicamente al cálculo de otros determinantes de orden inferior. a 11 a a 1n Sea la matriz A n a 21 a a 2n , se llama menor complementario de un a n1 a n2... a nn elemento a ij y se denota m ij al determinante de la matriz de orden n 1 que resulta de suprimir en A la fila i y la columna j. Se denomina adjunto de un elemento a ij y se denota A ij, al producto del menor complementario m ij de a ij por el signo que resulte de calcular ( 1) i+j : A ij ( 1) i+j m ij Se puede demostrar una propiedad interesante (la propiedad X en la lista que damos más adelante): el valor del determinante de una matriz A es igual a la suma de los productos de los elementos de una línea (fila o columna) de A por sus respectivos adjuntos. Es decir n elegida una fila i A a ij A ij j1 ó n elegida una columna j A a ij A ij i1