Regresión y correlación lineal.

Transcripción

1 Regresó y correlacó leal. Este procedmeto proporcoa medos legítmos, modelos matemátcos a trabes de los cuales, se puede establecer asocacoes etre varables de terés e las cuales la relacó usual o es casual. Las meddas de varabldad a estudar so;, Coefcete de correlacó.- regresó. So dos coceptos estadístcos que auque está relacoados, represeta dferetes aspectos. CORRELACION: Establece la relacó mutua etre dos varables de modo que sea posble obteer formacó de ua de ellas a trabes de la otra. REGRESION: Es u cocepto matemátcamete más fuerte debdo a que busca establecer la relacó fucoal (fucó matemátca) etre dos varables. CORRELACION: ASOCIACION DE VARIABLES CUALITATIVAS.: E estadístcas se dce que dos varables está correlacoadas, s ua de ellas etrega formacó acerca de la otra; se lustra este cocepto a trabes del sguete ejemplo: Ejemplo:U geero e costruccó esta teresado e establecer la relacó que exste etre la dureza del acero medda e Kg./mm y la deformacó de este medda e mm.para este propósto estuda ua muestra de 9 trozos de acero de guales característcas y los sometó a u expermeto de laboratoro, obteedo los sguetes datos: acero Dureza/ (Kg./mm Deformacó mm S cosderamos: X: dureza del materal (varable depedete) Y: deformacó del materal (varable depedete) Se elabora u grafco de dspersó para estudar la relacó que exste etre las varables. Se observa leal la fgura.

2 La dureza explca la deformacó. El dagrama de dspersó, solo os srve para teer ua dea del tpo de asocacó leal (drecta o versa), pero es dfícl cuatfcar el grado de dcha asocacó Para este propósto se utlza el coefcete de correlacó, el que se basa e u estadístco deomado covaraza y que esta dado por : Sx Cov(X,Y) ( X X )( Y Y ) X * Y XY Este estadístco deomado covaraza tee alguas desvetajas debdo a que; *por u lado o se ecuetra acotado y por ede es dfícl saber cuado u valor de la covaraza, dca u alto o bajo grado de asocacó. - psxy p *este dcador posee udades, es decr, o es admesoal. Estos dos aspectos dfculta la terpretacó de la covaraza, rescatado de ella solo su sgo (+,-), el que dca s la relacó es drecta (+) o versa (-). La solucó de este problema se cosgue, estadarzado la covaraza, de modo que sea acotada y admesoada.este uevo coefcete recbe el ombre de COEFICIENTE DE CORRELACION DE PEARSON, EL QUE VIENE DADO POR :

3 r p X X * Y XY X Y Y Este estadístco esta acotado etre - r.cuado r p o r p -, se p dce que exste correlacó leal perfecta (drecta o versa), etre las varables, respectvamete. estado Coefcete de Pearso Correlacó drecta r p f 0 Correlacó versa r p p 0 No exste correlacó leal r p 0 Correlacó baja 0 p 0. 3 Correlacó meda 0.3 r p p 0.8 Correlacó alta 0.8 r r p p Del ejemplo ateror: Acero Suma Dureza (x) Deformacó(y) X*Y

4 ( X X ) ( Y Y ) Sx Sy X ( )48,89 Y ( ) 0.33 r p r p 9 ( XY XY ) : ( ) S * S x [( 70 9*(48.89) * (0.33))] y 4.66 *0.86 : X ; S ( ), S ( ) " x X Y Y *Exste ua alta correlacó leal versa etre la deformacó del materal y la dureza de dcho materal. Es decr, a mayor dureza del materal, meor es la deformacó del msmo. ASOCIACION EN ESCALA ORDINAL. Para establecer asocacó e escala ordal, se utlzara el coefcete de correlacó de SPEARMAN. Para varables cuattatvas emplearemos el coefcete de PEARSON ( r p ), s embargo este coefcete exge que las varables que se correlacoa sea realmete úmeros o catdades medbles, por lo que o se puede aplcar cuado la escala es ordal. E este caso ocuparemos el coefcete de correlacó de SPEARMAN ( r s ), el cual se basa e los ragos (o poscoes que ocupa los datos) e lugar de úmeros o datos drectamete de correlacó de SPEARMAN vee dado por: r s 6 * ( ( D ) ) Dode: D R( X) R( Y) R (X) : Represeta el rago o poscó que ocupa el dato e la muestra. R(Y) : Represeta el rago o poscó que ocupa el dato e la muestra.

5 OBSEREVACION: La terpretacó del coefcete de SPEARMAN es gual al coefcete de PEARSON. EJEMPLO: Dez opostores obtee putuacoes regstradas e el cuadro, e cada uo de los dos ejerccos realzados. Estude la relacó que exste e las putuacoes de ambos ejerccos. CUADRO OPOSITOR EJE. EJE. A 5 46 B C D E F 55 4 G 4 38 H I 7 8 J SOLUCION: Debdo a que la varable volucrada (putaje) esta medda e ua escala ordal, se aplca el coefcete de SPEARMAN. El cuadro sguete muestra la asgacó de los ragos y las dferecas D CUADRO. Ordeacó de los putajes obtedos por los opostores. OPOSITOR EJEM EJEM R R D D E J D F B C H I A G Calculado el coefcete de correlaco: rs 6 * *(00 ) El coefcete de correlacó de SPEARMAN dca que exste ua moderada correlacó leal etre los putajes obtedos por opostores. OBS: Los ragos de la varable x, R(x), se obtee ordeado los datos de esta varable, e forma ascedete o descedete, asgado u al valor más pequeño y u valor al valor máxmo. (de

6 gual maera para la varable y).e caso de haber empates, el rago que se asga es el promedo de las poscoes que sus datos ocupa. Como ejemplo cosderemos, que tres datos tee el msmo valor y estos debería ocupar, las poscoes, 3, y 4, etoces el rago úco que se les asga a estos datos sera (+3+4)/3; el dato sguete pasaría a ocupar la poscó 5. Regresó leal smple. Esta teoría permte a través de u modelo estadístco PREDECIR O PRONOSTICAR el valor de ua varable (Y, deomada varable depedete o repuesta) e fucó de ua o más varables depedetes o predoctoras (X, coocda como covarables). Para establecer el modelo de regresó, debe exstr correlacó etre X e Y.S el cojuto de varables predoctoras cotee u solo elemeto, la regresó se deoma regresó smple, e caso cotraro se deoma regresó múltple. S la relacó que exste etre X e Y es leal, el modelo se deoma REGRESION LINEAL SIMPLE. Cosderemos el sguete modelo estadístco; Y f(x) +ε, co ε u error aleatoro (varable aleatora).la forma de f(x) geeralmete se obtee a partr del dagrama de dspersó. Leal cuadrátca expoecal F(X) A+BX FX) AX +BX+C F(X) Ae BX Se defe la suma de cuadrados del error (SCE); como: SCE. ε Además se defe u modelo de regresó leal como: Y A + BX + ε ; Co A coocdo como INTERCEPTO y B como la pedete de la recta. Para u modelo de regresó smple, la SCE vee dada por: SCE ε (Y A BX )

7 Para ecotrar los valores de A y B se ocupa el método de los mímos cuadrados, el cual se basa e la mmzacó de la suma del cuadrado del error (SCE).Para mmzar la SCE se debe dervar respecto de A y de B e gualar a cero, de la sguete forma. d ( Y A BX) da 0 d ( Y A BX) db 0 Las dervadas vee dadas por: d d da db ε ε Y A B ε X XY AY B ε X Igualado a cero las ecuacoes aterores despejado A y B se tee: - ; X X X XY X De esta maera la pedete B es proporcoal al coefcete de correlacó de PEARSON de la sguete maera: Sy r p. Sx De esta maera, la recta estmada, medate mímos cuadrados, vee dada por: + X. COMENTARIO: Lo ateror se deoma, MODELO AJUSTADO, y sempre es posble obteerlo, depedete de que este sea u bue modelo o o. BONDAD DE AJUSTE DEL MODELO. L adecuacdad de los datos al modelo se puede determar a través de ua tabla deomada TABLA DE ANALISIS DE VARIANZA (ANOVA, ANDEVA, ANVA), cuya estructura es la sguete.

8 Cuadro: Tabla de aálss de varaza. Fuete de varacó Suma de Cuadrados Grados de lbertad Regresó SRC p- error SCE -p TOTAL SCT - Del cuadro se desprede que: *Descomposcó de la varaza Y Cuadrados medos CMR SCR/P- CMESCE/-p Estadístco F FCMR/CME SCR SCE SCT (Y-Y ) (Y- ) ( Y Y ) Las ecuacoes aterores se deduce de la sguete dea, DESVIO MAX DESVIO MODELO + DESVIO ERROR. ( Y y) ( -Y ) + (Y- ) elevado al cuadrado, se obtee, ( Y Y ) ( -Y ) +( Y- -Y*Y + Y ) + (Y- ) ( Y ) Y ( -Y ) + (Y- ) / ( Y Y ) ( I-Y ) + (Y- ) SCT SCR + SCE La expresó ateror se cooce como la descomposco de la varaza de Y. Decsó del modelo. CMR S el estadístco F f 5 CME FUNCION DE x., EL MODELO ES ADECUADO PARA PREDECIR y EN COEFICIENTE DE DETERMINACION DEL MODELO. El prmer paso para realzar u aálss de REGRESION SIMPLE es realzar u dagrama de dspersó. E base a este dagrama se postula u modelo de la forma Y f(x) +ε, posterormete este modelo se ajusta a través del método de los mímos cuadrados, obteedo el modelo ajustado; Y A + BX. Ua vez hecho el ajuste se debe establecer su bodad, a través de la tabla ANOVA.S la tabla dca que el modelo es adecuado, etoces se debe determar el porcetaje de la varabldad total de Y que es explcada por el modelo. Para este hecho se ocupa el coefcete de determacó (R ), el cual vee dado por;

9 SCR R *00% SCT r *00 R ( ) % p U valor alto de R dcaría que el modelo explca ua alta varabldad de Y. Ejemplo: U geero e costruccó esta teresado e establecer la relacó que exste etre la dureza del acero medda e kg/mm y la deformacó de este medda e mm.para este propósto estuda ua muestra de 9 trozos de acero de guales característcas y los sometó a u expermeto de laboratoro, obteedo los sguetes datos: acero Dureza/ (kg/mm Deformacó mm Se pde ajustar u modelo de regresó leal. Para ellos se defe las varables. Sea: X: Dureza de materal (varable depedete) Y: Deformacó de materal (varable depedete) *modelo propuesto, de acuerdo al dagrama de dspersó. Y A + BX + ε ;,,3,4,..9 Deformacó A + B*Dureza +ε Modelo ajustado vía mímos cuadrados; 770 (9 * 48.89* 0.33) * (48.89) * Cuadro de resultados del problema del acero Dureza Deformacó X*Y X Y (Y-Y ) (Y-Y ) X Y (Y-Y) suma

10 Y Etoces el modelo postulado es: + X ;,,3,4, 9 I X INTERPRETACION: : Bajo la auseca de la dureza del materal, se espera ua deformacó promedo de 55.7 mm. : Cuado exste u aumeto de ua udad de medda de la dureza, se espera ua dsmucó de 0.7 de deformacó (Y) BONDAD DE AJUSTE. FUENTE DE SUMA DE VARIACION CUADRADOS REGRESION 90 ERROR 4 TOTAL GRADOS DE LIBERTAD 7 CUADRADOS ESTADISTICO MEDIOS F El modelo propuesto es adecuado para predecr la deformacó e fucó de la dureza del materal (50.33f 5) COEFICIENTE DE DETERMINACION. El 95.55% de la varabldad total es explcada por el modelo propuesto. Es decr, cerca del 90% de la varabldad presete e las deformacoes del materal es explcada por la dureza de dcho materal, metras que aproxmadamete el 4% restate es explcada por otras varables o cosderadas. VISUALMENTE TENEMOS LO SIGUIENTE; EL GRAFICO MUESTRA LOS VALORES OBSERVADOS, PREDICHOS Y RECTA MINIMOS CUADRADOS, EN EL EJEMPLO DEL ACERO.

11 Aplcacó º.- Supoga que los sguetes datos correspoda a 0 pacetes co hábtos de fumar. A estos pacetes se les preguto Cuátos años ha fumado? Y se les mdó el daño sufrdo e los pulmoes, medate u test de esfuerzo físco; PACIENTE AÑOS QUE HA FUMADO DAÑO EN LOS PULMONES DEFINA Y CLASIFIQUE LAS VARIABLES INVOLUCRADAS. X: AÑOS QUE HA FUMADO ( CUANTITATIVA DISCRETA) Y: DAÑO. (Ordal, cualtatva depedete). ORDEN: PACIENTE AÑOS DAÑO R R D D COEFICIENTE DE SPEARMAN:

12 0 6 D rs ( ) 6* 73 r s ; 0 r s (00 ) 990 Exste ua baja correlacó Ejercco de aplcacó.- La sguete tabla relacoa las velocdades e km/hr, de certo tpo de vehculo, co los cosumos e Lts cada 00 km. Velocdad cosumo Establezca s puede o o aceptar ua depedeca estadístca del tpo Y A +B X SOLUCION: SEAN X: Varable depedete cuattatva (velocdad) Y: Varable depedete cuattatva (Cosumo) km/h lts/00km lts/km. ) (X- (Y- ) ( X X ) ; Sx * ( Y Y ) 4. ; Sy * X Y X*Y X *Y 6688 X COEFICIENTE DE PEARSON: ( X * Y X * Y ): ( ) rp Sx * Sy

13 ( 6688 *8.5* 6.7) : ( ) : r p 9.* Como 0.3 r p 0. 8 exste ua correlacó meda p p 55 : ESTIMACION DE LOS PARAMETROS MEDIANTE EL METODO DE LOS MINIMOS CUADRADOS. N I X * Y X * Y X * X 6688 *8.5* *(8.5) Como: + ; luego * Luego el modelo leal será : Y X. INTERPRETACION :.- Bajo la auseca de aumeto de velocdad, se espera u cosumo promedo de 7.85 lts por cada 00 km..- Para u aumeto de la velocdad e km / hr, se espera u aumeto e el cosumo de 0.04 lts. COEFICIENTE DE DETERMINACION DEL MODELO. ( ) SCR Y Y 4. R *00 00% SCT ( Y Y ) 4. Tabla : Y (orde) ( -Y ) Y 6.7 ( - Y ) 4.