OPERAR CON POTENCIAS: MULTIPLICACIÓN, DIVISIÓN Y POTENCIA DE POTENCIA
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- Nieves Moya Ramos
- hace 6 años
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1 OPERAR CON POTENCIAS: MULTIPLICACIÓN, DIVISIÓN Y POTENCIA DE POTENCIA OBJETIVO MULTIPLICACIÓN DE POTENCIAS Como las potencias son multiplicaciones, se va a trabajar con ellas cuando multiplicamos o dividimos: H H 4??????? C H? 4????? 6! exponente Las potencias han de tener la misma base para unificar el exponente.? 4????? (no se puede poner con el mismo exponente) La fórmula general para multiplicar potencias de la misma base es: a n? a m a n+m ACTIVIDADES Realiza las siguientes operaciones. a) 0? 0 d)? 6 g)? b) 4? e)?? h) 9? 9 c)?? f )? i)? DIVISIÓN DE POTENCIAS Para dividir potencias con igual base, se deja la base y se restan los exponentes: a n : a m a n-m La división entre potencias de distinta base no se puede realizar, y debe quedar indicada. :??????? Opera con las siguientes potencias. a) 6 : 4 4 6? b) : 4??????????? c) : d) 6 : e) : Realiza estas divisiones. a) : 4 c) 4 6 : 4 e) : b) : d) : 4 f) 6 : 6 46 DÍA A DÍA EN EL AULA MATEMÁTICAS 4. ESO Material fotocopiable Santillana Educación, S. L.
2 OPERAR CON POTENCIAS: MULTIPLICACIÓN, DIVISIÓN Y POTENCIA DE POTENCIA OBJETIVO POTENCIA DE UNA POTENCIA Si elevamos una potencia a otra potencia, el resultado es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es el producto de los exponentes: ( a n ) m a n? m ( ) (? ) (? )? (? )? (? )????? 6 ( 4 ) (??? ) (??? )? (??? ) 8 4 Completa las siguientes operaciones. a) ( ) 4 e) (4 ) 4 8 b) ( ) f ) ( ) c) (6 ) 6 g) ( ) 4 d) (9 ) 9 h) (0 ) 0 Hay también operaciones combinadas que presentan las tres operaciones estudiadas hasta el momento. a n? a m a n+m a m : a n a m-n (a n ) m a n? m Multiplicación División Potencia de una potencia (? 4 ) : ( )? 4 ( ) 9 6 Realiza estas operaciones. a) ( : ) f p ( ) b) ( : )? ( 6 : )? c) (0 ) 4 : (0? 0 ) d) (4 )? (4 ) e) (6 : 6 )? (6 ) 4 DÍA A DÍA EN EL AULA MATEMÁTICAS 4. ESO Material fotocopiable Santillana Educación, S. L. 4
3 OPERAR CON POTENCIAS: MULTIPLICACIÓN, DIVISIÓN Y POTENCIA DE POTENCIA OBJETIVO POTENCIA DE EXPONENTE NEGATIVO Al efectuar una división de potencias, el resultado puede ser una potencia de exponente negativo: :?? -????? Si hay exponentes negativos, podemos transformarlos en una fracción: a n -4 4??? 8 En general, las potencias de exponente negativo se definen: a -n a n Las potencias de exponente negativo cumplen las propiedades que ya conocemos para las potencias de exponente natural. 6 Opera con potencias de exponentes negativos. a)? -? b)? -????? c) 6? -4 6? (? )? F 6? d) 4? -? 8 4?? 8 (? )?? F F F 4? F 8?? Expresa en forma de potencia de la base indicada en cada caso. OPERACIÓN BASE RESULTADO 9 -? : 8 - ( 9 ) - (6 - : 4 ) - (49 - ) 4 : DÍA A DÍA EN EL AULA MATEMÁTICAS 4. ESO Material fotocopiable Santillana Educación, S. L.
4 EXPRESAR UN NÚMERO EN NOTACIÓN CIENTÍFICA OBJETIVO Para expresar un número en notación científica, lo escribimos con una sola cifra, distinta de cero, como parte entera y las otras cifras decimales, multiplicado por una potencia de 0 con exponente igual a: el número de cifras que hemos pasado a la parte decimal, o menos el número de posiciones que hemos saltado para conseguir que la primera cifra sea entera. 48,48? 0 cifras hemos tenido que pasar a decimales. 4,,4? 0 cifra hemos tenido que pasar a decimal ? 0 cifras hemos tenido que pasar a decimales. 0,0048,48? 0 - saltos hemos tenido que dar para conseguir que la primera cifra,, esté en la parte entera. 0,6,6? 0 - salto hemos tenido que dar para conseguir que la primera cifra,, esté en la parte entera. 0,069 6,9? 0 - saltos hemos tenido que dar para conseguir que la primera cifra, 6, esté en la parte entera. ACTIVIDADES Expresa en notación científica los siguientes números. a) ,000000? 0 6? 0 6 b) e) 0 c) 00 f) d) 00 g) ? Expresa en notación científica estos números con parte entera y parte decimal. a) 990,8 9,908? 0 b) 40,4? f) 40,0,400? c) 6, 6,? g),986,986? d) 6 6, h) 4,4 e), i),4 Expresa los números decimales en notación científica. a) 0,06,6? 0 - b) 0, ,? f) 0,00 c) 0, g) 0,0000 d) 0,09 h) 0,000 e) 0,6,6? i) 0,46 DÍA A DÍA EN EL AULA MATEMÁTICAS 4. ESO Material fotocopiable Santillana Educación, S. L. 49
5 REALIZAR OPERACIONES EN NOTACIÓN CIENTÍFICA OBJETIVO Para efectuar operaciones con números expresados en notación científica, hay que seguir unas sencillas reglas, que vamos a ver con ejemplos y para hacerlo después con calculadora, es importante aprender a calcular primero sin ella, pues funciona según las mismas reglas.. er caso: cuando las potencias de 0 están elevadas al mismo exponente, un número entero positivo o negativo. Efectúa la suma,4? 0 + 4? 0. En este caso, las dos potencias de 0 están elevadas al mismo exponente,, de forma que podemos sacar factor común. El resultado se da en notación científica.,4? 0 + 4? 0 (,4 + 4)? 0,4? 0,4? 0 6 ACTIVIDADES Haz las siguientes sumas y restas en notación científica. a) 6? 0 -? 0 +? 0 ( - + )? 0 8? 0 b) [0,? 0 -,8? 0 ]? [( - )? 0 ]? [? 0 ]?,89? 0 4 c) (,? 0 +,? 0-6,? 0)? [( + - )? 0]? [? 0]? 8,? 0.º caso: cuando las potencias de 0 están elevadas a distintos exponentes enteros positivos. Efectúa la resta 6,4? 0 -,8? 0. Observa que, en este caso, las dos potencias de 0 están elevadas a números distintos, y, de manera que no podemos sacar factor común directamente. Hay que expresar los dos números en función de la potencia de menor valor, en este caso.,8? 0 6,4? 0 6,4? 0? 0 64? 0 6,4? 0 -,8? 0 64? 0 -,8? 0 (64 -,8)? 0 6,? 0 Una vez efectuada la operación, convertimos el resultado en notación científica: 6,? 0 6,? 0 Haz las siguientes sumas y restas en notación científica. a),? 0 -,9? 0 +,4? 0 4,? 0? 0 -,9? 0 +,4? 0? 0? 0 -? 0 +? 0 (? 0 ) 68,? 0 4 b),6? 0 4 -,8? 0,6? 0? 0 -,8? 0? 0 -? 0 ( - )?,8? 0,8? 0 4 c),? ,4? 0? 0? 0 +? 0,9? 0 0 DÍA A DÍA EN EL AULA MATEMÁTICAS 4. ESO Material fotocopiable Santillana Educación, S. L.
6 REALIZAR OPERACIONES EN NOTACIÓN CIENTÍFICA OBJETIVO. er caso: cuando las potencias de 0 están elevadas a distintos exponentes, con números enteros negativos. Efectúa la suma,? ,6? 0-4. En este caso, las dos potencias de 0 están elevadas a distintos números enteros negativos, - y -4, por lo que para sacar factor común elegimos el mayor de ellos, -4, y procedemos así:,? 0 -,? 0 -? 0-4 9,6? 0-4,? ,6? 0-4,? 0 -? ,6? 0-4 0,? ,6? 0-4 (0, + 9,6)? 0-4 9,8? 0-4 Haz estas sumas y restas en notación científica. a),? 0 - -,6? 0-4 Como ? 0 -, resulta que:,? 0 - -,6? 0-4,? 0 - -,6? 0 -? 0 - (, - 0,6)? 0 -,944? 0 - b),9? 0-6 +,? 0 -?? +?? +? ( + )? 0-6,9? 0 - c)? 0-6 -? ? ? 0 -? 0 -? 0 - -? ? 0 -? ? 0 -? 0 - ( )? 0 - -,6? 0 - Efectúa el producto (6,? 0 )? (4? 0 ). Multiplicamos los números: 6,? 4 4,8, y por otro lado, multiplicamos las potencias: 0? (6,? 0 )? (4? 0 ) 4,8? 0 8,48? 0 9 Efectúa la división (6,? 0 ) : (4? 0 ). Dividimos los números: 6, : 4,, y por otro lado, dividimos las potencias: 0 : 0 0 (6,? 0 ) : (4? 0 ),? 0 4 Realiza los productos y cocientes en notación científica. a) (? 0 4 )? (? 0 ) (? )? ? 0 6? 0 b) (4,4? 0 - )? (6,? 0 4 ) (? )? 0 09,84? 0 -,0984? 0 c) (60? 0 ) : (? 0 6 ) (60 : )? 0 0? 0 - Efectúa las operaciones combinadas en notación científica. a) [(? 0 +? 0 ) : (? 0 )] - [(? 0-4 -? 0-4 )? 0 4 ] (? 0 ) - (-? 0 0 ) ,0? 0 b) (6? 0 - ) : (8? 0 - -? 0 - -? 0 - ) (6? 0 - ) : [( - - )? 0 - ] (6? 0 - ) : (? 0 - )? 0 0 DÍA A DÍA EN EL AULA MATEMÁTICAS 4. ESO Material fotocopiable Santillana Educación, S. L.
7 OPERAR CON RADICALES OBJETIVO 4 La raíz n-ésima de un número se puede poner en forma de potencia: n n a a /n a se llama radical, a es el radicando y n es el índice de la raíz. Es más fácil operar con potencias que con raíces, por lo que transformamos las raíces en potencias. / / ACTIVIDADES Escribe los radicales en forma de potencias. a) / b) 8 / 8 8 c) MULTIPLICACIÓN (O DIVISIÓN) DE RADICALES Para multiplicar o dividir radicales con el mismo radicando, los convertimos primero en potencias.? /? / /+/ (+)/ 8/ 8 : / : / /-/ (-)/ 8/ 8 Calcula los siguientes productos de radicales. a)? /? / /+/ ( + )/ /0 b) 6 c)? ? / 6 9 d)?? +? 9/0 0 9 /4? /? / / 0 Halla estos cocientes de radicales. a) : / : / /-/ (-)/6 /6 6 b) 8 : 8 c) : 4 4 d) (? ): (? ) : : 8/ 8 DÍA A DÍA EN EL AULA MATEMÁTICAS 4. ESO Material fotocopiable Santillana Educación, S. L.
8 OPERAR CON RADICALES OBJETIVO 4 RACIONALIZAR DENOMINADORES Racionalizar un denominador es el proceso mediante el que hacemos desaparecer el radical del denominador de la fracción. Este proceso consiste en multiplicar el numerador y el denominador por una expresión adecuada que haga que en el denominador se elimine la raíz.???? -? ( + ) ( - )? ( + ) + En este caso, utilizamos la propiedad de que una suma por una diferencia de dos números es igual a una diferencia de cuadrados: ( - )? ( + ) - ( ) 9-4 Racionaliza los denominadores de las fracciones. a) b) c) +? ( - ) ( + )? ( - ) 0 -? ( + ) d) ( - )? ( + ) e) + - ( + )? ( ) ( ) - ( + ) ( - )? ( ) f )?? 0 g) - DÍA A DÍA EN EL AULA MATEMÁTICAS 4. ESO Material fotocopiable Santillana Educación, S. L.
9 CALCULAR LOGARITMOS Y UTILIZAR SUS PROPIEDADES OBJETIVO Dados dos números reales positivos a y b (a! ), el logaritmo de b en base a es el exponente al que hay que elevar a para que el resultado sea b. log a b c " a c b Cuando la base de los logaritmos es 0, se llaman logaritmos decimales, y la base no se escribe: log 0 b log b Si la base es el número e,8..., se llaman logaritmos neperianos, y se escribe: ln b Aplica la definición de logaritmo, y halla el valor de x. a) log x a) x " x b) log x 6 b) x 6 f p " x c) log 8 x c) x 6 f p 8 " -x 4 " x -4 ACTIVIDADES Calcula los logaritmos, mediante la definición. a) log b) log 000 c) log 64 d) log 4 64 e) ln e 4 Halla, aplicando la definición, estos logaritmos. a) log 0,0 b) log c) log 64 d) ln e) log 4 e 6 Calcula el valor de x en cada caso. a) log x b) log x -4 c) log (x + ) d) log x DÍA A DÍA EN EL AULA MATEMÁTICAS 4. ESO Material fotocopiable Santillana Educación, S. L.
10 CALCULAR LOGARITMOS Y UTILIZAR SUS PROPIEDADES OBJETIVO PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS log a 0 log a a log a (b? c) log a b + log a c b log a f p log a b - log a c log a b n n? log a b c Resuelve estas operaciones con logaritmos. a) ln e 6 6? ln e 6? 6 00, b) log 0,0 - log 0 log f p log 0,00 log 0 - -? log 0 -? - 0 c) log log (? ) log + log + log + log + 4 Calcula, usando las propiedades, los siguientes logaritmos. a) log 4 d) log log 0,0 b) log e) ln e - ln e + ln e 8 c) log f ) log + log 4 CAMBIO DE BASE Para trabajar los logaritmos con la calculadora, es necesario que sean decimales o neperianos. Cuando no es así, utilizamos el cambio de base para transformarlos. logcb log a b log a c Halla con la calculadora. a) log 4 b) log 69 a) 4 log, b) log 69 log 69 log 889,... 4, ,... Convierte en logaritmos decimales, y halla su valor, ayudándote de la calculadora. a) log b) log c) log 6 6 Transforma en logaritmos neperianos los logaritmos y obtén su valor mediante la calculadora. a) log b) log 8 4 c) log 4 DÍA A DÍA EN EL AULA MATEMÁTICAS 4. ESO Material fotocopiable Santillana Educación, S. L.
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