3º ESO PMAR POLINOMIOS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. SAGRADO CORAZÓN COPIRRAI_Julio César Abad Martínez-Losa POLINOMIOS

Transcripción

1 º ESO PMAR POLINOMIOS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. POLINOMIOS 1.- POLINOMIOS Una expresión algebraica está formada por números y letras asociados por medio de las operaciones aritméticas (suma, resta, multiplicación, división y potenciación). 1 t Ejemplo: 1a x y z 1 Un monomio es una expresión algebraica en la que únicamente utilizamos la multiplicación y la potencia de exponente natural. Ejemplo: x y z, x yz, xy tz Habitualmente trabajaremos con monomios en una sola variable. Ejemplo: 7x, x, x, En un monomio se denomina coeficiente al número que ponemos delante de las letras, y se denomina parte literal a la formada por las letras con sus exponentes. Ejemplo: x y z, el coeficiente es y la parte literal es x y z Llamamos grado de un monomio a la suma de los exponentes de las letras que forman la parte literal. Ejemplo: x y z, este monomio tiene grado 7 (++=7), mientras que este x yz tendrá grado (+1+1)= Un polinomio es la suma o resta de varios monomios. Si el polinomio está formado por dos monomios se llama binomio, si está formado por tres monomios se llama trinomio, si está formado por cuatro o más monomios se le dice polinomio. Ejemplo: P(x,y,z,t) = x y z + x yz xy tz, y en una sola variable (será lo habitual): Q(x) = x x + Llamamos grado de un polinomio al mayor de los grados de todos sus monomios. Ejemplo: P(x,y,z,t) = x y z + x yz xy tz, tiene grado 7 (el mayor de ++, +1+1, ) Q(x) = x x +, tiene grado Cada monomio que forma parte de un polinomio se llama término del polinomio. Ejemplo: Q(x) = x x +, tenemos, x es el término de grado dos, x es el término de grado uno, y es el término independiente, pues no depende de la variable x. Llamamos valor numérico de un polinomio al valor que se obtiene al sustituir la variable (letra) por un número que nos deben indicar. Ejemplo: Dado P(x,y) = x y + x y xy, calcular el valor numérico para x=1 e y=. Se escribe P(1,) = = = 1, luego 1 es el valor numérico para x=1 e y= de ese polinomio. Como normalmente trabajaremos en una sola variables lo más habitual será encontrarnos con algo como lo siguiente: Calcula el valor numérico de Q(x) = x x +, para x=, que se denota Q() y se calcula: Q() = + = = 0.- OPERACIONES CON POLINOMIOS.1 Suma y resta de polinomios Para sumar o restar polinomios se suman o restan los monomios semejantes (igual parte literal, mismas letras con mismos exponentes). EJEMPLO_ Calcula P(x) + Q(x) y P(x) Q(x), siendo P(x) = x x + x 7x + y Q(x) = x x + x. a) P(x) + Q(x) = (x x + x 7x + ) + (x x + x ) = x x + x 7x + + x x + x = x + x x + x x b) P(x) Q(x) = (x x + x 7x + ) (x x + x ) = x x + x 7x + x + x x + = x x + x + 8x 1x + 8 EJEMPLO_ Calcula P(x,y) + Q(x,y), siendo P(x,y) = x y x y 7xy + x y Q(x,y) = x y xy + xy. P(x,y) + Q(x,y) = x y x y 7xy +x + x y xy + xy = x y x y xy xy + x 1

2 º ESO PMAR POLINOMIOS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS.. Producto de polinomios Para multiplicar dos polinomios se aplica la propiedad distributiva, esto es, todos por todos, o cada término del primer polinomio se multiplica por cada término del segundo polinomio y luego se suman los términos semejantes. EJEMPLO_ Calcula P(x) Q(x), siendo P(x) = x + x 7x + y Q(x) = x + x. P(x) Q(x) = ( x + x 7x + ) ( x + x ) = 9x 1x + 1x x 1x + x x + 10x + 18x 0x + x 1 = 9x 0x + x 71x + x 1. Potencias de polinomios Para elevar un polinomio a una potencia se procede a multiplicar el polinomio por sí mismo las veces que indique el exponente. EJEMPLO_ Calcula: a) (x x + ) = (x x + ) (x x + ) = 9x x + 1x x + x 10x + 1x 10x + = 9x 1x + x 0x + b) (x + x) = x + 10x + x, en este caso hemos utilizado una expresión notable. c) (x x) = x 1x + 7x 1x, también con expresión notable. d) (x + x) = x 8 + 0x x + 00x + x, por expresión notables (Binomio de Newton). (x + x) = (x + x) (x + x) = (x + 10x + x ) (x + 10x + x ) = = x x 7 + x + 10x x + 0x + x + 0x + x = = x 8 + 0x x + 00x + x, como producto de dos potencias cuadradas. (x + x) = (x + x) (x + x) = (x + 1x + 7x + 1x ) (x + x) = = x 8 + x 7 + 1x 7 + 7x + 7x + 7x + 1x + x = = x 8 + 0x x + 00x + x, como producto de un cubo y el propio binomio.. División de polinomios..1 División de un monomio entre otro monomio Para dividir un monomio entre otro monomio se divide o simplifican los coeficientes y se dividen aplicando las propiedades de potencias las partes literales. EJEMPLO_ Divide los siguientes monomios: a) x y z x y z z 7 x b) 1 x x x.. División de un polinomio entre un monomio Para dividir un polinomio entre un monomio se divide cada monomio del polinomio entre el monomio como hemos indicado en el apartado anterior. EJEMPLO_ Divide los siguientes polinomios entre los monomios: a) x x 8 x 1 x x 8 x x 8 x 1 x 8 x 9 x x 7 x 18 x x 7 x 18 x x b) x x 9 x 9 x 9 x 9 x.. División de un polinomio entre otro polinomio Para dividir un polinomio entre otro polinomio se procede como en el ejemplo siguiente: EJEMPLO_ Divide el polinomio P(x) = 80x + x + 10x 7, entre el polinomio Q(x) = x x + 1 1) Ordenamos ambos polinomios y los disponemos en forma de división en caja, reservando el espacio de aquel término que no aparezca (x en este caso, ponemos 0x ), no es obligatorio pero sí aconsejable. 80x + 0x + x + 10x 7 x x + 1 ) Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor: 80x + 0x + x + 10x 7 x x + 1 0x

3 º ESO PMAR POLINOMIOS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. ) A continuación, se multiplica este cociente 0x por cada término del divisor y se colocan, cambiados de signo, debajo de sus correspondientes términos del dividendo: 80x + 0x + x + 10x 7 x x x + 0x 0x 0x ) Ahora sumamos y con el polinomio resultante (si todo va bien, el primer término de debe anular y así disminuye el grado del polinomio resultante) se procede igual que en el punto ), se finaliza el proceso cuando el grado del resto es menor que el grado del divisor. En este ejemplo, el hecho de guardar sitio al término x, facilita el cálculo posterior cuando en el paso ) aparece sumando dicho término 0x. 80x + 0x + x + 10x 7 x x x + 0x 0x 0x 0x 17x + 10x 7 80x + 0x + x + 10x 7 x x + 1 0x entre x da de cociente x. 80x + 0x 0x 0x + x 0x 17x + 10x 7 80x + 0x + x + 10x 7 x x + 1 x por el divisor y se pasa cambiado de 80x + 0x 0x 0x + x signo, debajo del dividendo resultante. 0x 17x + 10x 7 0x + x x 80x + 0x + x + 10x 7 x x + 1 Se suman ambas expresiones y se obtiene 80x + 0x 0x 0x + x otro dividendo 1x + x 7 0x 17x + 10x 7 0x + x x 1x + x 7 80x + 0x + x + 10x 7 x x + 1 1x entre x da de cociente. 80x + 0x 0x 0x + x 0x 17x + 10x 7 0x + x x 1x + x 7 80x + 0x + x + 10x 7 x x + 1 por el divisor y se pasa cambiado de 80x + 0x 0x 0x + x signo, debajo del dividendo resultante. 0x 17x + 10x 7 0x + x x 1x + x 7 1x x + 80x + 0x + x + 10x 7 x x x + 0x 0x 0x + x = C(x) 0x 17x + 10x 7 0x + x x Por último se suman ambas expresiones y se obtiene 1x + x 7 otro dividendo que por tener menor grado que el del 1x x + divisor, marca el final del proceso y por tanto el resto x = R(x) de la división y su cociente.

4 º ESO PMAR POLINOMIOS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. ) Como en toda división se cumple la igualdad: D(x) = d(x) C(x) + R(x), que es la comprobación de la división. Si nos la piden por escrito debemos hacerla obligatoriamente, en cualquier otro caso sería aconsejable hacerla, pues nos permite practicar las operaciones con polinomios. En este caso la hacemos: D(x) = d(x) C(x) + R(x) 80x + x + 10x 7 = (x x + 1) (0x + x ) + (x ) La multiplicación de polinomios también se puede hacer en vertical: x x + 1 x 0x + x 1x + x 0x x + x 80x 0x + 0x 80x + x + 8x + x Sumamos el resto R(x) D(x) = 80x + x + 10x 7.. División de un polinomio entre otro polinomio del tipo (x a). Regla de Ruffini. Para dividir un polinomio entre otro polinomio del tipo (x a), se puede hacer por el método general expuesto en.. o aplicando la Regla de Ruffini. Esta regla sirve para divisiones en las que el divisor es algo como: (x ), (x + ), pero no sirve para casos en los que el divisor sea algo como: (x + ), (x x +1), y se puede utilizar con modificaciones en casos donde el divisor sea del tipo (x + ) (si apareciera algún caso de este tipo, veríamos cómo proceder). EJEMPLO_ Divide el polinomio P(x) = x + x 7x + 1, entre el polinomio Q(x) = (x + ). a) Aplicando el método general, tenemos: x + x + 0x 7x + 1 x + x x x + x x = C(x) x + 0x 7x + 1 x x x 7x + 1 x + x x + 1 x + 7 R(x) = 7 b) Aplicando la regla de Ruffini, tenemos: b 1) Colocamos los coeficientes de los monomios que forman el polinomio, si falta alguno se debe poner un 0 obligatoriamente. P (x) = x +x 7x b ) Se toma el valor de a y se coloca delante de la tabla. Tener en cuenta que en la expresión (x ), a=, mientras que en la expresión (x + ) [(x ( )], a=, por tanto en nuestro caso: (x + ) a = b ) Ahora se baja el primer coeficiente,, y a continuación se multiplica por a (que es ) para obtener, que se pone debajo del, se suman ambos y se obtiene 1, este 1 se vuelve a multiplicar por, se obtiene ahora, que se pone debajo del 0, se suman ambos y se obtiene, este se vuelve a multiplicar por, se obtiene ahora +, que se pone debajo del 7, se suman ambos y se obtiene, este se vuelve a multiplicar por, se obtiene

5 º ESO PMAR POLINOMIOS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. ahora +, que se pone debajo del 1, se suman ambos y se obtiene +7, que es el resto de la división. Los números que aparecen delante del resto, 1, son los coeficientes del cociente C(x), pero comenzando con un grado menos que el dividendo D(x), esto es debido a que el divisor d(x) tiene grado uno Resto: R(x) = 7 Cociente: C(x) = x + x x.- FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS La factorización de polinomios consiste en expresar un polinomio como producto de varios polinomios de menor grado e irreducibles. (Son irreducibles los polinomios de grado uno y algunos de grado par, grado o como mucho grado, normalmente para nosotros). Los polinomios que vamos a factorizar serán en una sola variable como regla general, salvo en algunos casos en los que se puedan aplicar las herramientas mencionadas de factor común y expresiones notables. Para factorizar polinomios se utilizan varias herramientas posibles, el factor común, las expresiones notables y la división de polinomios..1 Herramientas para la factorización.1.1 El factor común En ocasiones el uso del factor común es suficiente para factorizar un polinomio, pero lo normal es que sea una herramienta que se aplique en un primer momento y facilite el trabajo posterior. EJEMPLO_ Factoriza o inicia la factorización del polinomio utilizando el factor común si es posible. a) P(x) = x + x x = x (x + x ), solo permite dar el primer paso de la factorización, así el polinomio (x + x ), se factorizará por otros mecanismos que veremos en los próximos apartados. b) P(x) = x + x, en este caso como un término no tiene x es imposible sacar factor común y deberemos recurrir a otros mecanismos de factorización (suele ser lo normal). c) P(x,y) = 1x y + x y 8x y = x y (xy + y ), en polinomios en dos variables como este, la herramienta habitual es el factor común, el polinomio (xy + y ), se deja así, salvo que fuera una expresión notable fácil de reconocer..1. Las expresiones notables Hay polinomios que se pueden factorizar fácilmente mediante expresiones notables, lo cual nos ahorrará trabajo y tiempo, pero que también se podrán factorizar por otros mecanismos. Sin embargo hay algún polinomio (rebuscadillo ciertamente) que la mejor forma de ser factorizado es utilizar las expresiones notables (ejemplo e). EJEMPLO_ Factoriza los siguientes polinomios utilizando expresiones notables: a) P(x) = x + x + 9 = (x + ) (x + ) b) P(x) = x 10x + 1 = (x + 1) (x 1) c) P(x,y) = x y 1 = (xy + ) (xy ), sin la expresión notable no podríamos factorizarlo. d) P(x) = 9x = (x + ) (x ) (d1), este ejercicio se puede hacer sacando previamente factor común P(x) = 9x = 9 (x ) = 9 (x + ) (x ) (d), se puede observar que el resultado no es igual en su escritura en (d 1) y en (d ), pero para transformar (d 1) en (d ) basta con sacar factor común en los dos factores: (x + ) (x ) = 9 (x + ) (x ). Mención especial requiere la transformación de (d ) en (d 1), se trata de meter el 9 en los paréntesis, pero debe entrar en el primero o en el segundo pero no en los dos, o repartirse entre ambos como y, así la expresión: 9 (x + ) (x ) = (9x + 18) (9x 18) sería un error grave, mientras que: 9 (x + ) (x ) = (9x + 18) (x ) = (x + ) (9x 18) = (x + ) (x ), serían las tres correctas. e) P(x) = 8x + 1x + x + 1 = (x + 1) = (x + 1) (x + 1) (x + 1), que por otros mecanismos (Ruffini) resulta muy complicado, pues el valor que se debe tomar como a es el número que anula la expresión (x + 1), que 1 se obtiene de resolver la ecuación de primer grado: x +1 = 0 x = 1 x=

6 º ESO PMAR POLINOMIOS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS..1. La división de polinomios Al igual que al descomponer un número en sus factores primos (factorizarlo), se debe utilizar la división sucesivas veces, en la factorización de polinomios este proceso es similar. Ahora bien, debemos buscar factores del polinomio, igual que al factorizar el número 91, no se nos ocurre probar con el, ni el, ni el, pues las reglas de divisibilidad nos dicen que 91 no es divisible por, ni por, ni por, en polinomios hay un par de teoremas que se asimilan a dichas reglas de divisibilidad, y que son los que nos indicarán si un polinomio irreducible de primer grado del tipo (x a), es o no es factor del polinomio P(x), objeto de la factorización.. Factorización Para factorizar un polinomio debemos tener en cuenta los siguientes resultados: - Teorema Fundamental del Álgebra: Un polinomio de grado n tiene como máximo n raíces reales. (Raíz de un polinomio es el numerito que puesto en lugar de la x hace que valga cero. También recibe el nombre de solución de un polinomio, pues es la solución de la ecuación que se consigue al igualar el polinomio a cero). - Las raíces enteras de un polinomio se obtienen de entre los divisores del término independiente, si lo tiene. Si no lo tiene, la raíz será cero y se puede sacar factor común a x. - Cada raíz r i de P(x), (por el Tª del resto, el valor numérico de P(x) en x=r i es cero P(r i)=0), origina un factor de P(x). Así, si P(x) tiene raíces: r 1, r,,r n se podrá expresar: P(x) = t (x r 1) (x r ) (x r n), siendo t el coeficiente del término de mayor grado del polinomio (coeficiente principal). - Con lo anterior deducimos que, un polinomio de grado dos tendrá dos raíces a lo sumo y por lo tanto dos factores como máximo (puede ser que tenga menos), un polinomio de grado tres tendrá tres raíces reales a lo sumo y por lo tanto tres factores como máximo (puede ser que tenga menos), y así sucesivamente. - Las herramientas usadas para factorizar son: como regla general, la división sucesiva de polinomios, pero en ocasiones se debe utilizar la factorización o la aplicación de expresiones notables. EJEMPLO_ Factoriza el siguiente polinomio: P(x) = x x 1x x. 1) Buscamos las raíces enteras del polinomio (cada raíz origina un factor, y en este ejemplo como máximo debemos buscar cuatro raíces), de entre los divisores del término independiente (cuando no las hay, difícilmente se pueda factorizar el polinomio por la división sucesiva). En este caso no hay término independiente, esto supone que x=0 es una raíz del polinomio y que x es un factor del polinomio. Se cumple: x x 1x x x x + x + 1x + x x x 1x Resto = 0 Por tanto tenemos: P(x) = x x 1x x = x (x x 1x ). ) Encontrada la primera raíz, repetimos el proceso ahora con el polinomio que ha quedado en el cociente P 1(x) = x x 1x, el término independiente es, debemos calcular el valor numérico del polinomio en cada uno se sus divisores {1,,, 9, 1, } hasta encontrar uno que sea cero: P 1(+1) = (1) (1) 1 (1) = 1 = 9 0, supone que x=1 no es raíz de P 1(x) P 1( 1) = ( 1) ( 1) 1 ( 1) = + 1 = 0, supone que x= 1 sí es raíz de P 1(x), por tanto (x + 1) es factor del polinomio, y el cociente de la división será: Resto: R(x) = 0 Cociente: C(x) = x x Se cumple: x x 1x x x x + x + 1x + x x x 1x x + 1 Resto = 0 x + x + 1x + x x Resto = 0 Por tanto: P(x) = x x 1x x = x (x x 1x ) = x (x + 1) (x x ).

7 º ESO PMAR POLINOMIOS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. ) Encontrada la segunda raíz, nos queda ahora un polinomio de grado dos, tenemos dos opciones, seguir con el proceso de la misma forma y aplicar Ruffini para calcular el nuevo cociente, o bien aplicar la ecuación de segundo grado que nos dará directamente las dos raíces (si existen) que nos faltan..1) Ruffini. Repetimos el proceso ahora con el polinomio P (x) = x x, el término independiente es, debemos probar con cuál de sus divisores {1,,, 9, 1, } el valor numérico del polinomio es cero: P (+1) = (1) (1) = = 8 0, supone que x=1 no es raíz de P (x) P ( 1) = ( 1) ( 1) = + = 0, supone que x= 1 no es raíz de P (x) P (+) = () () = 7 18 = 0, supone que x= no es raíz de P (x) P ( ) = ( ) ( ) = = 0, supone que x= sí es raíz de P (x), por tanto (x + ) es factor del polinomio, y el cociente de la división será: Se cumple: Resto: R(x) = 0 Cociente: C(x) = x 1 = (x ) x x 1x x x x + x + 1x + x x x 1x x + 1 Resto = 0 x + x + 1x + x x x + Resto = 0 x + x + x 1 Resto = 0 Por tanto tenemos: P(x) = x x 1x x = x (x x 1x ) = x (x + 1) (x x ) = = x (x + 1) (x + ) (x 1) = x (x + 1) (x + ) (x ) Esta es la expresión del polinomio factorizado, el factor numérico viene originado por el coeficiente principal que era (se ha sacado factor común a en el último paréntesis). De esta manera, la expresión nos indica las raíces y los factores del polinomio que debemos dejar reflejados claramente en una tabla como la siguiente: RAÍCES FACTORES x = 0 (x 0) = x x = 1 (x + 1) x = (x + ) x = (x ) Cuando la raíz es x=0, el factor por similitud es (x 0), pero se escribe x..) Ecuación de segundo grado. Una vez hemos llegado a un polinomio de grado dos, lo más aconsejable es aplicar la ecuación de segundo grado para obtener las raíces que nos faltan (en la práctica es la opción que vamos a utilizar, es más fiable que Ruffini pues en los casos en los que las soluciones no sean enteras (fracciones) Ruffini difícilmente nos dará la solución). En nuestro caso tenemos que factorizar el polinomio P (x) = x x, por lo que debemos hacer: x ( ) x 0 x ( ) ( )

8 º ESO PMAR POLINOMIOS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. Las raíces son x= y x=, que originan dos factores (x ) y (x + ). Estos dos factores multiplicados originan el polinomio Q(x) = (x ) (x + ) = x x 1, que no es el polinomio que nosotros buscamos, esto se debe a que todos los polinomios que se obtienen al multiplicar Q(x) por un número real tienen las mismas raíces x= y x=, (Q 1(x) = Q(x) = x + x + 1 = (x ) (x + ) o Q (x) = Q(x) = x x 0 = (x ) (x + ) o Q (x) = Q(x) = x x = (x ) (x + ), tienen todos las mismas raíces, variando únicamente el coeficiente principal), en nuestro caso falta multiplicar por, que es el coeficiente principal de P (x), es muy importante tenerlo en cuenta, la factorización correcta sería: P (x) = (x ) (x + ). Este problema se podía haber solucionado si con anterioridad se hubiera sacado factor común a, bien en el polinomio original, bien en el polinomio de tercer grado o de segundo grado que aparece por el camino y factorizar así un polinomio con un 1 como coeficiente principal: Se cumple: P(x) = x x 1x x = (x x 17x 1x) (Ver ejercicio en archivo anexo II) P 1(x) = x x 1x = (x x 17x 1) P (x) = x x = (x x 1) x x 1x x x x + x + 1x + x x x 1x x + 1 Por tanto tenemos: Resto = 0 x + x + 1x + x x x + Resto = 0 x + x + x 1 Resto = 0 P(x) = x x 1x x = x (x x 1x ) = x (x + 1) (x x ) = = x (x + 1) (x + ) (x 1) = x (x + 1) (x + ) (x ) Esta es la expresión del polinomio factorizado, el factor numérico viene originado por el coeficiente principal que era (se ha sacado factor común a en el último paréntesis). De esta manera, la expresión nos indica las raíces y los factores del polinomio que debemos dejar reflejados claramente en una tabla como la siguiente: RAÍCES FACTORES x = 0 (x 0) = x x = 1 (x + 1) x = (x + ) x = (x ) Cuando la raíz es x=0, el factor por similitud es (x 0), pero se escribe x. *NOTA: Este proceso de factorización es similar al utilizado con números naturales. Ejemplo: Factoriza 8 8 = = 1 = 7 = 7, además no influye el orden en el resultado de la factorización: 8 = 8 = 1 = 7 =

9 º ESO PMAR POLINOMIOS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. NOTAS_ POLINOMIOS * SÍMBOLOS: _ Implica ó quiere decir ó supone que, la relación es cierta de izquierda a derecha. _ Implica ó quiere decir ó supone que, la relación es cierta de derecha a izquierda. _ Doble implica, la relación es cierta en ambos sentidos. _ Distinto _ Infinito _ Aproximado _ Pertenece _ No pertenece / _ Tal que Π _ Tal que _ Existe _ No existe α _ Alfa β _ Beta _ Gamma * PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES SUMA Y PRODUCTO (RESTA Y COCIENTE NO LAS CUMPLEN) SUMA PRODUCTO CONMUTATIVA A + B = B + A A B = B A ASOCIATIVA (A + B) + C = A + (B + C) (A B) C = A (B C) ELEMENTO NEUTRO Es aquel valor que operado con A origina A. ELEMENTO INVERSO Es aquel valor que operado con A origina el elemento neutro de esa operación. A + 0 = A ELEMENTO NEUTRO ES 0 A + ( A) = 0 En la suma al elemento inverso se le llama opuesto. A 1 = A ELEMENTO NEUTRO ES 1 A A 1 = 1 En el producto a la expresión A 1 se le llama inverso de A. DISTRIBUTIVA DEL PRODUCTO RESPECTO DE LA SUMA A (B + C) = A B + A C * EXPRESIONES NOTABLES: a) (a+b) = a + ab + b El cuadrado de una suma es igual al cuadrado del primero más el doble del primero por el segundo más el cuadrado del segundo b) (a b) = a ab + b El cuadrado de una resta es igual al cuadrado del primero menos el doble del primero por el segundo más el cuadrado del segundo c) (a+b) (a b) = a b Suma por diferencia, diferencia de cuadrados d) (a+b) = a + a b + ab + b e) (a b) = a a b + ab b * ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO: Dada la ecuación: ax + bx + c = 0 se tiene: b x b a ac 9