Tema 10: Funciones racionales y potenciales. Asíntotas.
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- Sara Juárez Rojas
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1 1 Tema 10: Funciones racionales y potenciales. Asíntotas. 1. Funciones racionales. Una función racional es de la forma =p()/q(), donde p() y q() son polinomios, con q()0. El dominio de una función racional es toda la recta real, ecepto los valores de que anulan al denominador. Ejemplos de funciones racionales: 3 1 3
2 . Funciones potenciales. Una función potencial es de la forma =a n, donde a y n pueden ser cualquier par de números reales..1 Funciones potenciales pares. Una función potencial par es de la forma =a n, con a>0 y n un número natural par. Propiedades: El dominio de la función es la recta real El recorrido de la función es el intervalo [0,), ya que la potencia par de un número es siempre positivo. La función es simétrica respecto del eje Y, ya que =f(-). La función es continua en todo su dominio. La función es creciente para <0 y creciente para >0. Ejemplos: 8
3 3. Funciones potenciales impares. Una función potencial par es de la forma =a n, con a>0 y n un número natural impar. Propiedades: El dominio de la función es la recta real El recorrido de la función es. la recta real La función es simétrica respecto del origen, ya que f(-)=-. La función es continua en todo su dominio. La función es siempre creciente. Ejemplos: 3 9
4 4 3. Asíntotas. 3.1 Asíntotas horizontales. Una recta horizontal y=b es una asíntota horizontal de una función si: b o b Ejemplo: - 1 Al tender a + o a - la función se aproima a, ya que: - 1 Se dice entonces que la recta y=- es una asíntota horizontal. Una función tiene una asíntota horizontal en y=b si eiste alguno de los límites: b o b
5 5 OBSERVACIONES: Una función tiene como máimo dos asíntotas horizontales: cuando + o cuando -. La gráfica de una función puede cortar a su asíntota horizontal. Ejemplo de una función cuya gráfica corta a su asíntota horizontal 1 -
6 6 Ejercicio resuelto: Hallar las asíntotas horizontales de la función: 5 3 Para hallar las asíntotas horizontales calculamos el límite de la función cuando tiende a + y Por tanto y=0 es una asíntota horizontal Ejercicio: a) Hallar las asíntotas horizontales de la función: 3 1
7 7 3. Asíntotas verticales: La recta =k es una asíntota vertical de si eiste alguno de los límites siguientes: k ; k ; k Ejemplo: 1 Cuando se aproima a 0, la función tiende a +. Se dice que la recta =0 es una asíntota vertical de la función. OBSERVACIONES: Una función puede tener cualquier número de asíntotas verticales. La gráfica de una función racional no corta a sus asíntotas verticales. Las asíntotas verticales de las funciones racionales se obtienen para los valores de que anulan al denominador pero no al numerador.
8 8 Ejercicio resuelto: Dada la función Hallar sus asíntotas verticales. La función tiende a cuando el denominador se anula; por tanto, +6-7=0, de donde =1 y =-7 son las asíntotas verticales.
9 9 Ejercicios: a) Dada la función: Hallar, si las hay, sus asíntotas. Tanto horizontales como verticales. b) Dada la función: 7 1 Hallar, si las hay, sus asíntotas. Tanto horizontales como verticales.
10 Asíntotas oblicuas. Limitamos el estudio de estas asíntotas al caso de las funciones racionales. Una función tiene una asíntota oblicua en y=m+n si cuando se verifica que m+n. Una función racional tiene una asíntota oblicua si el grado del numerador es una unidad mayor que el grado del denominador. La asíntota oblicua es igual al cociente que se obtiene al dividir el numerador entre el denominador. Dividendo divisor D() d() cociente c() resto divisor r() d() OBSERVACIONES: La gráfica de una función puede cortar a su asíntota oblicua. Si una función racional tiene una asíntota oblicua no puede tener asíntota horizontal, y recíprocamente. Ejercicio resuelto: Dada la función: 1 Hallar, si las hay, sus asíntotas oblicuas.
11 11 Dividiendo el numerador entre el denominador resulta A medida que tiende a se verifica que 1/ tiende a 0, y en consecuencia la función: 1 Se aproima a la recta y=-1. Se dice que la recta y=-1 es una asíntota oblicua. Ejercicios: Hallar las asíntotas de las siguientes funciones: a) 16 b) 6 1 5
12 1 c) d)
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