MATEMÁTICAS I Unidad 5. GEOMETRÍA ANALÍTICA. Ed. Santillana. SOLUCIONES

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1 MATEMÁTICAS I Unidad. GEOMETRÍA ANALÍTICA. Ed. Santillana. SOLUCIONES.. a. a 4. a. a 6. a 7. a 8. a 9. a. a. a. a. a 4. a. a 6. a 7. a 8. Ecuación vectorial: ( x, y ) ( 7, ) + λ (, ) Ecuaciones paramétricas: x 7 λ λ 9. x λ. Primer y tercer cuadrante ( x, y ) λ (, ) x λ λ Segundo y cuarto cuadrante ( x, y ) λ (, ) x λ λ. Sí, pueden tener el mismo vector director y, en ese caso, tendrán la misma dirección y, por lo tanto, serán rectas paralelas o rectas coincidentes. x y+. r: P r. x y p, 4. y x + ( ) y ( x ). Con la inclinación se calcula la pendiente m tg 6º Se usa la ecuación punto pendiente y 7 ( x ) 6. B 6 y 7. vr ( ab, ) vs ( cd, ) C Si a b, las rectas son secantes c d Si ac + bd, las rectas son perpendiculares. 7 unidades 8 unidades. Se comprueba que son paralelas y se halla la distancia entre ellas:. 7º 4, unidades I.E.S. Miguel de Cervantes Departamento de Matemáticas GBG

2 Vectores. a. a 4. a. a 6. a 7. a 8. a 9. a 4. a 4. a Producto escalar 4. a 4. a 44. a 4. a 46. a 47. a 48. a 49. a. a. a. a. a 4. a. a 6. a 7. a 8. a 9. a 6. a 6. a 6. a 6. a 64. a a 67. a Problemas con vectores 68. a 69. a 7. a 7. a 7. a I.E.S. Miguel de Cervantes Departamento de Matemáticas GBG

3 Ecuaciones de la recta 7. a) ( x, y ) (, ) + λ ( 8, ) 74. a) b) ( x, y ) (, 4) + λ (, 7) c) ( x, y ) (, 4) + λ (, ) x y 7 7. a) y x+ b) b) x + 8λ + λ x λ 4 + 7λ x λ 4 + λ x+ y c) 4 y x+ c) x y+ 7 y x+ 76. a) A ra y B ra b) A rb y B rb c) A rc y B rc d) A rd y B rd 77. a) Ec. vectorial ( x, y ) (, ) +λ(, ) b) Ec. vectorial ( x, y ) (, ) +λ (, ) Ec. paramétricas Ec. continua 78. a) y b) x + λ λ Ec. paramétricas x y Ec. continua y x a) x y 6 b) 4x y 6 8. a) ( x, y ) (, ) +λ ( 4, ) b) ( x, y ) (, ) +λ (, ) x 4λ + λ x + λ λ x + λ + λ x+ y 8. a) x 7 y+ b) x+ 4 y a) y x b) y x+ x+ y+ 8. y x y Hay dos puntos: Q +, 4 y Q +, Posiciones relativas de dos rectas 8. a) Secantes b) Paralelas 86. a) Paralelas b) Paralelas 87. a) secantes b) Paralelas c) Secantes 88. a) Paralelas b) Coincidentes 89. a) Paralelas b) Coincidentes 9. a) Secantes b) Coincidentes 9. a) Paralelas o coincidentes. No puede afirmarse nada más por no estar determinada la recta r de forma única. b) Paralelas o coincidentes. No puede afirmarse nada más por no estar determinada la recta r de forma única. 9. r:x+ y 6 I.E.S. Miguel de Cervantes Departamento de Matemáticas GBG

4 9. a) Secantes P (, 6) b) Coincidentes Todos sus puntos son comunes c) Paralelas No hay punto de intersección P, d) Secantes ( ) e) Paralelas No hay punto de intersección k a m 8 y x 97. P(, ) 98. a) x+ y+ 8 b) x y c) x+ y+ 99. a) x y+ 49 b) Como el punto P dado pertenece a la recta r la recta pedida sería la misma, r. c) x 4y+ 49. a) Las rectas son coincidentes y, por lo tanto, la recta simétrica es la misma. b) Las rectas son coincidentes y, por lo tanto, la recta simétrica es la misma. Ángulos y distancias entre rectas. a) º 8 6,9 b) 4º c) º 8 6,9 d) º. a) º 7 48,7 c) 9º e) 4º b) 8º 7 48,7 d) 6º 8,4 f) 6º 6,8. º 7 49, 4. a) º 7 48,7 b) º c) 7º 4,7. y 6. ( ) 6 y ( + ) 6 7. a) b) c) d) 7 9. a) (Paralelas) b) (Secantes) c) (Coincidentes) y Para a, d( r, s ). Para a, d( r, s ).. 4x+ y+ 9 y 4x+ y 4. Las ecuaciones paramétricas de r y la continua de s se pueden dar de distintas formas dependiendo del punto y el vector director elegido. x + λ x y r: s: λ t: y x 7 v: x y+ 7. Los puntos están alineados x+ 4y. I.E.S. Miguel de Cervantes Departamento de Matemáticas GBG 4

5 6. Los puntos no están alineados u. 8. (, 6), (, ) y ( ) 9. u. 64. u. 4, u. C(, ) u. B(, ), C (, ) y C( 7, 9) ; ( ) N, ; Comprueba que MN QP.. Diagonales: Longitudes 4 Ecuaciones 4x y x+ y El cuadrilátero es un romboide. (Dado que las diagonales tienen distinta longitud, comprueba que no son perpendiculares). 4. El problema tiene tres soluciones posibles según la posición del cuarto vértice, P: Paralelogramo: ABCP ABPC APBC Centro: G (, ) G ( 4, ) G ( 7, ) Para dibujarlos se puede calcular las coordenadas del cuarto vértice: Cuarto vértice: P (, ) P (, ) P (, 9 ). x+ y x+ y y x y Dos soluciones: r y s. Pendiente 8. m s mt + 6+ Ec. punto-pendiente y ( x+ 4) y ( x+ 4) Ec. General ( 6 + ) x+ y+ ( ) k y P (, ). 9. º 7 ' 47,", º 8'7,4" y 94º ',4".. P ( 4, ).. r: x+ y. Para s hay dos soluciones: s : x+ y y s : x+ y Hay dos soluciones posibles: ( ). Hay dos soluciones 8 P, y P, 4. ( + ) + + y ( ) r : x 9 y 74 r : x 9 y x y+ + El ángulo que forman estas rectas con la recta PQ es α º 9'6, 4". Por otro método se pueden llegar a las siguientes expresiones de las rectas equivalentes a las anteriores: + ( ) + y ( ) r : 9 x y 7 4. Hay tres soluciones: y x+, y x+ e r : 9 x+ + y 7 y x.. La ecuación de la recta es x+ y y pasando el término independiente al segundo miembro y x y dividiéndola por dicho término se obtiene la ecuación dada, ecuación canónica de dicha recta, +. Realizando el mismo procedimiento con los puntos de corte con los ejes genéricos se obtiene la ecuación canónica de la recta. I.E.S. Miguel de Cervantes Departamento de Matemáticas GBG

6 6. B(, 6) y C ( 8, ) 7. Expresando las rectas en forma paramétrica, con distintos parámetros, se toman un punto genérico de cada una de las rectas y se calcula el punto medio del segmento que determinan. Realizando un cambio de parámetros se observan que las coordenadas de dichos puntos representan la ecuación de una recta en forma paramétrica, que expresada en forma general tiene de ecuación, 4x y. Observación. Dado que las rectas r y s son paralelas, la recta que se obtiene es la recta equidistante con ellas, recta que pasa por el centro de la región comprendida entre ambas y la divide en dos regiones iguales. 8. El cuarto vértice del rombo es ( 7, ) y su área u. 9. El área del hexágono es u y las coordenadas de los vértices: 4 A, 4, B, 8 + +, C 6, D, 4 + +, E, 8 y F 6, 4. Los otros dos vértices del rombo son B(, ) y ( 4, ) rombo u. D, la longitud del lado u y el área del 4. M,. 4. Mediatriz del lado AB, 4x y. Mediatriz del lado BC, x+ y 4. Mediatriz del lado AC, x y 8. Las tres mediatrices se cortan en el punto 6 4 D,, circuncentro. La distancia del circuncentro a cada uno de los vértices es circunferencia circunscrita al triángulo. 4. Mediana por A, x+ y+. Mediana por B, x+ 4y. Mediana por C, 4x y+. 44 u Las tres medianas se cortan en el punto G (, ), baricentro. Se comprueba que este punto puede obtenerse también con la fórmula dada. y esta distancia es el radio de la I.E.S. Miguel de Cervantes Departamento de Matemáticas GBG 6