Razonamiento Automático. Representación en Lógica de Predicados. Aplicaciones. Lógica de Predicados. Sintáxis y Semántica

Transcripción

1 Razonamiento Automático II.1 Representación en Lógica de Predicados Razonamiento en IA se refiere a razonamiento deductivo n Nuevos hechos son deducidos lógicamente a partir de otros. Elementos: n Representación Lógica. n Reglas de deducción. 1 2 Aplicaciones Prueba automática de teoremas n Los axiomas(a) son dados, el teorema (T) es dado n El agente razona buscando desde A hasta T (o desde T hasta A). w Utilizando reglas de deducción para moverse dentro del espacio de búsqueda- Verificación automática n Verificación de Hardware y Software II.2 Lógica de Predicados 3 4 Lógica de Predicados de Primer Orden Es una forma de representar conocimiento LPPO Prolog Deducción Sintáxis y Semántica La lógica de predicados es un tipo de lenguaje Sintáxis n Simbolos utilizados para construir sentencias w Predicados, conectivas, constantes, funciones, variables, cuantificadores Semántica n Cómo interpretar las sentencias n Cómo transladar el conocimiento entre los lenguajes (español y los predicados) n Como determinar el valor de verdad de una sentencia Agentes Prueba de Teoremas 5 6

2 Predicados Los predicados son sentencias que n Son indicaciones de las relaciones entre objetos n El nombre del predicado identifica la relación n Argumentos son los objetos relacionados n Aridad es el número de objetos relacionados Ejemplo: padre(pedro,juan) Padre es el nombre del predicado n Relación: Pedro es el padre de Juan n Argumentos: Pedro y Juan n Aridad: 2 Los predicados pueden relacionar: n Constantes, funciones y variables Conectivas: And, Or And representado por: (i) & (ii) (iii), Or representado por: (i) (ii) (iii) ; 7 8 Conectivas: No, Implica, Equivalencia Not representado por: (i) (ii) (iii) \+ Implica representado por: or es equivalente a representado por: Ejemplos Pedro enseña IA y Java enseña_ia(pedro) enseña_java(pedro) Mejor: enseña(pedro,ia) enseña(pedro,java) Si Pedro no enseña IA, Juan si enseña(pedro,ia) enseña(juan,ia) Bush y Blair ganarán o Saddam perderá (ganará(bush) ganará(blair)) ganará(saddam) 9 10 Constantes Indican objetos reales o abstractos n Pedro, IA Funciones Predicados especiales n Se utilizan para relaciones de entrada-salida n Si la aridad es n, los primeros n-1 argumentos son entradas w El argumento final es la salida Importante n La función solo tiene una única salida Se utiliza el signo de igual 11 12

3 Ejemplo Una torta en la cafeteria cuesta 10 pesos n costo(torta, cafeteria, 10) El costo es una función n Entrada: el nombre del alimento y de la tienda n Salida: el costo del alimento Como función n costo(torta,cafeteria) = 10 Funciones Ejemplo: n Una Torta en la cateferia es mas barata que unas enchiladas en Vips menor(costo(torta,cafeteria),costo(enchiladas,vips)) Variables Se usan para ser mas expresivo n Hay un alimento en la cafeteria que cuesta 3 pesos costo(alimento,cafeteria) = 3 n Alimento puede representar una torta o unas enchiladas Un alimento es algo más general n Llamar al alimento X (una variable) costo(x,cafeteria) = 3 Variables Es necesario ser más expresivo X Se dice: n Hay un alimento X n Existe un alimento X Se requiere de un símbolo para existe n Este se representa por: n X (costo(x,cafeteria) = 3) Cuantificadores Existen símbolos denominados cuantificadores n Una sentencia en cuantificada existencialmente Otro cuantificador: ( para todo ) Ejemplo: todos los estudiantes disfrutan las clases de IA X (estudiante(x) disfruta(x,clases_ia)) Este es un cuantificador universal n Para todo indica que cada predicado es verdadero para cualquier posible valor de la variable II.3 Uso de Cuantificadores 17 18

4 Uso de cuantificadores Existe un alimento en la cafeteria cuyo costo es tres pesos X (alimento(x) costo(x,cafeteria) = 3) Si se quiere decir: Todos los alimentos en la cafeteria cuestan tres pesos : X (alimento(x) costo(x,cafeteria) = 3) incorrecto X (alimento(x) costo(x,cafeteria) = 3) correcto Uso de cuantificadores Todos los lunes y los miércoles, voy a la casa de Juan a cenar X (dia(x,lunes) dia(x,miercoles) ir(yo,casa(juan)) comer(yo,cena)) Para ser mas claro: X (alimento(x) ofrece(x,cafeteria) costo(x,cafeteria) =3) Qué está mal? Todas las cosas en la bolsa son azules : Traduciendo la lógica al español X (alimento(x) costo(x,cafeteria) = 3) 1. X (enlabolsa(x) azul(x)) 2. X (azul(x) enlabolsa(x)) 3. X ( Y (bolsa(x) dentro(y,x) azul(y))) X ( Y (bolsa(x) dentro(y,x) azul(y))) 1. Hay algo llamado X, donde X es un alimento y X cuesta en la cafeteria tres pesos 2. Hay un alimento, X, cuyo costo en la cafeteria es tres pesos 3. Hay un alimento cuyo costo en la cafeteria es tres pesos II.2 Tablas de Verdad Verdad en Lógica Proposicional Cómo determinar el valor de verdad de una sentencia? n Primero se evaluán los elementos individuales (proposiciones) y despues se va contruyendo la tabla de verdad de la sentencia completa Ejemplo n Si P y Q son verdaderos, R es falsa n Es (P Q) (R P) verdadero? n (P Q) es verdadero porque P es verdadero y Q es verdadero. n (R P) es verdadero porque uno de ellos (P) es verdadero. n La sentencia completa es verdadera porque (P Q) y (P R) son verdaderas Resolver las sentencias con tablas de verdad es tedioso

5 Tablas de verdad Tautologías P Q P P Q P Q P Q P Q True True False True True True True True False False False True False False La sentencia: P Q Q P es obviamente verdadera n Una sentencia es una tautología porque es verdadera para todas sus interpretaciones. False True True False True True False False False True False False True True Interpretación Probando tautologías con tablas de verdad CONTRADICCIÓN E INCONSISTENCIA S: (X (Y Z)) ((X Y) (X Z)) X Y Z Y Z X Y X Z X (Y Z) ((X Y) (X Z)) S true true true true true true true true true true true false false true false false false true true false true false false true false false true true false false false false false false false true false true true true true true true true true false true false false true true true true true false false true false true true true true true false false false false true true true true true Una fórmula A es una contradicción o es inconsistente si es falsa en todas sus interpretaciones. Ejemplo: La fórmula A A es inconsistente o contradictoria w A A A A w V F F w F V F FÓRMULAS CONSISTENTES E INVALIDAS Las fórmulas consistentes son aquellas para las cuales se tiene por lo menos una interpretación para la cual la fórmula es verdadera. Una fórmula inválida es aquélla que es falsa al menos para una interpretación. OBSERVACIONES Una fórmula es válida si y solo si su negación es inconsistente. Una fórmula es inconsistente si y solo si su negación es válida. Una fórmula es inválida si y solo si existe por lo menos una interpretación sobre la cual la fórmula es falsa. Una fórmula es consistente si y solo si existe por lo menos una interpretación sobre la cual la fórmula es verdadera. Si una fórmula es válida, entonces es consistente, pero no viceversa. Si una fórmula es inconsistente, entonces es inválida, pero no viceversa

6 Fórmulas Equivalentes II.2 Dos fórmulas F y G son equivalentes, denotado por F G, si y solo si los valores de verdad de F y G son los mismos bajo cualquier interpretación de F y G. Fórmulas Equivalentes Conmutatividad y Asociatividad Conmutatividad: n P Q puede ser reemplazado por Q P. n P Q puede ser reemplazado por Q P. n P Q puede ser reemplazado por Q P. Asociatividad n ((P Q) R) puede ser reemplazado por (P (Q R)). n ((P Q) R) puede ser reemplazado por (P (Q R)). Distributividad: Distributividad n (P (Q R)) puede ser reemplazado por ((P Q) (P R)) n (P (Q R)) puede ser reemplazado por ((P Q) (P R)) Sobre la implicación: n (P (Q R)) puede ser reemplazado por ((P Q) (P R)) n (P (Q R)) puede ser reemplazado por ((P Q) (P R)) Equivalencias 1. Doble negación P P 2. De Morgan (P Q) P Q (P Q) P Q 3. Conmutativas P Q Q P P Q Q P 4. Asociativas P (Q R) (P Q) R P (Q R) (Q P) R 5. Distributivas P (Q R) (P Q) (P R) P (Q R) (P Q) (P R) 35 Equivalencias 6. Idempotencia P P P P P P 7. Identidad P Contradicción P P Tautología P 8. Complemento P P Tautología P P Contradicción 9. Dominación P Tautología Tautología 10. Absorción P (P Q) P P Contradicción Contradicción P (P Q) P 36

7 Argumento Es un conjunto de proposiciones (premisas) produciendo otra proposición (conclusión). I.2 Consecuencias Lógicas P 1 P 2... P n Q Se denota también P 1,P 2,...,P n Q Consecuencia Lógica Un argumento P 1 P 2... P n Q es válido si el consecuente es verdadero para todas las interpretaciones verdadedas de las premisas Q es una consecuencia lógica de las premisas Formas de demostración Q es consecuencia lógica de P 1,P 2,...,P n si: 1: Forma Directa P 1 P 2... P n Q es válida (Tautología). 2: Forma Indirecta P 1 P 2... P n Q es inconsistente (Contradicción) Ejemplo: Demostrar que P es consecuencia lógica de P Q y Q Ejemplo: Forma Directa ((P Q) Q) P es una tautología P Q P Q Q (P Q) Q P ((P Q) Q) P V V V F F F V V F F V F F V F V V F F V V F F V V V V V 41 42

8 Ejemplo: Forma Indirecta (P Q) Q P es una contradicción P Q P Q Q (P Q) Q (P Q) Q P V V V F F F V F F V F F F V V F F F F F V V V F Consecuencias Lógicas Qué pasa cuando aumentan las proposiciones? La tabla de verdad crece en 2 N, donde N es el número de proposiciones Ejemplo: Usando equivalencias ((P Q) Q) P Eliminando (( P Q) Q) P Distribución (( P Q) (Q Q)) P Complemento (( P Q) Contradicción) P Identidad ( P Q) P Eliminando ( P Q) P DeMorgan ( P Q ) P Conmutativa ( P P) Q Complemento Tautología Q Identidad Tautología 45 Reglas de Inferencia 46 I.2 Reglas de Inferencia Reglas de Inferencia Permite la deducción de nuevas proposiciones a partir de otras ya conocidas. La proposición es verdadera si las originales lo son. P Q premisa 1 P premisa 2 Q proposición deducida 47 48

9 Reglas de Inferencia Ejemplo: Demostrar que P es consecuencia lógica de P Q y Q Pasos: 1) P Q premisa 1 2) Q premisa 2 3) P Modus Tollens 49 50