Física del Medio Ambiente

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1 Físca del Medo Ambente Teoría de Errores (Programa de Práctcas) Sara Marañón Jménez Andy Kowalsk 1

2 Programa IB. Teoría de Errores. (3h) Introduccón. Errores y conceptos relaconados. Cuantfcacón de errores. Epresón de magntudes físcas. Mnmzacón de errores. Propagacón de errores. Interpolacón en tablas. Regresón y correlacón.

3 Programa IB. Teoría de Errores. (3h) Introduccón. Errores y conceptos relaconados. Cuantfcacón de errores. Epresón de magntudes físcas. Mnmzacón de errores. Propagacón de errores. Interpolacón en tablas. Regresón y correlacón. 3

4 Teoría de Errores Qué edad tenes? Cuál es la dstanca entre Granada y Málaga? Google maps 15 km km 4

5 Granada Málaga: Es nteresante decr km? Es eacto/centífco? Sgnfca km? km Google maps 15 km Precsón de 0 metros? Es necesara? Cuál es la dstanca Real? 131,0 km? 15 km? m mm Más vale acertar apromadamente que errar eactamente John Maynard Keynes Economsta Dstanca entre 110 y 150 km 5

6 Qué edad tenes? (mentr al profe mplca suspenso automátco) Se puede aceptar un error de 100 años en la edad? El error: relatvo a la magntud Un bebé : «Tene 16 meses» (error de un mes) Un nño: «Tengo 8 años y medo» (error de 6 meses) Adulto: «Tengo 30 años» (error de 1 meses) Cuántas cfras podemos escrbr? Edad: 16,6794 meses; 8,58545 años; 31,8543 años Cuántas cfras debemos escrbr? Qué undad debemos usar? 6

7 Teoría de Errores: conteto Esta pequeña ntroduccón nos ha plantado algunas preguntas Cómo epresar el valor y el error de una magntud físca? Cómo debemos tratar los errores? Qué undades debemos emplear? Ahora pasamos a algunas defncones nteresantes para empezar a contestar 7

8 Programa IB. Teoría de Errores. (3h) Introduccón. Errores y conceptos relaconados. Cuantfcacón de errores. Epresón de magntudes físcas. Mnmzacón de errores. Propagacón de errores. Interpolacón en tablas. Regresón y correlacón. 8

9 Error Absoluto Δ = m D = error absoluto m = valor meddo o apromado = la verdad 9

10 Error Relatvo e= / 100% e = error relatvo (%) = error absoluto = valor real 10

11 Intervalos de confanza = m { ma + δ δ mn m δ + δ mn m ma δ mn = mínmo posble (subestmacón) δ ma = mámo posble (sobreestmacón) m = valor meddo o apromado = la verdad Más vale acertar apromadamente que errar eactamente 11

12 Smetría En el caso que δ = δ ma mn (lo que pasa con frecuenca) Solemos escrbr la medda así = ± Δ m = Δ 1

13 Ejemplo asmétrco Dstanca sol-terra : (150 ± 3) 10 6 km En realdad no es smétrco: km < < km Nosotros trabajaremos con casos smétrcos 13

14 Defncones Eacttud - grado de concordanca entre el valor verdadero y el epermental Precsón - concordanca entre una medda y otras de la msma magntud, realzadas en condcones sensblemente guales Sensbldad - el valor mínmo de la magntud que un aparato es capaz de dferencar 14

15 Eacttud y Precsón Trando flechas 15

16 N precso n eacto 16

17 Precso 17

18 Eacto 18

19 Eacttud y Precsón A) N precso n eacto B) Precso y eacto C) Imprecso y eacto D) Precso pero neacto 19

20 Programa IB. Teoría de Errores. (3h) Introduccón. Errores y conceptos relaconados. Cuantfcacón de errores. Epresón de magntudes físcas. Mnmzacón de errores. Propagacón de errores. Interpolacón en tablas. Regresón y correlacón. 0

21 Epresón de cantdades 1º Elegr la magntud DISTANCIA GRANADA-MÁLAGA º Determnar el valor y un error aceptable 3º Adaptar las cfras del valor y el error 1

22 Epresón de cantdades 1º Elegr la magntud EDAD DEL PROFESOR DE PRÁCTICAS º Determnar el valor y un error aceptable 3º Adaptar las cfras del valor y el error Seguremos un conveno por el cual pérdda de nformacón nunca será mayor del 0%

23 Paso 3º: Adaptar las cfras del valor y el error Conveno para la Epresón de cantdades Pérdda de nformacón nunca será mayor del 0% El conveno para epresar correctamente las cantdades usa el concepto de CIFRA SIGNIFICATIVA: Las cfras sgnfcatvas son aquellas que aportan nformacón útl tanto del error como del valor de la cantdad: o Caso del error: Las cfras sgnfcatvas son la prmera o segunda cfra desde la zquerda dependendo del valor del error (ejemplo: de ±3,4567 es el «3»; de ±0, es el «5»; de ±1,5681 son el «1» y el «5»). o Caso del valor: Las cfras sgnfcatvas dependen del error. Un esquema nos ayudará a epresar correctamente las cantdades 3

24 Conveno para la epresón de cantdades del error OLVIDARLO = PERDER PUNTOS (PRÁCTICAS) 4

25 Programa IB. Teoría de Errores. (3h) Introduccón. Errores y conceptos relaconados. Cuantfcacón de errores. Epresón de magntudes físcas. Mnmzacón de errores. Propagacón de errores. Interpolacón en tablas. Regresón y correlacón. 5

26 Epresón de cantdades 1º Elegr la undad de la magntud físca º Determnas el valor y el error 3º Adaptar las cfras del valor y el error (redondeo) OLVIDARLO = PERDER PUNTOS (PRÁCTICAS) 6

27 Qué sabemos? Aceleracón de gravedad, g= Constante de Avogadro, N= Velocdad de luz, c= 7

28 Epresón de magntudes físcas Cantdad Undad (!!!!!) Grado de confabldad índce de eacttud error 8

29 Ejemplos de Magntudes Incorrectos (U) Correctos (U) Mejor? (U) 3.418± ± ± ± ± ± ±0.1 ó 3.4± ± ± ± ±0.006 (34±1) 10 - (630±9) 10 - (463±16)10-1 (4835±15) 10 - (17±6)

30 Errores Se desconoce la verdad Sempre hay presente algún tpo de error Objetvos: Caracterzar/conocer los errores Mnmzarlos cuando es posble 30

31 Programa IB. Teoría de Errores. (3h) Introduccón. Errores y conceptos relaconados. Cuantfcacón de errores. Epresón de magntudes físcas. Mnmzacón de errores. Propagacón de errores. Interpolacón en tablas. Regresón y correlacón. 31

32 Tpos de Errores Errores aleatoros Inevtables y desconocdos Asummos dstrbucón de frecuencas normal (hpótess) Errores pequeños; más frecuentes Promedo de cero Errores sstemátcos Dfícl de caracterzar S los conocemos, los corregmos Pueden ser constantes: afectan todas meddas 3

33 Errores aleatoros Errores de dscernmento Cambos en las condcones epermentales Errores de especfcacón en los procesos de fabrcacón (por ejemplo, una bola esférca metálca puede estar lgeramente ovalada) Se pueden reducr ( cómo?) 33

34 Error cuadrátco medo (MSE) σ = 1 N N 1 ( ) 34

35 Deduccones Una estmacón de una magntud físca es mejor cuanto Menor sea el error sstemátco Menor sea el error aleatoro Aunque Los errores son nevtables Cómo mejorar la estmacón? Medr con cudado, y precsón Muchas meddas Cuántas meddas necestamos? 35

36 Reglas práctcas para medr una magntud en el laboratoro y determnar su error drecto 1) Solo es posble una medda: error es la sensbldad del nstrumento: ±s ) Se pueden realzar varas meddas: Realzar para empezar 3 meddas y obtener la sensbldad del nstrumento (s). Se toma 3 como valor de la varable Para calcular el error: 3) Se calcula la dspersón de 3 meddas (D 3 = ma mn ) y se compara con (s) a) S D 3 s à Error de tpo sstemátco o lmtacón de nstrumento, no se puede hacer mucho! Tomar como valor del error ± s b) S D 3 > s à Error es tpo aleatoro Hacen falta más meddas? Cuantas? Segur con el paso 4. 4) Calcular el porcentaje de dspersón (T): 36

37 Porcentaje de dspersón T = D 100 T<% %<T<8% 8%<T<15% T>15% N Error s Epresón ±s α = má(d 6 / 4, s) ±α σ = 1 N N 1 ± ( ) σ 37

38 Meddas drectas versus ndrectas Meddas drectas: Aquellas meddas de forma epermental, medante un nstrumento de medda. Errores a partr de la dspersón o sensbldad del aparato Medda ndrecta: Se obtene medante cálculos a partr de las otras medcones drectas. Errores medante dervadas parcales Atencón! Una msma medda puede ser drecta o ndrecta según cómo se haya obtendo! Ej: Longtud con metro ó a partr de : L= V t 38

39 Programa IB. Teoría de Errores. (3h) Introduccón. Errores y conceptos relaconados. Cuantfcacón de errores. Epresón de magntudes físcas. Mnmzacón de errores. Propagacón de errores. Interpolacón en tablas. Regresón y correlacón. 39

40 Propagacón de errores en meddas ndrectas: Motvacón Granada Jaén: 94±1 km Dgamos que se sabe que el tempo promedo para el vaje es 1.0± 0.1 horas Cuál es la velocdad promeda para el vaje? Recordad: para escrbr un resultado, hay que empezar con el error! Cómo podemos determnar el error en esta estmacón? 40

41 Propagacón lneal de errores -Sea f = f (, y, z, c) La funcón f lga a la magntud que nos nteresa hallar (f) con las magntudes ndependentes que se obtenen del epermento (,y,z) y con una constante (c). Dferencando: df = f d f + dy y f + z dz f + dc c S dentfcamos los ncrementos con los errores absolutos de las varables correspondentes, en el caso más desfavorable se obtendrá: Δf = f Δ + f y Δy + f z Δz + f Δc c Sensbldad de f al determnante z Error en z 41

42 Dervadas parcales Son mprescndbles en esta asgnatura A revsar! : Estudarse las fórmulas de dervacón No solemos trabajar con ejemplos muy dfícles y = a n y' y = n a n 1 4

43 Ejemplo numérco Densdad de flujo radatvo emtda por un cuerpo negro E = st 4 s = 5.67 ± W m - K -4 (constante de Stephan-Boltzmann) Para un cuerpo negro con T = 300 ± 1 K Cómo podemos epresar E? 4 valores 43

44 Ejemplo numérco ΔE = E E ΔT + T s Δs = 4sT 3 1K ( ) + T Wm K 4 ( ) = Wm E = 459 ± 7 W m - E = st 4 ( ) 44

45 Resumen: propagacón lneal de los errores ),,, ( c z y f f = c c f z z f y y f f f Δ + Δ + Δ + Δ = Δ Tenemos que pensar en esta ecuacón en muchas ocasones (en todas las práctcas) 45

46 Ej: (ntutvamente) Como pesar una cantdad de H O (l) Botella vacía: 90.04g 70.04g (Msma) botella con agua: Escala con sensbldad = 0.01g Claro, el agua pesa: 0g pero ERROR? 0.00 ± 0.01g 46

47 Como pesar una cantdad de H O (l) (centífcamente) Botella vacía: = ± 0.01g 90.04g 70.04g (Msma) botella con agua: y= ± 0.01g z = y z z Δz = Δy + Δ y Δz = Δy + Δ ± 0.0g

48 Resumen: propagacón lneal de los errores ),,, ( c z y f f = c c f z z f y y f f f Δ + Δ + Δ + Δ = Δ Ahora un ejemplo epermental 48

49 Altura de un acantlado Cómo medr? Dfícl mantener un metro en vertcal Otra opcón h = v t gt 49

50 Hacemos una medda 1 h = v 0 t + gt t = /- 0.01s 1 Posbles errores (aleatoros): v 0 0 Pulgar torpe o errátco A la salda A la entrada al agua A repetr! t = /- 0.01s t 3 = /- 0.01s 50

51 Cuantas veces medmos y cómo calcular el error de una medda drecta? t = / s 1 t =1.47s D = 0. 0s t = / s t = / s 3 T = D 100 = 1.4% T<% %<T<8% 8%<T<15% T>15% N Error s Epresón ±s α = má(d 6 / 4, s) ±α σ = 1 N N 1 ± ( ) σ t = / s Valor epermental 51

52 Nuestro valor epermental t = / s Para poder escrbr h, 1º calculo su error: 0 1 gt t v h + = 1 gt h = c c f z z f y y f f f Δ + Δ + Δ + Δ = Δ t t h g g h h Δ + Δ = Δ t Δg = 1 gt Δt + 5

53 Errores, dstanca frente a tempo h = v t gt +/ s Δh = gtδt = vδt v = h t t (s) h (m) v (m/s)

54 Altura de un acantlado Valor epermental y error drecto 1 er paso: calculo el error dervado Δh = gtδt = 0.14m º paso: calculo la magntud y la ajusto a su error h = 1 gt =10.57± 0.14 t = / s g = / m s - 54

55 Programa IB. Teoría de Errores. (3h) Introduccón. Errores y conceptos relaconados. Cuantfcacón de errores. Epresón de magntudes físcas. Mnmzacón de errores. Propagacón de errores. Interpolacón en tablas. Regresón y correlacón. 55

56 Interpolacón en tablas Qué valor tene el calor latente (z) a una temperatura de =1+/-1ºC? Qué error tene este valor? T (ºC) Calor latente de evaporacón (J/g) ( 1 ) ( ) (z 1 ) (z ) 56

57 Interpolacón Lneal z z z 1 z = Δz z = z z z 1 1 z Δ ( ) Hpótess: A. Error provene de B. Relacón lneal 57

58 En tablas de doble entrada y 1 y 1 z 11 z 1 z 1 z z = z z z ( ) ( y ) y1 1 y y1 Δz = z 1 z 11 1 Δ + z y 1 z z y 11 1 z Δy 58

59 Programa IB. Teoría de Errores. (h) Introduccón. Errores y conceptos relaconados. Cuantfcacón de errores. Epresón de magntudes físcas. Mnmzacón de errores. Propagacón de errores. Interpolacón en tablas. Regresón y correlacón. 59

60 Regresón y Correlacón (Métodos cuanttatvos de análss gráfco) Importanca de las representacones gráfcas Utldad de las versones lnealzadas de los gráfcos (X, Y) Dstntas maneras de llevar a cabo una lnealzacón 60

61 Regresón Lneal El método se llama tambén mínmos cuadrados La relacón analítca que mejor se ajusta a nuestros datos La mportanca de la eleccón del varable ndependente 61

62 En que dreccón? Y y = a + b X Error desprecable 6

63 Suma de cuadrados (Sum of squares) Es útl defnr la funcón χ (Ch-cuadrado): χ = ( y ( a b) ) + Una medda de la desvacón total de los valores observados y respecto de los predchos por el modelo lneal. Los mejores valores de la pendente a y la ordenada en el orgen b son aquellos que mnmzan esta desvacón total. 63

64 Mínmos cuadrados (Least Squares) 0 = a χ 0 = b χ = N y y N a = N y y b Como buscar el mínmo de una funcón cuadrátca: Prmera dervada = 0 64

65 Bondad del ajuste (Goodness of ft) El crtero de mínmos cuadrados es objetvo; reemplaza el juco personal de quen mre los gráfcos determnando cuál es la mejor recta. Además, da una posbldad de estmar la bondad del ajuste, a través el coefcente de correlacón (r) entre las varables X e Y Muchas veces se presenta su cuadrado (R ). 65

66 El coefcente de correlacón ) ( ) ( ), ( y Var Var y Cov = ρ > >< > < =< = = = = y y N y y N y Cov N N N ), ( 1 1 ) ( > > < =< = = = N N Var N N 1 1 ) ( > > < =< = = = y y N y N y y Var N N 1 +1 ρ 66

67 El coefcente de correlacón Descrbe la correlacón entre los varables r = 0, los varables no son correlaconados r < 0, los varables son ant-correlaconados r > 0, los varables son correlaconados r = 0.95, mucha correlacón r = 0.7, correlacón, pero no mucho 67

68 El cuadrado del coefcente de correlacón (R ) epresa el porcentaje de la varanza en los varables X y Y que eplca el modelo lneal r=0.95, el modelo eplca 90% de la varanza r=0.7, eplca 49% de la varanza r=0.3, eplca 9% de la varanza 68

69 Otra ventaja del método Podemos estmar los errores asocados con los parámetros a y b σ = a χn NVar ( ) σ b = χ N N = 1 N Var ( ) 69

70 En funcón de r Las ncertdumbres de a y b tambén pueden descrbrse así: σ a = a 1 ( ) 1 N ρ σ b = σ a Estas ecuacones son muy útles, ya que la mayoría de las hojas de cálculo y programas de ajuste ndcan a, b y r (ó a veces R ). 70

71 Incertdumbre de los parámetros de un modelo general Al gual que en el caso del modelo lneal, mnmzacón de la funcón Ch-cuadrado: a* χ ( a, b, c,... ) a a=a* de modo que χ mn = χ (a*, b*, ) Cómo determnar a*, b*,? Procedmento sofstcado Dversas teorías y opnones Depende de cómo es de no-lneal = 0 71

72 Es preferble transformar (a lo lneal) En general, es preferble Método: suponemos un modelo y = a ln()+b Defnmos z=ln() Entonces: y = a z + b Buscamos ajuste lneal entre y & z Podemos estmar los errores asocados con los parámetros a y b 7

73 No gusta hacer muchos cálculos (tocar botones calculadora) Muchos cálculos Por eso tenemos ordenadores = N y y N a = N y y b ) ( NVar N a χ σ = ) ( 1 N Var N N b = = χ σ 73

74 74

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