EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE SUCESIONES Y SERIES

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2 EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE SUCESIONES Y SERIES EDDY ABREU, AIDA MONTEZUMA Y JAIME RANGEL Uivrsidd Mtropolit, Crcs, Vzul, 7 Hcho l dpósito d Ly Dpósito Lgl: ISBN: Formto:, X 7,9 cms. Nº d págis: 7 Rsrvdos todos los drchos. Ni l totlidd i prt d st publicció pud rproducirs, rgistrrs o trsmitirs, por u sistm d rcuprció d iormció, igu orm i por igú mdio, s lctróico, mcáico, otoquímico, mgético o lctroóptico, por otocopi, grbció o culquir otro, si prmiso por scrito dl ditor.

3 Autoridds Hrá Azol Prsidt dl Cosjo Suprior Bjmí Schrikr Rctor Mrí dl Crm Lombo Vicrrctor Acdémic Mrí El Cdño Vicrrctor Admiistrtiv Miri Rodríguz d Mzo Scrtrio Grl Comité Editoril d Publiccios d poyo l ducció Pro. Robrto Réquiz Pro. Ntli Cstñó Pro. Mrio Eugui Pro. Humbrto Njim Pro. Ross Prís Pro. Alrdo Rodríguz Irzo Editor

4 A Fbi, Ori, Abll, Mikl y Mttis A.M. A Mri y mis Ágls dl Cilo E.A. A Vlti y Ágl J.R.

5 INTRODUCCIÓN L prst guí h sido disñd pr yudr los studits d Mtmátic III comprdr los tms d sucsios y sris qu s dict l curso. Est mtril stá scrito co u lguj prciso y scillo, pr cilitr su comprsió; coti jrcicios y problms rsultos, jrcicios y problms propustos co sus rspusts y problms pr rorzr l crtividd. Ejrcicios y problms rsultos pr qu los studits rlio sobr los distitos cocptos tóricos, propidds y torms básicos, pr qu dquir dstrzs, prcisió los cálculos y l rsolució d problms. Así mismo s prst jrcicios y problms itgrdors d coocimitos qu l prmit stblcr rlcios tr distitos cocptos mtmáticos. Ejrcicios y problms propustos co sus rspusts, cuy ilidd s qu l studit rvis y rurc los cocptos studidos, dquir dstrzs técics y comprub l progrso lczdo. Problms pr rorzr l crtividd qu l sr mos rutirios y rqurir u myor comprsió d los cocptos, y lguos co muchs solucios, plt u rto los studits y cotribuy lvr l ivl dl curso.

6 CONTENIDOS INTRODUCCIÓN... CONTENIDOS... EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS... 6 EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS... PROBLEMAS PARA REFORZAR LA CREATIVIDAD... 6 BIBLIOGRAFÍA... 7

7 Ejrcicios y problms rsultos. Clcul los sis primros térmios d l sucsió b Griqu los térmios obtidos l prt. c Prc tr límit l sucsió? Si s sí, clcúllo. Solució:,,, b c Si prc tr límit:. Dtrmi si l sucsió cuyo térmio ésimo s covrg o divrg. Si 7 covrg clcul su límit. Solució: E st cso, bstrí co clculr l límit. Obsrv qu tto l umrdor como l domidor tid iiito cudo tid iiito, pro si s divid l umrdor y l domidor tr s pud plicr los torms d límits y rsult:

8 Como l límit ist, l sucsió s covrgt, y covrg 7. l. Dtrmi si l sucsió cuyo térmio ésimo s covrg o divrg. Si covrg clcul su límit. Solució: Obsrv qu tto l umrdor como l domidor tid iiito cudo tid iiito, pro o s pud plicr l rgl d L Hopitl u sucsió. S l, co A l ució si s l pud plicr l rgl. l L H l Como, s ti qu y l sucsió s covrgt, y covrg.. Dtrmi si l sucsió cuyo térmio ésimo s covrg clcul su límit. covrg o divrg. Si l Solució: Obsrv qu tto l umrdor como l domidor tid iiito cudo tid iiito. S l L H, l 6 L H Como pr, s ti qu l y l sucsió s divrgt. Dtrmi si l sucsió covrg o divrg. Si covrg clcul su límit. 7

9 Solució: S, pr. Como l l l L H l l, ddo qu l ució pocil s cotiu, s ti qu Ddo qu pr, s ti qu covrg., y l sucsió 6. Dtrmi si l sucsió cuyo térmio ésimo s moóto. s moóto, o o s 7 Solució: y Obsrv qu y pr Por lo tto,, y coscuci y l sucsió s crcit, coscuci s moóto. Otr mr d studir l mootoí s diido u ució drivbl tl qu : S co, y studimos l sigo d l primr drivd:

10 9 Por lo tto, l ució s crcit pr, como l sucsió dd s crcit. 7. Dtrmi si l sucsió cuyo térmio ésimo s s crcit o dcrcit, o o s moóto. Solució: L solució dd o s moóto. Por qué? 8. Dtrmi si l sucsió s crcit o dcrcit, o o s moóto. Solució: S y., pr todo. E coscuci, l sucsió s crcit. 9. Dmustr qu l sucsió s dcrcit y stá cotd iriormt. b Qué s pud dducir dl rsultdo obtido. Solució: 8 pr Por lo tto,, coscuci y l sucsió s dcrcit. Obsrv qu pr tod y coscuci l sucsió stá cotd iriormt. b Como l sucsió s dcrcit y stá cotd iriormt s covrgt.

11 . Si l sucsió dd 9 s covrgt hll su límit. Solució: Obsrv qu tto l umrdor como l domidor tid iiito cudo tid iiito. S, co L H l l l l Por qué? Como s ti qu y l sucsió covrg.. Hll los cico primros térmios d l sucsió cuyo térmio ésimo s. b Dtrmi si l sucsió covrg o divrg. Si covrg clcul su límit. Solució: 9 6,, ,, 8 6 b Obsrv qu tid cudo tit iiito, y coscuci rsult u idtrmició d l orm. S, pr clculr l límit s hc y, y l y l l y l y Como l ució pocil s cotiu y. l l

12 Evlumos l : l l Por lo tto, L'H Como. s ti qu y l sucsió s covrgt y covrg. Escrib l órmul d rcurrci pr si los trs primros térmios d l sucsió so 6, 6 6, 6 6 6, y hll. Solució: Obsrv qu 6, 6, 6, grl s ti qu 6 y 6 pr Pr hllr l límit s supo qu. L, tocs s ti qu L cudo E coscuci, cudo, s obti D dod L 6 L L L 6 L L 6 L l solució gtiv s dscrt, por qué? Lugo,. Dtrmi si l sri cutr su sum. s covrgt o divrgt. Si s covrgt,

13 Solució: L sri covrg si su sucsió d sums prcils covrg: Como S ; S, S S ti qu S, S, S Dtrmimos u órmul pr S : Obsrv qu k k k k, lugo S Dtrmimos si l sucsió d sums prcils covrg: S Por lo tto, l sri covrg.. Dtrmi si l sri s covrgt o divrgt. Si s covrgt, cutr su sum. Solució: U codició pr qu l sri covrj s qu, obsrv qu E coscuci, l sri divrg.

14 . Dtrmi si l sri sum. Solució:,8 7 s covrgt o divrgt. Si s covrgt, cutr su L sri,8 7 vi dd por s u sri gométric d rzó,8,,8,8 y por lo tto covrg. Su sum, E coscuci, l sri,8 7 covrg,8 7 7, Dmustr, usdo l critrio d l itgrl, qu l sri rmóic divrg. Solució: S co,, s u ució cotiu, positiv y dcrcit vriíqulo, dmás. Evlumos d. d Por lo tto, l itgrl b b d d l l b l b b b l b b d divrg, coscuci l sri divrg. 7. Dmustr, usdo l critrio d l itgrl, qu l sri p, co p covrg. Solució:

15 S co,, s u ució cotiu, positiv y dcrcit, dmás p Evlumos d. d d b p p b d p p b b b p p b p p Como p s ti qu p y b b, por lo tto covrg, coscuci, l sri p, co p covrg. b d p b y l itgrl 8. Dtrmi si l sri s covrgt o divrgt. Solució: S, s u ució cotiu, positiv, y dmás s dcrcit y qu si Lugo, s pud plicr l critrio d l itgrl pr studir l covrgci d l sri b d d b b b b b b b b b b b * * Y qu b b L H b y b b b b Como l itgrl d covrg, l sri covrg. 9. Dtrmi si l sri s covrgt o divrgt. Solució:

16 Obsrv qu y L sri s u sri gométric d rzó y por lo tto divrg D y, por l critrio d comprció rsult qu l sri divrg.. Dtrmi si l sri 7 s covrgt o divrgt. Solució: Obsrv qu 7 y 7 S 7 y b 7. L sri s divrgt por qué? S vlú b, b Ddo qu l límit s iito y positivo y l sri divrg, por l critrio por comprció l límit l sri 7 divrg.

17 . Dtrmi si l sri s covrgt o divrgt. Solució: Rcurd qu si k y k b so covrgts tocs b k k k b s covrgt. L sri s u sri gométric d rzó co por lo tto covrg. L sri s u p sri co p, por lo tto covrg, como, por l critrio d comprció, l sri tmbié covrg. E coscuci, y covrg.. Dtrmi si l sri 7 s covrgt o divrgt. Si s covrgt, cutr su sum. Solució: L sri 7 covrg y qu covrg por l critrio d l p-sri, pro l sri 7 divrg, y qu s u sri gométric d rzó myor qu, por lo tto 7 divrg. Por qué?. Dtrmi si l sri 6 s covrgt o divrgt.! Solució: Evlumos 6

18 7! 6! 6! 6! 6! 6! 6 6 Como l límit s mor qu, por l critrio dl cocit l sri! 6 covrg.. Dtrmi si l sri s covrgt o divrgt. Solució: Por l critrio d l ríz, l sri covrg.. Dtrmi si l sri s covrgt o divrgt. Solució: L sri dd s u sri ltr No s obvio vr si. Pr vr si s dcrcit, s 8 6 pr tod Lugo, Y D, y, l sri dd s covrgt por l prub d l sri ltr.

19 6. Dtrmi si l sri!! s covrgt o divrgt. Evlumos!!!! Como l límit s myor qu, por l critrio dl cocit l sri!! divrg. 7. Dtrmi si l sri Solució: covrg codiciolmt o bsolutmt, o divrg. Estudimos l covrgci d l sri Obsrv qu y = L sri s u sri s u p-sri co p y por lo tto covrg D y, por l critrio d comprció rsult qu l sri sri covrg bsolutmt. covrg tocs l 8. Dtrmi si l sri l covrg codiciolmt o bsolutmt, o divrg. Solució: i L sri dd s u sri ltr 8

20 ii l l iii l D, y, l sri dd s covrgt por l prub d l sri ltr. Estudimos l covrgci d l sri Obsrv qu y l l = l l l L sri rmóic divrg, por critrio d comprció, l sri l por lo tto, l sri l covrg codiciolmt. = l divrg, 9. Dmustr qu l dciml iiito. s igul. Solució: Obsrv qu,,,,, Cosidr l sri covrg, st s u sri gométric d rzó, y por lo tto Pro E coscuci,

21 Y 9 Es dcir,. s igul.. Ecutr los vlors d pr los culs l sri 7 Solució: covrg. L sri dd s u sri gométric d rzó coscuci, covrg pr 7 7 y divrg pr 7, por lo tto covrg sólo pr los vlors d tls qu 7 7. Ecutr los vlors d pr los culs l sri covrg.! Solució: S y!!!!!! Por l critrio dl cocit, l sri covrg pr tod R.. Ecutr los vlors d pr los culs l sri Solució: covrg.

22 S y Por l critrio dl cocit, pr y si + Ddo qu = l critrio o port iormció. l sri covrg, pr l sri divrg Si l sri covrg, si ó l sri divrg. Flt studir cudo, s dcir, si ó Si s obti l sri critrio d l p-sri co p., l cul covrg por l Si s obti l sri covrg, l sri, como l sri d térmios positivos tmbié covrg. E coscuci, l sri covrg si y sólo si,.

23 S l ució diid por. Usdo u sri d potcis, coocid, hll l rprstció sri d potcis ctrd c pr l ució dd. Idiqu su itrvlo d covrgci. Solució: S sb qu l sri gométric ució sri d potcis s úic, E coscuci, 6 pr, como l rprstció d u pr Þ < Þ -< <. Usdo u sri d potcis, coocid, hll l rprstció sri d potcis d ctrd c pr l ució diid por itrvlo d covrgci., idiqu su b Us l rsultdo d l prt pr hllr l rprstció sri d potcis d l ució g diid por Solució: g. Idiqu su itrvlo d covrgci. = + = æ + ö = ç - - = æ ö ç è ø è ø å = æ - ö ç è ø

24 Est sri covrg sólo pr, s dcir, pr. El itrvlo d covrgci,. b - g = å = +, pr,. Usdo u sri d potcis, coocid, hll l rprstció sri d potcis d + pr l ució h diid por h = Solució:, idiqu su itrvlo d covrgci. + h Est sri covrg sólo pr -+ <. æ El itrvlo d covrgci -,- ö ç. è ø 6 Dd l ució diid por. Us sris d potcis, coocids, pr hllr u rprstció sri d potcis ctrd c d l ució dd. Idiqu su itrvlo d covrgci. Solució: Al dscompor rccios simpls, rsult:

25 B A Vriíqulo i Hllmos l sri corrspodit : pr ii Hllmos l sri corrspodit : pr D i y ii rsult:, pr 7. Us l sri gométric, pr pr obtr l sri d potcis d b l Solució: Obsrv qu ls sris d potcis pud sr drivds o itgrds térmio térmio dtro d su itrvlo d covrgci.

26 d d Como, pr obtr l sri corrspodit s driv los térmios d l sri corrspodit Lugo, : b Como l dt, pr obtr l sri corrspodit l s itgr t los térmios d l sri corrspodit Lugo, : l 8. Ecutr l sum S d Solució:. Dód s válid? s u sri gométric d rzó -, lugo Válid pr, s dcir, pr,6 S 6 9. Dtrmi l poliomio d Mcluri d ord pr l ució. Solució: ' '

27 6 Por lo tto, l sustituir l órmul dl poliomio d Mcluri d grdo : P!! ' ' ' S obti qu!!! P. Dtrmi l sri d Mcluri pr l ució. Solució: Dl jrcicio trior, s ti qu!!! Y srá válido pr todo u vz qu dmostrmos qu R, dod! c R pr lgú c tr y.!! c c R, pr lgú c tr y Como s u ució crcit, Si c c y!! R c Si y R Si c c y!! R c

28 Como s l térmio ésimo d u sri covrgt problm s ti qu! pr tod! dcir, R, por lo tto R y s igul l sum d su sri, s!!!!. Prub qu pr.!!! b Hll l sri d Mc-Lurí pr l ució G. Solució: Dl problm trior s obti qu! Podmos drmir ls sri d Mc-Lurí pr Lurí corrspodit por : multiplicdo l sri d Mc-!!!!!! L uv sri covrg pr tod covrg pr tod R. R, porqu l sri corrspodit b E st cso, pr obtr l sri corrspodit sustituimos por :!!!! Lugo, multiplicmos l sri corrspodit por G!!!!!! 7

29 L uv sri covrg pr tod R, porqu l sri corrspodit. Us l diició pr hllr l sri d Tylor ctrd cos. lo hc. π pr l ució d cos b S sb qu s y qu ls sris d potcis pud sr drivds d térmio térmio dtro d su itrvlo d covrgci. Us l rsultdo obtido l π prt prt obtr l dsrrollo sri d Tylor ctrd pr l ució s. Solució: æp ö = cos Þ ç = è ø ' s ' '' cos '' π ''' s ''' π cos Por lo tto, l sustituir l órmul d l sri d Tylor cos π π π ' π '' π! π π! S obti qu π π cos,!! Y srá válido pr todo u vz qu dmostrmos qu R. cos ó s Por lo tto, 8

30 9 pr tod R Y! π! c R Como! por sr l térmio ésimo d u sri covrgt hcrlo, R y cos s igul l sum d su sri, s dcir,! π cos, pr tod R. b d d cos s!! π s! π! π! π s, R

31 Ejrcicios y problms propustos E los problms dl l 6 dtrmi los cico primros térmios d l sucsió co l térmio ésimo ddo....!. cos. 6., Rspusts: 8 6 6,,,,,,,,,,,,,,,, 6 7 6,,,, 6,,,, 9 6 E los problms dl 7 l dtrmi l térmio grl mti l ptró d los cico térmios qu s d., supoido qu s ,,,, ,,,,. 6 8.,,,,, 8 7 6,,, ,,,,.,,, 8 6, Rspusts: ! E los problms dl l dtrmi si l sucsió co térmio ésimo ddo covrg o divrg. Si covrg clcul l límit ! 8.,! cos. cos

32 Rspusts: covrg divrg covrg 6 covrg 7 divrg 8 covrg 9 divrg covrg E los problms dl l 8 dtrmi si l sucsió co térmio ésimo ddo s moóto. Discut l istci d cots d l sucsió. Pr cos s Rspusts: dcrcit, stá cot supriormt por iriormt por crcit, stá cot supriormt por iriormt por o s moóto, stá cotd supriormt por iriormt por o s moóto, stá cotd supriormt por iriormt por crcit, stá cotd iriormt por y o ti cot suprior 6 crcit, stá cotd iriormt por y o ti cot suprior 7 o s moóto, stá cotd supriormt por iriormt por 8 crcit, cotd iriormt por y o ti cot suprior. 6 9 E los problms dl 9 l dtrmi si l irmció dd s vrddr o ls. Justiiqu su rspust. 9. Si covrg tocs covrg.. Si covrg tocs covrg cro.. Si y b covrg tocs b covrg.. divrg.. Si covrg tocs cudo

33 . Tod Sucsió cotd s covrgt Rspusts: 9 lso vrddro vrddro lso vrddro lso E los problms dl l 7 dtrmi los trs primros térmios o ulos d cd u d ls sris dds.. 6. l 7. cos Rspusts: l 8 7 l l E los problms dl 8 l 6 dtrmi ls siguits sris so covrgts o divrgts. Si covrg dtrmi su sum l cos 6. Rspusts: 8 divrg 9 divrg covrg divrg divrg divrg covrg divrg 6 divrg E los problms dl 7 l 67 dtrmi ls siguits sris so covrgts o divrgts.

34 l.! l...,. rct.!! 6. l 7. cos ! 6.! ! 67. s Rspusts: 7 covrg 8 divrg 9 covrg covrg covrg divrg divrg divrg covrg 6 covrg 7 covrg 8 covrg 9 divrg 6 covrg 6 divrg 6 covrg 6 covrg 6 divrg 6 covrg 66 covrg 67 covrg E los problms dl 68 l 7 dtrmi si ls sris covrg codiciolmt o bsolutmt, o divrg. 68.! s 7. Rspusts:

35 68 covrg bsolutmt 69 covrg bsolutmt 7 covrg codiciolmt 7 divrg 7 covrg bsolutmt 7 covrg codiciolmt. E los problms dl 7 l 77 prs l dciml priódico como u sri gométric, y prs su sum como l cocit d dos tros. 7., 7. Rspusts:, 76.,6 77., , 6 77 E los problms dl 78 l 86 cutr los vlors d pr los culs l sri covrg !! Rspusts: ó E los problms dl 87 l 9, us u sri coocid, pr hllr l rprstció sri d potcis ctrd l puto idicdo pr l ució dd. Idiqu su itrvlo d covrgci. 87., 88. 9, 89.,

36 9. 6, 9., 9., Rspusts: , 88, 89, 9 8 6, 7 9, 9, E los problms dl 9 l clcul l sri d Tylor corrspodit ució dd l puto idicdo Supog qu ti u dsrrollo sri d potcis y dtrmi l itrvlo d covrgci. 9. s, 9., 9. l, 96. rct, 97., 98. cos, 99. l,. cos, Rspusts: 9,! 9, 9, 96, 97,! 98,! 99,!,

37 Problms pr rorzr l crtividd. Costruy u sucsió dcrcit qu covrj. Justiiqu su rspust.. Costruy u sucsió crcit qu covrj. Justiiqu su rspust.. Dé u jmplo d dos sucsios y y tls qu y.. Costruy u sri gométric qu covrj 7. Justiiqu su rspust.. Dé u jmplo d dos sris y b divrgts tl qu b 6. Dé u jmplo d dos sris y b covrgts tl qu l sri, y y covrj. b divrg. 7. Por qué o s suicit pr grtizr l covrgci d l sri? 8. Costruy u sri d potcis d qu covrj pr rspust.. Justiiqu su Costruy u sri d potcis d qu covrj pr. Justiiqu su rspust.. Supog qu l sri d potcis b covrg. Por qué s pud sgurr qu covrg? S pud irmr qu tmbié covrg 6? Justiiqu su rspust.. Comprub qu, pr! b!. S p y q p, dmustr qu q p b q p p 6

38 BIBLIOGRAFÍA ANTON, H.,BIVENS, I. Y DAVIS, S. 9. Cálculo. Trscdts Tmprs. d. Méico: Limus, S.A. d C. V. Grupo Norig Editors. LARSON, HOSTETLER Y EDWARDS. 6. Cálculo I. 8 d. Méico: McGrw-Hill Itrmric LEITHOLD, L. 8. El Cálculo. 7 d. Méico: Oord Uivrsity Prss Méico, S.A. d C.V. PENNEY, E. 8. Cálculo co Trscdts Tmprs. 7 d. Méico: Prso Educció d Méico, S.A. d C. V PURCELL, E., VARBERG, D. Y RIGDON, S. 7. Cálculo. 9 d. Méico: Prso Educció d Méico, S.A. d C. V. STEWART, J.. Cálculo d vris Vribls. Trscdts Tmprs. 7 d. Méico: Cgg Lrig. THOMAS, G. 6. Cálculo U Vribl. d. Méico: Prso Educció d Méico, S.A. d C. V Yu-Tkuchi. 98 Sucsios y Sris Tomo I y II, Méico: Editoril Limus. 7

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