GRADIENTES GRADIENTE LINEAL O ARITMÉTICO GRADIENTE LINEAL CRECIENTE VENCIDO

Transcripción

1 GRADIENTES Se llama gradientes a una serie de pagos periódicos que tienen una ley de formación. Esta ley de formación hace referencia a que los pagos pueden aumentar o disminuir, con relación al pago anterior, en una cantidad constante en pesos o en un porcentaje. GRADIENTE LINEAL O ARITMÉTICO Serie de pagos periódicos tales que cada pago es igual al anterior aumentado o disminuido en una cantidad constante en pesos. Cuando la cantidad constante es positiva, se genera el gradiente aritmético creciente. Cuando la cantidad constante es negativa, se genera el gradiente aritmético decreciente. GRADIENTE LINEAL CRECIENTE VENCIDO Valor presente de un gradiente lineal creciente vencido, en donde: A = Valor de la primera cuota de la serie i = Tasa de interés de la operación n = Número de pagos o ingresos G = Constante en que aumenta cada cuota 1. El valor de una máquina procesadora de arroz se está cancelando con 24 cuotas mensuales, que aumentan cada mes en $ , y el valor de la primera cuota es de $ Si la tasa de interés que se está cobrando es del 3% mensual, calcular el valor de la máquina. R/ ,13 Pasos para el desarrollo de cada caso: 1. Hallar el valor de las cuotas a través de las formula financiera. 2. Hallar el valor de las cuotas a través de las funciones financieras en Excel. 3. Hallar el valor a través de tabla de amortización con la función Buscar Objetivo. Valor de la cuota gradiente lineal creciente vencido, en donde: Cn = Valor de la cuota n n = Número de la cuota A = Valor de la primera cuota G = Variación de cada cuota

2 2. Después de la liquidación de una empresa queda una deuda de $ que se va a financiar con 12 cuotas mensuales, que aumentan en $ cada mes. Si la tasa de interés es del 2.5% mensual, calcular el valor de la primera cuota y el valor de la cuota No 12. R/Primera cuota Para hallar el valor del Gradiente (G) gradiente lineal creciente vencido, en donde: 3. En qué cantidad debe aumentar el valor de las 12 cuotas mensuales, con que se está financiando un inventario de repuestos que tiene un valor de contado de $ , si el vendedor exige como primera cuota un valor de $ y cobra una tasa de interés del 2% mensual? Valor del número de pagos (n) gradiente lineal creciente vencido, en donde: Para hallar el número de pagos n de un sistema de gradientes se utiliza el método de interpolación lineal. 4. Con cuántos pagos mensuales, que aumenten en $ cada mes, se cancela el valor de una obligación de $ , si se cobra una tasa de interés del 3% mensual y la primera cuota es de $ ? Cuál será el valor de la última cuota? Nota: Para el ejemplo anterior, probar valores entre 10 y 12. Para hallar el valor de la tasa de interés (i) de un gradiente lineal creciente vencido, en donde:

3 Para hallar la tasa de interés i de un sistema de gradientes se utiliza el método de interpolación lineal. 5. A un constructor le proponen comprarle una propiedad que tiene un valor de $ con el siguiente plan de pagos: 18 cuotas mensuales que aumenten $ cada mes, siendo la primera de $ Si él está dispuesto a prestar su dinero siempre que obtenga un rendimiento del 4% mensual, qué decisión debe tomar? Utilizando el método de interpolación lineal se obtiene una tasa de interés, probar con tasas entre 2.64% y 2.66%. Para hallar el valor futuro de un gradiente lineal creciente vencido, en donde: 6. En una corporación financiera que reconoce una tasa de interés del 9% trimestral, se hacen depósitos trimestrales que aumentan cada trimestre en $ , durante 2 años. Si el valor del primer depósito es de $ , calcular el valor acumulado al final del segundo año. GRADIENTE LINEAL CRECIENTE ANTICIPADO Para hallar el valor presente de un gradiente lineal creciente anticipado, en donde: 7. Cuál será el valor de un servidor que se está financiando con 14 cuotas mensuales anticipadas, que crecen cada mes en $ , si la primera cuota tiene un valor de $ y se paga el mismo día de la negociación? Se asume una tasa de interés del 2,5% mensual. Para hallar el valor futuro de un gradiente lineal creciente anticipado, en donde:

4 8. Un trabajador se propone ahorrar en el fondo de empleados en la empresa donde trabaja cuotas mensuales que aumentan cada mes en $ , si empieza hoy con $ , cuál será el valor que tendrá ahorrado al término de un año, si la tasa de interés que le ofrece el fondo es del 2% mensual. GRADIENTE LINEAL DECRECIENTE VENCIDO Valor presente de un gradiente lineal decreciente vencido, en donde: Solo se cambia el signo de la cantidad constante G por menos (-). En donde: P = Valor presente de la serie de gradientes A = Valor de la primera cuota i = Tasa de interés efectiva periódica n = Número de pagos o ingresos G = Constante en que disminuye cada cuota 9. Una vivienda se está cancelando con 18 cuotas mensuales que decrecen en $ cada mes, siendo la primera cuota de $ Si la tasa de financiación que se esta cobrando es del 3% mensual, calcular el valor de la vivienda. Valor de la cuota gradiente lineal decreciente vencido, en donde: 10. Del ejemplo No 9, calcular el valor de la cuota número 18.

5 Valor futuro de un gradiente lineal decreciente vencido, en donde: 11. Se realiza un primer depósito por $ en el día de hoy en una entidad financiera que reconoce por el dinero una tasa de interés del 2% mensual. Cada mes se hacen depósitos que disminuyen en $ Cuál será el valor acumulado después de hacer 6 depósitos? GRADIENTE GEOMÉTRICO O EXPONENCIAL Corresponde a una serie de pagos periódicos tales que cada uno es igual al anterior disminuido o aumentado en un porcentaje fijo. En este tipo de gradientes también se presenta el gradiente geométrico creciente y el geométrico decreciente, dependiendo de que las cuotas aumenten o disminuyan en ese porcentaje. GRADIENTE GEOMÉTRICO CRECIENTE Valor presente de un gradiente geométrico creciente vencido Para J diferente a i, Donde: P = Valor presente de la serie de gradiente geométrico A = Valor de la primera cuota J = Variación porcentual de la cuota con respecto a la anterior I = Tasa de interés de la operación financiera n = Numero de pagos o ingresos de la operación financiera Para J = i, donde: n = Número de pagos o ingresos i = Tasa de interés de la operación financiera A = Valor de la primera cuota

6 12. Una obligación se está cancelando mediante el pago de una cuota inicial de $ y 24 cuotas mensuales que aumentan un 5% cada mes. Si el valor de la primera cuota es de $ y se cobra una tasa de interés del 4% mensual, calcular: - El valor de la obligación - El valor de la cuota 22 Para el cálculo de la cuota: Dónde: Cn = valor de la cuota n A = valor de la primera cuota J = porcentaje de incremento de cada cuota. Valor futuro de un gradiente geométrico creciente vencido Cuando J es igual a i Cuando J es diferente a i 13. Cuál será el valor dentro de 1 año de una obligación, equivalente a 12 pagos que aumentan cada mes en 2%, si se cobra una tasa de interés del 3% mensual, siendo el primer pago de $ GRADIENTE GEOMÉTRICO DECRECIENTE Valor presente de un gradiente geométrico decreciente vencido Cuando J es diferente a i Dónde: P = Valor presente J = tasa de incremento de las cuotas A = valor de la primera cuota Cuando J es igual a i

7 n = número de cuotas i = tasa de interés de la operación 14. Calcular el valor presente de 12 pagos trimestrales que disminuyen cada trimestre en 2%, siendo el primer pago de $ La tasa de interés es del 32% capitalizable trimestralmente. $ es el valor de la primera cuota (A), el número de pagos (n) es igual a 12, las cuotas disminuyen en un porcentaje del 2% (J). Para el cálculo de la cuota: Valor futuro de un gradiente geométrico decreciente vencido Cuando J es diferente a i Cuando J es igual a i 15. Calcular el valor que se tendrá ahorrado en una entidad financiera si se hacen 6 depósitos que disminuyen cada mes en un 1%, el primer deposito es de $ y le reconocen una tasa de interés del 2% mensual. GRADIENTE ESCALONADO O EN ESCALERA Es una serie de pagos que permanecen iguales durante un tiempo (generalmente un año) y luego aumentan en una cantidad en pesos, o en un porcentaje, cada período. El gradiente escalonado puede ser lineal o geométrico, dependiendo de que el incremento periódico sea en pesos o en porcentaje. Cuando los pagos iguales aumentan cada periodo en una cantidad fija en pesos, se genera el gradiente lineal escalonado, y cuando aumentan en un porcentaje constante se da el gradiente geométrico escalonado. Valor presente de un gradiente geométrico escalonado En donde: P = valor inicial de la obligación

8 i = tasa de interés periódica n = número de cuotas mensuales al año TEA = tasa efectiva anual equivalente a la tasa de interés periódica J = tasa de incremento de las cuotas cada año E = plazo, en años, de la obligación A1 = valor de la cuotas mensuales del primer período Ejemplo de aplicación 16. Una obligación hipotecaria se va a cancelar por medio de 24 cuotas mensuales, que aumentan cada año en un 20%. El valor de la primera cuota es de $ , si la tasa de interés que se cobra es del 3% mensual. - Calcule el valor de la obligación. - Hallar el valor de la cuota para el año siguiente, año dos. Para el cálculo de la cuota: