Tema 1. Espacios Vectoriales. Sistemas de ecuaciones.

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1 Tema 1. Espacios Vectoriales. Sistemas de ecuaciones. Álgebra Lineal Escuela Politécnica Superior Universidad de Málaga Emilio Muñoz-Velasco (Basado en los apuntes de Jesús Medina e Inmaculada Fortes) Quizás sea justo afirmar que las múltiples formas que toma la geometría son apenas traducciones, lecturas y relecturas de esa indescifrable belleza que oculta el álgebra... Juan Muñoz. Escultor Emilio Muñoz-Velasco 1.1 Matrices y S.E.L. 1

2 1.1 Matrices y sistemas de ecuaciones lineales. Llamamos M m n (R) al conjunto de las matrices A = (a ij ) (i = 1, 2,..., m; j = 1, 2,..., n) donde los elementos a ij R. Podemos definir las siguientes operaciones de matrices: Suma: A, B M m n (R), entonces A + B = (a ij + b ij ). Producto de un número real por una matriz: M m n (R), entonces a A = (a a ij ). Si a R y A Producto de Matrices: Si A M m n (R) y B M n p (R) entonces ( n ) AB = a ik b kj M m p (R) k=1 Emilio Muñoz-Velasco 1.1 Matrices y S.E.L. 2

3 Propiedades de las operaciones de matrices 1. A+(B+C) = (A+B)+C 2. A + 0 = 0 + A = A 3. A+( A) = ( A)+A = 0 4. A + B = B + A 5. a (A+B) = a A+a B 6. (a + b) A = a A + b A 7. a (b A) = (a b) A 8. 1 A = A 9. A(BC) = (AB)C 10. AI n = I m A = A Emilio Muñoz-Velasco 1.1 Matrices y S.E.L. 3

4 Tipos especiales de matrices cuadradas Una matriz cuadrada A de tamaño n se llama inversible, si existe otra matriz A 1 tal que AA 1 = A 1 A = I n. Las matrices cuadradas que no tienen inversa se llaman singulares. Matriz diagonal: a ij = 0 si i j. Matriz escalar: A = λ I n. Matriz triangular inferior: a ij = 0 si i < j. Matriz triangular superior: a ij = 0 si i > j. Matriz simétrica: A = A T. Matriz antisimétrica: A = A T. Emilio Muñoz-Velasco 1.1 Matrices y S.E.L. 4

5 Matrices escalonadas por filas Diremos que una matriz es escalonada por filas reducida si los elementos que están en la misma columna que el primer 1 de cada fila son todos ceros. Emilio Muñoz-Velasco 1.1 Matrices y S.E.L. 5

6 Ejemplos Las siguientes matrices son escalonadas por filas: Ninguna es escalonada reducida por filas Las siguientes matrices son escalonadas reducidas por filas: Emilio Muñoz-Velasco 1.1 Matrices y S.E.L. 6

7 Transformaciones elementales Tipo I: Cambiar dos filas Tipo II: Multiplicar una fila por una constante c 0 de K Tipo III: Sumar a una fila por otra fila multiplicada por c K Dos matrices A y B son equivalentes por filas si una de ellas se puede obtener a partir de la otra mediante transformaciones elementales por filas. Ejemplo: Las matrices A = B A y B = B C A son equivalentes por filas. Que transformaciones elementales se han realizado en la matriz A para obtener la matriz B? Emilio Muñoz-Velasco 1.1 Matrices y S.E.L. 7

8 Independencia y dependencia lineal Llamamos combinación lineal de filas (o columnas) f 1, f 2,..., f k a una expresión de la forma a 1 f 1 + a 2 f a k f k donde los a i son elementos del cuerpo K. Diremos que un conjunto de filas (o columnas) de una matriz son linealmente independientes si ninguna de ellas se puede expresar como combinación lineal de las restantes. En caso contrario se dice que el conjunto de filas (o columnas) es linealmente dependiente. Emilio Muñoz-Velasco 1.1 Matrices y S.E.L. 8

9 Rango de una matriz Llamamos rango por filas de una matriz al número máximo de filas linealmente independientes. Asimismo llamamos rango por columnas al número máximo de columnas linealmente independientes. Teorema 1. El rango por filas de cualquier matriz coincide con su rango por columnas. A dicho número le llamamos simplemente rango de la matriz. Teorema 2. Las matrices equivalentes por filas tienen el mismo rango. Teorema 3. El rango de una matriz escalonada por filas es el número de filas distintas de cero. Teorema 4. Toda matriz es equivalente por filas a una matriz escalonada por filas. Emilio Muñoz-Velasco 1.1 Matrices y S.E.L. 9

10 Ejemplo 1. La matriz tiene rango 3. Cálculo de la inversa de una matriz Corolario 1. Una matriz cuadrada es inversible si y sólo si es equivalente por filas (resp. por columnas) a la matriz identidad. Esto nos permite calcular la inversa de una matriz A. E k E k 1... E 1 A = I A 1 = E k E k 1... E 1 Ejemplo 2. Calcular la inversa de la matriz Emilio Muñoz-Velasco 1.1 Matrices y S.E.L. 10

11 Sistemas de Ecuaciones Lineales. Métodos de Gauss y de Gauss-Jordan Teorema 5. Los sistemas Ax = b y Bx = c tienen las mismas soluciones si y solo si sus matrices ampliadas son equivalentes por filas. Los teoremas anteriores nos permiten concluir que, dado un sistema Ax = b, existe un sistema Gx = g donde (G g) es escalonada por filas y equivalente por filas a la matriz (A b). El algoritmo para resolver un sistemas de ecuaciones basado en este hecho lo denominaremos Método de Gauss. Modificando el método de Gauss para que la matriz (G g) sea escalonada por filas reducida se obtiene el método de Gauss-Jordan. Emilio Muñoz-Velasco 1.1 Matrices y S.E.L. 11

12 Teorema de Rouché-Frobenius Dado un sistemas de ecuaciones Ax = b, donde A M m n (K) y b K m, representaremos por (A b) la matriz ampliada obtenida añadiendo a la matriz A la columna formada por los elementos de b. Entonces, siendo n es el número de incógnitas, se tiene que Si rang A rang(a b), entonces el sistema es incompatible. Si rang A = rang(a b) y rang A = n, el sistema es compatible determinado. rang A < n, el sistema es compatible indeterminado. Para el caso homogéneo, Ax = 0, siempre el vector x = 0 es solución. Por tanto, solo si rang A < n existen soluciones distintas de la trivial. Emilio Muñoz-Velasco 1.1 Matrices y S.E.L. 12

13 Ejemplo Ejemplo 3. Estudia la compatibilidad y resolver, cuando sea posible los sistemas de ecuaciones siguientes utilizando los métodos de Gauss y de Gauss-Jordan. 2x + 3y + z = 2 x + z = 2 4x + 4y + z = 2 2x + 3y + z = 1 x + 2y + 3z = 0 3x + 5y + 4z = 1 2x + 3y + z = 1 x + 2y + 3z = 0 3x + 5y + 4z = 6 Emilio Muñoz-Velasco 1.1 Matrices y S.E.L. 13

14 Ejemplo Ejemplo 4. Resuelve el sistema AX = B, para X = en los casos siguientes: ( x y ), A = ( ) ; B = 0. A = ( ) ; B = ( 0 2 ). A = ( ) ; B = ( 1 2 ). Emilio Muñoz-Velasco 1.2 Espacios vectoriales. 14

15 1.2 Espacios vectoriales. Definición 1. Llamamos espacio vectorial sobre un cuerpo K a un conjunto V con dos operaciones suma (+) (interna) y un producto ( ) (externa) que verifican: 1. + verifica las siguientes operaciones: (a) ( u + v) + w = u + ( v + w) (b) v + 0 = 0 + v = v (c) v + ( v) = ( v) + v = 0 (d) u + v = v + u 2. verifica: (a) λ( v + w) = λ v + λ w para λ K y v, w V. (b) (λ + µ) v = λ v + µ v para λ, µ K y v V. (c) (λµ) v = λ(µ v) para λ, µ K y v V. (d) 1 v = v para v V (siendo 1 la unidad en K). Representaremos por (V, +,, K) al espacio vectorial y llamamos vectores a los elementos de V y escalares a los elementos de K. Emilio Muñoz-Velasco 1.2 Espacios vectoriales. 15

16 Ejemplos: (R n, +,, R) es el espacio vectorial real n-dimensional. (K n, +,, K) es el espacio vectorial n-dimensional sobre K. Si P es el conjunto de polinomios con coeficientes reales, entonces (P, +,, R) es un espacio vectorial. Las matrices m n definidas sobre cualquier cuerpo K también forman un espacio vectorial (sobre el mismo cuerpo K). Teorema 6. En todo Espacio vectorial se tienen las siguientes propiedades: a) 0 v = 0 b) λ 0 = 0 c) Si λ v = 0, entonces λ = 0 y/o v = 0 d) ( 1) v = v e) ( λ) v = λ( v) = (λ v) Emilio Muñoz-Velasco 1.2 Espacios vectoriales. 16

17 Dependencia e independencia lineal Combinación lineal. Será todo vector de la forma λ 1 v 1 + λ 2 v λ n v n donde λ i K y v i V. Observaciones: Todo vector es combinación lineal de sí mismo. El vector 0 es combinación de cualquier conjunto de vectores. Si S = { v 1, v 2,..., v n } es un conjunto finito de vectores (sistema de vectores) de V, diremos que son linealmente dependientes (l.d.) si existe una combinación lineal λ 1 v 1 + λ 2 v λ n v n = 0 con al menos un λ i 0. En caso de que toda la combinación lineal igualada a 0 implique λ 1 = λ 2 = = λ n = 0, decimos que los vectores son linealmente independientes (l.i.). Emilio Muñoz-Velasco 1.2 Espacios vectoriales. 17

18 Ejemplo En los e.v. K n, si tenemos un sistema de vectores S = { v 1, v 2... v m } podemos construir la matriz A formada por dichos vectores puestos en fila. Entonces el máximo número de vectores linealmente independientes de S coincide con el rango de la matriz A. Así en R 4 el conjunto de vectores {(1, 2, 4, 3), ( 2, 1, 1, 0), (3, 3, 3, 3)} es linealmente dependiente porque la matriz tiene rango 2. A = Emilio Muñoz-Velasco 1.2 Espacios vectoriales. 18

19 Teorema 7. Sea V un e.v., entonces: 1. Si v 0, entonces { v} es l.i. 2. Todo sistema de vectores que contenga el 0 es l.d. 3. Si S es un sistema de vectores l.i. y S S, entonces S es l.i. 4. Si S es un sistema de vectores l.d. y S S, entonces S es l.d. 5. Si S es un sistema de vectores, no todos nulos, l.d., entonces al menos uno de los vectores se puede expresar como combinación de los restantes. 6. Si S es un sistema de vectores l.i. y S { v} es l.d., entonces v es combinación lineal de los vectores de S. Emilio Muñoz-Velasco 1.2 Espacios vectoriales. 19

20 Subespacios Vectoriales Dado un e.v. V y W V, W, diremos que es subespacio vectorial (s.v) si verifica: a) para cada v, w W se tiene v + w W. b) para cada v W y λ K se tiene λ v W. O equivalentemente, λ v + µ w W para cada λ, µ K y v, w W Obsérvese que { 0} es un subespacio vectorial (subespacio trivial). Un subespacio vectorial W V diremos que es subespacio propio si W { 0} y W V. Emilio Muñoz-Velasco 1.2 Espacios vectoriales. 20

21 Ejemplos Si V = R 2, W = {(x, y) y = mx}, siendo m un número real, es un subespacio vectorial. Si V = R 3, W = {(x, y, z) ax + by + cz = 0}, siendo a, b, c números reales, es un subespacio vectorial. Si V = R 2, W = {(x, y) x + y = 1} no es un subespacio vectorial. Si V = P es el espacio vectorial de los polinomios con coeficientes reales, entones W = P n el conjunto de polinomios de grado menor o igual que n es un subespacio vectorial. Emilio Muñoz-Velasco 1.2 Espacios vectoriales. 21

22 Teorema 8. Dado un sistema de vectores S V, S, el conjunto L(S) formado por todas sus posibles combinaciones lineales de los vectores de S forman un subespacio vectorial de V. Definición 2. A este subespacio vectorial L(S) se le llamará subespacio generado por el conjunto de vectores S. Si { v 1, v 2,..., v n } es dicho conjunto se representa por L(S) = v 1, v 2,..., v n. Definición 3. Si W es un subespacio vectorial de V y S es un sistema de vectores tal que L(S) = W decimos entonces que S es un sistema generador de W. Ejemplo: Si V = R 4 y W = (1, 2, 0, 0), (0, 3, 1, 0), entonces los vectores de W son de la forma: (x, y, z, t) = λ(1, 2, 0, 0) + µ(0, 3, 1, 0) donde λ y µ son números reales cualesquiera. Emilio Muñoz-Velasco 1.2 Espacios vectoriales. 22

23 Base de un subespacio vectorial Llamamos base de un subespacio vectorial V a un sistema de vectores B linealmente independiente que es un sistema generador de V, es decir L(B) = V. Ejemplos: 1. En los e.v. K n, el sistema de n vectores {(1, 0, 0,..., 0), (0, 1, 0,..., 0)... (0, 0,..., 0, 1)} es una base, a la que llamamos base canónica. 2. En el subespacio de R 4 siguiente W = (1, 2, 4, 3), ( 2, 1, 1, 0), (3, 3, 3, 3) una base de W estaría formada por cualesquiera dos vectores del sistema generador. Emilio Muñoz-Velasco 1.2 Espacios vectoriales. 23

24 Esp. Vec. de dimensión finita Teorema 9. Si un e.v. admite una base finita con n vectores entonces todas las bases tienen exactamente n vectores. Definición 4. Si un e.v. tiene una base finita de n vectores decimos que es de dimensión finita. Al número natural n lo llamamos dimensión del espacio. Aceptamos que el e.v. trivial { 0} es el único espacio de dimensión 0. Teorema 10. Si B = { v 1, v 2,..., v n } es una base de un espacio vectorial, cada vector v del espacio se puede expresar de forma única como combinación lineal de los vectores de B v = λ 1 v 1 + λ 2 v λ n v n y se dice que (λ 1, λ 2,..., λ n ) son las coordenadas de v respecto de la base B. Emilio Muñoz-Velasco 1.2 Espacios vectoriales. 24

25 Ejemplo Fija dos bases distintas para el e.v. generado por el sistema de vectores {(1, 2, 4, 3), ( 2, 1, 1, 0), (3, 3, 3, 3)} y determina, de entre los siguientes vectores, los que pertenecen a dicho espacio y qué coordenadas tienen respecto de cada una de las bases. a) (2, 1, 4, 3) b) (1, 2, 4, 3) c) (5, 4, 2, 3) d) (3, 2, 1, 3) Emilio Muñoz-Velasco 1.2 Espacios vectoriales. 25

26 Cambio de base Si B 1 = { v 1, v 2,..., v n } y B 2 = { w 1, w 2,..., w n } son bases de un mismo e.v. V, un vector v tendrá coordenas distintas respecto de cada una de las bases, así v = λ 1 v 1 + λ 2 v λ n v n v = µ 1 w 1 + µ 2 w µ n w n ( ) Además cada vector v i B 1 tiene unas coordenadas respecto de B 2, así v 1 = a 11 w 1 + a 21 w a n1 w n v 2 = a 12 w 1 + a 22 w a n2 w n. v n = a 1n w 1 + a 2n w a nn w n Emilio Muñoz-Velasco 1.2 Espacios vectoriales. 26

27 que sustituyendo en la ecuación ( ) y desarrollando se tiene µ 1 = λ 1 a 11 + λ 2 a λ n a 1n µ 2 = λ 1 a 21 + λ 2 a λ n a 2n. µ n = λ 1 a n1 + λ 2 a n2 + + λ n a nn que en forma matricial se expresa a 11 a a 1n λ 1 a 21 a a 2n λ = a n1 a n2... a nn λ n µ 1 µ 2. µ n donde la matriz A resultante se denomina matriz del cambio de base de B 1 a B 2. Nota. Obsérvese que A λ = µ A 1 µ = λ, de donde A 1 será entonces la matriz del cambio de base de B 2 a B 1. Emilio Muñoz-Velasco 1.2 Espacios vectoriales. 27

28 Ejemplos 1. Si sabemos que un vector de R 4 tiene por coordenadas (1, 1, 2, 0) respecto de la base B = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 2), (1, 1, 2, 3), (1, 2, 3, 4)} calcula las coordenadas del mismo vector respecto de la base B = {(1, 0, 0, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 1, 1)} 2. Si un vector de R 2 tiene coordenadas (2, 3) respecto de la base {(3, 1), (0, 3)}, encuentra una base en la que tenga por coordenadas (1, 1). Emilio Muñoz-Velasco 1.2 Espacios vectoriales. 28

29 Ecuaciones cartesianas Son restricciones a las coordenadas de los vectores del espacio para que pertenezcan al subespacio. Ejemplo. Un subespacio de R 4 está definido por vectores (x, y, z, t) definidos por las siguientes coordenadas cartesianas: x + y + 2t = z z y = t } Resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos que: W = {( β, α β, α, β) α, β R} de donde W = ( 1, 1, 0, 1), (0, 1, 1, 0). Además {( 1, 1, 0, 1), (0, 1, 1, 0)} es una base de W. tanto, dim W = 2. Por Emilio Muñoz-Velasco 1.2 Espacios vectoriales. 29

30 Ecuaciones paramétricas Sirven para expresar las coordenadas de los vectores del subespacio en función de parámetros que pueden tomar cualquier valor de los escalares en el cuerpo. Ejemplo Las ecuaciones paramétricas del subespacio U de R 3 son: x = 2α β y = 3α 2β z = α Calcula una base, la dimensión y las ecuaciones cartesianas de U. Emilio Muñoz-Velasco 1.2 Espacios vectoriales. 30

31 Intersección de subespacios Dados dos s.v. V 1 y V 2 de V, se define V 1 V 2 = { v v V 1 y v V 2 } es también un subespacio vectorial de V. Teorema 11. Si S es un sistema de vectores de V, entonces L(S) es la intersección de todos los subespacios vectoriales que contienen a S. L(S) es el menor subespacio vectorial que contiene a S. Una forma de calcular las ecuaciones cartesianas de la intersección de dos subespacios es unir las ecuaciones cartesianas de cada uno de ellos. Emilio Muñoz-Velasco 1.2 Espacios vectoriales. 31

32 Suma de subespacios Dados dos s.v. V 1 y V 2 de V, se define V 1 + V 2 = { v 1 + v 2 v 1 V 1 y v 2 V 2 } que es un nuevo subespacio vectorial que contiene a V 1 V 2. Obsérvese que la simple unión de subespacios no es subespacio vectorial. Una forma de calcular un sistema generador del subespacio suma es unir los sistemas generadores de cada uno de los subespacios. Ejemplo. Dados V 1 = (1, 2, 1, 0), (2, 0, 0, 1) y V 2 = (3, 2, 1, 1), (1, 0, 0, 1), determina las ecuaciones cartesianas y paramétricas del s.v. V 1 + V 2 de R 4. Definición 5. Si V 1 V 2 = { 0}, a la suma de subespacios la llamamos suma directa de subespacios y se representa V 1 V 2. Emilio Muñoz-Velasco 1.2 Espacios vectoriales. 32

33 Teorema Si V y W son subespacios tales que W V, entonces dim W dim V 2. Si W 1, W 2 son s.v. de V, de dimensión finita, se tiene dim(w 1 + W 2 ) = dim W 1 + dim W 2 dim(w 1 W 2 ) En particular dim (W 1 W 2 ) = dim W 1 + dim W 2. Ejemplos: Dado el subespacio W 1 = (1, 2, 4, 3), ( 2, 2, 0, 1), (3, 4, 4, 2) de R 4, encuentra una base para el espacio complementario W 2 en R 4, es decir W 1 W 2 = R 4. Si sabemos que dim W 1 = dim W 2 = dim(w 1 W 2 ), podemos afirmar que W 1 = W 2? Emilio Muñoz-Velasco 1.2 Espacios vectoriales. 33