GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL ESPACIO (PRODUCTOS ESCALAR, VECTORIAL Y MIXTO) PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES. número real

Transcripción

1 GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL ESPACIO (PRODUCTOS ESCALAR, VECTORIAL Y MIXTO) PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES El producto escalar de dos vectores v y u es un número real, que se obtiene multiplicando los módulos de los dos vectores por el coseno del ángulo que forman, y se escribe v u v u = v u cosα número real La interpretación geométrica del producto escalar plantea que: el producto escalar de dos vectores v y u, es también igual al producto de cualquiera de los dos vectores, por la proyección del otro sobre él. cos α = OA u OA = u cos α v u = v u cosα = v OA OA es la proyeccción del vector u sobre v A partir de las coordenadas de los vectores v y u, la expresión analítica del producto escalar es: { v (v 1, v 2, v 3 ) u (u 1, u 2, u 3 ) v u = v 1 u 1 + v 2 u 2 + v 3 u 3 Las principales consecuencias de la definición de producto escalar son: 1) El módulo de un vector, es igual a la raíz cuadrada del producto escalar del vector por sí mismo. v(v 1, v 2, v 3 ) v v = v v cos 0 = v 2 v = v v 1

2 La expresión analítica del módulo de un vector, es la siguiente: v = v v = v 1 v 1 + v 2 v 2 + v 3 v 3 = v v v 3 2 v = v v v 3 2 Ejemplo. Calcular el módulo del vector v (3, 1, 5). v = ( 1) = u 2) El producto escalar de dos vectores perpendiculares es cero. Si v u v u = v u cos 90 = v u 0 = 0 Si v u v u = 0 v 1 u 1 + v 2 u 2 + v 3 u 3 = 0 3) Cálculo del ángulo que forman dos vectores. v u = v u cosα cosα = v u v u Si { v(v 1, v 2, v 3 ) u (u 1, u 2, u 3 ) v 1 u 1 + v 2 u 2 + v 3 u 3 cosα = v v v 32 u u u 2 3 Ejemplo. Calcular el ángulo que forman los vectores v ( 2, 1, 4) y u (4, 3, 5) ( 2) 4 + ( 1) ( 3) cosα = = ( 2) 2 + ( 1) ( 3) = = α = arc cos(0 463) =

3 ECUACIÓN DE LA RECTA COMO PRODUCTO ESCALAR. (VECTOR NORMAL A UN PLANO) Sea un plano (π). Si trazamos una recta perpendicular al plano y que pase por el origen de coordenadas O, el punto A será el punto de intersección de la recta y el plano. Sea n (a, b, c) un vector perpendicular al plano y δ la distancia del origen de coordenadas al plano (π), δ = OA El vector que une el punto A con un punto generico del plano X(x, y, z), es decir, el vector AX, es perpendicular al vector n (a, b, c) y por lo tanto, su producto escalar es cero. AX n AX n = 0 Como OX (x, y, z) n (a, b, c) OX n = ax + by + cz Como δ es la proyección del vector OX sobre la dirección de n, aplicando la interpretación geométrica del producto escalar, tenemos: OX n = n δ = a 2 + b 2 + c 2 δ Igualando ambas expresiones : ax + by + cz = a 2 + b 2 + c 2 δ ax + by + cz a 2 + b 2 + c 2 δ = 0 Llamando d = a 2 + b 2 + c 2 δ, queda ax + by + cz + d = 0 ecuación general del plano Al vector n (a, b, c) se le llama vector asociado al plano o vector normal 3

4 Al ser d = a 2 + b 2 + c 2 δ se puede despejar el valor de δ. d δ = d(o, (π)) = a 2 + b 2 + c 2 distancia del origen de coordenadas al plano Ejemplo. Hallar la ecuación de la recta (r), perpendicular al plano (π) 2x 3y + z 4 = 0 y que pasa por el punto P(1, 3, 4). El plano (π) 2x 3y + z 4 = 0 tiene a n (2, 3, 1) como vector asociado. Como la recta (r) es perpendicular al plano (π), nos sirve como vector director de la recta, el vector asociado al plano. Por lo tanto, la determinación lineal de la recta será: (r) (v, P) (r)(n, P) (r) x 1 2 y + 3 = 3 = z 4 1 x = 2 + 3t Ejemplo. Hallar la ecuación del plano (π), que es perpendicular a la recta (r) { y = 1 + 2t z = 4 t y que contiene al punto P( 2, 5, 1). Como la recta es perpendicular al plano, su vector director v, sirve como vector asociado al plano. x = 2 + 3t (r) { y = 1 + 2t z = 4 t v (3, 2, 1) El vector asociado al plano será por lo tanto n (3, 2, 1) 4

5 La ecuación general del plano es: (π) ax + by + cz + d = 0 Al introducir las coordenadas del vector asociado quedará: (π) 3x + 2y z + d = 0 Como el punto P pertenece al plano, verificará su ecuación: 3 ( 2) ( 1) + d = d = d = 0 d = 5 Por lo tanto, la ecuación del plano quedará 3x + 2y z 5 = 0 CONDICIONES DE PERPENDICULARIDAD RECTA - RECTA Si dos rectas (r) y (s) son perpendiculares, sus vectores directores también lo serán y por lo tanto su producto escalar valdrá cero. (r) (s) v u x = a 1 + v 1 t (r) { y = a 2 + v 2 t z = a 3 + v 3 t x = b 1 + u 1 s (s) { y = b 2 + u 2 s z = b 3 + u 3 s v (v 1, v 2, v 3 ) u (u 1, u 2, u 3 ) v u v u = 0 v 1 u 1 + v 2 u 2 + v 3 u 3 = 0 5

6 RECTA-PLANO Si una recta (r) y un plano (π) son perpendiculares, el vector director de la recta y el vector asociado al plano son paralelos y por lo tanto sus coordenadas son proporcionales. (r) (π) v n x = a 1 + v 1 t (r) { y = a 2 + v 2 t z = a 3 + v 3 t v (v 1, v 2, v 3 ) (π) ax + by + cz + d = 0 n (a, b, c) (r) (π) v n v 1 a = v 2 b = v 3 c PLANO-PLANO Si dos planos (π 1 ) y (π 2 ) son perpendiculares, sus vectores asociados también lo serán y por lo tanto su producto escalar valdrá cero. (π 1 ) (π 2 ) n 1 n 2 Comentado [WU1]: Cambiar subíndices en el dibujo (π 1 ) a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 = 0 (π 2 ) a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2 = 0 (π 1 ) n 1 (a 1, b 1, c 1 ) (π 2 ) n 2 (a 2, b 2, c 2 ) (π 1 ) (π 2 ) n 1 n 2 a 1 a 2 + b 1 b 2 + c 1 c 2 = 0 6

7 CÁLCULO DE LA ECUACIÓN DE UNA RECTA QUE PASA POR UN PUNTO Y CORTA PERPENDICULARMENTE A OTRA. Ejemplo. Dada la recta (r) y el punto P(1, 2, 1), calcular la ecuación de la recta (s) que pasa por el punto P y corta perpendicularmente a la recta (r). (r) x = y 2 z 3 = 1 4 Pasando la recta (r) a paramétricas tenemos: x = 1 + t (r) { y = 2 + t z = 3 + 4t El punto Q es el punto de corte de las rectas (r) y (s), y como pertenece a la recta (r), tendrá la forma que tienen todos los puntos de esa recta, es decir: Q( 1 + t, 2 + t, 3 + 4t) El vector PQ es un vector director de la recta (s) y sus coordenadas son las siguientes: PQ = Q P = ( 1 + t, 2 + t, 3 + 4t) (1, 2, 1) = ( 2 + t, t, 2 + 4t) Como las rectas (r) y (s) son perpendiculares, sus vectores directores también lo serán y por lo tanto, su producto escalar valdrá cero. (r) (s) PQ v PQ v = 0 PQ v = 0 ( 2 + t) 1 + t 1 + (2 + 4t) 4 = t + t t = 0 t = 1 3 El vector director de la recta (s) es PQ ( 2 1 3, 1 3, ( 1 3 )) Operando y simplificando tenemos que : PQ( 7 3, 1 3, 2 3 ) PQ ( 7, 1, 2) (s) (P, PQ ) x 1 7 y 2 = 1 = z 1 2 7

8 PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES El producto vectorial de dos vectores libres v y u es otro vector, que se designa por v u o también por v u y que tiene las siguientes características: 1) Módulo: Se calcula multiplicando los módulos de ambos vectores por el seno del ángulo que forman. v u = v u sen α 2) Dirección: Es la de la perpendicular al plano que forman los dos vectores v y u. 3) Sentido: El del avance de un sacacorchos que gira del vector v al u, es decir, del primero de los vectores hacia el segundo. Al analizar geométricamente el producto vectorial se puede comprobar, que el módulo es igual al área del paralelogramo que tiene por lados los propios vectores. sen α = h u h = u senα v u = v u sen α = v h = S v u = S 8

9 El módulo del producto vectorial, es igual al área del paralelogramo que forman los vectores v u = S Al expresar los vectores v y u en función de sus coordenadas (expresión analítica), se tiene que las coordenadas del vector producto vectorial son: v (v 1, v 2, v 3 ) u (u 1, u 2, u 3 ) v u = ( v 2 v 3 u 2 u 3, v 1 v 3 u 1 u 3, v 1 v 2 u 1 u 2 ) Ejemplo. Calcular el área del triángulo de vértices A(1, 2, 1), B(3, 4, 0) y C(4, 2, 2). El área del triángulo de vértices ABC, es la mitad del área del paralelogramo, que resulta ser igual al módulo del producto vectorial de los vectores AB y AC. S ABC = 1 2 AB AC AB = B A = (3, 4, 0) (1, 2, 1) = (2, 2, 1) AC = C A = (4, 2, 2) (1, 2, 1) = (3, 0, 3) AB AC = ( , 2, ) AB AC = (6, 3, 6) AB AC = ( 3) 2 + ( 6) 2 = 9 S ABC = AB AC = = 4 5 u 2 9

10 APLICACIONES DEL PRODUCTO VECTORIAL VECTOR DIRECTOR DE UNA RECTA, DADA COMO LA INTERSECCIÓN DE DOS PLANOS. La recta (r), que viene expresada como la intersección de los planos (π 1 ) y (π 2 ), está contenida en ambos planos y su vector director es perpendicular a los vectores asociados a ambos planos. Por lo tanto: Se puede tomar como vector director de la recta intersección de los dos planos, al vector producto vectorial de los vectores asociados a los planos. Ejemplo. Dados los planos (π 1 ) 3x + 2y z 1 = 0 y (π 2 ) x y + z = 0 hallar: a) Las coordenadas de un vector director de la recta intersección. b) La ecuación de la recta (s), paralela a los dos planos y que pasa por el punto P(1, 4, 3). (π 1 ) 3x + 2y z 1 = 0 v (3, 2, 1) (π 2 ) x y + z = 0 u (1, 1, 1) v u = (, 3, ) v u = (1, 4, 5) (s)(p, v u ) (s) x 1 1 y + 4 = 4 = z 3 5 VECTOR DIRECTOR DE UNA RECTA QUE ES PERPENDICULAR A OTRAS DOS 10

11 Como la recta (r) es perpendicular a las rectas (s 1 ) y (s 2 ), su vector director también será perpendicular a los vectores directores de las dos rectas. Por lo tanto: Se puede tomar como vector director de la recta (r), al vector producto vectorial de los vectores directores de las rectas (s 1 ) y (s 2 ) Ejemplo. Hallar la ecuación de la recta (r), que pasa por el punto P(2, 3, 1) y cuya dirección es y = 0 x + 3y = 2 perpendicular a las de las rectas (s 1 ) { y (s x = z 2 ) { y z = 1 y = 0 { x = z v (1, 0, 1) x + 3y = 2 { y z = 1 z=t x + 3y = 2 { y = 1 + t x = 2 3y = 2 3(1 + t) = 1 3t x = 1 3t { y = 1 + t z = t u ( 3, 1, 1) v u = ( , , ) v u = ( 1, 4, 1) (r)(p, v u ) x 2 1 y + 3 = 4 = z

12 RECTA PERPENDICULAR COMÚN A DOS RECTAS DADAS. Se llama perpendicular común a dos rectas que se cruzan, a la recta que corta perpendicularmente (ortogonalmente) a cada una de ellas. La perpendicular común, en nuestro caso la recta (s), queda determinada por la intersección de los dos planos (π 1 ) y (π 2 ). Según se puede ver en la figura, el plano (π 1 ) se genera a partir de los vectores v y v u, mientras que el plano (π 2 ), lo generan los vectores u y v u A(a 1, a 2, a 3 ) (π 1 ) { v (v 1, v 2, v 3 ) v u B(b 1, b 2, b 3 ) (π 2 ) { u (u 1, u 2, u 3 ) v u (s) { (π 1) AX, v, v u = 0 (π 2 ) BX, u, v u = 0 Ejemplo. Escribir la ecuación de la recta perpendicular común a las dos rectas: (r 1 ) x = y = z, y (r 2 ) x = y = 3z 1 (r 1 ) x = y = z x 0 1 = y 0 z 0 = 1 1 A(0, 0, 0) { v (1, 1, 1) (r 2 ) x = y = 3z 1 x 0 1 y 0 = 1 = 3z x 1 = y 1 = z { B(0, 0, 1 3 ) u (1, 1, 1 3 ) 12

13 v (1, 1, 1) u (1, 1, 1 3 ) v (1, 1, 1) u (3, 3, 1) v u = (, , 1 1 ) = ( 2, 2, 0) 3 3 (π 1 ) { A(0, 0, 0) v (1, 1, 1) v u ( 2, 2, 0) x y z = 0 x + y 2z = (π 2 ) { B(0, 0, 1 3 ) u (3, 3, 1) v u ( 2, 2, 0) x y z = 0 x + y 6z + 2 = (s) { (π 1) (π 2 ) x + y 2z = 0 { x + y 6z + 2 = 0 PRODUCTO MIXTO DE TRES VECTORES El producto mixto de tres vectores libres en el espacio v, u y w, es un número real, que se designa por [v, u, w ] y que se obtiene multiplicando escalarmente el producto del primer vector, por el producto vectorial del segundo y el tercero. [v, u, w ] = v (u w ) Al analizar geométricamente el producto mixto de tres vectores, se puede comprobar, que el valor absoluto de dicho producto, coincide con el volumen del paralepípedo que tiene por aristas los propios vectores v, u y w. 13

14 Según se puede comprobar en la figura: cos β = h v h = v cos β De la definición de producto escalar tenemos que: v (u w ) = v u w cos β = u w h = S h = V Ya que, según recordamos del producto vectorial, el módulo del producto vectorial es igual al área del paralelogramo, que tiene por lados los propios vectores. El producto mixto de tres vectores, es igual al volumen del paralepípedo que tiene por aristas los propios vectores [v, u, w ] = V Si se expresan los vectores en función de sus coordenadas (expresión analítica), tenemos que: v (u w ) = (v 1, v 2, v 3 ) ( u 2 w 2 w, u 1 u 3 3 w 1 w, u 1 u 2 3 w 1 w ) = 2 v 1 u 2 u 3 w 2 w v 2 u 1 u 3 3 w 1 w + v 3 u v 1 u 1 v 2 v w 1 w = u 1 u 2 u 3 3 w 1 w 2 w 3 u 3 14

15 v 1 v 2 v 3 [v, u, w ] = v (u w ) = V = u 1 w 1 u 2 w 2 u 3 w 3 Es frecuente pedir el volumen del tetraedro que forman los tres vectores y que resulta ser igual a la sexta parte del volumen del paralepípedo. volumen del tetraedro = volumen del paralepípedo 6 Tetraedro que tiene como aristas los tres vectores vectores Ejemplo. Hallar el volumen del tetraedro de vértices el punto A(1, 1, 1) y los puntos en los que el plano 2x + 3y + z 12 = 0 corta a los ejes de coordenadas. 15

16 2x + 3y + z 12 = 0 { y = 0 z = 0 2x + 3y + z 12 = 0 { x = 0 z = 0 2x + 3y + z 12 = 0 { x = 0 y = 0 B(6, 0, 0) C(0, 4, 0) D(0, 0, 12) AB = B A = (6, 0, 0) (1, 1, 1) = (5, 1, 1) AC = C A = (0, 4, 0) (1, 1, 1) = ( 1, 3, 1) AD = D A = (0, 0, 12) (1, 1, 1) = ( 1, 1, 11) V ABCD = = = = 24 u3 16