Independencia Lineal y Generación. (c) 2012 Leandro Marin

Transcripción

1 09.00 Independencia Lineal y Generación (c) 0 Leandro Marin

2 . Independencia Lineal Dada una familia de vectores v, v,, v k de un espacio vectorial V, llamaremos combinación lineal de estos vectores a una expresión de la forma λ v +λ v + +λ k v k Si ponemos todos los valoresλ =λ = =λ k = 0 el vector que obtenemos es el vector 0 0v + 0v + +0v k = 0 pero a veces es posible conseguir el vector 0 combinando vectores no nulos, por ejemplo (, )+(, )=(0, 0) En otras ocasiones es imposible encontrar este tipo de combinaciones igualadas a 0 λ (, 0)+λ (0, )=(λ,λ )=(0, 0) λ =λ = 0 Definicion. Una familia de vectore v, v,, v k diremos que son linealmente independientes si la única combinación lineal de ellos con la que podemos conseguir el vector 0 es poniendo todos los coeficientes iguales a 0. Dada una familia de vectores{v, v,, v k }, nos pueden plantear el problema de si son linealmente independientes o no, pero también nos pueden plantear el problema de encontrar unos coeficientes (λ,λ,,λ k ), no todos nulos, tales queλ v +λ v + +λ k v k = 0. Para resolver el primer problema intentaremos hacer combinaciones lineales de los vectores hasta obtener el vector 0, si es posible. Eso se hace poniendo los vectores como filas de una matriz y combinarlos haciendo operaciones elementales en la matriz. Los vectores son linealmente independientes si y sólo si, al hacer la reducción por filas obtenemos una fila de ceros. Por ejemplo, si queremos ver si los vectores(0,, 0, ),(0, 0,, 0), 0,,,, 0,, 0, 0 son linealmente independientes, los ponemos en una matriz

3 y la reducimos por filas. Cada vez que hacemos una operación elemental, lo que hacemos son combinaciones lineales no triviales de las filas por lo tanto, si llegamos a obtener una fila 0, es porque podemos conseguir una combinación lineal de las filas que nos proporcione el vector 0. En este ejemplo concreto, que está resuelto más adelante, llegamos a una matriz triangular con una fila de ceros lo que prueba que los vectores no son linealmente independientes. Si la reducida por filas no tuviera ninguna fila de ceros, habríamos probado que los vectores son linealmente independientes. Esta forma de resolver el problema no nos da la combinación lineal, para encontrarla tendríamos que resolver el sistema de ecuaciones homogéneo x (0,, 0, )+ x (0, 0,, 0)+ x 3 0,,, + x 4 0,, 0, 0 =(0, 0, 0, 0) Esto lo haremos cuando pasemos espacios vectoriales dados en forma implícita a forma paramétrica. Fijémonos que este sistema de ecuaciones lo podemos poner en forma matricial: (x, x, x 3, x 4 ) = Habitualmente pondremos el sistema con las variables a la derecha con vectores columna, lo que se puede hacer poniendo las matrices transpuestas en ambos lados de la igualdad

4 x x x 3 x 4 = Más adelante veremos que encontrar las soluciones de este sistema homogéneo está relacionado con el concepto de núcleo de una aplicación lineal.. Generación Dada una familia de vectores{v, v,, v k } de un espacio vectorial V, llamaremos espacio generado por estos vectores a todos los vectores de V que se pueden poner como combinaciones lineales de los vectores {v, v,, v k }. A este espacio vectorial lo denotaremos v, v,, v k o ÔÒ(v, v,, v k ). Diremos que los vectores son generadores de V si el espacio generado por ellos es todo el espacio, es decir, cualquier vector de V se puede poner como combinación lineal de los vectores {v, v,, v k }. Saber si un vector pertenece o no al subespacio generado por unos vectores, se puede hacer resolviendo un sistema de ecuaciones. Consideremos los siguientes vectores:,,,, (0,, 0,, ) 0, 0,,, Los vectores que están en el espacio generado por estos vectores, son todos lo que se pueden poner como x,,,, + x (0,, 0,, )+ x 3 0, 0,,, para valores x, x y x 3 en el cuerpo (en este caso). Poniendo esta combinación en forma matricial tenemos que el espacio generado por estos vectores son los que se pueden poner como

5 Los vectores(b, b, b 3, b 4, b 5 ) que se pueden poner como combinación lineal de estos vectores son precisamente los que se pueden poner como x x x 3 x x x 3 = que es lo mismo que decir que son los vectores(b, b, b 3, b 4, b 5 ) con los que el sistema de ecuaciones anterior es compatible. Cuando el vector no pertenece al espacio generado por los vectores, el sistema resulta incompatible. Los vectores serán generadores cuando todos los sistemas posibles tengan solución, pero eso sólo sucede cuando el rango de la matriz de los coeficientes es el máximo posible y no podemos tener un rango mayor en la matriz ampliada que en la matriz de los coeficientes. Más adelante vamos a ver cómo utilizar el rango para ver si unos vectores son linealmente independientes y generadores, pero antes de definir el rango, vamos a ver el concepto de base de un espacio vectorial. 3. Bases Definición. Una base en un espacio vectorial V es una famila de vectores{v, v,, v k } que son linealmente independientes y generadores de V. En los espacios del tipo n la base formada por las columnas de la matriz identidad se conoce como la base canónica. No es en absoluto la única base del espacio, hay muchísimas bases y a lo largo de los diferentes temas iremos viendo sus propiedades. Todas las bases de un espacio vectorial tienen el mismo número de elementos. Dicho número de elementos recibe el nombre de dimensión del espacio y su cálculo será fundamental. b b b 3 b 4 b 5

6 En el caso de los espacios n, como tienen una base formada por n vectores (la base canónica), podemos deducir directamente que tienen dimensión n. Definición. Dada una matriz A, llamaremos rango de A a la dimensión del espacio generado por sus filas. Se puede demostrar que las operaciones elementales no alteran el rango de una matriz, por lo tanto, el rango de una matriz es el mismo que el rango de su reducida por filas. Para las matrices reducidas por filas, el rango se calcula de una forma directa: Proposición. El rango de una matriz reducida por filas es igual al número de filas no nulas, o lo que es lo mismo, al número de pivotes. Utilizando esta proposición, podemos calcular el rango de cualquier matriz haciendo el proceso de reducción por filas y contando los pivotes. Si el proceso lo hiciéramos por columnas, el resultado sería el mismo, porque el rango de una matriz es el mismo que el de su transpuesta. Vamos a ver una serie de resultados que serán de utilidad en relación con la dimensión de un espacio: Proposición. Sea V un espacio vectorial de dimensión n. Entonces: () Todo conjunto linealmente independiente tiene como máximo n elementos. () Todo conjunto generador tiene como mínimo n elementos. (3) Todo conjunto linealmente independiente de n elementos, es también generador y por lo tanto base. (4) Todo conjunto generador de n elementos es también linealmente independiente, y por lo tanto base. Estos resultados son muy potentes y nos permiten hacer deducciones directas sin necesidad de hacer cuentas. Por ejemplo, en n no puede haber un conjunto de más de n vectores independientes, esto hace que el rango de una matriz que tenga n columnas, nunca puede ser más de n, por lo tanto el rango de una matriz nunca puede ser mayor que su número de columnas (ni tampoco de su número de filas, porque el rango de una matriz es igual al de su transpuesta). En los ejemplos resueltos de la siguiente sección veremos cómo se utilizan estos resultados. 4. Ejercicios Resueltos

7 Ejercicio. Determina si los siguientes vectores son linealmente independientes, generadores y/o base del espacio vectorial 4. F 4 = F +F 4 (0,, 0, )(0, 0,, 0) 0,,, 0,, 0, F = F F 3 = F +F F 3 =F +F F 3 = 7 F F 4 = F 3 +F Como el rango no coincide con la dimensión del espacio, estos vectores no son generadores.como hay filas de ceros, estos vectores son linealmente dependientes. Ejercicio. Determina si los siguientes vectores son linealmente independientes, generadores y/o base del espacio vectorial 4 5. (4,,, )(, 3,, )(3, 3, 4, 0)(4,, 4, )

8 F =4F F 3 =F +F 3 F =3F F 4 =3F F =3F +F F 4 =F +F 4 F 3 =F +F 3 F 3 F Como el rango no coincide con la dimensión del espacio, estos vectores no son generadores.como hay filas de ceros, estos vectores son linealmente dependientes. Ejercicio. Determina si los siguientes vectores son linealmente independientes, generadores y/o base del espacio vectorial 4 5. (,,, 4)(0, 4, 0, )(,, 3, 4)(4, 3, 0, 3)(4, 0, 3, 3) Como hay más vectores que la dimensión del espacio, podemos deducir directamente que los vectores no serán linealmente independientes ni por lo tanto base. De todas formas procedemos a reducir la matriz para calcular la dimensión del espacio generador por estos vectores

9 F =3F F 4 =F +F 4 F =4F F 4 =4F +F 4 F 3 =F F 3 =4F +F 3 F 5 =F +F 5 F 3 =F +F 3 F 5 =F +F 5 F 4 =3F 3 +F

10 F 5 =4F 3 +F 5 F 5 =4F 4 +F F 4 =F 4 F 3 F Como el rango coincide con la dimensión del espacio, estos vectores son generadores.como hay filas de ceros, estos vectores son linealmente dependientes. Ejercicio. Determina si los siguientes vectores son linealmente independientes, generadores y/o base del espacio vectorial 5.,,,, (0,, 0,, ) 0, 0,,, Como hay menos vectores que la dimensión del espacio, podemos deducir directamente que los vectores no van a ser generadores ni por lo tanto base. De todas formas procedemos a reducir la matriz para comprobar si son linealmente independientes F = F F = F Como el rango no coincide con la dimensión del espacio, estos vectores no son generadores.como no hay ninguna fila de ceros, estos vectores son linealmente independientes.

11 Ejercicio. Determina si los siguientes vectores son linealmente independientes, generadores y/o base del espacio vectorial 5 3. { 0,,, a +, a a +, a,, a, a a + a+, a + a+, a, a + a+, a+ } Como hay menos vectores que la dimensión del espacio, podemos deducir directamente que los vectores no van a ser generadores ni por lo tanto base. De todas formas procedemos a reducir la matriz para comprobar si son linealmente independientes F =a F +F 0 a + a a + a a a a + a+ a + a+ a a + a+ a+ 0 a + a a + 0 a + a + a a a + a+ a + a+ a a + a+ a+ F 3 =(a +a+)f +F 3 F =af 0 a + a a + 0 a + a + a a a + a+ 0 a + a 0 a + a 0 a + a+ a+ a + a+ 0 a + a F 3 =(a +a+)f +F 3 F 3 =(a +)F 3 F F 0 a + a 0 a + a+ a+ 0 0 a a 0 0 a + a 0 a + a+ a a + a+ a+ 0 a + a Como el rango no coincide con la dimensión del espacio, estos vectores no son generadores.como no hay ninguna fila de ceros, estos vectores son linealmente independientes.