MATEMÁTICAS II PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD DE OVIEDO. 5.- ANÁLISIS (1ª PARTE).- Límites, Continuidad, Derivadas y aplicaciones.

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1 MATEMÁTICAS II PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD DE OVIEDO 5.- ANÁLISIS ª PARTE.- Límites, Continuidd, Derivds y plicciones..- MODELO DE PRUEBA Conceptos de unción continu en un punto y derivd de un unción en un punto. Estudir, prtir de l deinición, l continuidd y derivilidd de l unción: en el punto de scis y clculr l unción derivd en su dominio de deinición. Rzon ls respuests. Puede verse en los puntes de teorí. Recordemos pr empezr, que l unción vlor soluto se deine en dos trozos: < Y por tnto, empre que en culquier otr unción prezc el vlor soluto, hrá que deinirl trozos. En nuestro cso, < Vemos es continu en el punto de scis. Como demás, concluimos que l unción es continu en. Vemos es derivle en el punto que nos indicn; pr ello, estudiemos sus derivds lterles: Como ls derivds lterles son distints en el punto de scis, l unción no es derivle en dicho punto. En los demás puntos, l izquierd y l derech del cero, l unción es derivle y su derivd se otiene derivndo en : < >

2 .- JUNIO 99 i Interpret rzondmente el concepto geométrico de derivd. ii Como plicción del prtdo nterior y n clculr l epreón nlític de, otener l representción gráic de endo l gráic de : Not: el símolo de l gráic, quiere gniicr que l unción no está deinid en. Rzon ls respuests. i Este prtdo, puede verse eplicdo en los puntes. ii L representción gráic de l derivd, es l que puede verse en l igur. Epliquémos por qué: En primer lugr entre y, l unción es un rect; l pendiente por tnto es constnte y en este cso vle, y que l unción crece dos uniddes cd vez que l vrile ument un. Por tnto su derivd en ese - intervlo, será l unción constnte y. Por l mism rzón, en el intervlo, l derivd es l - unción constnte y - rect decreciente, pendiente negtiv; y como decrece dos uniddes cd vez que l vrile ument dos, l pendiente será Del mismo modo se eplic que l derivd en el intervlo,, se l unción constnte y. Por último, deemos precisr que en los puntos de scis y, no eiste derivd puesto que ls derivds lterles son distints l unción hce picos. En el punto, l unción no eiste, sí que diicilmente v eistir su derivd. Y en los etremos - y, no hy derivd, porque en el primero no eiste derivd por l izquierd y en el segundo no eiste por l derech. Fuer del intervlo [-, ] no está deinid l unción, por tnto no tiene sentido hlr de..- SEPTIEMBRE 99 Dd l unción: se pide: i Determinr y, siendo que l unción present un discontinuidd evitle en el punto de scis ii Deinir un unción g que se continu en y que coincid con en el dominio de deinición de ést. Rzon ls respuests. i L unción, es un unción rcionl cociente de dos polinomios; pr que hy discontinuidd evitle en el punto de scis, dee eistir el, pero no estr deinid l unción. Ahor ien, pr que un unción rcionl no esté deinid en un punto, dee nulrse el denomindor en dicho punto; en este cso por tnto, el denomindor dee nulrse en, pr lo cul h de ser: -. Por otr prte, sólo uese cero el denomindor pero el numerdor uese distinto de cero, Pero como queremos que eso no ocurr, puesto que ese límite dee eistir, hy que oligr tmién l numerdor vler cero en, es decir que: Resolvmos pués el stem ormdo por ls dos ecuciones que cmos de otener: -

3 l unción por tnto, es: Es unción, desde luego que no está deinid en, y que el denomindor se nul; vemos tiene límite en dicho punto: 9 9 Se trt en el primer límite, de un indeterminción del tipo /, que deshcemos en el pso quitndo l ríz en el numerdor y denomindor, utilizndo l regl de Ruini. L unción por tnto, tiene límite en el punto : 9. En consecuenci, pr esos vlores de y, hy discontinuidd evitle en el punto. De hecho, evitrímos l discontinuidd hciendo que /9. ii Oservemos ests dos unciones: g L epreón lgeric que deine l segund, se otiene de mpliicr en l epreón de l primer. Prece rzonle primer vist decir que ess dos unciones son igules, pero no!. Hy un punto, sólo un punto, en el que eisten ciertos prolems: el punto ; en él, l primer no está deinid, puesto que se nul el denomindor y l segund en cmio, sí lo está: g /9. Por tnto, l primer no es continu en ese punto y l segund,. Pr todos los demás vlores de l vrile independiente, ls dos unciones son igules. Podemos pues concluir, que l unción que nos piden es:.- SEPTIEMBRE 99 Hllr los coeicientes de l ecución y c d pr que l curv correspondiente presente en el punto, un inleión con tngente prlel l eje OX, psndo dich curv por el origen de coordends. Clculr el áre del recinto itdo por l curv y l rect que une el origen con el punto de inleión. Rzon ls respuests. Hllemos ls derivds primer y segund de es unción: y c y 6 Impongmos hor ls condiciones del prolem y no olvidemos que con cd condición, otendremos un ecución y que tenemos cutro incógnits,, c, d, necetmos cutro ecuciones. Pr que pse por el origen,, deemos sustituir en l ecución, y d Pr que teng inleión en, l derivd segund dee nulrse en ese punto Pr que teng tngente horizontl en, l derivd primer dee nulrse en dicho punto c Pr que pse por el punto,, Deemos sustituir en l ecución, y cd Puesto que d, se trt de resolver el stem: : c son soluciones cuys c c g

4 L unción pedid, es por tnto: y. Del segundo prtdo de este prolem, hlremos cundo estudiemos l prte correspondiente l Cálculo Integrl. 5.- JUNIO 995 i Esozr l gráic de un unción que cumpl, l vez, que: en - teng un discontinuidd evitle, en - teng un discontinuidd de slto dmit límites lterles initos distintos, en teng un discontinuidd ntótic con, y demás. ii Otener l epreón nlític de un de tles unciones. Rzon ls respuests. i Pr empezr, digmos que con ls crcterístics que nos piden, hy muchs unciones pr ser ecto, tnts como quermos. Aquí construiremos un. L gráic de un de ess unciónes, podrí ser l que vemos en l igur. ii Pr ver cómo serí l epreón nlític de es unción, tengmos en cuent ls tres condiciones que nos pone el prolem: en -, l unción dee tener límite, pero no estr deinid. en - los límites lterles deen ser distintos, pero initos. - - en el límite dee ser, tnto por l izquierd, como por l derech. Cundo tiende ininito, l unción se estiliz hci el. < Est serí l epreón nlític : < < 6.- SEPTIEMBRE 995 i Otener, de orm rzond, l gráic de un unción continu y que cumpl ls guientes condiciones: - ; - ; -; - ; < pr < ; > pr < < ; - pr > ; < pr - < <; > pr < <. ii Eiste lgún punto donde no se derivle? Cuáles son los máimos y los mínimos reltivos de?. Admite síntots?. Justiic tods ls respuests. i Impongmos con orden tods ls condiciones del prolem, y vymos etryendo de cd un l inormción que nos será necesri pr diujr un unción con ess crctrístics. Puesto que -, dee cortr l eje de sciss en los puntos:, -, y, Puesto que -, tendrá máimo o mínimo en los puntos de scis: - y. Y como l derivd segund en - es negtiv y en potiv, el primero será un máimo y el segundo un mínimo. Teniendo por in en cuent que - y -, concluimos que hy máimo en el punto -, y mínimo en el, -. Como < pr < es decir, en el intervlo -,, l unción es decreciente en él.

5 Como > pr < <, es decir en los intervlos -,- y,, l unción es decreciente en ellos. Como < en el intervlo -,, será cóncv hci jo en dicho intervlo. Como > en,, será cóncv hci rri en ese intervlo. Como - pr > es decir, en los intervlos, y,, result que en esos intervlos l unción tiene pendiente constnte por tnto, será un rect de pendiente -. Por último, deemos tener en cuent que se trt de un unción continu: no dee tener sltos y dee estr empre deinid. L gráic, con esos dtos, podrí ser l de l igur: ii No es derivle en los puntos de scis y -, y que en esos puntos l curv tiene tngentes distints por l izquierd y por l derech; o lo preerimos, en cd uno de esos dos puntos ls derivds lterles son dierentes: por un ldo l derivd primer vle - y por el otro no nos dicen cuánto vle, pero semos que es potiv. En esos puntos, como podemos ver en l gráic, l unción tiene "picos". Los máimos, están en los puntos de scis - y. El primero, semos que es un mínimo porque en él se nul l derivd primer y es potiv l segund. Sin emrgo, ese criterio no nos rve pr el segundo punto; en él, semos que hy mínimo prte de que es ovio sólo con mirr l gráic, porque l derivd primer es potiv l izquierd y negtiv l derech es decir, que l unción es creciente l izquierd y decerciente l derech; en consecuenci, dee de her un máimo en ese punto. En deinitiv: los máimos son los puntos: -, y.. Los mínimos, rzonndo de orm precid, semos que están en los puntos -, y,-. Hlemos por in de ls síntots. Desde el punto, en delnte, l unción es un rect de pendiente -, por tnto su ecución es: y-. Podemos conderrl como síntot de sí mism. Por l mism rzón, hst el punto -, l unción es un rect de pendiente -; su ecución es y -- y tmién podemos conderrl como síntot. Ls síntots son por tnto ls rects: y - e y JUNIO 996 i Diujr l gráic de l unción ln, tendiendo los guientes puntos: dominio de deinición, corte con los ejes, síntots verticles, intervlos de monotoní e intervlos de concvidd. ii A prtir de l gráic nterior, estlecer rzondmente cómo serín ls gráics de ls unciones: ln ln c ln. Not: ln es el logritmo neperino de i Vymos por prtes desrrollndo los puntos que nos indic el enuncido del prolem: Dom R : El dominio de l unción, será el conjunto de los números reles potivos, puesto que no tiene ningún sentido hlr del logritmo de números negtivos. Not: el cero, no se conder potivo ni negtivo Los cortes con los ejes serán: Y Con el eje OX: y ln e Cort l eje OX, en el punto,. Con el eje OY: yln.como no eiste el logritmo de cero, no hy corte con el eje OY Asíntots: Cuándo se hce ininitmente grnde potivo o negtivo el logritmo?. e X 5 - -

6 Semos que se hce tn negtivo como quermos, medid que nos cercmos l cero es decir, ln. por tnto, l rect el eje de ordends, será l síntot verticl. Por otr prte, ln, luego no hy síntots horizontles. Anlicemos l derivd primer pr ver dónde es creciente o decreciente est unción. y ln y. Como l unción sólo está deinid pr los números potivos, l derivd primer empre es potiv y por tnto, l unción empre es creciente. No hy ni máimos ni mínimos. Pr estudir l concvidd, nlicemos l derivd segund: y. Como podemos ver, empre es negtiv, luego l unción, es empre cóncv hci jo. Con todos estos dtos y teniendo demás en cuent que ln e es decir, semos que ps por el punto e,, estmos y en condiciones de construir su gráic, que es l que podemos ver en l págin nterior. ii Hgmos un reve releión sore cd un de ls tres unciones que nos dn, ntes de diujr sus gráics: yln, es un unción que está deinid tmién en los números negtivos, y que es empre potivo. Además ln ln luego es un unción pr es decir, métric con respecto l eje de ordends. En los potivos, es ectmente lo mismo que l unción yln. y ln. Su gráic es como l de yln, pero hciendo que los vlores negtivos que tom l ordend, se conviertn en potivos. Dicho de otro modo: que l prte negtiv de l unción, se releje en el eje de sciss. Por último, y ln -, es un unción cuy gráic se otiene según semos, trsldndo dos enteros l derech l gráic de y ln. X Y Y - X X y ln X y ln y ln -.- SEPTIEMBRE 996 Dd l unción: i Estudir, prtir de l deinición, l continuidd y derivilidd de en los puntos -, y. ii Determinr el dominio y l epreón de l unción derivd. Rzon ls respuests. i Pr resolver este prtdo, tengmos dos coss en cuent: L unción "vlor soluto", está deinid en dos trozos del guiente modo: < -, es potivo cundo es myor que ó menor -. Y es negtivo, cundo está entre - y. Pr ver esto que cmos de decir, st representr l práol y -, y oservr pr qué 6

7 vlores de l tom l ordend vlores negtivos o potivos. Por tnto, podremos deinir trozos l unción que nos dn, y diujr su gráic del guiente modo: Y < < > - X Es unción es empre continu como puede verse en l igur. Pr demostrrlo de un modo riguroso prtir de l deinición de continuidd, strí clculr los límites lterles de l unción en los puntos "conlictivos" que nos indicn: -,, y compror que coinciden con el vlor de l unción en cd uno de ellos: ; ; ; ; ; ; L unción, no es derivle en los puntos -,,. En l igur, vemos clrmente cómo l unción tiene "picos" en esos puntos y por tnto, en cd uno de ellos tiene dos tngentes dierentes, un por l izquierd y otr por l derech. Pr demostrrlo de orm riguros plicndo l deinición de derivd, clculmos ls derivds por l izquierd y por l derech en cd punto: ; [ ] [ ] [ ] ; [ ] [ ] ; [ ] Como ess derivds lterles son dierentes en cd uno de ellos, l unción no es derivle en ninguno. ii En los demás puntos de l Rect rel, l unción dmite derivd; l in y l co es, en cd trozo, un unción linel y n más que derivr en l epreón de que tenemos escrit más rri, podemos otener l epreón de su derivd: < < < < < > 9.- JUNIO 99 El propietrio de un inmuele, dispone de prtmentos pr lquilr. Piens que podrí lquilrlos todos el precio del lquiler uese de 5. pts. mensules por cd uno de ellos, pero que el precio uer superior, le quedrín lgunos prtmentos n lquilr. Por eperienci, se que por cd.5 pts. que umente el precio del lquiler de cd prtmento, lquilrá un prtmento menos. Cuál dee ser el precio del lquiler de cd prtmento pr conseguir l máim gnnci?. Justiic l respuest. Suponiendo que lquil "" prtmentos, l unción que nos d l gnnci, es: [ ]

8 Epliquemos revemente cómo se otiene es unción: Si lquil prtmentos, dej de lquilr - y como cd uno que no lquil es consecuenci de her suido en.5 pts el precio sore ls 5., concluimos que el precio del lquiler por prtmento es de: pts. Si por in multiplicmos el número de prtmentos lquildos por el precio de cd uno, otenemos l unción que nos d l gnnci. Optimicemos es unción en este cso, clculémosle un máimo Pr otener l máim gnnci, dee lquilr prtmentos y por tnto, el precio del lquiler de cd uno, dee ser de pts.- SEPTIEMBRE 99 i Deinir mínimo reltivo y mínimo soluto. ii Como plicción, demostrr que pr culquier vlor potivo de, se veriic l deguldd:. rzon l respuest. i Diremos que un unción tiene un mínimo reltivo en el punto de scis, cundo eist un entorno de dicho punto, en el cul l unción tom empre vlores myores que. Por otr prte, diremos que lcnz un mínimo soluto en el punto de scis, cundo es el Y vlor más pequeño que tom l unción en todo su dominio. ii Demostrr que, R, es como demostrr que, R. Conderemos l unción: X mínimos reltivos mínimo soluto Es decir, Es unción, como puede verse cilmente, cumple lo guiente:.-.- > En todos los números reles potivos distintos de Esto quiere decir que l unción y, tiene condermos únicmente los números Reles potivos un mínimo soluto en el punto,. Por conguiente,, R, que es lo que querímos demostrr. NOTA: con R representmos los números reles potivos n incluir el cero, por supuesto