Capítulo 11. Movimiento de Rodamiento y Momentum Angular
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- Emilio Rey Martínez
- hace 6 años
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1 Capítulo 11 Movmento de Rodamento y Momentum Angular 1
2 Contendos: Movmento de rodamento de un cuerpo rígdo. Momentum Angular de una partícula. Momentum Angular de un sstema de partículas. Momentum Angular de un cuerpo rígdo. Conservacón del Momentum Angular. 2
3 Rotacón y Traslacón, sn que el cuerpo resbale O y B P A C.M. V CM El cuerpo rígdo de masa M se traslada, con una certa velocdad lneal, y rota al msmo tempo, con una certa velocdad angular. El cuerpo no resbala. Ello mplca que en el punto de contacto (P) actúa una fuerza de roce estátco y que la velocdad relatva del punto de contacto del cuerpo es cero respecto del pso. x
4 cómo ve el observador O el movmento del cuerpo? cómo lo ve un observador ubcado en el C.M? y otro ubcado en el punto P? O: ve el movmento completo: rotacón y traslacón al msmo tempo, que es lo que deseamos evaluar. C.M.: sólo ve la rotacón, no ve la traslacón. P: punto de contacto entre el clndro y el pso, sólo ve rotacón. Para ese observador el clndro es un objeto que gra en torno a él. Como el clndro no resbala hay reposo relatvo entre el pso y el clndro en ese punto.
5 2R B C.M. C R A P
6 Energía Cnétca total del cuerpo respecto de P El observador ubcado en el punto P no detecta traslacón, él sólo ve que cada punto del cuerpo rota con una velocdad angular. Luego, la energía cnétca del clndro es: K I Aplcando el teorema de los ejes paralelos: 1 2 I P = mr 2 + I CM 1 K mr I 2 P CM
7 1 1 K mr I CM 2 2 Reemplazando: R = v CM K mv I CM CM Luego, desde el punto de vsta del observador ubcado en P la energía cnetca del cuerpo se desglosa en una parte asocada al movmento de traslacón del C.M. y otra a la rotacón del cuerpo, respecto del eje que pasa por el C.M.
8 Momentum Angular L z y x m r 0 p
9 Momentum Angular Ahora, veremos una nueva magntud físca, el momentum angular L de un cuerpo. Su conocmento nos proporconará nformacón acerca del estado de movmento del cuerpo en estudo. Su relacón con el torque nos nformará de una nueva ley de conservacón. Estudaremos prmero el caso de una partícula, después varas partículas, para fnalzar con el tratamento de un sóldo.
10 A) Partícula. z p mv x 0 r m y 7
11 S ocurre que: p p p j x y L rp z r x yj p mv 0 r y x m 7
12 El momentum angular de la partícula de masa m respecto del punto O se defne como: L r p Esta nueva magntud físca posee: 1.- Módulo: L = r p sen, en que es el ángulo que forma el vector poscón con el vector momentum lneal, o sea con la velocdad. O r v
13 2.- Dreccón: el vector momentum angular es perpendcular al vector poscón y al vector momentum lneal (velocdad), de tal manera que es perpendcular al plano formado por ambos vectores. L r y L p La dreccón del vector momentum angular se puede obtener por la Regla de la Mano Derecha. Por ejemplo, en la fgura la dreccón del vector momentum angular de la partícula concde con el sentdo postvo del eje z. 3.- Una undad de medda que es: kg m 2 /s = Js
14 Relacón entre Torque y Momentum Angular L r p dl d r p dl d d r p r p dl vp rf neta
15 pero: v p 0, pues: v p dl dl rf neto neta La rapdez de cambo del momentum angular es gual al torque resultante sobre la partícula. Es decr, s L camba en el tempo es porque exste un torque actuando sobre la partícula.
16 Observacones. 1.- s = 0 Nm entonces el vector momentum angular de la partícula es constante en el tempo y eso sgnfca que la partícula se mueve sempre en un plano, el plano formado por la velocdad y el vector poscón. 2.- s la partícula se mueve en un círculo, entonces : L = r p sen, Pero: = 90, luego: L = r m v y como: v = r, entonces: L = r 2 m L = I Vectoralmente: L Iω r p
17 Nota: De esta gualdad se puede deducr la relacón entre torque y aceleracón angular, relacón que ya habíamos vsto: neto dl neto d (I ) neto I d I neto
18 3.- s exste más de una fuerza actuando sobre la partícula entonces, en la relacón I, se refere al torque total, suma vectoral, y es la aceleracón angular resultante de la partícula. 4.- s la velocdad de la partícula es constante, entonces el momentum angular tambén lo es. L L = r p sen 0 r m p L = (r sen ) p L = b mv L cte
19 5.- s exsten sólo dos cuerpos que se atraen por accón gravtatora, el cuerpo que rota alrededor del otro tene momentum angular constante y, por lo tanto, se mueve en una trayectora plana. L r p v Sol r F Terra trayectora
20 6.- Otro ejemplo mportante es la teoría del átomo. Según la mecánca cuántca, modelo de Bohr, el momentum angular de un electrón es constante para cada una de las órbta permtdas: h 34 L n con: h 6, Js 2π núcleo electrón
21 B) Sstema de N partículas. r m v Cada partícula posee su masa y su propa velocdad. Luego, posee su propo momentum lneal y su propo momentum angular.
22 L r p con: 1, 2,..., N El momentum angular total del sstema de N partículas será: L L 1, 2,..., N tot En donde cada uno de los momentum, o algunos de ellos, puede depender del tempo en alguna forma. En consecuenca, podemos suponer que:
23 dl exste dl dl d L
24 d L total total d L total Notar que el torque total ncluye tanto la accón de fuerzas nternas como externas. Veremos que los torques nternos se anulan de a pares entre sí, luego nos queda: ext dl tot
25 Torque de las fuerzas nternas. m j r j F j b F j r m
26 τ j r jf js e n θ j bfj j bfj Luego, los torques debdo a fuerzas nternas que actúan a lo largo de la línea que une un par de partículas se anulan de a pares y sólo ejercen accón sobre el sstema los torques externos. ext dl tot
27 N Partículas L r p r v m ext dl tot
28 Observacones. 1.- Para un sstema de partículas tambén se cumple: s el torque total externo es nulo, el momentum angular del sstema de partículas es constante: Ltotal L cte 2.- Para un sstema de partículas se defne el C.M. con su correspondente velocdad y aceleracón. Como el C.M., para efectos de traslacón, se comporta como una partícula podemos decr:
29 Mv m v CM Mv CM p p M v tot C M Así se puede pensar en una partícula de masa M (suma de todas las masas) ubcada en el C.M., que se mueve con velocdad v CM y momentum lneal gual al momentum lneal total. El momentum angular de esta partícula posee smlares propedades a las vstas para una partícula de masa m.
30 C) Cuerpo rígdo. L z Eje de gro: z r v m
31 L r m v sen 2 z v r L z m r r L m r 2 z Para todo el cuerpo: L z L z En donde va desde la partícula 1 hasta la últma partícula del cuerpo.
32 Con lo cual el momentum angular del sóldo respecto del orgen O se puede escrbr z L I L z I Que en forma vectoral queda: L I El momentum angular del sóldo respecto del sstema de referenca elegdo es gual a su I respecto del msmo eje de rotacón multplcado por su velocdad angular medda respecto del msmo eje.
33 Al gual que para una partícula y un sstema de partículas, se escrbe: ext dl tot y, usando la expresón deducda: I ext conduce al prncpo de conservacón del momentum angular:
34 S el torque total sobre el sóldo es nulo, entonces el momentum angular del cuerpo es constante, es decr, se conserva. L L cte tot que expresado en térmnos del momento de nerca y de la velocdad angular queda: I I en donde, los momentos de nerca y las velocdades angulares se expresan respecto del msmo eje de rotacón.
35 Ejemplo: Un carrusel de momento de nerca 300 kg m 2 gra a razón de 12 rev/mn. El carrusel posee un rado de 2 m. Un nño de masa 25 kg salta al borde del carrusel. cuál es la nueva frecuenca del carrusel? I C = 300 kgm 2 f 1 = 12 mn -1 = 0,20 Hz R C = 2 m m N = 25 kg r N = 2 m f 2 =? Como los torques de las F ext son cero, entonces: L cte L L I I
36 Como: = 2f se tene que: I 2 f I 2 f I f f I2 Con: I I I I + I I m r N 2 1 C 2 C N N N N I 252 I 100 kgm 2 2 N I I 400 kgm Luego: 300 f 2 0,20 f ,15 Hz 36
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