3. PROPAGACIÓN DE ONDAS PLANAS.

Transcripción

1 Capos Ondas Vctor d Ponting Cap.6 3. PROPAGACIÓN D ONDAS PLANAS. n st capítulo s tratará la propagación d ondas planas n distintos dios, sindo stos dios hoogénos, isotrópicos linals, adás d no star acotados spacialnt. Las ondas planas son una buna aproiación a las ondas rals n la aoría d las situacions prácticas. Las ondas d radio, a una distancia suficint d la antna transisora o d suprficis rflctoras, pudn sr considras coo ondas planas, a qu su radio d curvatura s u grand. Muchos d los concptos aplicados a óptica pudn sr trasladados cuando s trabaja con ondas planas. La aoría d las ondas lctroagnéticas pudn sr considradas coo la suprposición d un conjunto d ondas planas, d odo tal qu l conociinto dl coportainto d las ondas planas, auda a rsolvr los problas plantados al tratar ondas ás copljas. n st capítulo s tndrán los conociintos sobr ondas planas, al studiar su propagación n divrsos dios DILÉCTRICOS Y CONDUCTORS. Ants d conzar a tratar la propagación n distintos dios, s convnint stablcr una clasificación d algunos d llos, diléctricos conductors. La sparación ntr diléctricos o aislants, conductors no stá u bin dfinida, algunos dios, la tirra por jplo, s considran conductors hasta cirtas frcuncias, diléctricos con pérdidas para frcuncias supriors. Toando la cuación d Mawll qu da las funts d rotacional d capo agnético, L d Apr odificada, trabajando con capos con variación snoidal n l tipo (fasors, s tin: H + j ω ε (1 l prir suando dl sgundo ibro, s la dnsidad d corrint d conducción, intras qu l sgundo ibro s la dnsidad d corrint d dsplazainto. La rlación ntr los ódulos d las dnsidads d corrint d conducción d dsplazainto, rsulta sr: J J c ( d ωε S stablc coo división ntr atrials conductors diléctricos, cuando la antrior rlación s igual a 1. sta lína divisoria, coo s v d la prsión, varía con la frcuncia. s posibl sr ás spcífico clasificar los dios coo prtncints a trs tipos, sgún la rlación ntr los ódulos d las dnsidads d corrints d conducción dsplazainto, a sabr: Diléctricos: ωε <, 1 (3 Cuasiconductors:, 1 < < 1 (4 ωε Conductors: > 1 (5 ωε Algunos autors avanzan aún ás, particionando a los cuasiconductors n diléctricos con pérdidas alos conductors. n los bunos conductors, tals coo los tals, la rlación /(ωε s u suprior a la unidad n todo l spctro d las radiofrcuncias. Tal s l caso dl cobr qu hasta frcuncias rlativant lvadas, 3. MHz, l valor d dicha rlación s d 3, Adás, n los bunos conductors, tanto ε coo ω son casi indpndints d la frcuncia. n los bunos diléctricos o aislants, la rlación /(ωε s ucho nor qu la unidad. Adás, para la aoría d los diléctricos, tanto ε coo ω son funcions d la frcuncia, aunqu la rlación /(ωε s prácticant constant dntro d cirto rango d frcuncias d intrés. La aoría d los atrials usados, o bin djan pasar fácilnt las corrints d conducción o vitan su circulación, s dcir s coportan coo conductors o coo diléctricos o aislants, cpto algunas cpcions ntr las qu cab ncionar por su iportancia práctica, sobr todo n radionlacs, a la tirra al agua dulc o salada, qu a bajas frcuncias son bunos conductors a altas frcuncias son bunos diléctricos. n la Figura 3-1 s ustra la rlación /(ωε para algunos atrials couns. Pág. 1

2 Capos Ondas Vctor d Ponting Cap.6 M /ωε 1 M Rgión conductora a b c d Rgión cuasiconductora Rgión diléctrica Visibl Raos X Frcuncias d radio bajas, dias altas Microondas Infrarrojo Ultraviolta N N (a Agua dulc (c Trrno rural ( Cobr Frcuncia 1 Hz (b Trrno urbano (d Agua d ar Figura 3-1. Rlación /(ωε ntr las dnsidads d corrints d conducción d dsplazainto, para distintos atrials, n función d la frcuncia. 3.. DSARROLLO GNRAL D LA CUACIÓN D PROPAGACIÓN. Para analizar la propagación d una onda plana dntro d un atrial diléctrico o conductor, s partirá d suponr qu la onda ha ingrsado al dio d alguna anra, qu a los fins d su studio no intrsa dtrinar. Más adlant s dsarrollarán los canisos d ingrso d las ondas a los dios, cuando s analic la rflión rfracción d ondas. Para dducir la cuación gnral d propagación n diléctricos conductors partiros d las siguints prsions: D H J+ (l d Apr odificada (6 B (l d Farada (7 J (8 B µ H (9 S supon qu n la onda lctroagnética plana, l capo léctrico stá linalnt polarizado n la dircción dl j, s propaga n l sntido dl j positivo. Introducindo las hipótsis antriors n las cuacions d Mawll para l rotacional d capo agnético, l d Apr odificada n su fora puntual, l rotacional d capo léctrico, l d Farada n su fora puntual, s tin qu: H + ε z (1 µ Hz (11 Difrnciando la prira cuación rspcto a t, la sgunda rspcto a, surg qu: ε H z (1 1 Hz (13 µ Dado qu l ordn d difrnciación no altra l rsultado final, por consiguint abas cuacions antriors tinn uno d sus ibros iguals, dspjado l cual rsulta sr: Pág.

3 Capos Ondas Vctor d Ponting Cap.6 1 ε (14 µ La antrior cuación rsulta sr la cuación d propagación d capo léctrico d una onda lctroagnética plana, dntro d un atrial diléctrico o conductor. Si s supon adás qu l capo léctrico tin una variación tporal dl tipo snoidal, coo s indica a continuación: jω t (15 Ralizando las drivadas prira sgunda n la cuación d propagación dl capo léctrico rsulta: 1 jω ω ε µ + (16 Rordnando los térinos s obtin: ( jω µ ω µε (17 Si ahora s dfin la constant d propagación coo: γ jωµ ω µε (18 Rsulta: γ (19 sta cuación s una fora siplificada d la cuación d propagación, n dond la variabl tipo no stá n fora plícita, a qu s ha supusto una variación tporal dl tipo arónica. Una solución para la onda incidnt d capo léctrico rsulta sr ntoncs: jω t γ ( Si s tin n cunta la cuación d Mawll qu da las funts d rotacional d capo léctrico, l d Farada n su fora puntual, tratada al coinzo d st punto, s incorpora la solución hallada para l capo léctrico, s obtin: µ Hz (1 Si ahora s ralizan las opracions atáticas prtinnts, drivacions intgracions, s ncontrará la solución para la onda d capo agnético, la cual rsulta sr: Hz γ ( jωµ n dond una vz ás, s ha pusto d anifisto la rlación ntr las ondas incidnts d capos léctrico agnético PROPAGACIÓN N MDIOS DILÉCTRICOS Propagación n dios diléctricos idals. l tratainto d la propagación d ondas lctroagnéticas planas n dios diléctricos idals (sin pérdidas, s siilar a lo a visto para l spacio libr (vacío, a qu st últio s un dio diléctrico idal. La única difrncia rspcto d lo a tratado radica n l hcho d qu los dios diléctricos idals posn una pritividad distinta d la dl vacío, hcho qu db sr tnido n cunta a qu afcta a la propagación d las ondas planas, variando la vlocidad d fas, ipdancia caractrística dl dio, índic d rfracción, tc., rspcto d los valors obtnidos para l vacío Propagación n dios diléctricos rals. Para analizar lo qu ocurr con la propagación d una onda plana dntro d un atrial diléctrico ral (con pérdidas s partirá d la cuación obtnida n l punto antrior Dsarrollo gnral d la cuación d propagación para dios diléctricos o conductors, qu s transcrib a continuación: Pág. 3

4 Capos Ondas Vctor d Ponting Cap.6 sindo jω t γ γ jωµ ω µε (3 (4 s dcir, coo la constant d propagación s d la fora: γ α + j β (5 la (1 rsulta: α j( ωt β (6 sindo α la constant d atnuación β la constant d fas. Pud obsrvars qu: 1 α (7 δ adás, d ( (3: µε α R jωµ ω µε ω 1+ 1 (8 ω ε µε β I jωµ ω µε ω (9 ω ε Para bunos diléctricos (bajas pérdidas, s cupl qu: <<1 (3 ωε n tals casos s posibl ralizar la siguint aproiación binóica: (31 ωε ωε dond s han usado los dos priros térinos dl dsarrollo binóico d la raíz cuadrada. Con lo qu la constant d atnuación, prsión (8, rsulta: µε µ α ω (3 ω ε ε Coo s pud aprciar, la constant d atnuación s pquña, al srlo la conductividad, tndindo a cro cuando ésta lo hac. s dcir, para un diléctrico idal, la constant d atnuación s nula. La constant d fas dada por (9, con la aproiación binóica (31 rsulta: µε + β ω ω µε 1 + (33 ω ε 8ω ε Coo s pud aprciar, l fcto producido por una ligra pérdida n l dio diléctrico ral con rspcto a un dio diléctrico idal, s añadir l sgundo suando d la cuación antrior, l cual tind a cro cuando la conductividad tind a cro, rsultando ntoncs l factor d fas corrspondint a un diléctrico idal. Coo las unidads d son voltios por tro las d H son aprios por tro, la rlación ntr las ondas incidnts d capos léctrico agnético tndrá dinsions d ipdancia, s dcir ohs, sgún la prsión ( rsulta: Z i H z jωµ γ jωµ jωµ ω µε ( jωµ jωµ ω µε jωµ + jωε qu s conoc coo ipdancia caractrística o ipdancia intrínsca dl dio. (34 Pág. 4

5 Capos Ondas Vctor d Ponting Cap.6 Qu para un diléctrico d bajas pérdidas s transfora n: Zi µ 1 ε 1+ jωε (35 cuación qu pud sr aproiada por pansión binóica n: µ j Z i 1 + (36 ε ωε Así, intras n un dio diléctrico idal o prfcto la ipdancia caractrística s rsistiva pura (capos léctrico agnético n fas tporalnt, para un dio diléctrico ral con bajas pérdidas la ipdancia caractrística s una agnitud coplja (l capo agnético atrasa ligrant n l tipo con rspcto al capo léctrico. Por supusto qu si la conductividad dl atrial diléctrico tind a cro, la ipdancia caractrística tind a sr ral. l ódulo o agnitud d la ipdancia intrínsca rsulta sr ntoncs: µ Z + i 1 (37 ε 4ω ε st ódulo rsulta sr igual a la ipdancia intrínsca d un dio diléctrico prfcto (sin pérdidas, ultiplicada por l factor, aor a la unidad pro u próio a lla. D las antriors considracions, sin ncsidad d jplificar nuéricant, pud concluirs qu l ódulo o agnitud d la ipdancia intrínsca d un dio diléctrico ral s infrior al corrspondint al vacío, tanto nor cuanto aor sa la pritividad, habida cunta qu n st dio la prabilidad s igual a la dl vacío. sto iplica qu la rlación ntr capo léctrico agnético s nor n un dio diléctrico qu n l vacío. l rlativant valor alto d la ipdancia intrínsca d un dio diléctrico, coparado a un dio conductor coo s vrá ás adlant, sugir qu l iso s coporta quivalntnt a un circuito abirto para las ondas lctroagnéticas Histérsis diléctrica. n atrials diléctricos, qu a su vz son bunos aisladors, la corrint continua d conducción pud sr dsprciabl. Sin bargo, si s aplica un capo léctrico arónico sobr stos atrials, pud llgar a aparcr una cantidad aprciabl d corrint n fas con st capo (corrint d conducción, dbido al fnóno dnoinado histérsis diléctrica, qu s análogo n su concpción a la histérsis agnética qu tin lugar n los atrials frroagnéticos. s así qu los atrials diléctricos, coo vidrios o plásticos, los cuals son noralnt bunos aisladors cuando s ncuntran sotidos a capos státicos, pudn llgar a consuir una cantidad aprciabl d nrgía cuando s los pon a capos variabls n l tipo. st caniso, por l cual s gnra calor, s usado n algunos procsos industrials para gnrar calor por radiofrcuncia. Si s rcurda ahora l caniso d polarización, s obsrva qu cuando un capo léctrico s aplicado a un átoo polarizabl léctricant, la nub d lctrons (carga léctrica ngativa d asa pquña s dsplaza ligrant rspcto dl núclo (carga léctrica positiva d asa considrabl, dando así orign a un onto léctrico dipolar, cua agnitud s: p Q l (38 sindo Q carga léctrica quivalnt l brazo dl dipolo (sparación ntr carga léctrica ngativa positiva, por cua prsncia s dic qu l átoo stá polarizado. Cuando l capo léctrico dsaparc, l átoo vulv a su stado inicial d rposo (no polarizado. Si s aplica ahora un capo léctrico, n sntido opusto al dl caso antrior, l dipolo léctrico s invirt. D sta anra, gnralizando, si s aplica un capo arónico n l tipo a st átoo polarizabl, l dipolo léctrico gnrado pasa por sucsivos stados d polarización, dando lugar a un onto dipolar qu, coo s vrá a continuación, tabién variará arónicant. n las antriors condicions s pud postular un sista cánico quivalnt, qu dscriba la variación dl brazo dipolar quivalnt (l, distancia rlativa ntr l cntro léctrico d la nub d lctrons l núclo. st sista cánico quivalnt stá constituido por una gran sfra (núclo dl átoo, unida a otra pquña sfra (nub d Pág. 5

6 Capos Ondas Vctor d Ponting Cap.6 lctrons, a través d un rsort. l átoo constitu así un sista lctrocánico d asa, coficint d aortiguainto o fricción d coficint d lasticidad o tnsión cánica s. l coportainto d un sista coo l dscrito, sta rgido por una cuación difrncial d sgundo ordn, qu s transcrib a continuación: l l jωt + d + sl q (39 t t Dond: l : Brazo dipolar. : Masa dl átoo. d : Coficint d aortiguainto o fricción. s : Coficint d lasticidad o tnsión. q : Carga léctrica dl núclo o d la nub lctrónica. Sindo l capo léctrico arónico igual a: jω t (4 l prir térino d la cuación difrncial antrior corrspond al producto asa-aclración, l sgundo térino corrspond al producto aortiguainto-vlocidad l trcr térino corrspond al producto lasticidaddsplazainto. l térino drcho d la antrior cuación difrncial corrspond a la furza aplicada q Furza pico, rsultant d la aplicación d un capo léctrico qu varia arónicant n l tipo. sta cuación tin dos solucions, la dnoinada solución prannt o d régin forzado, la dnoinada solución transitoria. La solución prannt s la siguint: l l jω t (41 Qu rplazado n la cuación difrncial, ralizando las corrspondints drivacions dspjando, rsulta: q l (4 d d ω + jω s 4 D la antrior cuación s dduc qu l onto dipolar por unidad d volun s: Nq jωt P N ql (43 d ( ω ω + jω Dond: ω d s 4 sindo: ω : Frcuncia natural o d rsonancia dl sista. N : Núro d átoos polarizados por unidad d volun. Por otra part, por dfinición, la constant diléctrica rsulta sr: P ε ε + (45 Pro al sr l capo léctrico una función arónica dl tipo, s dcir qu cupl con la prsión (4, la constant diléctrica rsulta: Nq ε ε + (46 d ( ω ω + jω (44 Pág. 6

7 Capos Ondas Vctor d Ponting Cap.6 Coo s pud aprciar n la cuación antrior, si s tin n cunta l fcto d la histérsis, la constant diléctrica, o pritividad, rsulta sr un núro copljo, l cual pud scribirs coo: ε ε ε (47 Dond: ( ω ω Nq ε ε ε 1+ (48 d ( ω + ω ω Nq ( ω ω ε (49 d ( ω ω + ω Abas parts d la pritividad, parts ral iaginaria, dpndn d la frcuncia. Si s scrib ahora la cuación d Mawll qu da cunta d las funts d rotacional dl capo intnsidad agnética H, l d Apr odificada, s tin: H + ε (5 Sindo la conductividad dl dio diléctrico. Si ahora s rplaza a la pritividad por l valor calculado para la isa, tnindo n cunta l fnóno d histérsis diléctrica, s raliza la drivada parcial tporal dl capo léctrico, la cuación d Mawll adopta la siguint fora: [ + jω ( ε jε ] j ω t H (51 Rordnando la antrior cuación s obtin: [( + ωε + jωε ] j ω t H (5 Rsulta vidnt d la antrior cuación qu l térino ωε" tin dinsions coportainto d conductancia. Por sta razón s dnoina conductancia quivalnt, al térino: + ω ε (53 Por razons siilars, al térino ε' s lo dnoina pritividad o constant diléctrica quivalnt. Por consiguint s pud scribir qu: H + j ω ε (54 n sta cuación s nota qu las funts d rotacional dl capo intnsidad agnética H sigun sindo una dnsidad d corrint d conducción n fas, una dnsidad d corrint d dsplazainto n cuadratura rspctivant con l capo léctrico aplicado PROPAGACIÓN N MDIOS CONDUCTORS. Las ondas lctroagnéticas s atnúan rápidant n dios conductors, tanto ás rápido cuanto aor s la frcuncia. La pntración d la onda quda confinada a una pquña porción dl atrial conductor, dando orign así al concpto d profundidad d pntración, l cual s d particular intrés. Para analizar lo qu ocurr con la propagación d una onda plana dntro d un atrial conductor s partirá d la cuación gnral ( obtnida para l caso arónico, qu s transcrib a continuación: jω t γ (55 Para bunos conductors, n dond s cupl la prsión (5: >>1 (56 ωε n st caso, la constant d propagación rsulta: ωµ γ jωµ ω µε jωµ ( 1+ j (57 Pág. 7

8 Capos Ondas Vctor d Ponting Cap.6 Coo s v, la constant d propagación tin una part ral otra iaginaria. La part ral stá asociada a la atnuación por llo s la dnoina constant d atnuación, intras qu la part iaginaria stá asociada a la fas por tal otivo s la dnoina constant d fas. Sustitundo stos valors d la constant d propagación n la onda d capo léctrico, s obtin: jωt ( 1+ j ω µ ω µ j ωt ω µ n dond l factor d atnuación d la onda stá dado por: ωµ Y l factor d fas stá dado por: j ω µ Si s rcurda la prsión hallada para l capo agnético, qu s transcrib a continuación: γ jωt γ Hz (61 jωµ Si ahora s ralizan los rplazos prtinnts, s obtin: H z ( 1+ j ωµ j ωt ω µ jωµ ω µ Las cuacions d las ondas d capos léctrico agnético dntro dl conductor, viajando n l sntido dl j positivo, stablcn qu dicho capo sufr una atnuación dl tipo ponncial un dsfasaj, abos funcions dl caino rcorrido por las ondas dntro dl atrial conductor Profundidad d pntración. Rsulta intrsant obtnr una dida cuantitativa d la pntración d una onda plana n un dio conductor. Si l dio conductor coinza n un plano ubicado n, la onda s propaga n l sntido d la positivas, la cuación d onda dl capo léctrico pud rscribirs d la siguint anra: jωt ( 1+ j δ δ j ( ωt δ (63 Dond: δ : profundidad d pntración 1/ o siplnt profundidad d pntración. : Capo n la suprfici dl atrial conductor (capo qu ingrsó n l atrial conductor. A una profundidad δ, la aplitud dl capo léctrico rsulta: 1 D st odo dcrc a 1/ (36,8% d su valor inicial, cuando la onda pntra una distancia δ. D aquí qu a sta constant s la dnoina profundidad d pntración. Sindo ωπƒ, la profundidad d pntración rsulta: 1 δ π f µ Para l cobr, sindo [Ω -1-1 ] µµ [H/], rsulta ntoncs: 661. δ f Si s valúa sta prsión para distintas frcuncias rsulta: δ para f5 Hz δ para f1 Mz δ para f3 Gz Así, intras qu a 5 Hz la profundidad d pntración s igual a 9,3, ésta dcrc con la frcuncia alcanzando valors tan bajos coo,38 µ para 3 GHz. s por sta razón qu a nudo s dscrib st fnóno coo fcto plicular. (58 (59 (6 (6 (64 (65 Pág. 8

9 Capos Ondas Vctor d Ponting Cap.6 Por lo pusto rsulta qu una onda lctroagnética d alta frcuncia pntra nos n un atrial conductor qu otra d baja frcuncia. st fnóno s siilar a lo qu acontc con una variación d tpratura n la suprfici d un conductor térico, n dond una variación brusca d tpratura pntra nos n l conductor qu otra ás lnta. D la isa anra pud hablars d otras profundidads d pntración, por jplo la profundidad d pntración 1% s aqulla distancia (pntración para la cual l capo léctrico (agnético dca al 1% d su valor suprficial. La vlocidad d fas d la onda stá dada por la rlación ω/β. n l caso aquí tratado la vlocidad d fas rsulta: v f ωδ ω µ Dado qu δ s pquño n un dio conductor, lo propio acontc con la vlocidad d fas. Adás, coo la vlocidad d fas dpnd d la frcuncia, l dio conductor s un dio disprsivo, coo la drivada v f λ s ngativa, l dio conductor rsulta sr anóalant disprsivo. Rcordando qu l índic d rfracción d un dio s la rlación ntr las vlocidads d la onda n l spacio libr n l dio, rsulta qu a bajas frcuncias, l índic d rfracción d un dio conductor s u lvado. La longitud d onda n l conductor pud sr hallada a través d la siguint prsión: λc f ωδ (67 Lo qu rsulta n: λc πδ (68 O sa qu la longitud d onda dntro d un conductor s π vcs la profundidad d pntración. s intrsant notar qu la aplitud d la onda dca a un 1% d su valor suprficial, cuando la onda a pntrado alrddor d 3/4 vcs su longitud d onda n l dio conductor. Dado qu la pntración s invrsant proporcional a la frcuncia, una hoja d atrial conductor actúa coo un filtro pasabajos para una onda lctroagnética IMPDANCIA D UN MDIO CONDUCTOR. l coportainto d un dio conductor frnt a una onda lctroagnética plana pud sr analizado bajo l punto d vista d la ipdancia caractrística. Una solución para la cuación d onda dl capo léctrico, adopta la siguint fora a vista: j( ωt γ (69 La solución para la onda d capo agnético srá ntoncs: j( ωt ξ γ H H (7 z n dond ξ s l rtardo d fas tporal dl capo agnético rspcto dl léctrico. La rlación ntr abos capos, dnoinada ipdancia intrínsca o ipdancia caractrística dl dio, rsulta sr: Z H H j ξ 1 j i + (71 z δ D acurdo a sta prsión, la agnitud o ódulo d la ipdancia caractrística s: Zi ωµ (7 H z Y l ángulo d fas d la ipdancia caractrística rsulta d (7: ξ 45 o Así, intras n un dio diléctrico prfcto la ipdancia caractrística s rsistiva pura (capos léctrico agnético n fas tporalnt, la ipdancia caractrística para un dio conductor s una cantidad coplja (l capo agnético atrasa 45 rspcto al capo léctrico. sta situación s análoga a la d un circuito contnindo una rsistncia n sri con un inductor, n dond la corrint (análoga al capo agnético atrasa rspcto a la tnsión (análoga al capo léctrico. (66 (73 Pág. 9

10 Capos Ondas Vctor d Ponting Cap.6 Rscribindo la ipdancia caractrística d un dio conductor, n función d su part rsistiva inductiva, rsulta: ωµ ωµ Z i R + j X + j (74 La antrior cuación pud sr rscrita d la siguint fora: j Zi 1+ µ µ ωε (75 εεr µ Dando coo rsultado: 1 j r r Zi + µ µ ωε ( 1+ j 66 6 ε εr. µ ωε εr (76 l ódulo o agnitud d la ipdancia intrínsca rsulta ntoncs: µ r ωε Z i (77 εr qu s igual a la ipdancia intrínsca d un dio diléctrico prfcto (sin pérdidas, ultiplicada por un factor qu tin n cunta las pérdidas. La rlación /(ωε a fu discutida antriornt n l apartado 3.1. Diléctricos conductors, concluéndos qu para bunos conductors s una agnitud u grand, por consiguint, su invrsa u pquña. n bas a stas considracions, sin ncsidad d jplificar nuéricant, s dduc qu para un dio conductor, la ipdancia intrínsca tin un ódulo pquño, rsulta infrior al corrspondint al vacío. sto iplica qu la rlación ntr capo léctrico agnético s nor para un dio conductor qu para l vacío. l pquño valor d la ipdancia intrínsca d un dio conductor sugir qu l iso s coporta coo un cortocircuito para las ondas lctroagnéticas PROPAGACIÓN N MDIOS IONIZADOS. n los puntos prvios s ha analizado la propagación d ondas planas n dios diléctricos, idals o rals, n dios conductors. Para tals dios istn constants bin dfinidas (básicant prabilidad, pritividad conductividad, qu dfinn su coportainto frnt a los capos léctrico agnético. Para la aoría d los atrials, los procsos intrnos son d tal copljidad qu sus constants son dtrinadas printalnt. S considrará ahora un dio constituido por un gas ionizado, dio d trascndntal iportancia para l studio d la propagación d ondas lctroagnéticas, sobr todo para las counicacions ralizadas a través d la ionósfra (capa d la atósfra trrstr, si bin n st caso tabién ha qu tnr n considración la prsncia dl capo agnético trrstr. Para l análisis qu s ralizará sobr la propagación d ondas planas n dios ionizados, s adoptarán cirtas hipótsis siplificatorias, a sabr: S adoptará un gas ionizado para l cual las dnsidads lctrónicas iónicas son sustancialnt iguals. Por tal otivo, a st gas ionizado s lo dnoina plasa. Las dnsidads lctrónicas iónicas no son altradas por la prsncia d la onda lctroagnética. sta hipótsis s asu coo válida a qu los capos son transvrsals unifors, d odo tal qu no ist agrupainto d partículas provocados por los capos. Los ions s considrarán inóvils, a qu su asa s 184 vcs suprior a la d los lctrons. La concntración d ions átoos nutrals s típicant u baja n los gass, los ontos dipolars agnéticos léctrico asociados provocan una u ligra variación d la prabilidad pritividad dl gas rspcto d aqullas corrspondints al vacío, sindo por tal otivo dsprciados stos fctos. Para capos d valor no tradant altos, l oviinto d los lctrons stá dtrinado por l capo léctrico solant, sin tnr n cunta la contribución dl capo agnético. s dcir qu n la cuación d furzas d Lorntz: Pág. 1

11 Capos Ondas Vctor d Ponting Cap.6 ( v d F ( + v B F + F (78 dt prpondra la dbida al capo léctrico, sindo s la agnitud d la carga d un lctrón. La rlación ntr las agnituds d las furzas agnética léctrica rsulta sr: F F vb (79 Pro: µ B µ H Z v i f Dond la rlación ntr la prabilidad la ipdancia intrínsca dl dio s ha rplazado por la invrsa d la vlocidad d fas. S vrá qu la vlocidad d fas n un dio ionizado s suprior a la dl vacío, d odo tal qu: F F v v v < f c (81 Sindo c la vlocidad d la luz n ausncia dl gas. La vlocidad dl lctrón s u infrior a la vlocidad d la onda, d odo tal qu la furza agnética sobr l lctrón pud sr dsprciada rspcto d la furza léctrica. sta siplificación s tnsivant usada n l studio d ondas n gass ionizados. Por otra part rsulta ncsario adcuar la l d furzas d Lorntz, para aplicarla a un prodio d lctrons ás qu a un sipl lctrón, introducindo un térino d furza qu tnga n cunta la pérdida prodio d nrgía dbido a las colisions d los lctrons con las oléculas dl gas. La furza s igual a la vlocidad d cabio dl onto cinético o cantidad d oviinto. S asu qu la totalidad dl onto d los lctrons s transfir a los átoos por dio d colisions inlásticas, qu la frcuncia d dichas colisions s ν. D st odo, la pérdida d onto cinético por unidad d tipo rsulta: v ν (8 ntoncs, si considra sta furza, s dsprcia la furza dbida al capo agnético, adás s supon qu la asa s constant, rsulta: dv vν (83 dt La drivada tporal total d la vlocidad rspcto dl tipo corrspond aplicarla a las partículas n oviinto, por lo tanto, a qu la vlocidad dpnd d la posición spacial dl tipo, pud sr dsglosada n las siguints drivadas parcials: dv v v v v z (84 dt z Dado qu las furzas aquí tratada son dbidas al capo léctrico asociado a una onda plana qu s supon propagándos n la dircción dl j z, rsulta qu los capos, n particular l léctrico, son transvrsals al sntido d propagación, qu todas las vlocidads son tabién n l sntido transvrsal. D st odo, l últio térino d la cuación antrior, contnindo la coponnt d la vlocidad sgún l j z, s nulo. Dbido a qu s supon uniforidad d los capos n l plano transvrsal (onda plana, las variacions d vlocidad rspcto d los js rsultan nulas. D lo antriornt pusto rsulta qu la drivada total parcial d la vlocidad rspcto dl tipo coincidn, s dcir: dv v (85 dt Por otra part, si l capo léctrico s un fasor qu varía snoidalnt con una pulsación angular w, s dcir qu: jω t (86 Lo propio acontcrá con la vlocidad, s dcir qu: v v jω t Rordnando ahora la cuación qu da la cantidad d oviinto, habida cunta d qu tanto l capo léctrico coo la vlocidad son fasors, la discusión ralizada acrca d la drivada total tporal d la vlocidad, rsulta: (8 (87 Pág. 11

12 Capos Ondas Vctor d Ponting Cap.6 v (88 ν jω ( + La dnsidad lctrónica no s altrada por l oviinto d los lctrons, dado qu todas las tractorias d los isos s ncuntran n planos transvrsals al sntido d propagación d la onda, por consiguint stán n planos parallos ntr sí. Por lo tanto, istirá una corrint d convcción cua dnsidad rsulta: J conv N Nv ν jω ( + Sindo N la dnsidad lctrónica (o iónica, a qu abas s supusiron iguals. Rcordando qu la cuación d Mawll qu da las funts d rotacional d capo léctrico, L d Farada puntual, s: jωµ H (9 Y qu la cuación d Mawll qu da las funts d rotacional d capo agnético, L d Apr Modificada, aplicada a st caso rsulta sr igual a la sua d las dnsidads d corrint d dsplazainto d convcción, a qu la d conducción s nula: Dond: N H jω ε + jωε (91 ( ν + jω ( ( 1 N N ν j ωε jωε + (9 ε ν + ω jωε ν + ω Pud prsars ahora la L d Apr odificada, tnindo n cunta las parts rals iaginarias d la pritividad coplja rsultant, d la siguint fora: H + j ω ε (93 Sindo rspctivant: 1 N ε ε ε ( + ν ω N ν ( ν + ω La conductividad, hallada diant l antrior análisis d la dscripción dl coportainto dl gas, tind a cro cuando lo propio hac la frcuncia d colisions d los lctrons. Adás, la pritividad dl gas tin un valor infrior d aqul corrspondint al vacío, tndindo a st valor cuando la frcuncia d colisions d los lctrons tind a cro. S considrará ahora un caso particular, pro d spcial intrés, corrspondint a la propagación d ondas planas n un gas ionizado n dond las colisions pudn sr dsprciadas. Para st caso rsulta: (96 ε 1 ω c ε ω Dond s dnoina pulsación angular d cort a: N ωc ε La constant d propagación al cuadrado rsulta sr: γ ω c j ω µ ε 1 (99 ω Para pulsacions angulars infriors a la d cort, la ipdancia intrínsca rsulta un núro iaginario, d tal anra qu l capo agnético stá 9 n atraso rspcto dl léctrico (la nrgía d la onda s purant (89 (94 (95 (97 (98 Pág. 1

13 Capos Ondas Vctor d Ponting Cap.6 ractiva. Para st caso, la constant d propagación s ral, la onda s atnúa localnt n l gas sin propagars, sindo la onda d capo léctrico: jωt α (1 Para pulsacions angulars supriors a la d cort, la ipdancia intrínsca rsulta sr un núro ral, d tal anra qu l capo agnético stá n fas con l léctrico (la nrgía d la onda s purant activa. Para st caso, la constant d propagación s iaginaria, la onda s propaga n l gas sin atnuars, sindo la onda d capo léctrico: jω t jβ (11 n la Figura 3.. s ustra l diagraa ω-ß para ondas planas transvrsals n un gas ionizado, su coparación con l vacío. 4 ω p ω 3ωp ω p gas ionizado 1ω p spacio libr c ωp ω p c ω 3 p c ω 4 p c Figura 3.. Diagraa ω-ß para un gas ionizado. S pud aprciar qu la vlocidad d fas, la cual stá dtrinada por la pndint d la lína qu un l orign con l punto corrspondint d la curva ω-ß, s sipr suprior qu la vlocidad d fas n l vacío (vlocidad d la luz. Dado qu la vlocidad d fas dpnd d la frcuncia, l dio s dl tipo disprsivo. Por lo tanto, la vlocidad d transisión d la inforación n la onda, s la vlocidad d grupo, la cual s corrspond con la pndint d la curva ω-ß, sipr infrior, o a lo suo igual, a la vlocidad d la luz. β Pág. 13