EXAMEN FINAL 15 de enero de Titulación: Duración del examen: 2 horas 30 Fecha publicación notas: Fecha revisión examen:

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1 CÁLCULO I EXAMEN FINAL 15 de eero de 16 Apellidos: Titulació: Duració del exame: horas 3 Fecha publicació otas: Fecha revisió exame: Todas las respuestas debe de estar justificadas acompañádolas de los cálculos desarrollados y explicacioes apropiadas. Cada respuesta tiee u hueco asigado, pero o es ecesario ocuparlo eteramete. NO SE PERMITE EL USO DE CALCULADORA, MÓVIL i igú tipo de medio electróico de cálculo o iformació. Ejercicio 1. (1.5 pts.) Sea f (x) ua fució cotiua e R tal que : f (t)dt x (1 + x) Calcula f (). Como f (x) es cotiua la fució F(x) Derivado e la ecuació se obtiee: Por tato f () 16. f (t)dt x (1 + x) f (x) x(1 + x) + x f (t)dt es derivable y F (x) f (x).

2 Apellidos: Ejercicio. (.5 pts.) Dada la fució f (x) a) Estudia la cotiuidad y derivabilidad de f (x). b) Estudia los máximos y míimos de la fució f (x) c) Calcula el siguiete límite: lím x f (x) e x 1 t + 1 et dt a) La fució e el itegrado x 1 x +1 ex es cotiua e todo su domiio R ( al ser elemetal, e este caso productos y cocietes de poliomios y la expoecial ) Etoces el teorema fudametal del cálculo ifiitesimal implica que su itegral etre y x es derivable. La fució f (x) o es más que compoer esta fució itegral co g(x) x, que tambié es derivable, por lo que f (x) es cotiua y derivable e R. b) Para calcular f (x) es aplicable la fórmula d dx f (x) d dx b(x) a(x) f (t)dt f (b(x))b (x) f (a(x))a (x): t + 1 et dt x 1 x ex x Al ser el itervalo de estudio de extremos todo R y al ser f (x) ifiitamete derivable e él, los putos cadidatos a extremos será solo aquellos cuya derivada se aula: x 1 x ex x x 1,,1 Los sigos de la derivada, que idica el crecimieto o decrecimieto de f (x), so: < si x < 1 f decrece f > si 1 < x < f crece (x) < si < x < 1 f decrece > si 1 < x f crece luego hay u míimo e x 1, u máximo e x y otro míimo e x 1. Como lím f (x) x ± x ± t + 1 et dt + ya que el itegrado crece expoecialmete ( lím t t + 1 et ) el máximo e x es solo relativo. La fució f (x) tiee el mismo valor e los míimos x ±1, porque f (x) es simétrica, luego ambos so míimos absolutos de la fució.

3 1 c) El límite lím x e x 1 t + 1 et dt preseta ua idetermiació de tipo /. Tato umerador como deomiador so derivables, así que se puede usar la regla de l Hôpital para deducir que lím x t 1 t +1 et x dt 1 x 4 +1 ex x x 1 e x 1 x xe x x x Ejercicio 3. (.5 pts.) Determia ua fució f (x) defiida e el itervalo (/, π/) tal que f () 1 y f (x) f (x) tgx cosx para todo x (/,π/). Se trata de u problema de valores iiciales para ua ecuació diferecial lieal. Uo de los métodos de resolució es multiplicar la ecuació por el siguiete factor ( el factor itegrate ) tgxdx sex e e cosx dx e l(cosx) cosx. Etoces se ecuetra la solució geeral escribiedo f (x)cosx f (x)sex cos x, d dx [f (x)cosx] cos x, 1 + cosx f (x)cosx cos x dx dx + C, f (x) + C cosx cosx. Otro método muy usado para calcular la solució geeral es descompoer la solució e producto de dos fucioes f (x) u(x) v(x) que se itroduce e la ecuació: f (x) u (x)v(x) + u(x)v (x) f (x) tg(x) + cos(x) u(x)v(x) tg(x) + cos(x) y agrupado e v(x): [u (x) u(x)tg(x)] v(x) + u(x)v (x) cos(x) se observa que se puede tomar u(x) como la solució de la ecuació homogéea u (x) tg(x) u(x) u(x) e tgx dx e l(cos(x)) 1 cosx quedado ua ecuació para v(x) de la forma u(x)v (x) cosx v (x) cos x v(x) cos x y la solució geeral Como f () 1, se deduce que 1 f () 1 [ + secos cos f (x) u(x)v(x) 1 [ ] + C cosx ] + C C f (x) + 1 cosx cosx. + C

4 Apellidos: Ejercicio 4. (3.5 pts.) a) Determia el itervalo de covergecia de la siguiete serie de potecias: x ( + 1). Estudia la covergecia e los extremos del itervalo. b) Calcula la serie de Fourier de la fució de período π defiida como f (x) x si x < π. Calcula la suma de la serie ( 1) a) Se puede utilizar el criterio del cociete: x +1 lím (+) +1 x (+1) x ( + 1) ( + ) x. Si < x <, etoces x / < 1 y la serie es covergete. Si x < ó x >, etoces x / > 1 y la serie diverge. A cotiuació se estudia la covergecia e x y e x. Si x, la serie es ( + 1) 1 + 1, que es ua serie armóica, divergete. Si x, la serie es ( ) ( + 1) ( 1) + 1, que es covergete por el criterio de Leibiz. Por tato, el itervalo de covergecia es [,). b) La fució f es impar y, por tato, a para todo. Coeficiete b : b 1 π π x se(x)dx cos() π cos() [ ] π x cos(x) [ se(x) + π ] π π + cos(x) dx cos() ( 1)+1.

5 Serie de Fourier de f : ( 1) +1 se(x). Como f y f so cotiuas e (,π), la serie de Fourier coverge a f e cada puto de (,π). E x y x π la serie de Fourier coverge al valor medio de f () y f (π) π, es decir, a. La suma de la serie umérica dada se cosigue evaluado la serie de Fourier e x π/. Si x π/, etoces ( ) π π f ( 1) +1 ( se π ). Si es par, etoces se ( π ). Por tato, los sumados distitos de cero so aquellos co de la forma k 1: π ( 1) (k 1)+1 k 1 ( se (k 1) π ) k 1 ( 1)k+1. Etoces ( 1) k+1 k 1 π 4.