4º ESO ACADÉMICAS - APLICADAS TRIGONOMETRÍA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. SAGRADO CORAZÓN COPIRRAI_Julio César Abad Martínez-Losa TRIGONOMETRÍA

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1 º ESO ACADÉMICAS - APLICADAS TRIGONOMETRÍA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. COPIRRAI_Julio Césr Ad Mrtínez-Los TRIGONOMETRÍA El polígono más senillo es el de tres ldos, el triángulo, es por ello que el estudio de sus rterístis y reliones entre sus elementos supone un mpli prte de ls mtemátis, de ello se enrg l trigonometrí. Hy diferentes niveles de trigonometrí: L trigonometrí ási, y l onoemos, e refereni rterístis ásis de los triángulos, sum de sus ángulos (80º), semejnz, Pitágors, Tles, teorem del teto y de l ltur. L trigonometrí medi, l veremos en este urso, rzones trigonométris de un ángulo, fórmul fundmentl y teorems del seno y del oseno. L trigonometrí superior, l que se ve en Billerto en l modlidd de Cienis. SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS * Definiión _ Dos triángulos son semejntes si tienen los tres ldos proporionles y los tres ángulos igules. Por tnto y que omprr elementos, seis de un triángulo y seis de otro. * Criterios _ Un riterio es un norm que permite llegr l mism onlusión on menos esfuerzo, no tendremos que omprr elementos sino lgunos menos pr onluir que dos triángulos son semejntes. Criterio : Dos triángulos son semejntes si tienen los tres ldos proporionles. Criterio : Dos triángulos son semejntes si tienen dos ldos proporionles y el ángulo omprendido igul. Criterio : Dos triángulos son semejntes si tienen dos ángulos igules.. Rzón de proporionlidd L rzón de proporionlidd entre los ldos omólogos (el que equivle de un triángulo on otro) de dos triángulos semejntes se llm rzón de semejnz, y l denotmos omo k. Tmién es l rzón entre los perímetros, entre ls digonles, en generl, entre distnis omólogs de figurs (no solo triángulos) semejntes. L L LONGITUD LONGITUD LADO LADO PERÍMETRO PERÍMETRO DIAGONAL DIAGONAL k udrdo k. L rzón de semejnz entre ls áres de dos figurs semejntes es igul l rzón de semejnz l A A ÁREA ÁREA k l uo k. L rzón de semejnz entre los volúmenes de dos uerpos semejntes es igul l rzón de semejnz V V VOLUMEN VOLUMEN k EJEMPLO_ Ddo un uo de ldo m, lul el áre totl y el volumen de un uo que teng un ldo de 0 m. () () m Áre totl () = 6 A r() = 6 = 0 m Áre totl () = 6 A r() = 6 00 = 600 m Volumen () = = m 0 m Volumen () = 0 =.000 m Otr form de erlo utilizndo l onstnte de proporionlidd: L L 0 k A A k A 0 A m L L 0 k V V k V 8 A m

2 º ESO ACADÉMICAS - APLICADAS TRIGONOMETRÍA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. COPIRRAI_Julio Césr Ad Mrtínez-Los. Esl L esl es l rzón de proporionlidd entre l medid en el mp, mquet, plno y su omólog (l que orresponde on ell) en l relidd. L esl se expres _ :ESCALA y se lul medinte l relión _ ESCALA MAPA REALIDAD EJEMPLO_ Clul l distni en Km., entre dos iuddes que en un mp esl :0.000 distn m. ESCALA MAPA REALIDAD REALIDAD REALIDAD = = m = 0 Km. L esl, omo ulquier proporión, es dimensionl (no tiene uniddes), esto supone que el resultdo se otiene en ls misms uniddes en que se introduen los dtos, en este ejemplo en entímetros, omo nos piden el resultdo en kilómetros deemos proeder l mio de uniddes. Se podí er relizdo el mio de unidd l prinipio y el resultdo serí el mismo. Cmimos de unidd los entímetros se psn kilómetros m = 0,0000 km y or se pli l esl: ESCALA MAPA REALIDAD ,0000 REALIDAD = 0, = 0 km REALIDAD. Teorem de Tles El teorem de Tles die lo siguiente: Si dos rets sentes (que se ortn), son ortds su vez por dos o más rets prlels entre sí, ésts últims genern en ls primers segmentos proporionles. En l imgen se puede oservr que ls rets prlels produen utro segmentos, 6 0 proporionles entre sí: o tmién 0 6 En l práti este teorem se pli en triángulos y onviene retomr lo que die el teorem de Tles pr enunirlo del siguiente modo: Si en un triángulo se trz un ret prlel uno de sus ldos, se origin un triángulo semejnte l primero y de menor tmño. EJEMPLO_ Clul el vlor de x e y en l siguiente figur. Pr lulr x e y podemos plir el teorem de Tles: 0 x x = 0 8 x = 0 m 8 Pr lulr y no podemos plir el teorem de Tles, (el ldo BC y el ldo DE son los prlelos y el teorem de Tles l de segmentos proporionles formdos sore los ldos sentes que son AC y AB): 0 x y = 6 y = 6 m 8 y 0 0 Por tnto pr lulr y, y tmién x deemos tender l semejnz de triángulos, por el teorem de Tles los triángulos ABC y ADE son semejntes y sus ldos son proporionles: 0 x x 8 6 y 0 x 8 x 0x 60 x x 0y 6 y m 60 x 60 0 m

3 º ESO ACADÉMICAS - APLICADAS TRIGONOMETRÍA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. COPIRRAI_Julio Césr Ad Mrtínez-Los MEDIDA DE ÁNGULOS L medid de los ángulos, l igul que otrs mgnitudes, se puede relizr en distints uniddes. Normlmente utilizmos el grdo sexgesiml que es el resultnte de dividir l irunfereni en 60 prtes igules. Como uriosidd, existe otro grdo, el grdo entesiml o grdián, que es el resultnte de dividir l irunfereni en 00 prtes igules, sí un ángulo reto mide 00 grdines. En l luldor pree on l revitur gr, pero no lo usremos nun en lse, l luldor dee estr siempre en modo deg. Volviendo los grdos sexgesimles podemos deir que: Un irunfereni omplet mide 60º. Un ángulo llno mide 80º. Un ángulo reto mide 90º. Un ángulo otuso mide más de 90º. Un ángulo gudo mide menos de 90º. L unidd de medid de ángulos en el sistem internionl no es el grdo sexgesiml sino el RADIÁN, que se esrie rd. DEFINICIÓN: Deimos que un ángulo entrl de un irunfereni mide rdián si el ro que r sore ell es igul l rdio de l irunfereni. Se puede oservr que l medid de rdián es independiente de l irunfereni que utiliemos. Ls equivlenis entre rdines y grdos sexgesimles se otienen respondiendo l siguiente pregunt: Cuántos rdines tiene un irunfereni? O lo que es lo mismo, Cuánts vees e el rdio en l irunfereni? Pr responder est pregunt st on dividir l longitud de l irunfereni entre el rdio de l mism según l expresión: L CIRCUNFERE NCIA r πr π vees, lo ul supone que si el rdio e vees en l r irunfereni en un irunfereni y rdines, omo demás un vuelt (irunfereni) suponen 60º, tendremos l siguiente equivleni: 60º rd. Además prtir de est equivleni se otienen ests otrs que usremos itulmente: 60º rd 80º rd 90º π rd 60º π rd º π rd 0º 6 π rd Por ultimo nos interesrí onoer el vlor en grdos de rd. Reurriendo un de ests equivlenis: 80 º πrd x º rd x 80 7º 7,8" π EJEMPLO_ Clul el vlor en rdines del ángulo =0º y el vlor en grdos del ángulo = π rd. 80 º πrd 0 π π rd 0 º rd º β º πrd π rd β π 80 π 0π π 70 º RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS EN TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS Ls rzones trigonométris de un ángulo gudo en un triángulo retángulo, no son sino los diferentes oientes, ddos en form de frión, que se otienen l dividir dos ldos de dio triángulo. Son seis ls posiles rzones y d un reie un nomre diferente, que deeremos prender on fluidez.

4 º ESO ACADÉMICAS - APLICADAS TRIGONOMETRÍA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. COPIRRAI_Julio Césr Ad Mrtínez-Los Ddo un triángulo retángulo omo el de l figur, (tener en uent que los vérties se denotn on letrs myúsuls, los ldos on letrs minúsuls, demás frente l vértie A dee siturse el ldo y los ángulos pueden preer en myúsuls o minúsuls  o â o on ls letrs griegs, lf, Bet o Gmm ) se definen ls rzones trigonométris de : SENO DE : CATETO OPUESTO HIPOTENUSA A COSENO DE : CATETO CONTIGUO HIPOTENUSA A TANGENTE DE : tg CATETO OPUESTO A CATETO CONTIGUO A A su vez, se definen ls rzones inverss de l siguiente form: COSECANTE DE : SECANTE DE : COTANGENGE DE : HIPOTENUSA os e INVERSA DEL SENO CATETO OPUESTO A HIPOTENUSA se INVERSA DEL COSENO CATETO CONTIGUO A ot g CATETO CONTIGUO A INVERSA DE LA TANGENTE CATETO OPUESTO A tg En trigonometrí existen mus reliones entre ls rzones, un interesnte y muy utilizd es: tg CATETO OPUESTO A CATETO CONTIGUO A tg EJEMPLO_ Clul ls rzones del ángulo y el vlor en grdo minutos y segundo del propio. Ddo que el triángulo es retángulo lulmos el segundo teto plindo Pitágors: + = m Ls rzones trigonométris de serán: tg 8 7 ose 8 7 se otg 8 Pr lulr el ángulo, deemos reurrir l luldor. Dependiendo de modelos est operión se e on un orden u otro en el momento de teler los dtos en l luldor, plnteo quí el so más itul, pr otros modelos de luldor preguntr en lse o usr el lirito gordito que siempre viene on l propi luldor y que pone en su portd el siguiente título: Instruiones. Podemos utilizr ulquier de ls tres rzones, seno, oseno o tngente, ( sin, os y tn en l luldor), si utilizmos el seno deemos teler l seueni: SHIFT + SIN + (8:7) =, y el resultdo en pntll dee ser: 8º 0 0,9 que es el vlor del ángulo. Si no preier este vlor en pntll se puede deer vris rzones: No tenemos l luldor en modo DEG (grdos sexgesimles), puede ser que tengmos l luldor en modo RAD (rdines) 0 en modo GRA (grdos entesimles), pr dejr l luldor en modo DEG strí on pulsr l tel MODE dos vees y seleionr l opión DEG. Hemos teledo sin usr préntesis on l tel de friones de l luldor /.

5 º ESO ACADÉMICAS - APLICADAS TRIGONOMETRÍA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. COPIRRAI_Julio Césr Ad Mrtínez-Los Dependiendo del vlor de l rzón, si por ejemplo se quiere teler SHIFT + SIN + ( ) =, pero se tele SHIFT + SIN + : =, l luldor devuelve un mensje de ERROR, deido que intentdo lulr pr qué ángulo el seno es, 7, lo ul es imposile, pues el seno y el oseno siempre serán vlores del tipo ero y pio pues se otienen del oiente entre un teto y l ipotenus y est siempre es myor que ulquier de los dos tetos. (Veremos más delnte que el vlor del seno y del oseno se omprende entre - y, l tngente por su prte puede vler ulquier número). Deemos entender qué signifin ls rzones trigonométris, tn solo nos indin proporiones entre los ldos, sí un tngente igul, signifi que el teto opuesto y el teto ontiguo del triángulo deen ser igules, tg CATETO OPUESTO A CATETO CONTIGUO A CATETO OPUESTO A CATETO CONTIGUO A, lo ul nos llev deduir que esto solmente ourre undo se º, l mitd de un udrdo. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS CONOCIDOS Los tres prtdos de este punto, son pregunts onsiderds omo TEORÍA pr el exmen de l unidd, por tnto, l pedir en el exmen ls rzones de =0º, nos estremos refiriendo estos prtdos y l respuest del exmen dee ser un opi literl de lo que quí se dispone.. Rzones trigonométris de =0º Ddo un triángulo equilátero de ldo m, trzmos su ltur, omo se oserv en el diujo tenemos un triángulo retángulo on un ángulo de 0º y uyos ldos miden m, 0, m y m (ipotenus, teto menor y teto myor respetivmente). Ls rzones de =0º serán: sen 0º os 0º, pero desonoemos el vlor de, lo deemos lulr plindo el Teorem de Pitágors l triángulo retángulo y tendremos: tg 0º os 0º Así, ls rzones de =0º on sus respetivs inverss serán: sen 0º ose 0º os 0º se 0º tg 0º otg 0º * Dee tenerse en uent que ests expresiones se dn sin deimles y rionlizds.

6 º ESO ACADÉMICAS - APLICADAS TRIGONOMETRÍA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. COPIRRAI_Julio Césr Ad Mrtínez-Los. Rzones trigonométris de =60º Ddo un triángulo equilátero de ldo m, trzmos su ltur, omo se oserv en el diujo tenemos un triángulo retángulo on un ángulo de 60º y uyos ldos miden m, 0, m y m (ipotenus, teto menor y teto myor respetivmente). Ls rzones de =60º serán: sen 60º pero desonoemos el vlor de, lo deemos lulr plindo el Teorem de Pitágors l triángulo retángulo y tendremos: os 60º sen 60º Así, ls rzones de =60º on sus respetivs inverss serán: tg 60º sen 60º ose 60º os 60º se 60º tg 60º otg 60º * Dee tenerse en uent que ests expresiones se dn sin deimles y rionlizds.. Rzones trigonométris de =º Ddo un udrdo de ldo m, trzmos su digonl, omo se oserv en el diujo tenemos un triángulo retángulo on un ángulo de º y uyos ldos miden m, m y d m (teto,teto, son igules, e ipotenus, respetivmente). Ls rzones de =º serán: d d sen º pero desonoemos el vlor de d, lo deemos d lulr plindo el Teorem de Pitágors l triángulo retángulo y tendremos: sen º d os º Así, ls rzones de =º on sus respetivs inverss serán: tg º d sen º ose º os º se º tg º otg º * Dee tenerse en uent que ests expresiones se dn sin deimles y rionlizds. 6

7 º ESO ACADÉMICAS - APLICADAS TRIGONOMETRÍA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. COPIRRAI_Julio Césr Ad Mrtínez-Los RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO CUALQUIERA (AGUDOS O NO) NO APLICADAS Dd un irunfereni goniométri (irunfereni de rdio un unidd) se pueden soir d punto de l irunfereni el ángulo que form el rdio on l orizontl y ls dos oordends (x,y): y r y y x r x x CONCLUSIÓN: A prtir de or definimos: tg y r x r y r x r el seno de un ángulo en el irunfereni goniométri es l oordend y del punto soido. Luego el seno se mide en el eje y. el oseno de un ángulo en el irunfereni goniométri es l oordend x del punto soido. Luego el oseno se mide en el eje x. EJEMPLO_ Clul ls rzones del ángulo =0º onoids ls rzones de un ángulo del primer udrnte (=0º, =º o =60º). Ps rdines. 80 º πrd 0 π π En primer lugr lulmos l equivleni de =0º en rdines: rd 0 º rd 80 Aor oservmos el diujo, donde relionmos ls rzones de =0º on ls rzones onoids de =60º: sen 0º sen 60º (En el diujo l líne zul de puntos), quí ms rzones oiniden en vlor y en signo. os 0º os 60º (En el diujo l líne roj de puntos), quí ms rzones oiniden en vlor, pero no en signo. tg 0º sen0º sen 60º tg 60º, en este so pedimos os 0º - os 60º l expresión de l tngente de =0º referid su equivlente de =60º, por lo que deemos expresrlo omo en el ejemplo. Además indir que l tngente qued representd por el punto en el que l prolongión del ángulo to sore l ret prlel l eje y, que ps por el punto (,0), en este so se diujdo l tngente de =60º, que es, 7, mientrs que l tngente de =0º serí, 7. En unto ls rzones inverss tn solo ponemos su vlor y nd más: y x sen 0º ose 0º os 0º se 0º tg 0º otg 0º 7

8 º ESO ACADÉMICAS - APLICADAS TRIGONOMETRÍA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. COPIRRAI_Julio Césr Ad Mrtínez-Los Tmién podemos relionr ls rzones de =0º on ls rzones onoids de =0º, oservmos or el diujo, donde relionmos ls rzones de =0º on ls rzones onoids de =0º: sen 0º os 0º (En el diujo l líne zul de puntos), quí ms rzones oiniden en vlor y en signo. os 0º sen 0º (En el diujo l líne roj de puntos), quí ms rzones oiniden en vlor, pero no en signo. tg 0º sen0º os 0º otg 0º, en este so os 0º - sen 0º pedimos l expresión de l tngente de =0º referid su equivlente de =0º, por lo que deemos expresrlo omo en el ejemplo. En unto ls rzones inverss tn solo ponemos su vlor y nd más: sen 0º ose 0º os 0º se 0º tg 0º otg 0º Podemos ver que el resultdo finl es el mismo, pero segurmente es más intuitiv l relión existente entre ls rzones de =0º y ls rzones de =60º, que entre ls rzones de =0º y ls rzones de =0º. EJEMPLO_ Clul ls rzones del ángulo =0º. Ps rdines. 80 º 0 º πrd rd 0 π 0rd 80 En el so de los ángulos de 0º, 90º, 80º, 70º, no se omprn on ningún ángulo del primer udrnte, tn solo deemos ver uáles son ls oordends de su punto soido (,0) en el so de =0º, que son (sen, os) respetivmente. sen 0º 0 ose 0º NO EXISTE os 0º se 0º tg 0º 0 otg 0º NO EXISTE Ls rzones de =60º son ls misms que ls de =0º, siendo su equivlente en rdines =60º= rd: sen 60º 0 ose 60º NO EXISTE os 60º se 60º tg 60º 0 otg 60º NO EXISTE NOTA: Tener en uent que en l irunfereni se onsidern ángulos positivos los giros ontrrios l sentido de ls gujs del reloj y ángulos negtivos los giros on el sentido de ls gujs del reloj. Además undo un ángulo es myor de 60º, deemos quitrle ls vuelts enters y quedrnos on el resto omo vlor del ángulo. Por ejemplo, un ángulo de.0º se dee onsiderr omo un ángulo de 0º, pues: º vuelts 8

9 º ESO ACADÉMICAS - APLICADAS TRIGONOMETRÍA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. COPIRRAI_Julio Césr Ad Mrtínez-Los 6 SIGNO Y VALOR DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS (SOLAMENTE PRIMER CUADRANTE) 6. Signo 6. Vlor SENO: COSENO: TANGENTE: tg R COSECANTE: SECANTE: COTANGENTE: os e os e se se ot g R Todo lo nterior signifi en ristino : el seno y el oseno de un ángulo están entre menos uno y uno, nun pueden ser myor que uno ni menor que menos uno, es deir, no podrán ser,, o -. l osente y l sente de un ángulo serán o myor que uno o menor que menos uno, es deir, no podrán ser números de tipo ero y pio, 0 o -0. l tngente y l otngente de un ángulo pueden tomr ulquier vlor rel, ulquier número. NOTA: Según lo nterior, nun, repito nun, podremos deir que si tg, ddo que tg, entones sen = y os =, en este so relmente son sen = 0 6 y os = 0 8, omo veremos en el 0 6 siguiente prtdo, tenemos por tnto que: tg FÓRMULA FUNDAMENTAL Este prtdo junto on los tres prtdos del punto, son pregunts onsiderds omo TEORÍA pr el exmen de l unidd, por tnto, l pedir en el exmen l FÓRMULA FUNDAMENTAL, nos estremos refiriendo este prtdo y l respuest del exmen dee ser un opi literl de lo que quí se dispone. 7. Fórmul Fundmentl Ddo un triángulo retángulo, se umple: sen + os = DEMOSTRACIÓN: sen os Considerndo por Pitágors que: + = 9

10 º ESO ACADÉMICAS - APLICADAS TRIGONOMETRÍA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. COPIRRAI_Julio Césr Ad Mrtínez-Los EJEMPLO_ Compror que se umple l fórmul fundmentl =0º y =º. sen 0º + os 0º = sen º + os º = 7. Vriiones de l Fórmul Fundmentl NO APLICADAS L fórmul fundmentl se trnsform en otrs expresiones similres tn solo dividiendo l expresión por:. sen : ot g os e. os : tg se tg De ls dos expresiones, este ño utilizremos reudrd en rojo, pues ls otrs vienen dds en funión de l sente, l otngente y l osente y l ser rzones inverss no ls vmos utilizr. EJEMPLO_ Demuestr l siguiente iguldd trigonométri: tg ( sen ) = sen.ª FORMA: tg - - () () sen os - os - () ( ) Donde emos plido: () _ tg y por tnto tg () _ SACAR FACTOR COMÚN A sen () _ sen + os = sen = os ó os = sen.ª FORMA: tg - - () sen os Donde emos plido: () _ tg y por tnto tg () () _ sen + os = sen = os ó os = sen os os EJEMPLO_ Hll ls rzones trigonométris de, si tg y 80º 70º. Clul el vlor de. Utilizndo l fórmul fundmentl o su vrinte: tg, podemos resolver este so por dos forms:.ª FORMA: Si tg l fórmul fundmentl tendremos: os os 6 6 os 6 6, entones se umple que tg 6 6 III 6 Hy que indir que Є III, y que por eso tommos el oseno negtivo. Aor, y sustituyendo en lulmos el seno : 0

11 º ESO ACADÉMICAS - APLICADAS TRIGONOMETRÍA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. COPIRRAI_Julio Césr Ad Mrtínez-Los L soluión deemos dejrl expliitd de form muy lr omo en el siguiente udro: tg ose se otg os.ª FORMA: Si tg tg os os 6 os, y utilizndo l expresión tg 6 6 III 6 Hy que indir que Є III, y que por eso tommos el oseno negtivo., tendremos: Aor tg lulmos el seno L soluión deemos dejrl expliitd de form muy lr omo en el siguiente udro: : tg ose se otg Finlmente pr lulr el vlor del ángulo, usmos l luldor, telemos SHIFT + TAN + ( ) = (se pueden usr ls otrs dos rzones, seno o oseno, pero omo nos dn l tngente quí emos optdo por usr est rzón), l luldor nos devuelve el vlor 6º,6 que no es el ángulo usdo pues este orresponde l primer udrnte. Con l yud de un diujo podemos ver que y un segund opión que se otiene l sumr 80º ese vlor, siendo =6º,6, que sí es un ángulo del terer udrnte y podemos ompror on l luldor que su tngente vle 0,7, que el seno vle 0,6 y que el oseno vle 0,8. 8 ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS NO APLICADAS Ls euiones trigonométris son euiones en ls que preen expresiones de trigonometrí on l inógnit. Ls y de muy diferentes niveles de difiultd, pero pr este urso vmos er un introduión ls misms resolviendo ls más senills. Además l or de dr l soluión, solo l dremos en l primer vuelt. Tmién se puede dr l soluión generl, sumndo vuelts enters, lo ul se onsigue ñdiendo l soluión de l primer vuelt l expresión 60º k siendo k un número entero (kєz). Si se dier l soluión en rdines, se sum l expresión k, siendo k un número entero (kєz).

12 º ESO ACADÉMICAS - APLICADAS TRIGONOMETRÍA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. COPIRRAI_Julio Césr Ad Mrtínez-Los EJEMPLO_ Qué ángulos de l primer vuelt umplen:? Despejndo: sen 0º, que son ls soluiones en l primer 0º vuelt. Ests soluiones se otienen de l luldor o ojo si son onoids (0º, 0º, º, 60º, ) y on l yud de un diujo pr ver ls dos opiones que itulmente umplirán l mism ondiión, quí son 0º y tmién 0º. Si queremos dr l soluión generl sumndo vuelts enters serí: 0º 60º k on k Z, es deir, 0º y 0º y sus vuelts enters. 0º 60º k Si l soluión se dier en rdines: 9 TEOREMAS EN TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS π kπ 6 on k Z π kπ 6 MUY IMPORTANTE tener en uent que estos teorems únimente se pueden utilizr si el triángulo en el que se quiere plir son TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS. 9. Teorem de PITÁGORAS Ddo un triángulo retángulo se umple: + = No omentmos nd más. 9. Teorem del CATETO Pr plir este teorem mimos l posiión itul del triángulo retángulo y definimos n, m y : n _ es l proyeión del teto sore l ipotenus. m _ es l proyeión del teto sore l ipotenus. _ es l ltur sore l ipotenus. El teorem del teto die: El udrdo de un teto es igul l produto de l ipotenus por l proyeión de dio teto sore l ipotenus : = n ó = m 9. Teorem de l ALTURA Siguiendo el diujo del prtdo nterior, el teorem de l ltur die: El udrdo de l ltur sore l ipotenus es igul l produto de ls proyeiones de los tetos sore l ipotenus : = m n Estos dos teorems se sn en l semejnz de triángulos, los triángulos I, II, y III son semejntes, por ejemplo, el triángulo I es retángulo en C, el triángulo II es retángulo en P, demás tienen un ángulo en omún, el ángulo A, por ello tienen dos ángulos igules, entones son semejntes. Si son semejntes, (lo mismo ourre entre I y III y entre II y III) sus ldos son semejntes: Entre I y II se umple: n n n Entre I y III se umple: m m m Entre II y III se umple: n n m m m n

13 º ESO ACADÉMICAS - APLICADAS TRIGONOMETRÍA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. COPIRRAI_Julio Césr Ad Mrtínez-Los EJEMPLO_ Clul el vlor de ls letrs desonoids en el siguiente triángulo retángulo: En este triángulo podemos plir el teorem de Pitágors: + 8 = 0 + = 900 = 900 = 76 = m Aor podemos plir: Teorem del teto: = m, pero nos fltn ls tres inógnits. Teorem del teto: 0 = 8 = 0 m Teorem de l ltur: = 8 m = 8 m m = m = n + m m = 0 8 = m Pr lulr "", podemos plir: Teorem del teto: = 0 =.600 = 0 m. Teorem de Pitágors en triángulo medino: = + = =.600 = 0 m. Teorem de Pitágors en triángulo grnde: + 0 = 0 = =.600 = 0 m. Como vemos y mus opiones pr poder resolver estos prolems, se trt de ertr on el mino más orto, y siempre reordr que son teorems que solmente se pueden usr en triángulos retángulos. 0 TEOREMAS EN TRIÁNGULOS CUALESQUIERA NO APLICADAS 0. Teorem del SENO Ddo un triángulo ulquier se umple: sen  sen  sen Bˆ sen Bˆ sen Ĉ sen Ĉ sen  sen Bˆ sen Ĉ 0. Teorem del COSENO Ddo un triángulo ulquier se umple: os  Aplido los otros dos ldos será: os Bˆ os Ĉ

14 º ESO ACADÉMICAS - APLICADAS TRIGONOMETRÍA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. COPIRRAI_Julio Césr Ad Mrtínez-Los EJEMPLO_ Resolver el triángulo: = m, = m y  = 8º. RESOLVER un triángulo onsiste en lulr sus tres ldos y sus tres ángulos. El triángulo que usmos puede ser proximdmente omo este. Aplimos los teorems, empezmos por el teorem del SENO:, se ve que no se puede seguir. sen 8º sen Bˆ sen Ĉ Vmos l teorem del COSENO: = + os 8º 9,7,67 7,9 m Volvemos l teorem del SENO: 7 9 sen 8º sen Bˆ sen Ĉ sen Bˆ sen 8º 7,9 sen Ĉ sen 8º 7,9 0,97 0,6987 Bˆ 7º 9,0" Ĉ º 9,0" Normlmente el prolem estrí resuelto, pero se puede oservr que l soluión es imposile, puesto que:  Bˆ Ĉ 8º 7º 9,0" º 9,0" 80º El error viene del teorem del SENO, pues l lulr el ángulo Bˆ, relmente tenemos dos opiones, pues pr un seno de 0,97, se tiene un ángulo gudo de 7º 9,0 y un ángulo otuso de 07º 0,87, y en este so est es l soluión: Bˆ = 07º 0,87. Si se lul el ángulo Bˆ de form erróne, y luego el ángulo Ĉ por difereni st 80º, el prolem estrá ml, pero y osiones en ls que l suerte fvoree l infrtor pues el ángulo que se dee oger es el gudo y el prolem se resuelve orretmente, esto uier psdo quí si se omienz lulndo el ángulo Ĉ, pues l ser el seno igul 0,6987, los dos ángulos posiles son º 9,0 y por otr prte º 0,87 que unque junto on el ángulo  de 8º no se ps de 80º, no es el ángulo que permite onstruir el triángulo. En definitiv, pr evitr este error, serí onveniente no lulr el terer ángulo por difereni on 80º, o si se e, ompror l finl que se umple el teorem del seno. Otr opión es trjr on el teorem del oseno que no origin este error. L soluión de este prolem es: = 7,9 m, Bˆ = 07º 0,87 y Ĉ = º 9,0. L omproión del teorem del SENO onsiste en: 7 9 sen 8º sen07º 0,87" sen º 9,0",79 Además:  Bˆ Ĉ 8º 07º 0,87" º 9,0" 80º

15 º ESO ACADÉMICAS - APLICADAS TRIGONOMETRÍA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. COPIRRAI_Julio Césr Ad Mrtínez-Los NOTAS_ TRIGONOMETRÍA * SÍMBOLOS: _ Impli ó quiere deir ó supone que, l relión es iert de izquierd dere. _ Impli ó quiere deir ó supone que, l relión es iert de dere izquierd. _ Dole impli, l relión es iert en mos sentidos. _ Distinto _ Infinito _ Aproximdo _ Pertenee _ No pertenee / _ Tl que Π _ Tl que _ Existe _ No existe _ Alf β _ Bet _ Gmm > _ Myor que _ Myor o igul que < _ Menor que _ Menor o igul que \ _ Menos de onjuntos _ Conjunto vío * NÚMERO DE SOLUCIONES DE UNA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO Dd l euión: x + x + = 0 se tiene: x, puede tener dos, un o ero soluiones dependiendo del vlor del disriminnte = de l euión: - Si >0 > 0 Dos soluiones. - Si =0 = 0 Un soluión (soluión dole). - Si <0 < 0 Ningun soluión. * ECUACIONES INCOMPLETAS DE SEGUNDO GRADO Dd l euión x + x + = 0 se die inomplet undo: - =0 x + = 0, no es un euión de segundo grdo, es un euión de primer grdo. - =0 x + x = 0, se puede resolver plindo ftor omún: x (x + ) = 0 y el siguiente resultdo: A 0 A B 0 ó B 0 Si, supone que x x x 0 0 ó - x 0 x - =0 x + = 0, se puede resolver despejndo x x - =0 y =0 x = 0, se puede resolver despejndo x x = 0 * EXPRESIONES NOTABLES: ) (+) = + + ) ( ) = + ) (+) ( ) =

16 º ESO ACADÉMICAS - APLICADAS TRIGONOMETRÍA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. COPIRRAI_Julio Césr Ad Mrtínez-Los * PUNTOS Y RECTAS NOTABLES EN TRIÁNGULOS Meditries y irunentro MEDIATRIZ: es l ret perpendiulr un ldo por su punto medio. CIRCUNCENTRO: es el punto de orte de ls meditries, está situdo l mism distni de los tres vérties y es el entro de l irunfereni irunsrit. Bisetries e inentro BISECTRIZ: es l ret que divide un ángulo por l mitd. INCENTRO: es el punto de orte de ls isetries, está situdo l mism distni de los tres ldos, y es el entro de l irunfereni insrit. Medins y rientro MEDIANA: es l ret que une un vértie on el punto medio del ldo opuesto. BARICENTRO: es el punto de orte de ls medins. Es el punto de equilirio del triángulo. Se umple que desde el rientro un vértie y el dole de distni que del rientro l punto medio de ldo opuesto. Alturs y ortoentro ALTURA: es l ret perpendiulr desde un vértie st su ldo opuesto o su prolongión. ORTOCENTRO: es el punto de orte de ls lturs. No umple nd prtiulr. En un triángulo equilátero los utro puntos oiniden. Ls irunferenis insrits y irunsrits son onéntris. Meditriz, isetriz, medin y ltur son l mism ret. * ÁREA DE POLÍGONOS REGULARES 6

17 º ESO ACADÉMICAS - APLICADAS TRIGONOMETRÍA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. COPIRRAI_Julio Césr Ad Mrtínez-Los * ÁREAS Y LONGITUDES DE FIGURAS CIRCULARES *ÁREAS Y VOLÚMENES DE CUERPOS GEOMÉTRICOS Pr d uno de los uerpos estudidos, prism, pirámide, ilindro, ono y esfer vmos determinr ls fórmuls de sus áres y volúmenes. ÁREA BASE _ AB ÁREA LATERAL _ AL ÁREA TOTAL _ AT VOLUMEN _ V PRISMA AB P A B p se () AL P B prism AT = AB + AL V = AB prism PB: perímetro de l se Ap se: potem de l se (reordr solmente tienen potem los polígonos regulres, un retángulo no tiene) PIRÁMIDE AB P A B p se () AL AL P P B B A p pirámide r () AT = AB + AL V AB pirámide prism: ltur del prism Ap pirámide: potem de l pirámide, oinide on l ltur de l r r r: ltur de un r de l pirámide (suponemos que l se es un polígono regulr y tods sus rs son triángulos isóseles igules) CILINDRO AB = π r AT = AB + AL V = AB ilindro = AB g AL = π r () AT = π r + π r g V = π r g () AL = π r g () AT = π r (r + g) () V = π r () AT = AB + AL CONO AB = π r AL = π r g () AT = π r + π r g AT = π r (r + g) V AB ono ESFERA V = π r π r V () L fórmul se pli undo l se es un polígono regulr, triángulo equilátero, udrdo, pentágono regulr, exágono regulr Cundo l se se otr figur (triángulo no equilátero o retángulo, normlmente) deemos plir su fórmul prtiulr del áre de ests figurs. () En l pirámide l ltur de un r, tmién de denomin omo potem de l pirámide A ppir. () En el ilindro l ltur y l genertriz g oiniden y pueden preer en ls fórmuls de mner indiferente. () En el ono l ltur y l genertriz g no oiniden y no pueden preer en ls fórmuls de mner indiferente, deemos respetr est difereni. 7

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