Teoría de Circuitos: circuitos RLC

Transcripción

1 Teoría de Circuitos: circuitos RLC Pablo Monzón Instituto de Ingeniería Eléctrica (IIE) Facultad de Ingeniería-Universidad de la República Uruguay Segundo semestre

2 Contenido 1 Introducción 2 Respuesta natural 3 Respuesta al escalón

3 Circuitos RLC Consideremos el circuito de la gura Circuito de segundo orden, conformado por una fuente alimentando la serie de una resistencia, una bobina y un condensador. Trataremos de hallar la salida v o (t) en función del tiempo, para una entrada de tipo escalón. Las conclusiones que obtendremos tienen alcance más general, para circuitos RLC de distintas conguraciones.

4 Escalón de Heaviside (no está denido en el origen) 0, t < 0 Y (t) = 1, t > 0

5 Circuitos RLC Escribamos las ecuaciones del circuito v i (t) = v R (t) + v L (t) + v C (t) con v C = v o, v R = R.i, v L = L di dt y i = C dvo dt. v i = RC dv o dt + LC d2 v o dt 2 + v o

6 Circuitos RLC Ecuación diferencial del circuito d 2 v o dt 2 + R L dv o dt + 1 LC v o = 1 LC v i con condición inicial v o (0) = v Co (condición inicial del condensador) y dv dt (0) = i L0 C (condición inicial de la bobina).

7 Circuitos RLC Resolución del circuito d 2 v o dt 2 + R L dv o dt + 1 LC v o = 1 LC v i Para hallar la respuesta completa del circuito, tenemos que ver los efectos de las condiciones iniciales y el efecto de la entrada. Aplicamos superposición. Primero miramos cómo actúan las condiciones iniciales (respuesta natural o propia).

8 Respuesta natural d 2 v o dt 2 + R L dv o dt + 1 LC v o = 0 Planteamos la ecuación característica de la ecuación diferencial λ 2 + R L λ + 1 LC = 0 λ 1,2 = R 2L ± 1 2 que puede re-escribirse como (R L ) 2 4 LC λ 1,2 = R 2L ± ( R 2L con α = R 2L rad/s y ω n = 1 LC rad/s. La solución es ) 2 1 LC = α ± α 2 ω 2 n v o (t) = Y (t). [ A 1 e λ1t + A 2 e λ2t]

9 Respuesta natural d 2 v o dt 2 + R L dv o dt + 1 LC v o = 0 λ 1,2 = α ± α 2 ω 2 n, α = R 2L rad/s, ω n = 1 LC rad/s α > ω n Dos raíces reales distintas, negativas. [ ( ) ( ) ] α+ α v o (t) = Y (t). A 1 e 2 ωn 2 t α α + A2 e 2 ωn 2 t La tensión se va a cero exponencialmente, sin oscilaciones. Decimos que el sistema es sobreamortiguado.

10 Sistema sobreamortiguado

11 Respuesta natural d 2 v o dt 2 + R L dv o dt + 1 LC v o = 0 λ 1,2 = α ± α 2 ω 2 n, α = R 2L rad/s, ω n = 1 LC rad/s α = ω n Una raiz real doble, negativa. v o (t) = Y (t). [ A 1 e αt + A 2 t.e αt] La tensión se va a cero exponencialmente, sin oscilaciones. Decimos que el sistema es críticamente amortiguado.

12 Sistema críticamente amortiguado

13 Respuesta natural d 2 v o dt 2 + R L dv o dt + 1 LC v o = 0 λ 1,2 = α ± α 2 ω 2 n, α = R 2L rad/s, ω n = 1 LC rad/s α < ω n Dos raíces complejas conjugadas, con parte real negativa. [ ( α+j ) ωn v o (t) = Y (t). A 1 e 2 α2 t ( α j ) ] ω + n A2 e 2 α2 t v o (t) = Y (t).e αt [ A 1 e j ω 2 n α2t + A 2 e j ω 2 n α2 t ] La tensión se va a cero exponencialmente, con oscilaciones!! Decimos que el sistema es subamortiguado.

14 Sistema subamortiguado

15 Respuesta natural

16 Respuesta natural - diagramas de Bode

17 Respuesta el escalón Resolución del circuito d 2 v o dt 2 + R L dv o dt + 1 LC v o = 1 LC v i Hallemos ahora la respuesta al escalón, asumiendo condiciones iniciales nulas. La respuesta completa será la suma de las respuestas natural y forzada.

18 Respuesta el escalón Resolución del circuito d 2 v o dt 2 + R L dv o dt + 1 LC v o = 1 LC v i Observemos que la solución v op (t) = Y (t) verica la ecuación diferencial para t positivo. v o (t) = Y (t) [ 1 + A 1 e λ1t + A 2 e λ2t]

19 Respuesta al escalón v i (t) = K.Y (t)

20 Comentarios Comentarios Los sistemas de segundo orden, como los del circuito RLC, tiene una dinámica relativamente sencilla de estudiar. Son representativos de muchas otras dinámicas, por lo que conocerlos aporta a analizar otros circuitos más complejos. Para conocer la respuesta a otras entradas distintas de la del escalón la cosa se complica y se precisan herramientas más potentes.