HOMOLOGÍA Y AFINIDAD 1. HOMOLOGÍA

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1 HOMOLOGÍA Y AFINIDAD 1. HOMOLOGÍA La Homología es una transformación geométrica de una figura plana en otra. Se utiliza con mucha frecuencia en geometría descriptiva y por lo tanto en dibujo industrial. Para que dos figuras geométricas sean homólogas tienen que cumplir dos condiciones: Los pares de puntos homólogos están alineados con el centro de homología. De este modo los punto A, B y C son homólogos de A, B y C por estar alineados respectivamente con O. Las rectas homólogas se cortan en el eje de homología. Las rectas AB y A B se cortan en el eje de homología,... DETERMINACIÓN DE LAS RECTAS LÍMITES En toda homología, además del centro de homología (O) y del eje de homología (E), hay dos rectas límites (RL). Dichas rectas límites son el lugar geométrico de los puntos homólogos de los del infinito. Hay dos rectas límites, una por cada figura. Para determinarlas se traza por el centro O una paralela a una recta hasta cortar a su homóloga. Por ejemplo la recta OM paralela a A B M. El punto M, obtenido en la intersección de OM con AB, pertenece a la recta límite de la figura ABC. De esta forma se puede obtener otro punto como el N. La recta límite de la figura ABC se determina siguiendo el mismo procedimiento, así se han obtenido los puntos S y T. Observando la figura, se comprueba como el eje y las rectas límites son siempre paralelos entre sí. También que la distancia que existe entre una recta límite y el centro de homología es igual a la que existe entre la otra y el eje, pudiendo ocupar dos posiciones: interior o exteriormente al centro y eje. 1

2 DETERMINACIÓN DE UNA HOMOLOGÍA. Para que una homología quede concretada es necesario conocer los siguientes elementos: Por el centro -O-, el eje -E-, y un par de puntos homólogos -A- y -A -. Por el centro -O-, el eje -e- y una pareja de rectas homólogas -a- y -a -. Por dos triángulos homológicos -A,B,C- y -A,B,C -. Por el centro -O- el eje -e- y una de las rectas límite -L- TRANSFORMACIONES HOMOLÓGICAS. Transformación homológica de polígonos. De un polígono cualquiera. Dado el pentágono irregular ABCDF, el centro O, el eje y un par de puntos homólogos A A'. Los homólogos de los demás puntos se obtienen fácilmente pues las rectas homólogas se cortan en el eje y los puntos homólogos están alineados con el centro O De un cuadrilátero en cuadrado. Dado el cuadrilátero ABCD, se ha de determinar la posición del centro de homología, de la recta límite y del eje. Prolongando los lados del cuadrilátero hasta que se corten se obtienen dos puntos de la RL. El centro de homología ha de ser un punto desde el cual se vean los lados y las diagonales formando ángulos rectos. El eje se sitúa donde se quiera pero paralelo a la recta límite Transformación homológica de una circunferencia. Dependiendo de la posición de la recta límite con la circunferencia puede transformarse en una elipse, una parábola o una hipérbola: 2

3 En elipse. La RL no corta a la circunferencia. Se hallan dos cuerdas que se transforman en los ejes o en una pareja de diámetros conjugados. Transformación homológica de una circunferencia en elipse. Se traza por O una recta cualquiera OA, que corta a la RL en el punto A. Desde A se trazan las tangentes Aa 1 y Aa 2 a la circunferencia. Los puntos de tangencia T 1 y T 2 se unen y se prolongan hasta cortar a la RL en el punto B. Desde B se trazan la tangentes Bb1 y Bb2 a la circunferencia. Las cuerdas T 1 T 2 y T 3 T 4 son las rectas homólogas de dos diámetros conjugados de la elipse. En parábola. La RL es tangente a la circunferencia. Se hallan los elementos que se transforman en el eje, la tangente al vértice y la directriz. En hipérbola. La RL es secante a la circunferencia. Se hallan los elementos que se transforman en ejes y asíntotas. 2. AFINIDAD. La afinidad es una homología de centro impropio, es decir, que todas la rectas que antes concurrían en el centro de homología ahora son paralelas. La dirección de esas paralelas se llama dirección de afinidad. Las rectas que unen puntos afines se cortan en el mismo punto del eje. Según la dirección de afinidad puede ser: Afinidad ortogonal, la dirección es perpendicular al eje. Afinidad oblicua, la dirección forma un ángulo distinto de 90º con el eje. Según el valor y el signo de la razón: Positiva, los puntos afines están en el 3

4 mismo lado del eje. Negativa, los puntos afines están a distinto lado del eje. TRANSFORMACIONES AFINES. De ángulos. Se prolongan los lados del ángulo a transformar hasta cortar al eje de afinidad y se traza el arco capaz del ángulo que se quiere conseguir. De un paralelogramo en cuadrado. Dados el paralelogramo ABCD y el eje de afinidad e. Es necesario que el ángulo formado por los lados sea de 90º y el de la diagonal con un lado sea de 45º. La dirección de afinidad será DD, siendo D el punto donde se cortan los arcos capaces de los ángulos. De una circunferencia en elipse. Dados la circunferencia de centro O, el eje e, la dirección de afinidad d y el centro O de la elipse afín buscada. Hay que buscar un par de diámetros de la circunferencia que determinen los ejes de la elipse. Se traza la mediatriz OO, que corta al eje en el punto O, centro del arco capaz de 90ºº. Al unir el punto E con O obtenemos los diámetros perpendiculares AB y CD que se transforman en los ejes de la elipse buscada. 4

5 3. PRINCIPALES AFINIDADES Y HOMOLOGÍAS EN LA GEOMETRÍA DESCRIPTIVA. En el sistema diédrico: - Las proyecciones ortogonales de una figura plana sobre dos planos son afines. - Entre la proyección H y V de una figura contenida en un plano existe una afinidad cuyo eje es la intersección del plano dado con el 2 Bisector y cuya dirección de afinidad es perpendicular a la LT. - Entre la proyección H (o V) de una figura contenida en un plano y su abatimiento existe una afinidad cuyo eje es la traza H (o V) utilizada como charnela y cuya dirección es perpendicular al eje. - Se puede determinar la proyección sobre el plano H (o V) de la sección de un prisma (o cilindro) mediante la afinidad con su base sobre el plano H (o V) de eje la traza H (o V)) del plano y de dirección la proyección H (o V) de las aristas del prisma (o cilindro). - Es posible determinar la proyección sobre el plano H (o V) de la sección de una pirámide (o cono) por un plano mediante la homología con su base sobre el plano H (o V) siendo el eje la traza horizontal (o vertical) del plano secante. En la proyección cónica: hay una homología que es la base de las representaciones de cuerpos en el sistema cónico. 5

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