Tema 3. Estadísticos univariados: tendencia central, variabilidad, asimetría y curtosis

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1 Tema. Estadístcos unvarados: tendenca central, varabldad, asmetría y curtoss 1. MEDIDA DE TEDECIA CETRAL La meda artmétca La medana La moda Comparacón entre las meddas de tendenca central. MEDIDA DE VARIACIÓ La varanza y la desvacón típca Otras meddas de varacón. PROPIEDADE DE LA MEDIA Y LA VARIAZA. AIMETRÍA Y CURTOI 5. EJERCICIO Bblografía: Tema (pág ) Ejerccos recomendados: 1,,, 5, 8, 9, 11, 1, 1, 18, 19, 0,,, 5, 7, 8 y 0. Carmen ménez 1

2 1. MEDIDA DE TEDECIA CETRAL LA MEDIA ARITMÉTICA, Informa sobre la tendenca general de la varable en una muestra de sujetos Fórmula: 55 Ejemplo 1: :, 5,, 5. Donde: - La meda artmétca es el índce de tendenca central más utlzado. - ólo puede calcularse para varables cuanttatvas - Es muy sensble a valores extremos (dstrbucones marcadamente asmétrcas) Conocda, las puntuacones (o puntuacones drectas) pueden expresarse como desvacones a la meda grupal. Esto es, como las denomnadas Puntuacones dferencales: x Con los datos del Ejemplo 1, x: Donde: ( ) 0 (o ben x = 0). Por tanto, x 0 ( ) 0... (o ben x 0) Con los datos del Ejemplo 1: x = = 6 LA MEDIAA, Mdn Puntuacón en que dvde la dstrbucón en dos partes guales: deja por debajo y por encma de sí al 50% de las observacones Cálculo: Ejemplo : 7, 11, 6, 5, 7, 1, 9, 8, 10, 6, 9. 1º. e ordenan los datos de menor a mayor: 5, 6, 6, 7, 7, 8, 9, 9, 10, 11, 1. º. es mpar: Mdn = valor central. En el Ejemplo, Mdn = 8 Mdn1 Mdn es par: Mdn = meda artmétca de los valores centrales: º. Mdn tambén puede obtenerse calculando el centl 50 de la dstrbucón. Mdn se dferenca de en que no se ve afectada por los valores extremos que pueda tomar la varable LA MODA, Mo Valor de la varable que más aparece en nuestros datos (el que obtene la mayor frecuenca absoluta n ) En el Ejemplo 1: :, 5,, 5. Donde Mo = 5. * hay dos valores de con la n mayor, la dstrbucón es bmodal (s estos valores son cercanos, para calcular Mo puede hallarse la meda de ambos). Carmen ménez

3 COMPARACIÓ ETRE LA MEDIDA DE TEDECIA CETRAL Crteros a segur: 1º. (entre otras razones porque es el mejor estmador del parámetro poblaconal ). º. no puede calcularse (p.e. varables ordnales, valores extremos) obtener Mdn. º. no puede obtenerse Mdn (p.e. datos nomnales, ntervalos abertos con más del 50% de sujetos) obtener Mo. En algunos casos los tres ndcadores pueden dar valores smlares pero no necesaramente ha de ser así. Mdn = = Mo solo s la dstrbucón es smétrca: Mdn Mo metría Asmetría postva Asmetría negatva. MEDIDA DE VARIACIÓ Para consegur una vsón completa y comprensva de los datos obtendos hay que complementar las meddas de tendenca central con otros estadístcos que reflejen otras propedades. Por ejemplo, el grado en que los datos se parecen o dferencan entre sí, propedad que se denomna varabldad o varacón. Ejemplo. Consderemos los sguentes datos en para los grupos A y B: Totales: Medas: A : A 10 B : B 10 Las medas en A e B son guales, pero on los datos smlares? Para cuantfcar esta varacón podemos calcular la meda de las dstancas al cuadrado de las puntuacones a la meda (la varanza). Es decr: Totales: Medas: x A : x B : x A : x B : ,8 Carmen ménez

4 La Varanza, Es el promedo de las dstancas al cuadrado desde los valores en hasta la meda (es decr, de las puntuacones dferencales al cuadrado) en una muestra de n sujetos. Fórmulas: Fórmula alternatva: ( ) x En el Ejemplo 1: :, 5,, 5. x : 0, 1, -, 1. x : 0, 1,, 1. La Desvacón Típca, 011 1, 5 O ben: En el Ejemplo 1: 1,5 1, La Cuasvaranza, ( ) Propedades: OTRA MEDIDA DE VARIACIÓ Ampltud total o rango: ; -1 A T = máx - mín Coefcente de varacón: CV 100. PROPIEDADE DE LA MEDIA Y DE LA VARIAZA 1. puede tomar cualquer valor mentras que valor mínmo 0. (en puntuacones dferencales) ( ) ( -1) ,5 y son sempre postvas, sendo su. tenemos una msma varable que ha sdo medda en k grupos y conocemos las medas y varanzas en cada grupo, entonces podemos calcular los estadístcos globales: k 1 k T Ejemplo : k 5 ( ) j j j j T T 5 6 j j 6() () (5) 6,15 6() (5) (6) 6(,15) (,15) (5,15) 6,5 1 1 T e utlza más que la varanza porque al calcular la raíz cuadrada se retoman las undades de medda orgnales para resumr las dstancas entre las y la. Carmen ménez T

5 . AIMETRÍA Y CURTOI Además de la tendenca central y la varacón, hay otras dos característcas que nos permten descrbr una dstrbucón de frecuencas. Tenen que ver con la forma de la dstrbucón. e trata de la asmetría y la curtoss. Índce de asmetría La asmetría de una dstrbucón hace referenca al grado en que los datos se reparten por encma y por debajo de la tendenca central. x Índce: As. Donde, x ( ) A B C ITERPRETACIÓ: A. As > 0: Asmetría postva B. As = 0: metría C. As < 0: Asmetría negatva * ota: el índce mostrado es el más común, aunque sólo puede calcularse para varables donde pueda obtenerse la meda y la varanza (cuanttatvas). Índce de curtoss La curtoss hace referenca al grado de apuntamento de una dstrbucón. Índce: x Cr. Donde, x ( ) A B C ITERPRETACIÓ: A. Cr > 0: dstrbucón Leptocúrtca B. Cr = 0: dstrbucón Mesocúrtca C. Cr < 0: dstrbucón Platcúrtca Ejemplo 5 x x x x : Meda: = Varanza: = 6 =,5 x As 0,8 ; ()(,5 ) 8 x Cr - 1 ()(,5 ) 88 Carmen ménez 5

6 5. EJERCICIO EJERCICIO x = - x = ( - ) : 1. Calcule la meda de. Rellene los huecos de la tabla EJERCICIO Calcule la medana y la meda en los sguentes conjuntos de datos: a) 5, 6, 7, 7, 8, 9, 9, 10, 10 b) 1, 1, 1, 1, 15, 16, 16, 17 c),,, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 155 EJERCICIO n 1 n n n Calcule la moda para cada una de las dstrbucones que aparecen en la tabla: EJERCICIO Obtenga la varanza en cada uno de los sguentes conjuntos de datos: : 7 5 x: x : Y: y: y : W: 1, 1,7 1,6 1, 1,5 7,5 w: -0, 0, 0,1-0,1 0 w : EJERCICIO 5 e evalúa el nvel de tabaqusmo en una muestra de varones y 5 mujeres. Género Tabaqusmo ( ) V V V M 7 M 5 M M 10 M 6 1. Calcule la meda y varanza para mujeres y varones (por separado). Calcule la meda y la varanza para el grupo total (aplcando las propedades). Qué grupo es más homogéneo? Carmen ménez 6

7 EJERCICIO 6 La dreccón general de tráfco está nteresada en estudar la educacón val en los jóvenes. Para ello seleccona una muestra aleatora de sujetos que acaban de obtener el carnet de conducr (grupo 1) y otra con sujetos que lo tenen hace 5 años (grupo ) y regstra el nº de veces que han perddo puntos en el últmo año. Los resultados se muestran a contnuacón: Grupo 1: 1 1. Grupo : , ,5 1 1 Calcule los índces de asmetría y curtoss para cada grupo y elabore la representacón gráfca de las dos dstrbucones en una sola gráfca. Interprete los resultados obtendos. Carmen ménez 7