MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL CON EXCEL

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1 ) MEDIA ARITMÉTICA MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL CON EXCEL Las medidas de tedecia cetral so medidas represetativas que como su ombre lo idica, tiede a ubicarse hacia el cetro del cojuto de datos, es decir, ua medida de tedecia cetral idetiica el valor del dato cetral alrededor de cual se cetra los demás datos, siedo la media aritmética ua de aquellas medidas. La medida aritmética, a igual que cualquier otra medida de datos estadísticos, cuado se calcula a ivel de toda la població, se deomia parámetro, como por ejemplo, la caliicació promedio e el eame de admisió de todos los estudiates que igresa a la Uiversidad UTN al primer semestre del presete año lectivo. Pero si se calcula basada e muestras, se deomia estadígrao o estadístico, como por ejemplo, la caliicació promedio e el eame de admisió de estudiates de colegios iscales que igresa a la Uiversidad UTN al primer semestre del presete año lectivo..) MEDIA ARITMÉTICA SIMPLE..) Deiició Es la medida de tedecia cetral más utilizada por lo geeral se ubica hacia el cetro de distribució estadística...) Métodos de Cálculo a) Para Datos si Agrupar La media de ua població es el parámetro (que se proucia miu). Si hay N observacioes e el cojuto de datos de la població, la media se calcula así: La media de ua muestra es u estadístico (que se lee barra ). Co observacioes e el cojuto de datos de la muestra (,,. ), la media se determia así: b) Para Datos Agrupados e Tablas de Frecuecias.- Cuado ua serie se la agrupa e serie simple co recuecias para obteer la media aritmética, se multiplica la variable por la recuecia respectiva (), luego se obtiee la suma de todos estos productos y luego a este valor se lo divide para el úmero de elemetos (). Todo esto puede represetarse mediate ua órmula matemática, así: Dode es la recuecia total (o sea, el úmero total de casos) c) Para Datos Agrupados e Itervalos.- Cuado ua serie se la agrupa e itervalos para obteer la media aritmética, se multiplica la marca de clase de itervalo (m) por la recuecia respectiva (), luego se obtiee la suma de todos estos productos y luego a este valor se lo divide para el úmero de elemetos. Todo esto puede represetarse mediate ua órmula matemática, así Medidas de Tedecia Cetral

2 Ejemplo ilustrativo Calcular la media aritmética de las siguietes caliicacioes de Estadística tomadas de ua muestra de 0, si agrupar, agrupado e tablas de recuecias y agrupado e itervalos. 4, 8, 0, 0, 5, 0, 9, 8, 6, 8, 0, 8, 5, 7, 4, 4, 8, 8, 6 y 6 Solució: ) Si agrupar E Ecel se calcula isertado la ució PROMEDIO: ) Agrupado e tablas de recuecias Además presetar los datos e u diagrama de sectores Total 0 Medidas de Tedecia Cetral

3 3) Agrupado e itervalos Itervalos m , , , ,5 Nota: Cuado se agrupa e itervalos los cálculos so sólo aproimacioes E Ecel se calcula isertado la ució: SUMAPRODUCTO (C7:C30;D7:D30)/SUMA(C7:C30) como se muestra e la siguiete igura: Nota: La pricipal propiedad de la media aritmética es: La suma algebraica de las desviacioes de u cojuto de datos respecto de su media aritmética es cero Si es u dato, su desviació respecto a es la dierecia -. La suma de estas dierecias es 0. Para datos si agrupar:( ) Para datos agrupados e tablas de recuecias: ( ) Para datos agrupados e itervalos: ( ) Medidas de Tedecia Cetral 3

4 Empleado los datos del ejemplo aterior se comprueba la pricipal propiedad de la media aritmética: m ( ) ,5 5(4,5-7,5) = ,5 4(6,5-7,5) = ,5 7(8,5-7,5) = ,5 4(0,5-7,5) = Suma 0.) MEDIA ARITMÉTICA PONDERADA Cuado los úmeros,, 3,. k se les asocia ciertos actores peso (o pesos) w, w, w 3,.w k, depedietes de la relevacia asigada a cada úmero, e tal caso se requiere calcular la media aritmética poderada, la cual se calcula así: Ejemplo ilustrativo: Se tiee ua iormació acerca de las utilidades por pa y catidades vedidas de paes de tres tiedas. Calcular la media aritmética promedio de la utilidad por pa. Tieda Utilidad/pa Catidad vedida 000 0, ,9 00 Solució: E Ecel se calcula isertado de la siguiete maera: Se isertar la ució: SUMAPRODUCTO (B36:B38;C36:C38)/SUMA(C36:C38) Medidas de Tedecia Cetral 4

5 ) MEDIA GEOMÉTRICA.) PROPIEDADES - La media geométrica proporcioa ua medida precisa de u cambio porcetual promedio e ua serie de úmeros. - Se utiliza co más recuecia para calcular la tasa de crecimieto porcetual promedio de series de datos, a través del tiempo. - Es ua medida de tedecia cetral por lo geeral meor que la media aritmética salvo e el etraño caso e que todos los icremetos porcetuales sea iguales, etoces las dos medias será iguales. - Se le deie como la raíz eésima del producto de valores. Cuado los datos so bastates o catidades grades, para acilitar el cálculo se lo debe simpliicar pero si alterar su aturaleza, para lo cual se puede utilizar los logaritmos de base 0..) MÉTODOS DE CÁLCULO...) Para Datos No Agrupados Se emplea la ecuació: G 3 O aplicado logaritmos la ecuació: log log log 3...log log G Ejemplo ilustrativo N La media geométrica es útil e el cálculo de tasas de crecimieto; por ejemplo, si el crecimieto de las vetas e u pequeño egocio so 3%, 4%,8%,9% y 0%, hallar la media de crecimieto. Solució: G 3 G ,8 Respuesta: 6,8% Utilizado logaritmos: log3 log 4 log8 log9 log0 log G 5 0,477 0,60 0,903 0,954 log G 5 3,9365 log G 5 log G 0,7873 G atilog0,7873 G 6,8 Medidas de Tedecia Cetral 5

6 Empleado Ecel se calcula isertado la ució MEDIA.GEOM. Ejemplo ilustrativo N Calcular la tasa de crecimieto promedio a la que ha variado las vetas de cierto producto co base a la siguiete tabla: Mes Eero Febrero Marzo Abril Mayo Juio Vetas Solució: Es ecesario calcular el porcetaje que las vetas de cada mes represeta respecto de los obteidos el mes aterior. Mes Vetas Porcetaje del mes aterior Eero 500 Febrero /500=,00 Marzo /550=,09 Abril /600=,67 Mayo /700=,43 Juio /800=,063 Calculado la media geométrica se obtiee: G = 3 G = 5,00,09,67,43, 063 G =, Restado para covertirlo a u icremeto mesual promedio da,- =0,, o u icremeto promedio de,% para el período de 6 meses. Medidas de Tedecia Cetral 6

7 Comprobació: Mes Vetas Vetas calculadas co G Eero 500 Febrero ,=556,000 Marzo ,=68,7 Abril ,7,=687,58 Mayo ,58,=764,5 Juio ,5,=850,46 Se puede observar que el valor de 850,46 calculado co la media geométrica es semejate al valor de veta real de 850, por lo tato el valor calculado para la media geométrica está correcto....) Para Datos Agrupados e Tablas de Frecuecias Se emplea la siguiete ecuació: Dode: i = recuecia absoluta de cada dato i Ejemplo ilustrativo N 3 Calcular la media geométrica para las siguietes caliicacioes de Estadística: i i Solució: Se llea la siguiete tabla, realizado los cálculos respectivos: i i log i log i i 4 5 0,60 3, ,778 6, ,903 8, ,954 9,54 0 8,000 8,000 Total 40 34,906 Medidas de Tedecia Cetral 7

8 Se aplica la siguiete ecuació para obteer la respuesta. G = ati log 0,873 = 7, ) Para Datos Agrupados e Itervalos Se emplea la ecuació: Dode: m = marca de clase 3) MEDIA ARMÓNICA La media armóica de ua serie de úmeros es el recíproco, o iverso, de la media aritmética de los recíprocos de dichos úmeros, etediédose como recíproco al úmero que multiplicado por este os da la uidad. 3.) PROPIEDADES - Es u promedio que se utiliza para el cálculo del costo promedio y todo tipo de variables epresadas e tasas o porcetajes. - La media armóica o está deiida e el caso de la eistecia e el cojuto de valores ulos. - Cuado la uidad costate o uidad de evaluació es igual a la uidad del umerador de ua razó, se usa el promedio armóico, y si es igual a la uidad del deomiador se usa el promedio aritmético. 3.) MÉTODOS DE CÁLCULO 3..) Para Datos No Agrupados Sea los úmeros,,.. La media armóica H se obtiee co la siguiete ecuació: H... i i O co la siguiete ecuació: H... Ejemplo ilustrativo: La velocidad de producció de azúcar de tres máquias procesadoras so 0,5, 0,3 y 0,4 miutos por kilogramo. Hallar el tiempo promedio de producció después de ua jorada de 4800 miutos del proceso. Medidas de Tedecia Cetral 8

9 Medidas de Tedecia Cetral 9 Solució: Como e la razó miutos/kilogramos (mi/kg) cada máquia trabaja 4800 mi, la razó cotate es el tiempo de trabajo (4800 mi), es decir la cotate es la uidad del umerador, por lo tato se debe emplear el promedio armóico. 0,383 0,4 0,3 0, H i i O empleado la otra ecuació: 0,383 0,4 0,3 0, H El tiempo promedio de producció es 0,383 miutos por kilogramo de azúcar. Empleado Ecel se calcula isertado la ució MEDIA.ARMO 3..) Para Datos Agrupados e Tablas de Frecuecias Se emplea cualquiera de las siguietes ecuacioes: i i i... H... H Ejemplo ilustrativo: E la siguiete tabla se preseta los datos sobre el tiempo e horas que se demora e realizar la misma obra determiados obreros. Calcular el tiempo promedio que se demora e realizar la obra u obrero tipo (u obrero promedio).

10 Tiempo Obreros Solució: H i i i , ) Para Datos Agrupados e Itervalos Se emplea la siguiete ecuació: H i... i m i m m m Ejemplo ilustrativo: E la siguiete tabla se preseta los datos sobre el tiempo e miutos que se demora para resolver ua prueba de Estadística determiados estudiates. Calcular el tiempo promedio que se demora e resolver la prueba u estudiate tipo. Solució: Realizado los cálculos respectivos se obtiee: Tiempo Estudiates [40-50) 4 [50-60) 8 [60-70) 0 [70-80) 7 [80-90] Aplicado la ecuació se obtiee: i i m i i /m i [40-50) ,089 [50-60) ,45 [60-70) ,54 [70-80) ,093 [80-90] 85 0,9 Total 40 0,6 H i i m i m m... m 40 0,6 65,47 Medidas de Tedecia Cetral 0

11 4) LA MEDIANA La mediaa, llamada alguas veces media posicioal, es el valor del térmio medio que divide ua distribució de datos ordeados e dos partes iguales, es decir, el 50% de los datos se ubica sobre la mediaa o hacia los putajes altos y el 50% restate hacia los putajes bajos. 4.) PROPIEDADES -La Mediaa o tiee propiedades que le permite iterveir e desarrollos algebraicos como la media aritmética, si embargo, posee propiedades que poe e evidecia ciertas cualidades de u cojuto de datos, lo cual o ocurre co la media aritmética que promedia todos los valores y suprime sus idividualidades. E cambio, la mediaa destaca los valores idividuales. - Tiee la vetaja de o estar aectada por las observacioes etremas, ya que o depede de los valores que toma la variable, sio del orde de las mismas. -Para el cálculo de la mediaa iteresa que los valores esté ordeados de meor a mayor. - Su aplicació se ve limitada, ya que solo cosidera el orde jerárquico de los datos y o algua propiedad propia de los datos, como e el caso de la media aritmética. 4.) MÉTODOS DE CÁLCULO 4..) Para Datos No Agrupados a) Si el úmero de datos es impar, la mediaa es el dato que se ecuetra a la mitad de la lista. Para calcular su posició se aplica la siguiete ecuació: Md Ejemplo ilustrativo: Calcular la mediaa de las siguietes caliicacioes del curso de Estadística evaluadas sobre diez: 0, 8, 6, 4, 9, 7, 0, 9 y 6 Solució: ) Se ordea los datos de meor a mayor: ) Se aplica la ecuació: Md Md 9 Md La media es el valor de 5 (quito dato), es decir, Md=8 Medidas de Tedecia Cetral

12 E Ecel se isertado la ució MEDIANA b) Si el úmero de datos es par, la mediaa es la media aritmética de los dos datos que se ecuetra a la mitad de la lista. Para calcular su posició se aplica la siguiete ecuació: Md Ejemplo ilustrativo: Calcular la mediaa de las siguietes caliicacioes del curso de Matemática evaluadas sobre diez: 0, 8, 9, 6, 4, 8, 9, 7, 0 y 9 Solució: ) Se ordea los datos de meor a mayor: ) Se aplica la ecuació Md ,5 4..) Para Datos Agrupados e Tablas de Frecuecia Para calcular la posició de la mediaa se aplica la siguiete ecuació: Md Ejemplo ilustrativo: Dados los siguietes 0 úmeros:, 3, 3, 5, 5, 5, 5,,,, 6, 6, 4, 4, 4,4, 5, 5, 5, 5 ) Agrupar los datos e tabla de recuecia. ) Calcular la mediaa. Medidas de Tedecia Cetral

13 Total 0 Solució: Calculado la posició de la mediaa se obtiee: 0 Md 0,5 Como la posició de la mediaa es 0,5, su valor es el promedio de los datos décimo y udécimo. Para observar co claridad cuáles so los datos décimo y udécimo se acoseja calcular la recuecia acumulada. a Total 0 Se observa que el décimo dato es 4 y el udécimo es 5, por lo tato: Md 4 5 4,5 4..) Para Datos Agrupados e Itervalos a) Por iterpolació Ejemplo ilustrativo: Calcular la mediaa de los pesos de u grupo de 50 persoas que se distribuye de la siguiete maera: Itervalos [45,55) 6 [55, 65) 0 [65, 75) 9 [75, 85) [85, 95) 4 Solució: Primero se calcula / y después se averigua el itervalo e el que está la mediaa, este itervalo recibe el ombre de itervalo o clase de la mediaa. Para averiguar el itervalo e el que está la mediaa se acoseja calcular la recuecia acumulada. Medidas de Tedecia Cetral 3

14 50 5 Itervalos a [45,55) 6 6 [55, 65) 0 6 [65, 75) 9 35 [75, 85) 46 [85, 95) 4 50 E este ejemplo el itervalo de la media es [65,75).Se observa que 6 valores está por debajo del valor 65. Los 9 que alta para llegar a 5 se iterpola e el acho del itervalo de la mediaa que e este ejemplo es 0. 9 correspode a 0 correspode a 0/ correspode a 9 4, Por lo tato la Mediaa es igual 65+4,737= 69,737 b) Empleado la ecuació Fa Md Li md c md E dode: Li md = Límite ierior del itervalo de clase de la mediaa. = úmero total de datos. Fa = Frecuecia acumulada del itervalo de clase que atecede al itervalo de clase de la mediaa. F md = Frecuecia absoluta del itervalo de clase de la mediaa. c = Acho del itervalo de clase de la mediaa. Ejemplo ilustrativo: Calcular la mediaa del ejemplo aterior y represetarla mediate u histograma de recuecias acumuladas. Se calcula la recuecia acumulada como se muestra e la siguiete tabla: Itervalos a [45,55) 6 6 [55, 65) 0 6 [65, 75) 9 35 [75, 85) 46 [85, 95) 4 50 Medidas de Tedecia Cetral 4

15 Solució: Se calcula la posició de la mediaa de la siguiete maera: 50 5 Por lo tato el itervalo o clase de la mediaa es [65,75). Al aplicar la ecuació respectiva se obtiee: Md Li md 50 Fa c Md ,737 md c) Resolviedo de maera gráica A cotiuació se preseta u histograma para la recuecia acumulada. Observado el gráico se determia que Md = 65+AE Los triágulos ABC y AED so semejates, por lo que se cumple: Medidas de Tedecia Cetral 5

16 Despejado AE se obtiee: Etoces, Md = 65+AE = 65+4,737= Md = 69,737 5) MEDIDAS DE POSICIÓN So similares a la mediaa e que tambié subdivide ua distribució de medicioes de acuerdo co la proporció de recuecias observadas. Mietas que la mediaa divide a ua distribució e mitades, los cuartiles (Q) la divide e cuartos, los deciles (D) la divide e décimos y los putos percetiles (P) la divide e cetésimos. Colectivamete, cuartiles, deciles y percetiles se deomia cuatiles. Puesto que sirve para ubicar datos particulares detro de ciertas porcioes de ua distribució de datos, toma el ombre de medidas de posició. 5.) CUARTILES.- So cada uo de los 3 valores Q, Q, Q 3 que divide a la distribució de los datos e 4 partes iguales. 5..) Propiedades Los cuartiles so u caso particular de los percetiles. Hay 3 cuartiles: Primer cuartil: Q =P 5, segudo cuartil: Q =D 5 =P 50 =Mediaa, tercer cuartil: Q 3 =P ) Métodos de Cálculo a) Para Datos No Agrupados La posició o ubicació de los cuartiles se ecuetra aplicado la siguiete ecuació: Dode: = úmero total de datos k = úmero del cuartil [ ] [ ] Ejemplo ilustrativo: Ecuetre los cuartiles dada la siguiete distribució, y represételos gráicamete mediate u diagrama de caja y bigotes: 6, 9, 9,,,, 5 y 7 Solució: Para calcular los cuartiles se ordea los datos de meor a mayor Aplicado la ecuació para el cuartil uo se obtiee: [ ] [ ] [ ] [ ] Medidas de Tedecia Cetral 6

17 Como la posició del cuartil es,5, su valor es el promedio de los datos segudo y tercero O tambié la posició,5 dice que el cuartil está ubicado al 50% del trayecto compredido etre el segudo dato, que es 9 y el tercer dato que es 9, es decir, Q = 9+0,5(9-9) = 9 Iterpretació: Este resultado idica que el 5% de los datos es ierior a 9 E Ecel se calcula isertado la ució CUARTIL.INC Aplicado la ecuació para el cuartil dos se obtiee: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] O tambié la posició 4,5 dice que el cuartil está ubicado al 50% del trayecto compredido etre el cuarto dato, que es y el quito dato que tambié es, es decir, Q = +0,5(-) = Iterpretació: Este resultado idica que el 50% de los datos es ierior a Aplicado la ecuació para el cuartil tres se obtiee: [ ] [ ] [ ] [ ] O tambié la posició 6,5 dice que el cuartil está ubicado al 50% del trayecto compredido etre el doceavo dato, que es y el quiceavo dato que 5, es decir, Q 3 = +0,5(5-) Q 3 = +0,5(3)=+,5=3,5 Iterpretació: Este resultado idica que el 75% de los datos es ierior a 3,5 Medidas de Tedecia Cetral 7

18 Para elaborar u diagrama de caja y bigotes es ecesario saber: U diagrama de caja y bigotes es ua represetació gráica que ayuda a visualizar ua distribució de datos: caja desde Q a Q 3 (50% de los datos), y bigotes el recorrido (distacia desde valor míimo hasta el valor máimo). Para elaborar u diagrama de caja se procede de la siguiete maera: a) Se marca los valores de la serie de datos sobre el eje horizotal o vertical. b) Se ubica sobre el eje el valor míimo, primer cuartil, mediaa o segudo cuartil, tercer cuartil y el valor máimo. c) Se costruye u rectágulo (caja) paralelo al eje, de logitud desde Q a Q 3 y achura arbitraria. De acuerdo al ejemplo ilustrativo se tiee: Valor míimo = 6 Q = 9 Q = Q 3 = 3,5 Valor máimo = 7 b) Para Datos Agrupados e Tablas de Frecuecias Se aplica la misma ecuació empleada para el cálculo e los datos o agrupados Ejemplo ilustrativo: Dada la siguiete tabla: ) Calcular el cuartil ) Represetar los cuartiles e u histograma para la ra(%) (Frecuecia relativa acumulada medida e porcetajes). Determiar gráicamete el valor de los cuartiles Solució: ) Cálculo del cuartil Aplicado la primera ecuació para el cuartil dos se obtiee: Medidas de Tedecia Cetral 8

19 [ ] [ ] [ ( ) ] [ ] [ ] [ ] Como la posició del cuartil es 4,5, su valor es el promedio de los datos cuarto y quito Para observar co claridad cuáles so los datos cuarto y quito se acoseja calcular la recuecia acumulada a Se observa que el cuarto dato es y el quito dato es, por lo tato ) Represetado los cuartiles e u histograma para la ra(%) Calculado la ra(%) se obtiee: c) Para Datos Agrupados e Itervalos Se emplea la siguiete ecuació: a r ra ra(%) 6 0,5 0,5, ,5 0,375 37, ,375 0, ,5 0,875 87, , ( ) Dode Li p = Límite ierior del itervalo de clase del cuartil = úmero total de datos Fa = Frecuecia acumulada del itervalo de clase que atecede al itervalo de clase del cuartil Q = Frecuecia absoluta del itervalo de clase del cuartil c = Acho del itervalo de clase del cuartil Ejemplo ilustrativo: Dado los siguietes datos sobre pesos de u grupo de 50 persoas: Itervalos Medidas de Tedecia Cetral 9

20 ) Calcular los cuartiles empleado la ecuació ) Calcular los cuartiles empleado u histograma para ra(%) (Frecuecia relativa acumulada mediada e porcetajes) Solució: ) Cálculo de los cuartiles empleado la ecuació.) Cálculo del primer cuartil Primero se calcula k/4 y después se averigua el itervalo e el que está el cuartil, este itervalo recibe el ombre de itervalo o clase del primer cuartil. Para averiguar el itervalo e el que está los cuartiles se acoseja calcular la recuecia acumulada k 50,5 4 4 Itervalos a Por lo tato e este ejemplo: El itervalo del segudo cuartil es El úmero total de datos es =0 Se observa que 6 valores está por debajo del valor 55, es decir Fa=6. La recuecia absoluta ( Q ) del itervalo del cuartil es 0 El acho del itervalo del cuartil es c=65-55=0. Al aplicar la ecuació se obtiee: ( ) ( ) ( ) ( ).) Cálculo del segudo cuartil Primero se calcula k/4 y después se averigua el itervalo e el que está el cuartil, este itervalo recibe el ombre de itervalo o clase del cuartil. Medidas de Tedecia Cetral 0

21 Por lo tato para el segudo cuartil se tiee: Itervalo: =0 Fa=6 Q =9 c =75-65 =0 Al aplicar la ecuació se obtiee: ( ) ( ) ( ) ( ).3) Cálculo del tercer cuartil Primero se calcula k/4 y después se averigua el itervalo e el que está el cuartil, este itervalo recibe el ombre de itervalo o clase del cuartil ,5 4 4 Por lo tato para el segudo cuartil se tiee: Itervalo: =0 Fa=35 Q = c=85-75=0 Al aplicar la ecuació se obtiee: ( ) ( ) ( ) ( ) ) Cálculo de los cuartiles empleado u histograma para ra(%).) Calculado la ra(%) se obtiee: Medidas de Tedecia Cetral

22 Itervalos a r ra(%) , , , , , ) Elaborado el histograma e Ecel y e Pait se obtiee la siguiete igura: Histograma para la ra(%).3) Cálculo del primer cuartil Observado e gráico teemos que el Q = 55 + AE Los triágulos ABC y AED so semejates, por lo que se cumple: Despejado AE se obtiee: Etoces, Q = ,5 = 6,5 Medidas de Tedecia Cetral

23 .3) Cálculo del segudo cuartil Observado e gráico teemos que el Q = 65 + CI Los triágulos CFG y CIH so semejates, por lo que se cumple: Despejado CI se obtiee: Etoces, Q = ,737 = 69,737.3) Cálculo del tercer cuartil Observado e gráico teemos que el Q 3 = 75 + GM Los triágulos GJK y GML so semejates, por lo que se cumple: Despejado CI se obtiee: Etoces, Q 3 = 75 +,73 = 77,73 5.) DECILES 5..) Deiició So cada uo de los 9 valores D, D, D 3, D 4, D 5, D 6, D 7, D 8, D 9 que divide a la atribució de los datos 0 partes iguales. El primer decil es igual al décimo percetil (D =P ), el segudo decil es igual a veiteavo percetil (D =P 0 ), y así sucesivamete. 5..) Métodos de Cálculo a) Para Datos No Agrupados La posició o ubicació de los deciles se ecuetra aplicado la siguiete ecuació: Dode: = úmero total de datos. k = úmero del decil. [ ] [ ] Medidas de Tedecia Cetral 3

24 Ejemplo ilustrativo: Calcular el quito decil de la siguiete distribució: 6, 9, 9,,,, 5 y 7 Solució: Para calcular los deciles se ordea los datos de meor a mayor Aplicado la ecuació para el quito decil se obtiee: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] O tambié la posició 4,5 dice que el decil 5 está ubicado al 50% del trayecto compredido etre el cuarto dato, que es y el quito dato que tambié es, es decir, D 5 = +0,5(-) = E Ecel se calcula de la siguiete maera: Como D 5 es igual a P 50 se itroduce la ució PERCENTIL.INC b) Para Datos Agrupados e Tablas de Frecuecia Se emplea la misma ecuació utilizada e el cálculo de los deciles para datos si agrupar. c) Para Datos Agrupados e Itervalos Se emplea la siguiete ecuació: ( ) Dode: Li D = Límite ierior del itervalo de clase del decil. = úmero total de datos. Fa = Frecuecia acumulada del itervalo de clase que atecede al itervalo de clase del decil. D = Frecuecia absoluta del itervalo de clase del decil. c = Acho del itervalo de clase del decil. Medidas de Tedecia Cetral 4

25 5.3) PERCENTILES O CENTILES 5.3.) Deiició So cada uo de los 99 valores P, P, P 3,..P 99 que divide atribució de los datos e 00 partes iguales. 5.3.) Métodos de Cálculo a) Para Datos No Agrupados La posició o ubicació de los percetiles se ecuetra aplicado la siguiete ecuació: [ ] [ ] Dode: = úmero total de datos k = úmero del percetil Ejemplo ilustrativo: Calcular los percetiles de orde 0 y 33 del peso de diez persoas que pesa (e kg) Solució: Se ordea los datos de meor a mayor se tiee: 80, 78, 65, 73, 65, 67, 7, 68, 70 y ) Cálculo del percetil de orde 0 se obtiee: [ ] [ ] [ ] [ ] E Ecel se obtiee u valor aproimado isertado la ució PERCENTIL.INC Medidas de Tedecia Cetral 5

26 ) Cálculo del percetil de orde 33 se obtiee: [ ] [ ] [ ] [ ] b) Para Datos Agrupados e Tablas de Frecuecia Se emplea la misma ecuació utilizada e el cálculo de los percetiles para datos si agrupar. c) Para Datos Agrupados e Itervalos Se emplea la ecuació: ( ) Dode: Li p = Límite ierior del itervalo de clase del percetil. = úmero total de datos. Fa = Frecuecia acumulada del itervalo de clase que atecede al itervalo de clase del percetil. p = Frecuecia absoluta del itervalo de clase del percetil. c = Acho del itervalo de clase del percetil. 6) MODA La moda de u cojuto de datos es el valor que aparece co mayor recuecia. 6.) PROPIEDADES - No es aectada por valores muy altos o muy bajos. - La moda, al igual que la mediaa, o se presta para tratamietos algebraicos como la media aritmética. - La moda puede o eistir, e icluso o ser úica e caso de eistir. - Cuado e u cojuto de datos hay tres o más datos dieretes co la misma recuecia mayor, esta iormació a meudo o resulta útil (demasiadas modas tiede a distorsioar el sigiicado de moda). Por lo que e estos casos se cosidera que el cojuto de datos o tiee moda. Para u cojuto de datos uimodales eiste la siguiete relació empírica: Media aritmética moda = 3 (media aritmética mediaa) Medidas de Tedecia Cetral 6

27 6.) MÉTODOS DE CÁLCULO 6..) Para Datos No Agrupados Se observa el dato que tiee mayor recuecia Ejemplo ilustrativo N Determiar la moda del cojuto de datos, 4, 6, 8, 8 y 0 Solució: Mo = 8, porque es el dato que ocurre co mayor recuecia. A este cojuto de datos se le llama uimodal E Ecel se calcula isertado la ució MODA.UNO Ejemplo ilustrativo N Determiar la moda del cojuto de datos:, 4, 6, 8 y 0 Solució: Este cojuto de datos o tiee moda, porque todos los datos tiee la misma recuecia. Ejemplo ilustrativo N 3 Determiar la moda del cojuto de datos:, 4, 6, 6, 8, 8 y 0 Solució: Este cojuto de datos tiee dos modas, 6 y 8, y se llama bimodal. 6..) Para Datos Agrupados e Tablas de Frecuecia Se observa el dato tiee mayor recuecia Medidas de Tedecia Cetral 7

28 Ejemplo ilustrativo: Calcule la moda o modas (si las hay) de los siguietes datos: Solució: Se observa que el dato co mayor recuecia es 6, por lo tato Mo = ) Para Datos Agrupados e Itervalos Se halla e el itervalo o clase que tega la recuecia más alta, llamada itervalo o clase modal. Se emplea la siguiete ecuació: ( ) L Mo = Límite ierior de la clase modal. D a = Dierecia etre la recuecia absoluta de la clase modal y la clase que la atecede. D b = Dierecia etre la recuecia absoluta de la clase modal y la clase que le sigue. c = acho de la clase modal. Ejemplo ilustrativo: Calcule la moda o modas (si las hay) de los siguietes datos: Itervalo o Clase Solució: Se observa que la clase modal es 30-39, ya que es el itervalo co la mayor recuecia. Aplicado la ecuació ( ) Se tiee: ( ( ) ( ) ) ( ) Medidas de Tedecia Cetral 8

29 Gráicamete empleado u histograma se calcula la moda de la siguiete maera: La clase modal es 30-39, ya que es el itervalo co la mayor recuecia Observado el histograma se tiee que Mo = 30 + FB Los triágulos ABC y EBD so semejates, por lo que se cumple: Dode: AC = Dierecia etre la recuecia absoluta de la clase modal y la clase que la atecede. BG es igual al acho del itervalo meos FB. DE = Dierecia etre la recuecia absoluta de la clase modal y la clase que le sigue. Reemplazado valores y despejado FB se tiee: ( ) Por lo tato Mo = 30 + FB = 30+7,7 = 37,7 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS SUÁREZ, Mario, (0), Guía didáctica para el iterapredizaje de medidas de tedecia cetral, SUÁREZ, Mario, (0), Iterapredizaje de Estadística Básica, Uiversidad técica de Norte TAPIA, Fausto Ibarra, Ecuador. Medidas de Tedecia Cetral 9